盧守峰 黃志康 趙紅云

摘要：為了微觀刻畫(huà)地鐵乘客的病毒傳播，構(gòu)建了吸入病毒概率與社交距離之間的函數(shù)關(guān)系，建立了病毒載量增加量和減少量的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上建立了病毒載量演化方程，其中防疫措施的效果以歸一化的參數(shù)描述。通過(guò)Anylogic軟件的二次開(kāi)發(fā)接口，對(duì)每個(gè)乘客的病毒載量進(jìn)行編程，刻畫(huà)每個(gè)乘客在感染前和感染后兩個(gè)階段的病毒載量變化。仿真初始時(shí)刻設(shè)定10%的乘客被病毒感染，包括普通感染者和超級(jí)感染者。對(duì)不同乘客數(shù)量條件下的病毒演化進(jìn)行仿真，分為有管控和無(wú)管控兩種場(chǎng)景。仿真結(jié)果表明：隨著乘車(chē)人數(shù)的增多，乘客密度增大，病毒傳播增強(qiáng)，個(gè)體病毒載量增加較快；對(duì)病毒載量大于1 000的乘客進(jìn)行管控，禁止其乘車(chē)，可將所有乘客的病毒載量降低一個(gè)數(shù)量級(jí)。

關(guān)鍵詞：城市交通；地鐵乘客；病毒載量；疫情管控；演化模型；Anylogic仿真

中圖分類(lèi)號(hào)：U12; R181.8?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號(hào)：1002-4026（2024）02-0097-07

The evolution model and simulation of the viral load of subway passengers

Abstract∶A functional relationship was constructed between the probability of inhaling viruses and social distance to characterize the viral transmission of subway passengers at the microscopic level. Formulas for calculating the increase and decrease of viral load were constructed based on establishing the viral load evolution equation. Normalized parameters were used within this equation to describe the effect of pandemic prevention measures. The viral load of each passenger was programmed through the Anylogic softwares secondary development interface to characterize the viral load change at the pre- and post-infection phases. In the initial simulation settings， 10% of the passengers were infected with the virus， including ordinary carriers and supercarriers. The evolution of the virus under different passenger number conditions within subway carriages was simulated， which was categorized into with-control and without-control scenarios. The simulation results showed the following： as the number of passengers increases， the passenger density increases， the virus transmission increases， and the individual viral load increases rapidly. Isolating passengers with a viral load greater than a threshold of 1 000 and prohibiting them from taking the subway can reduce the viral load of all passengers by an order of magnitude.

Key words∶urban transportation; subway passengers; viral load; pandemic control; evolutionary model; Anylogic simulation

新型冠狀病毒的傳播方式、檢測(cè)方法、管控模式、相關(guān)配套措施具有典型代表性，研究新型冠狀病毒感染的精細(xì)化管控措施對(duì)于其他呼吸道病毒管控有著重要的借鑒意義。我國(guó)學(xué)者一直關(guān)注各種場(chǎng)景下的新型冠狀病毒的傳播規(guī)律和管控策略。例如李小莉等[1]構(gòu)建了考慮傳染概率的政府部門(mén)與公眾演化博弈模型，研究了不同傳染概率下政府防疫管控策略的演化。方丹輝等[2]提出了一種考慮高低防護(hù)人群且將感染者歸入移出者的易感者-暴露者-康復(fù)者傳染病模型（susceptible-exposed-recovered， SER），研究了不同等級(jí)管控措施的效果。馬劍等[3]構(gòu)建了校園內(nèi)上下課行人流模型，通過(guò)時(shí)空伴隨概念量化行人接觸導(dǎo)致的疫情傳播風(fēng)險(xiǎn)，利用Anylogic軟件對(duì)不同的校園疫情防控策略效果進(jìn)行仿真。

已有關(guān)于公共交通內(nèi)疫情傳播模型主要以易感者-感染者-康復(fù)者（susceptible-infective-recovered， SIR）模型、Wells-Riley模型為主。SIR模型描述各類(lèi)個(gè)體（易感者、感染者、康復(fù)者）的數(shù)量隨時(shí)間的變化，適合宏觀上描述大范圍內(nèi)的疫情傳播。近期相關(guān)文獻(xiàn)利用該模型對(duì)公共交通防疫措施的有效性進(jìn)行了研究。例如施紅生[4]對(duì)鐵路交通的傳染病防控模式進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)對(duì)SARS、甲型H1N1流感等防控案例分析，提出了遠(yuǎn)距離鐵路交通傳染病傳播數(shù)學(xué)模型，表明在長(zhǎng)距離鐵路交通環(huán)境下提前進(jìn)行病毒檢測(cè)、乘務(wù)人員的免疫率達(dá)到50%可以有效減少病毒傳播。賈興利等[5]在SIR模型基礎(chǔ)上，考慮了病毒的潛伏期、人口遷徙、市內(nèi)小區(qū)人口流動(dòng)等因素建立了市域新型冠狀病毒疫情傳播模型，對(duì)比分析了4個(gè)城市交通管控措施對(duì)于疫情發(fā)展的阻斷效果，結(jié)果表明及時(shí)全面地實(shí)施市內(nèi)道路封閉、客運(yùn)交通停運(yùn)和小區(qū)人口流動(dòng)控制三種交通管控措施可以有效阻斷疫情傳播、控制市域疫情發(fā)展。

Wells-Riley模型計(jì)算每個(gè)個(gè)體感染病毒的概率，輸入變量是宏觀變量。近期相關(guān)文獻(xiàn)從防疫措施、病毒傳播過(guò)程兩個(gè)方面對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)，更好地描述公共交通內(nèi)疫情傳播。例如，陳國(guó)強(qiáng)等[6]在Wells-Riley傳染病模型基礎(chǔ)上，考慮乘客個(gè)體差異、飛沫傳播距離、口罩保護(hù)率、疫苗免疫情況及車(chē)廂消毒等影響因素，建立符合公交車(chē)輛運(yùn)行環(huán)境的多智能體新型冠狀病毒傳播模型，結(jié)果表明車(chē)輛及時(shí)進(jìn)行消毒、提高乘客提高口罩的佩戴率疫苗接種率能有效減少新型冠狀病毒傳播。Sun等[7]在原有Wells-Riley方程基礎(chǔ)上添加社交距離、環(huán)境通風(fēng)量等影響因素，結(jié)果表明增加社交距離可以在30 min內(nèi)顯著降低20%～40%的感染率。Yan等[8]對(duì)飛沫在波音737客艙的傳播過(guò)程進(jìn)行研究，使用拉格朗日方程代替歐拉方程模擬飛沫傳播特性，改進(jìn)傳統(tǒng)Wells-Riley方程。謝國(guó)等[9]利用高斯公式模擬病毒的傳播過(guò)程，改進(jìn)Wells-Riley方程，選取CRH2型動(dòng)車(chē)組為模擬環(huán)境，提出了有利于降低新型冠狀病毒傳播概率的乘客座位分布模式。

以上文獻(xiàn)對(duì)新型冠狀病毒的傳播和管控措施的有效性進(jìn)行了研究，但是現(xiàn)有模型偏宏觀，無(wú)法刻畫(huà)個(gè)體的病毒載量隨時(shí)間的變化，不能為精準(zhǔn)管控提供理論依據(jù)。本文的研究目標(biāo)是建立地鐵車(chē)廂內(nèi)個(gè)體病毒載量的演化模型，對(duì)是否被感染的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后研究防控措施對(duì)病毒載量的影響，從而為主動(dòng)精準(zhǔn)管控提供理論依據(jù)。

1 病毒載量的演化模型

病毒載量演化的建模方法是物質(zhì)守恒和隨機(jī)建模。病毒載量代表的是病毒的負(fù)荷，即體內(nèi)病毒的數(shù)量。通常新型冠狀病毒的濃度越高，人被感染的可能性往往會(huì)更大，此外，病毒活性、自身免疫力等因素也是導(dǎo)致機(jī)體感染的重要因素。Ma等[10]研究表明人體呼吸是新型冠狀病毒重要傳播方式。Zhang等[11]研究表明空氣傳播是新型冠狀病毒傳播的主要途徑，其傳播率是接觸傳播的1 000倍。

基于以上研究結(jié)果，本研究主要考慮個(gè)體以呼吸方式傳播和吸入病毒。個(gè)體內(nèi)的病毒載量是動(dòng)態(tài)變化的，其隨時(shí)間的變化等于增加量減去減少量。病毒載量用w表示，其演化方程建模為

其中，w+是病毒載量的增加量，w-是病毒載量的減少量。

感染前，體內(nèi)的病毒不會(huì)復(fù)制；感染后，體內(nèi)病毒會(huì)復(fù)制。根據(jù)這一特點(diǎn)，建模區(qū)分為感染前和感染后兩個(gè)階段。

1.1 感染前階段的病毒載量增加量

采用隨機(jī)建模方法，建立了吸入病毒與社交距離之間的概率公式，吸入病毒的概率隨著社交距離的增加而降低。如圖1所示。

圖1展示兩個(gè)社交距離的閾值ｄｃ和ｄｍａｘ，當(dāng)社交距離小于dc時(shí)，在無(wú)防護(hù)措施情況下，吸入相鄰個(gè)體呼出的病毒的概率為1。當(dāng)社交距離大于dmax時(shí)，吸入相鄰個(gè)體呼出的病毒的概率為0。當(dāng)介于兩者之間時(shí)，吸入相鄰個(gè)體呼出的病毒的概率呈線性衰減。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，兩個(gè)參數(shù)dc和dmax可使用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)定。本文建立的目標(biāo)個(gè)體吸入病毒的概率見(jiàn)公式（2）。

其中，P是吸入病毒的概率;x是研究的目標(biāo)個(gè)體的位置;x* 是相鄰個(gè)體的位置;H（·） 是赫維賽德函數(shù)， 當(dāng)（·）≥０時(shí)Ｈ（·）=1，當(dāng)（·）<０時(shí)Ｈ（·）=0。

設(shè)研究的目標(biāo)個(gè)體在dmax為其半徑的圓周范圍內(nèi)有n個(gè)相鄰個(gè)體。n個(gè)相鄰個(gè)體從t0時(shí)刻到當(dāng)前時(shí)刻t，產(chǎn)生的對(duì)目標(biāo)個(gè)體有所影響的病毒總量為

其中，qi為每個(gè)個(gè)體單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的病毒數(shù)量;pi為目標(biāo)個(gè)體吸入第i個(gè)相鄰個(gè)體產(chǎn)生的病毒的概率；s為時(shí)間。

1.2 感染后階段的病毒載量增加量

一個(gè)人感染新型冠狀病毒后，病毒復(fù)制是病毒增長(zhǎng)的主要原因。由于病毒復(fù)制帶來(lái)的病毒數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于吸入病毒的數(shù)量，因此感染后階段只需要考慮病毒復(fù)制導(dǎo)致的病毒載量增加量。

1.3 病毒載量減少量

根據(jù)Popa等[13]的研究結(jié)果，一個(gè)人平均吸入1 000個(gè)病毒顆粒被感染。本文以該值作為閾值，當(dāng)個(gè)體體內(nèi)的病毒顆粒小于1 000個(gè)時(shí)，體內(nèi)的病毒量將一直累加，不排出病毒。當(dāng)個(gè)體體內(nèi)的病毒顆粒超過(guò)1 000個(gè)時(shí)，該個(gè)體變?yōu)楦腥緜€(gè)體。感染個(gè)體的排毒量與體內(nèi)的病毒數(shù)量有一定關(guān)系，本文假設(shè)感染者的排毒量等于個(gè)體體內(nèi)病毒載量的0.1%。

其中，N表示個(gè)體內(nèi)的病毒載量；w－表示呼出的病毒數(shù)量。

1.4 防疫措施的干預(yù)效果建模

在公共交通車(chē)輛上，采取的防疫措施主要包括戴口罩或面罩、增加社交距離、車(chē)廂消毒、通風(fēng)。其中前兩項(xiàng)措施是減少病毒的吸入量，后兩項(xiàng)措施是減少病毒的數(shù)量。各類(lèi)防疫措施的效果用參數(shù)α表示，取值范圍是［0，1］，其中0表示完全阻擋病毒侵入，1表示防疫措施沒(méi)有防護(hù)作用，中間值表示使用防疫措施后吸入病毒的概率。在公式（4）的基礎(chǔ)上乘以參數(shù)α，描述防疫措施的干預(yù)效果。

2 基于Anylogic 仿真軟件的管控措施效果評(píng)估

Anylogic仿真軟件為行人智能體提供了二次開(kāi)發(fā)的接口。本部分在二次開(kāi)發(fā)接口中對(duì)公式（1）～（6）進(jìn)行編程。首先在Anylogic軟件中對(duì)地鐵車(chē)廂建立物理模型；再使用Anylogic軟件提供的邏輯流程圖工具對(duì)乘客行為編程，包括進(jìn)站乘客流線和出站乘客流線；然后設(shè)置客流量、乘客在地鐵車(chē)廂中的間距等參數(shù)；利用Anylogic軟件提供的二次開(kāi)發(fā)接口，對(duì)本文建立的病毒載量演化模型進(jìn)行編程；最后設(shè)置仿真時(shí)長(zhǎng)，輸出仿真數(shù)據(jù)。仿真界面如圖3所示，紅色乘客表示受感染的乘客，灰色乘客表示未受感染的乘客。

仿真的地鐵車(chē)廂為南京地鐵A型車(chē)廂，其幾何尺寸（長(zhǎng)×寬×高）是24.0 m×3.0 m×3.8 m，每節(jié)車(chē)廂定員240人。為了研究乘客密度對(duì)病毒傳播的影響，分別設(shè)置定員的1/3、定員的2/3、定員人數(shù)3個(gè)場(chǎng)景，即80人、160人、240人。每個(gè)場(chǎng)景初始時(shí)刻被感染的乘客比例為10%，其中超級(jí)傳播感染者占被感染乘客的比例為20%。由于車(chē)廂的尺寸是固定的，因此人數(shù)越多，密度越大，乘客之間的距離越小。仿真結(jié)果如圖4。每組圖包括無(wú)管控和有管控兩種情況，無(wú)管控是指無(wú)論乘客體內(nèi)的病毒數(shù)量多大，都允許其乘車(chē)。有管控是指基于病毒載量進(jìn)行管控，當(dāng)乘客體內(nèi)的病毒數(shù)量大于1 000個(gè)時(shí)，不允許該乘客乘車(chē)。每個(gè)圖中有兩條曲線，防疫措施的干預(yù)率取100%對(duì)應(yīng)于α＝０，防疫措施的干預(yù)率取50%對(duì)應(yīng)于α＝0.5。

社交距離通過(guò)乘客密度來(lái)反映，乘客密度大則社交距離小，乘客密度小則社交距離大。對(duì)口罩、消毒等防疫措施的干預(yù)率分別是50%和100%兩種情況進(jìn)行仿真。為對(duì)比分析有無(wú)管控措施情況下的病毒傳播，每個(gè)場(chǎng)景進(jìn)行兩輪仿真。對(duì)于無(wú)管控的情況，所有乘客在第一輪結(jié)束時(shí)的病毒載量數(shù)值基礎(chǔ)上，繼續(xù)進(jìn)行第二輪模擬，仿真結(jié)果如圖4（a）、4（c）、4（e）所示。對(duì)于有管控的情況，第一輪仿真30 min后，對(duì)病毒載量超過(guò)1 000個(gè)的乘客進(jìn)行隔離，禁止其上車(chē)，生成新的乘客上車(chē)從而保持車(chē)廂內(nèi)總?cè)藬?shù)不變。由于補(bǔ)充了新的乘客，因此圖4（b）、4（d）、4（f）的橫坐標(biāo)表示的乘客編號(hào)大于車(chē)廂內(nèi)的乘客數(shù)量。未被感染的乘客繼承上一輪模擬結(jié)束時(shí)的病毒載量數(shù)值，進(jìn)行第二輪模擬。

以上場(chǎng)景的仿真結(jié)果表明：對(duì)病毒載量大于閾值1 000的乘客進(jìn)行管控，禁止其乘車(chē)，可將所有乘客的病毒載量降低一個(gè)數(shù)量級(jí);隨著乘車(chē)人數(shù)的增多，乘客密度增大，病毒傳播增強(qiáng)，個(gè)體病毒載量增加較快。

為展示乘客個(gè)體病毒載量隨時(shí)間的變化，對(duì)兩種情況進(jìn)行了仿真，情況1：車(chē)廂人數(shù)為80人、防疫措施控制有效率為100%；情況2：車(chē)廂人數(shù)為160人、防疫措施控制有效率為50%。仿真時(shí)長(zhǎng)為1 h，如圖5所示。與情況1相比，情況2的個(gè)體的病毒載量多一個(gè)數(shù)量級(jí)。

3 結(jié)論

本文利用物質(zhì)守恒和隨機(jī)建模方法建立了病毒載量演化模型?；贏nylogic二次開(kāi)發(fā)接口，對(duì)建立的病毒載量演化模型進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)了地鐵乘客病毒載量的仿真。仿真分析了乘客密度、防疫措施的有效率、有無(wú)管控措施三個(gè)因素對(duì)地鐵乘客病毒載量的影響。仿真結(jié)果表明，隨著乘車(chē)人數(shù)的增多，乘客密度增大，病毒傳播增強(qiáng)，個(gè)體病毒載量增加較快。對(duì)病毒載量大于1 000的乘客進(jìn)行管控，禁止其乘車(chē)，可將所有乘客的病毒載量降低一個(gè)數(shù)量級(jí)。這表明根據(jù)乘客體內(nèi)病毒載量的數(shù)量對(duì)其能否乘車(chē)進(jìn)行管控是有效降低病毒傳播的重要手段，為精準(zhǔn)管控提供了理論依據(jù)。此外，每個(gè)場(chǎng)景初始時(shí)刻被感染的乘客比例設(shè)定為10%，其中超級(jí)傳播感染者占被感染乘客的比例為20%。仿真結(jié)束時(shí)，超級(jí)傳播感染者的病毒載量比普通傳播者的病毒載量多出一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此識(shí)別超級(jí)傳播者并對(duì)其乘車(chē)進(jìn)行管控是管理的重點(diǎn)。

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