趙子堯 馬強

本文提出了一種求解磁場項為常數的耦合Gross-Pitaevskii方程組基態(tài)解的數值方法. 基于單組分近似理論，本文將方程組的能量函數等價為單組分的能量泛函，然后基于降階后的能量表達式提出了離散歸一化梯度流數值方法. 數值算例表明，該方法高效且可靠.

耦合Gross-Pitaevskii方程組； 基態(tài)解； 單組分近似； 歸一化梯度流

O241.82 A 2024.011002

Numerical method for the ground state solution of ?coupled Gross-Pitaevskii equations

ZHAO Zi-Yao， MA Qiang

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

In this paper， a numerical method for solving the ground state solution of the coupled Gross-Pitaevskii equations with constant magnetic field term is proposed. Based on the single mode approximation theory， energy function of the equations is equivalently expressed by a reduced energy function with single component. Then， based on the method of discrete normalized gradient flow， the method is proposed by using the expression of reduced energy function. Numerical examples illustrate the reliability and performance of the method.

Coupled Gross-Pitaevskii equations; Ground state solution; Single mode approximation; Normalized gradient flow

（2010 MSC 65M60）

1 引 言 玻色-愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensation， BEC）是一種重要量子態(tài). 1925年，Bose和Einstein最早在理論上預言了它的存在 ?［1］ . ?在BEC中，物質的溫度接近絕對零度，因而直到1995年，隨著激光制冷和電磁俘獲技術的成熟，人類才首次在實驗室中制備了分別由 ?87 Rb和 ?23 Na原子組成的BEC ?［2，3］ .

在早期的制備實驗中，人們普遍使用磁場勢阱來束縛原子，所得到的BEC都是沒有自旋的凝聚體. 隨著光阱技術的發(fā)展，2012年科學家們終于將自旋數不同的BEC分離出來 ?［4］ . 我們將自旋數相同的原子的集合稱為一個組分，并將包含兩種以上組分的BEC稱為多組分旋量玻色-愛因斯坦凝聚體（spinor Bose-Einstein Condensation， spinor BEC）. 2012年制備得到的由 ?23 Na原子構成的旋量為1的玻色-愛因斯坦凝聚體 ?［5，6］ （spin-1 Bose-Einstein Condensation， spin-1 BEC）就是包含3種組分的spinor BEC. 這些實驗結果揭示了spinor BEC中蘊含的豐富物理現象，同時也激發(fā)了科學家們對數值模擬spinor BEC基態(tài)的興趣.

在量子理論中，基態(tài)是物質在能量處于最低點時的狀態(tài).在數學上，基態(tài)可以表示為耦合Gross-Pitaevskii方程組的能量泛函在 ?H ??1 ?函數空間中的極小值點. 我們將這個函數稱為spinor BEC的基態(tài)解.

5 數值算例

我們首先驗證SMA-GFDN數值方法的可靠性，然后數值地研究不同參數與鐵磁性spin-1 BEC基態(tài)能量之間的關系，最后比較SMA-GFDN方法與一般GFDN方法的計算效率.

我們選擇2維算例，計算區(qū)域和網格尺寸分別為 D=［-8，8］×［-8，8］ ， ?Δx=1/32 . 時間方向上的步長為 Δt=0.001 ，終止條件參數 ε= 1× ?10 ??-13 ?.

算例5.1 ???本算例中的參數 β n=200 ， β s= -100 ?，磁場強度 B=3+4 i，勢能為2維光學晶格勢能（two-dimensional optical lattice potential）

V 2（x，y）= x 2+y 2 2 +25 ??sin ??2（ πx 4 ）+ ?sin ??2（ πy 4 ） ??（29）

初值函數為 φ 0（x，y）= ?e ??-（x 2+y 2）/2 ???π ???， 計算結果如圖1所示.

圖2中展示了在該算例的計算過程中總質量和總能量隨計算時間的變化.

從圖2中我們可以看到，在計算過程中質量保持守恒，能量單調下降，說明數值方法是可靠的.

算例5.2 ???在此算例中，我們研究不同參數對基態(tài)能量的影響. 設置勢能函數為2維簡諧勢能 V 2（x，y）=（x 2+y 2）/2 . 首先，我們固定磁場強度 B（x）≡6+8 i ?，對不同的相互作用參數 β n ， β s ，spin-1 BEC基態(tài)的能量如圖3所示.

從圖3中我們可以看到，在其他條件相同的情況下，當 β n 與 β s 之和相同時基態(tài)解的能量也相同，且基態(tài)的能量隨 β n+β s 的增大而增大.

然后，為研究不同磁場強度 B 對總能量的作用，我們計算了幾組 β n+β s 相同但磁場強度 B 不同的算例. 為演示方便，我們取 B 為實數，計算結果如下圖4所示.

從圖4中我們可以看到，當 β n+β s 固定時，基態(tài)能量只與磁場強度 B 的絕對值有關，并且 ?B ?越大基態(tài)的能量越小.

算例5.3 ???最后我們研究SMA-GFDN方法在計算恒定磁場中鐵磁性spin-1 BEC基態(tài)時的效率. 在本算例中，取參數 β n=200 ， β s=-100 ，勢能為2維簡諧勢能. 我們分別用普通GFDN方法和SMA-GFDN方法計算不同磁場強度下的基態(tài)，并記錄兩種方法所用的時間，結果如表1所示.

數值求解spinor BEC的基態(tài)解主要有兩種方法. 第一種是離散歸一化梯度流方法（Gradient Flow with Discrete Normalization， GFDN）. 該方法最早由Bao和 Du于2004年提出，用于計算單組分BEC的基態(tài)解 ?［7，8］ . 由于spin-1 BEC只有質量和磁通量這兩個守恒量，不足以確定三個組分的單位化系數，因而該方法不能直接用于計算自旋為1的玻色-愛因斯坦凝聚體的基態(tài)解 ?［8］ . 2008年， Bao和Lim ?［9］ 基于spin-1 BEC三個組分之間的化學勢能關系提出了第三個單位化系數，從而令該方法可被用于求解spin-1 BEC的基態(tài). 第二種方法是帶拉格朗日乘子的梯度流方法（Gradient Flow with Lagrange Multiplied， GFLM）. 該方法是一種基于拉格朗日乘子法的、滿足質量守恒和磁通量守恒的 最優(yōu)化方法. 2008年，Tian等 ?［10］ 利 用該方 法數值模擬了一般旋量F的BEC （spin-F BEC） 的基態(tài)解.

特別地，在計算恒定Ioffe–Pritchard磁場中的spin-1 BEC的基態(tài)解時，已有的方法 ?［11］ 一般基于spin-1 BEC的通用數學模型來設計，需要考慮spin-1 BEC的三個組分及其相互作用. 這就導致在大規(guī)模的數值模擬中這些方法的計算效率不高，計算時間長，對計算資源的占用大.

在本文中，注意到耦合Gross-Pitaevskii方程組的基態(tài)解具有的特殊性質，我們基于單組分近似方法（Single Mode Approximation， SMA）提出了一種新的基態(tài)解的數值求解方法，并給出了數值算例. 相較于已有方法，在相同計算精度下，本算法高效且可靠.

由表1我們可以看到，在恒定磁場中，SMA-GFDN方法計算鐵磁性spin-1 BEC的基態(tài)耗時大約是普通GFDN方法的一半，說明在這種情況下前者更高效.

6 結 論

本文應用單組分近似理論分析了鐵磁性spin-1 BEC在恒定磁場中的數學模型和能量泛函表達式，給出了SMA能量泛函的具體表達式. 在此基礎上，本文利用離散歸一化梯度流的思想提出了一種計算恒定磁場中鐵磁性spin-1 BEC基態(tài)的數值方法. 數值算例驗證了該方法的可靠性及高效.

參考文獻：

［1］ ??BaoW ?Z， Cai Y Y. Mathematical theory and numerical methods for Bose-Einstein condensation ［J］. Kinet Relat Mod， 2013， 6： 1.

［2］ ?Anderson M H， Ensher J R. Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor［J］. ?Science， 1995， 269： 198.

［3］ ?Davis K B， Mewes M O. Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms ［J］. Phys Rev Lett， 1995， 75： 3969.

［4］ ?Stenger J， Inouye S， Stamper-Kurn D M. Spin domains in ground state spinor Bose-Einstein condensates ［J］. Nature， 1998， 369： 345.

［5］ ?Swislocki T， Matuszewski M. Controlled creation of spin domains in spin-1 ?Bose-Einstein condensates by phase separation ［J］. Phys Rev A， 2012， 85： 023601.

［6］ ?Ueda M， Kawaguchi Y. Spinor Bose-Einstein condensates ［J］. Phys Rep， 2012， 520： 253.

［7］ ?Bao W， Du Q. Computing the ground state solution of Bose-Einstein condensates by a normalized gradient flow ［J］. SIAM J Sci Comput， 2004， 25： 1674.

［8］ ?Bao W Z， Cai Y Y. Ground states of two-component Bose-Einstein condensate with an internal atomic Josephson junction ［J］. East Asian App Math， 2011， 1： 49.

［9］ ?Bao W Z， Lim F Y. Computing .ground state of spin-1 Bose-Einstein condensates by the normalized gradient flow［J］. SIAM J Sci Comput， 2008， 30： 1925.

［10］ ?Tian T H， Cai Y Y， Wu X M， ?et al . Ground states of spin-F Bose-Einstein condensates ［J］. SIAM J Sci Comput， 2020， 42： 983.

［11］ Bao W Z， Chern I L， Zhang Y Z. Efficient numerical methods for computing ground states of spin-1 Bose-Einstein condensates based on their characterizations ［J］. J Comput Phys， 2013， 253： 189.

［12］ Law C K， Pu H， Bigelow N P. Quantum spins mix in spinor Bose-Einstein condensates ［J］. Phys Rev Lett， 1998， 81： 5257.

［13］ Ernst U， Marte A， Schuster F， et al. Bose-Einstein condensation in a pure Ioffe-Pritchard field configuration ［J］. Euro Phys Lett， 1998， 41： 1.

［14］ Lieb E H， Loss M. Analysis［M］. Rhode Island： AMS， 2001.

［15］ Zhao Z， Tang Q. The mathematical property and numerical methods for the ground state of rotational ferromagnetic spin-1 Bose-Einstein condensates with constant magnetic field ［J］. Preprint.

［16］ Lin L， Chern I L. A kinetic energy reduction technique and characterizations of the ground states of spin-1 Bose-Einstein condensates ［J］. Disc Cont Dynam Sys B， 2014， 19：1119.

［17］ Lieb E， Seiringer R， Yngvason J. Bosons in a trap： a rigorous derivation of the Gross-Pitaevskii energy functional ［J］. Phys Rev A， 2000， 61： 6104.

［18］ Zeng R， Zhang Y. Efficiently computing vortex lattices in fast rotating Bose Einstein condensates ［J］. Comput Phys Comm， 2009， 180： 854.

收稿日期： ?2023-04-12

基金項目： ?國家自然科學基金（11801387）; 四川省自然科學基金（2022NSFSC0322）

作者簡介： ??趙子堯（1998- ）， 男， 重慶市人， 碩士， 主要從事數值分析與數值方法研究. E-mail： ziyao.zhao@foxmail.com

通訊作者： ?馬強. E-mail： maqiang809@scu.edu.cn