張渡淯 吳建軍 楊欣 馬智傲 朱天雷

摘要：隨著網絡科學的發(fā)展和復雜系統(tǒng)理論的興起，學者們開始對復雜網絡的結構和動力學特性展開深入研究。在復雜網絡動力學特征中，級聯(lián)失效作為復雜網絡動力學特征中重要的研究領域之一，描述了一個系統(tǒng)或過程中的一個故障或錯誤導致其他相關組件或環(huán)節(jié)的連鎖反應性故障。學者們針對復雜網絡中的級聯(lián)失效提出了多種級聯(lián)失效模型和恢復策略。本文對級聯(lián)失效的發(fā)生機理進行了分析，總結了國內外針對復雜網絡中級聯(lián)失效的研究成果，并概括了應對級聯(lián)失效的恢復策略，同時指出了現(xiàn)有研究存在的問題與不足之處，為未來的研究提供了一定的思路。

關鍵詞：級聯(lián)失效；復雜網絡；多層網絡；傳播特性；恢復策略；滲流；網絡魯棒性

中圖分類號：N945.17?? 文獻標志碼：A?? 文章編號：1002-4026（2024）02-0085-12

Research progress on cascading failures in complex networks

Abstract∶With the development of network science and the emergence of complex systems theory， scholars have embarked on in-depth research on the structural and dynamic properties of complex networks. Among the dynamic properties of complex networks， cascading failures， as one of the most important research areas， describe a situation where a fault or error in a system or process leads to the failures of other related components or links. Various models and recovery strategies have been proposed for cascading failures in complex networks. This study analyzes the mechanisms of cascading failures， provides a comprehensive summary on the development of domestic and international cascading failure in complex networks， outlines the recovery strategies for addressing cascading failures， and highlights the existing issues and shortcomings in current research， providing valuable insights for future studies.

Key words∶cascading failure; complex networks; multilayer networks; propagation properties; recovery strategies; percolation; network robustness

隨著人類科學與技術的高速發(fā)展，如何描述復雜系統(tǒng)的結構與性質成為一個亟待解決的問題。自網絡的無標度特性和小世界特性被發(fā)現(xiàn)以來[1-2]，隨著網絡科學的不斷發(fā)展完善，越來越多的學者使用復雜網絡的概念與模型去描述復雜系統(tǒng)的結構與性質。復雜網絡將系統(tǒng)中的組成部分定義為節(jié)點，組成部分之間的相互關系描述為連邊，從而抽象化和數(shù)學化現(xiàn)實生活中許多的復雜系統(tǒng)。例如運用復雜網絡理論，刻畫人與人之間的社交關系[3]，描述電力網絡[4]、道路網絡[5]、航空網絡[6]等基礎設施系統(tǒng)或是將其用于醫(yī)學領域對神經網絡[7]、藥理科學[8]等問題進行研究。

在復雜網絡研究中，網絡中的動力學傳播問題是一個十分重要的研究領域，無論在自然界或是人類社會中，大量的行為和現(xiàn)象都能夠通過網絡傳播來影響網絡中的各個組成部分。如傳染病可以通過接觸關聯(lián)網絡在人群中迅速傳播，信息電流可以在大腦神經網絡中進行傳遞，交通擁堵可以在道路網絡中擴散等。在復雜網絡的研究中，級聯(lián)失效被認為是最重要的傳播問題之一。級聯(lián)失效用來描述在網絡中一個或者幾個節(jié)點或連邊受到干擾或破壞時，其周圍的部分受到連鎖影響，導致干擾繼續(xù)傳播，最終整個系統(tǒng)可能因此功能失效，引發(fā)網絡的災難性崩潰?，F(xiàn)實生活中的網絡具有強耦合關聯(lián)特性，這為級聯(lián)失效的傳播提供了更多的路徑與選擇，進而增加了網絡的脆弱性[9]。以電力網絡為例，電力網絡中的一個組件故障或者損壞時，負載會傳遞到相鄰的元件，如果相鄰組件的負載超出其容量過載，就可能發(fā)生故障，從而引發(fā)級聯(lián)失效現(xiàn)象，影響整個電力網絡，嚴重時導致整個電力系統(tǒng)陷入癱瘓。2003年8月發(fā)生在美國和加拿大的大停電事件就是一個經典的級聯(lián)失效案例。該事件導致美國東北部地區(qū)及加拿大東部地區(qū)出現(xiàn)大范圍停電，四千萬人受到影響，造成了大約270億美元的經濟損失[10]。因此，對網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象進行研究，對于提高網絡的魯棒性至關重要[11]。

級聯(lián)失效現(xiàn)象已經成為一個新興且具有極大研究意義的跨學科研究方向，涵蓋了計算機科學[12]、醫(yī)學[13]、交通工程[14]、電氣工程[15]與社會科學[16]等眾多學科領域。研究網絡中的級聯(lián)失效不僅揭示了網絡結構對級聯(lián)失效傳播的影響，更為重要的是，通過對級聯(lián)失效進行提前的建模和模擬，可以減輕對網絡的不利影響，提高網絡的魯棒性。在交通工程、電氣工程等關鍵領域，對網絡中級聯(lián)失效現(xiàn)象的研究是網絡魯棒性研究的重要一環(huán)。對于級聯(lián)失效真正的刻畫需要首先明確其失效機理，然后在機理揭示的基礎上進行復雜系統(tǒng)的級聯(lián)失效建模，最后根據對失效影響范圍和強度的定量分析，提出相應的快速恢復策略。鑒于此邏輯，本文主要歸納了不同復雜網絡中級聯(lián)失效的發(fā)生機理，回顧了級聯(lián)失效現(xiàn)象在單層網絡和多層網絡中的傳播特點，總結了幾類主要的級聯(lián)失效模型，以加深對級聯(lián)失效現(xiàn)象的理解，同時著重探討如何通過研究級聯(lián)失效來提升網絡的魯棒性，以減輕或遏制級聯(lián)失效帶來的災難性影響，這一研究方向對未來網絡設計和管理具有重要的啟發(fā)和指導作用。

1 級聯(lián)失效機理

在現(xiàn)實生活中，級聯(lián)失效現(xiàn)象最常見的發(fā)生機理為單個關鍵節(jié)點的過載，導致節(jié)點失效，如圖1所示。隨后，故障節(jié)點的負載會被重新分配到網絡中的其他節(jié)點，這可能導致其他節(jié)點也超負荷運行。這種故障類似于雪崩效應，迅速而廣泛地在網絡中傳播，直到所有節(jié)點都受到損害或系統(tǒng)失去大部分功能，無法正常運轉。例如，在航空網絡中，當通過節(jié)點或連邊的流量超過其容量時，人員和貨物需要在機場內部重新分配，這可能引發(fā)級聯(lián)失效現(xiàn)象，導致整個機場無法正常運作[17]。類似地，互聯(lián)網是一個全球性的網絡，包括各種網絡設備、路由器、交換機和光纜等。在互聯(lián)網中，當某個網絡節(jié)點或網絡鏈路的負載過高或發(fā)生故障時，可能會導致周圍節(jié)點或鏈路的負載增加，進而引發(fā)級聯(lián)失效。針對這一現(xiàn)象，文獻[18-19]進行了深入的調查與研究。其他級聯(lián)失效現(xiàn)象的發(fā)生機理包括但不限于表1所示。

失效機理是復雜系統(tǒng)動力學過程研究的重要方向，是深入了解系統(tǒng)復雜性的重要手段，也是進行級聯(lián)失效建模的基礎和關鍵。雖然國際上對此方向的研究已有眾多成果，但不可否認還存在大量的研究空白。事實上，真實網絡中的級聯(lián)失效機理非常復雜，涉及的要素及要素間的相互作用很難用一個統(tǒng)一的機理模型進行描述。因此，需要更多的研究結合研究網絡對象的性質和特征，進行針對性的機理分析。此外，在機理的揭示和解釋方面，深入挖掘大量數(shù)據，同時考慮不同研究對象的核心影響因素，結合大數(shù)據、人工智能等新技術，可以建立機理模型來揭示其演化規(guī)律，充分辨識影響源及其失效路徑，從而對級聯(lián)失效過程有更清晰的理解。

2 級聯(lián)失效的建模與影響分析

自級聯(lián)失效概念提出以來，已經針對不同的網絡對象開展了大量的研究分析工作。特別是復雜網絡及其動力學過程研究的興起，進一步推動了對復雜系統(tǒng)中級聯(lián)失效的研究。

2.1 單層網絡級聯(lián)失效建模

在單層網絡中，對級聯(lián)失效現(xiàn)象的研究，可以揭示不同類型的級聯(lián)失效模型在不同網絡中對系統(tǒng)功能和魯棒性的影響。本節(jié)主要分析了單層網絡中經典的三種級聯(lián)失效模型及其在現(xiàn)實網絡中的應用。

學者們已經提出了多種模型用以描述級聯(lián)故障的機制。主要包括負荷-容量模型（節(jié)點動態(tài)模型、邊動態(tài)模型、節(jié)點與邊混合動態(tài)模型）、沙堆模型以及基于耦合映像格子的級聯(lián)失效模型等。

在級聯(lián)失效模型研究中，Motter等[26]于2002年提出的節(jié)點動態(tài)模型被廣泛應用。該模型假設網絡中的信息、能量等傳輸量沿著最短路徑進行傳輸，因此節(jié)點處的負載通過節(jié)點的所有最短路徑上的傳輸量總和來確定。節(jié)點的容量被定義為該節(jié)點理想的最大負載，假設節(jié)點j的容量Cj與其初始負載Lj滿足式（1）：

Cj=（1+α）Lj， j=1，2，…，N，（1）

其中常數(shù)α≥0是容忍參數(shù)，N為初始的節(jié)點數(shù)。當節(jié)點被移除后，最短路徑的分布會發(fā)生變化，從而導致節(jié)點負載的改變。如果某些節(jié)點的負載增加并超過容量，則這些節(jié)點將發(fā)生故障，任何故障都會導致節(jié)點負載分布的變化，這個模型描述了級聯(lián)失效的過程。同年，Holme等[27]考慮了在BA無標度網絡中，優(yōu)先連接過程中邊的過載問題。因為節(jié)點動態(tài)模型只考慮節(jié)點的狀態(tài)，沒有考慮連邊的動態(tài)行為，于是在2003年，Moreno等[28]正式提出了邊動態(tài)模型，以BA無標度網絡為例，研究了由于邊的容量有限所引發(fā)的級聯(lián)失效現(xiàn)象。2004年，Crucitti等[29]將節(jié)點動態(tài)模型與連邊混合模型相結合，提出了考慮連邊效率與最優(yōu)路徑的節(jié)點與邊混合動態(tài)模型。該模型將級聯(lián)失效的過程描述為當某個節(jié)點由于故障而失去特定的功能后，網絡中節(jié)點之間的最優(yōu)路徑發(fā)生變化，導致負載重新分布，從而引發(fā)連續(xù)的故障。

在沙堆模型[30]中，沙子被隨機撒放到沙堆上，導致一些位置發(fā)生塌陷，并將沙粒轉移到相鄰的塌陷位置。當堆的斜度超過一定閾值時，沙粒的放置引發(fā)雪崩，并可能進一步引發(fā)級聯(lián)失效現(xiàn)象，影響許多其他位置。在臨界狀態(tài)下，沙堆坍塌規(guī)模的概率分布遵循冪律分布。沙堆模型適用于許多領域中的級聯(lián)失效問題，如經濟學[31]、地質學[32]等。Dobson等[33]研究發(fā)現(xiàn)，沙堆模型下的級聯(lián)失效中失效節(jié)點的數(shù)量遵循擴展的準二項分布。

1984年，耦合映像格子（CML）[34]被首次提出用于描述時空混沌現(xiàn)象。由于CML模型能夠描述豐富的時空動態(tài)行為，在2004年[35]被引入網絡科學領域，用于研究不同耦合拓撲結構網絡中的級聯(lián)失效故障?？紤]一個具有N個節(jié)點的CML模型，其表達式如下：

其中xi（t）表示第t個時間步第i個節(jié)點的狀態(tài)變量，如果節(jié)點i與節(jié)點j之間存在連邊，則aij=aji=1，否則aij=aji=0；k（i）表示為節(jié)點i的度；ε∈（0，1）表示耦合強度，函數(shù)f為混沌Logistic映射，即f（x）=4x（1－x）。如果節(jié)點i在第m個時間步處于正常狀態(tài)，則0m。為了模擬單個節(jié)點在受到干擾下如何發(fā)生級聯(lián)失效現(xiàn)象，引入外部干擾項R≥1，模擬在第m個時間步第i個節(jié)點的狀態(tài)，見式（3）：

此時節(jié)點i的狀態(tài)xi（m）>1。在m+1時刻，與節(jié)點i相鄰的節(jié)點會受到節(jié)點i的干擾，其狀態(tài)值可能大于1，從而引起新一輪的節(jié)點故障。這個過程反復出現(xiàn)，導致級聯(lián)失效現(xiàn)象的發(fā)生。

對拓撲網絡進行級聯(lián)失效的模擬分析可以更好地理解與分析網絡結構與功能。在2002年，Watts[36]通過對隨機網絡上的級聯(lián)失效進行研究，發(fā)現(xiàn)當網絡足夠稀疏時，級聯(lián)失效對應的臨界點呈冪律分布，并且最高度的節(jié)點在觸發(fā)級聯(lián)方面具有關鍵作用。Moreno等[37]研究BA無標度網絡下的級聯(lián)失效現(xiàn)象，指出為了防止級聯(lián)失效現(xiàn)象的發(fā)生需要找到一個同時考慮網絡本身的魯棒性與能夠預見網絡崩潰的最佳標準。Xia等[38]在研究WS小世界網絡中的級聯(lián)失效時發(fā)現(xiàn)，級聯(lián)失效現(xiàn)象中的魯棒性與脆弱性主要與異構介數(shù)有關而與網絡度分布無關。Mirzasoleiman等[39]在研究加權網絡時提出了一種能提高網絡魯棒性，降低級聯(lián)失效對網絡影響的方法。Zhao等[40]為了了解級聯(lián)失效如何在時間與空間上的傳播，分析與數(shù)值研究了空間嵌入網絡上級聯(lián)失效現(xiàn)象的時空傳播行為，發(fā)現(xiàn)級聯(lián)失效從初始的故障中心會以恒定的速度徑向傳播。謝豐[41]等則是在考慮網絡動態(tài)性的基礎上，對級聯(lián)失效條件下復雜網絡的抗毀性能進行了研究。

在研究基于一般網絡的級聯(lián)失效現(xiàn)象時，學者們也廣泛探索和研究了真實的現(xiàn)實網絡。Carreras等[42]通過對發(fā)電機、輸電網絡以及一些組件進行限制，研究電力網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象，確定了由輸電線路流量限制和發(fā)電機能力限制的兩種臨界值。Wu等[43]通過研究無標度交通網絡在不同移除策略下的級聯(lián)失效現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)基于混合移除的方法可以減少級聯(lián)失效的破壞并延遲網絡的崩潰時間。同年，還考慮到交通量分配的用戶均衡原則，研究了加權交通網絡的級聯(lián)失效現(xiàn)象[44]?；诒本┏鞘熊壍澜煌ňW絡的數(shù)據，Sun[45]等考慮了靜態(tài)客流加載與重新分配，并對CML模型進行了改進，通過改進模型能夠識別關鍵站點，深入分析北京城市軌道交通網絡脆弱性。在此基礎上，Lu等[46]使用改進的CML模型對級聯(lián)失效中的重要影響因素進行了量化，對軌道交通網絡的脆弱性進行建模。除了在交通網絡與電力網絡的應用之外，社交網絡[47]、金融網絡[48]等真實網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象也得到了廣泛的研究，取得了較多的進展。

2.2 多層網絡級聯(lián)失效建模

目前大多數(shù)研究中，涉及的網絡都是獨立的單層網絡，其中所有的連邊只具有單一屬性。然而，在現(xiàn)實生活中，僅使用單層網絡難以準確描述一些復雜的現(xiàn)實網絡，例如，在社交網絡中，每個人擁有不同類型的社交關系，如朋友、同事、親人等，從而抽象出不同的社交網絡層[49]。同樣的，在城市交通網絡中，存在著多種不同類型的交通工具滿足人們的出行需求，不同類型的交通工具可以被抽象為不同的交通網絡層[50]。圖2展示了按照3種不同類型的交通工具對馬德里的交通網絡進行了3層劃分[51]。因此，為了更好地研究復雜系統(tǒng)，多層網絡結構被引入到復雜系統(tǒng)的研究中。通過引入多層網絡，研究者可以更全面地考慮網絡中的多個層面和屬性，從而更好地理解和分析復雜系統(tǒng)的行為和功能。

在現(xiàn)實生活中，存在著大量相互依存的多層網絡，與孤立的單層網絡相比，這些多層網絡在面對蓄意攻擊或隨機擾動時會更加脆弱，具有較低的魯棒性[52]。例如，由電力網絡與通信網絡組成的多層網絡中，現(xiàn)代電力系統(tǒng)依賴通信網絡進行控制，而通信網絡則需要電力網絡來維持自身正常的運行，一旦其中一層網絡受到干擾，將對整個多層網絡的穩(wěn)定性造成干擾[53]。Vespignani[54]認為，在多層網絡中，級聯(lián)失效現(xiàn)象的傳播具有極大的毀滅性，評估其對整個網絡的影響具有極大的研究價值。當一個或多個節(jié)點或邊在一個層面上失效時，這些失效可能會擴散到其他層，引發(fā)更廣泛的級聯(lián)失效。這種級聯(lián)失效的傳播可能導致整個多層網絡的系統(tǒng)性崩潰，造成嚴重的后果。

盡管多層網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象已經引起了許多研究者的關注，但在該問題上尚未形成統(tǒng)一的標準和定義。直到2010年，Buldyer等[55]提出了一個基于滲流模型的框架，用于描述相互連接的雙層網絡在面對級聯(lián)失效時的魯棒性。在該模型中，作者認為組成雙層網絡的網絡A、B需要有相同的節(jié)點數(shù)N，并且兩個網絡中的所有節(jié)點之間都存在一對一的連邊，即在該模型中，網絡A的每個節(jié)點都依賴于網絡B中的節(jié)點，反之亦然。當A層中的一組節(jié)點受到干擾故障時，與這些受到干擾節(jié)點相鄰的B層節(jié)點也會受到影響發(fā)生故障。同時，在A層中，只有最大連通子圖中的節(jié)點能夠保證正常工作，其余節(jié)點全部失效。接下來，在B層中，最大連通子圖中的節(jié)點保持正常工作而剩余節(jié)點全部失效。交替分析A層和B層，并迭代該算法，可以模擬級聯(lián)失效現(xiàn)象從一層傳播到另一層的過程。圖3展示了雙層網絡中級聯(lián)失效的具體過程。

在此基礎上，Buldyer團隊中的Gao等[56]、Shao等[57]將模型擴展到多個網絡相互依存的多層網絡（network of network）與部分相互依存的雙層網絡。他們發(fā)現(xiàn)，在依賴程度較低的雙層網絡面對級聯(lián)失效現(xiàn)象時，極易受到一階滲流相變解體的影響。同一團隊的Li等[58]通過研究發(fā)現(xiàn)，在多層網絡中，相互依存的節(jié)點之間的距離處于中間范圍時，多層網絡的脆弱性降低，故障更容易在網絡中傳播，從而導致級聯(lián)失效現(xiàn)象的發(fā)生。Baxter等[59]研究了級聯(lián)失效導致網絡發(fā)生雪崩這一現(xiàn)象，確定了導致雪崩現(xiàn)象發(fā)生的臨界情況的節(jié)點群，這些集群決定了級聯(lián)失效對網絡的破壞情況以及剩余網絡的統(tǒng)計特性。Liu等[60]考慮滲流誘導下的多層網絡的級聯(lián)失效現(xiàn)象，并揭示了影響多層網絡面對級聯(lián)故障魯棒性的因素，同時提供了一種設計或控制系統(tǒng)以達到期望魯棒性水平的情況。Han等[61]將單層網絡中的節(jié)點與邊混合動態(tài)模型擴展到多層網絡中，并對其進行改進，模擬結果表明多層網絡的魯棒性與容量呈正相關，而與負載呈負相關。通過這些研究，能夠更好地理解多層網絡中級聯(lián)失效的傳播機制和影響因素，進一步分析多層網絡的性質。

同樣的，學者們也廣泛研究了現(xiàn)實生活中多層網絡的級聯(lián)失效現(xiàn)象。Rosato等[62]以意大利電力網絡與通信網絡組成的多層網絡為基礎，分別研究了因電力網絡與通信網絡受到干擾所引發(fā)的級聯(lián)失效現(xiàn)象對多層網絡性能造成的退化。他們發(fā)現(xiàn)在兩個網絡之間存在適度耦合的情況下，電力網絡故障對通信網絡的影響會顯著放大。Zhang等[63]研究了由城市軌道交通網絡、公交網絡與其他交通方式網絡組成的多層交通網絡。他們考慮了在不同負載條件下不同故障產生的級聯(lián)失效現(xiàn)象對多層交通網絡的影響，并構建了一個穩(wěn)定性分析模型用于分析級聯(lián)失效情況下多層網絡的穩(wěn)定性。通過多個角度的分析，揭示了多層交通網絡的穩(wěn)定性特征。Naeini等[64]將城市基礎設施網絡抽象為多層網絡，并提出了一種基于馬爾科夫鏈的框架來模擬多層網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象。該框架能描述兩層網絡之間的相互依賴性，以預測它們組成的多層網絡對級聯(lián)故障的恢復能力，并描述相互依賴對系統(tǒng)可靠性的影響。綜上所述，學者們通過對現(xiàn)實生活中多層網絡的級聯(lián)失效現(xiàn)象進行研究，為理解多層網絡的魯棒性和穩(wěn)定性提供了重要的見解。這些研究成果有助于指導設計和管理具有高可靠性的多層網絡，以應對可能發(fā)生的級聯(lián)失效風險。

目前用于描述級聯(lián)失效現(xiàn)象的模型存在一定的局限性，無論是應用于單層網絡還是多層網絡的模型，都無法有效分析更加復雜的結構。隨著科技的高速發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多超級復雜巨系統(tǒng)，現(xiàn)有研究的深度遠遠不足。因此，有必要引入更多交叉學科領域的技術用于研究超級復雜巨系統(tǒng)中級聯(lián)失效現(xiàn)象。例如，借鑒融合系統(tǒng)科學中的多系統(tǒng)理論，將系統(tǒng)分解為多個子系統(tǒng)，并研究子系統(tǒng)之間的相互作用和影響。通過對子系統(tǒng)之間的耦合關系和交互作用進行分析和建模，可以深入研究級聯(lián)失效現(xiàn)象。這些新穎的技術可以為級聯(lián)失效建模提供更加精細和準確的方法與手段，有效地分析超級復雜巨系統(tǒng)的魯棒性與安全性。此外，失效建模需要針對不同的網絡對象進行研究，同樣很難找到一個普適性的、大一統(tǒng)的模型進行表示。因此，需要更多的研究去關注影響復雜網絡級聯(lián)失效的內部核心關鍵要素及其分解和交互作用。通過對這些要素進行建模和表征，以滿足實際應用的需求。

2.3 級聯(lián)失效對網絡的影響分析

級聯(lián)失效對網絡的影響不僅在于其潛在的破壞性，更重要的是其對網絡整體魯棒性的挑戰(zhàn)。網絡魯棒性是指網絡系統(tǒng)對于各種內部或外部干擾、攻擊或故障的抵抗能力，即網絡在面對各種挑戰(zhàn)時能夠保持正常運行的能力[65]。在網絡科學中，魯棒性是一個關鍵的概念，它直接關系到網絡的穩(wěn)定性、可靠性和安全性。眾多學者已對在面對級聯(lián)失效情境下網絡魯棒性的問題展開了深入研究。Schneider等[66]考慮到級聯(lián)失效的特性，提出了一種創(chuàng)新的復雜網絡魯棒性度量方法，用于評估網絡在面對級聯(lián)失效條件下的整體魯棒性。該研究將網絡的魯棒性定義為η，其表達式見式（4）：

其中T是基于級聯(lián)失效攻擊需要的總輪數(shù)，Ssum為網絡最大連通子圖的累計大小，t為級聯(lián)失效的攻擊次數(shù)，N為整個網絡的總節(jié)點數(shù)。Ko等[67]提出了一種基于熵的方法，用于量化電力網絡在應對級聯(lián)故障時的魯棒性。Zhang等[68]在研究中專注于城市軌道交通網絡，基于網絡的拓撲結構和功能特征，采用兩種魯棒性指標，分別考察網絡邊數(shù)量的變化和地鐵網絡的運行效率變化。將這兩項指標綜合考量，提出了一個綜合的動態(tài)魯棒性指標，用于評估城市軌道交通網絡在級聯(lián)失效背景下的魯棒性表現(xiàn)。此外，周琴等[69]則通過模擬開發(fā)者協(xié)作網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象，利用相對最大連通子圖和網絡的剩余負載率兩個指標，從網絡結構和功能兩個方面來描述網絡的魯棒性特征。這些研究為深入理解級聯(lián)失效對網絡魯棒性的影響提供了重要的學術貢獻。

持續(xù)深入研究和評估級聯(lián)失效對網絡魯棒性的影響對確保網絡系統(tǒng)的穩(wěn)定運行和持續(xù)發(fā)展至關重要。只有不斷提升網絡的魯棒性水平，才能更好地保護網絡系統(tǒng)免受級聯(lián)失效帶來的各種威脅和風險的侵害，確保網絡在面臨挑戰(zhàn)時能夠穩(wěn)健應對，持續(xù)發(fā)揮其重要作用。未來技術的不斷發(fā)展將為網絡魯棒性研究帶來新的機遇和挑戰(zhàn)。人工智能、物聯(lián)網和區(qū)塊鏈等新技術的應用將為網絡系統(tǒng)設計和運行方式帶來革新，有助于更準確地分析網絡結構、預測潛在的級聯(lián)失效路徑，并實現(xiàn)智能化的網絡管理和應急響應。未來技術的推動也將促進跨學科合作，促使不同領域的專家共同探討級聯(lián)失效對網絡魯棒性的影響，推動網絡系統(tǒng)適應未來挑戰(zhàn)的發(fā)展和優(yōu)化。

3 級聯(lián)失效恢復策略

盡管在過去的近二十年中，級聯(lián)失效現(xiàn)象得到了廣泛的研究，但如何在級聯(lián)失效發(fā)生前制訂計劃以及減輕級聯(lián)效應的影響并預防系統(tǒng)的崩潰也成為了學界關注的重點[70]。近年來，來自不同領域的學者開始致力于制定策略，提出有意義的方法去解決上述問題。Motter[71]在2004年首次提出了一種削弱因級聯(lián)失效引起全局故障的策略，即在受到初始故障后，選擇性地移除某些節(jié)點和連邊，以大幅度減少級聯(lián)失效的規(guī)模。以本篇綜述為基礎，應對級聯(lián)失效的恢復策略大多是針對節(jié)點和連邊兩個方面制訂恢復策略，本節(jié)將回顧這兩種策略，從不同的角度去了解如何減輕級聯(lián)失效的影響并避免網絡崩潰。

3.1 減少過載

Liu等[72]提出了一種基于自愈機制的減輕由于過載引起的級聯(lián)失效的策略。作者引入了一種針對過載傳播的自愈模型，并在同質（ER隨機網絡）與異構（BA無標度網絡）網絡上研究了該模型在減輕級聯(lián)失效方面的恢復作用。結果表明，相似的恢復特性對不同的拓撲性質的網絡會產生不同的自愈效果。Zhang等[73]針對多層網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象進行了模擬研究，探討了每層網絡耦合的最佳范圍，即網絡分配給其他網絡的負載，以最大限度地提高多層網絡的魯棒性。Ouyang等[74]結合實際網絡以電力網絡為例，將網絡受到級聯(lián)失效的影響分為三個階段：抵抗階段、吸收階段和恢復階段，并提出了強化關鍵部件的容量、減少負載量等措施有效應對級聯(lián)失效現(xiàn)象的建議。

3.2 修復節(jié)點

Wang[75]提出了4種修復策略，分別為：對負載最高的節(jié)點進行緩解（MHL）；對最低負載的節(jié)點進行緩解[76]（MLL）；對那些鄰居節(jié)點故障更有可能觸發(fā)其自身故障的節(jié)點進行緩解（MHHC）和那些自身故障更有可能導致鄰居節(jié)點故障的節(jié)點進行緩解（MHC）。通過研究這4種策略對BA無標度網絡在面對級聯(lián)失效現(xiàn)象時提高網絡魯棒性的效率，作者認為在面對較大尺度的級聯(lián)失效現(xiàn)象時，MHL是最有效的方法，而在面對較小尺度的級聯(lián)失效現(xiàn)象時，MHHC和MHC比MHL與MLL更有作用。在此基礎上，Stippinger等[77]提出了一種在雙層網絡中的級聯(lián)失效恢復模型，旨在減輕系統(tǒng)中級聯(lián)失效所帶來的故障。該模型的思路為使用受影響節(jié)點鄰居節(jié)點新的連邊替換節(jié)點發(fā)生故障時失效的連邊。La rocca等[78]則是采用隨機概率將失效的節(jié)點重新連接到最大連通子圖中以恢復節(jié)點功能，并發(fā)現(xiàn)該策略在應用于平均度較低的網絡時最為有效，網絡對于級聯(lián)失效的魯棒性較強。唐亮等[79]構建了節(jié)點故障概率隨故障次數(shù)增加而逐漸降低的故障概率函數(shù)，考慮節(jié)點具有恢復和重復失效等特點，設計了概率恢復與階段恢復兩種節(jié)點恢復策略，建立了節(jié)點恢復條件下的級聯(lián)失效模型。

隨著云計算、大數(shù)據、人工智能等技術的不斷發(fā)展，未來的系統(tǒng)將變得越來越復雜和龐大，級聯(lián)失效的風險也將隨之增加。因此，針對級聯(lián)失效的恢復策略需要不斷地進行優(yōu)化和升級，在未來與強化學習、自動控制等不同學科交叉融合，不斷地研究和開發(fā)新的技術和工具，以適應不斷變化的系統(tǒng)環(huán)境和業(yè)務需求。此外，復雜系統(tǒng)的恢復過程涉及元素眾多，是一個真正意義上的大規(guī)模、強關聯(lián)系統(tǒng)優(yōu)化問題。在模型特別是算法方面，仍然存在大量的研究挑戰(zhàn)。同時，結合大模型，實現(xiàn)對失效的快速恢復也將成為一個重要的研究領域。

4 總結與展望

級聯(lián)失效是復雜網絡動力學研究方向中最重要的研究內容之一，它揭示了擾動如何引發(fā)進一步的失效，并可能導致全局規(guī)模的突變。對級聯(lián)失效的主要理論與應用進行梳理后，本文對其發(fā)生機理進行了總結與分析。此外，本文著重介紹了三類常用的單層網絡級聯(lián)失效模型，并對這些模型在真實網絡中的應用進行了分析。同時，本文明確了對多層網絡進行研究的重要性，指出多層網絡相較于單層網絡更為脆弱，發(fā)生級聯(lián)失效的后果更加嚴重，并對多層網絡中的級聯(lián)失效模型進行了總結。本文還總結了級聯(lián)失效對網絡特別是魯棒性的影響。在應對級聯(lián)失效的恢復策略方面，本文將目前的研究工作分為了減少過載與修復節(jié)點兩種不同側重點的恢復策略。結合已有研究進展，從以下方面提出對未來研究的建議：

（1）盡管現(xiàn)有的級聯(lián)失效模型在理論上具有一定的可行性和實用性，但它們都缺乏精細的建模，研究模型偏理想化，因此需要更加貼近實際情況的級聯(lián)失效模型?？梢曰跀?shù)據分析和深度學習等技術，在多重數(shù)據的驅動下，建立適用于不同場景的更智能化、精細化級聯(lián)失效模型。

（2）現(xiàn)有的對多層網絡中級聯(lián)失效的研究普遍集中在雙層的相互依存網絡，很少有學者對兩層以上的多層網絡進行研究與分析。此外，對多層網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象進行建模時，學者普遍使用滲流理論中的模型進行仿真計算，極少有學者從多層網絡中故障產生與傳播機制出發(fā)來建立級聯(lián)失效模型。因此，在未來的研究中，需要建立更貼近實際情況的級聯(lián)失效模型，以更好地模擬多層網絡甚至更復雜的系統(tǒng)中的故障傳播過程。

（3）針對級聯(lián)失效的恢復策略的研究仍處于起步階段，需要進一步改進，并需發(fā)展準確、高效的模型和算法以提高網絡的魯棒性和可靠性，以應對潛在的系統(tǒng)崩潰和災難性的影響。如結合多智能體控制的方法，可以訓練針對所有網絡更加普適的級聯(lián)失效恢復策略，甚至可以利用該技術設計出具有更強魯棒性的復雜網絡。

隨著復雜網絡理論的不斷完善和發(fā)展，針對不斷出現(xiàn)的問題，進一步改進和發(fā)展準確、高效的模型和算法對于理解和應對復雜網絡中的級聯(lián)失效現(xiàn)象至關重要。這將有助于提高網絡的魯棒性和可靠性，以應對潛在的系統(tǒng)崩潰和災難性的影響。同時也希望引導讀者關注一些與該領域密切相關的問題和難題，相信這些問題很可能會迅速引起專家學者們的關注，并得到有效地解決。

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