繆茂秋

（南京天京建筑工程監(jiān)理事務(wù)所，江蘇南京 210004）

0 引言

近年來，人工凍結(jié)法在地下空間開發(fā)利用中得到越來越多的應(yīng)用。由于人工凍土的溫度場分布理論是凍結(jié)法理論的基礎(chǔ)之一，所以對于溫度場的研究非常重要，各國學(xué)者也對單排凍結(jié)管的溫度場進(jìn)行了深入的研究，比如蘇聯(lián)的特魯巴克公式[1]、巴霍爾金公式[2]，美國的Sanger &Sayles 公式[3]，日本建設(shè)機(jī)械化協(xié)會總結(jié)的公式[4]，以及中國的“成冰公式”等[5]。研究和實際工程應(yīng)用表明，巴霍爾金溫度場計算理論是上述各種溫度場理論中計算結(jié)果最為精確的[6]。

然而，目前的研究主要針對溫度場的靜態(tài)分析，而并沒有進(jìn)行瞬態(tài)分析。本文研究了通過巴霍爾金公式計算得到的瞬態(tài)溫度場，并與通過數(shù)值計算得到的實際溫度場進(jìn)行比較，來探討影響巴霍爾金公式準(zhǔn)確性的因素，以期為巴霍爾金公式在實際工程建設(shè)中的應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

1 巴霍爾金凍結(jié)溫度場

巴霍爾金凍結(jié)溫度場模型是以凍結(jié)管成直線布置為基礎(chǔ)的，以經(jīng)典的單排管凍結(jié)為例，其凍結(jié)模型示意圖如圖1 所示。在地層結(jié)冰溫度為0 ℃的假設(shè)條件下，凍土內(nèi)部溫度分布的計算公式可以表示為：

圖1 巴霍爾金經(jīng)典單排管凍結(jié)示意圖

式（1）中，t(x, y)表示凍結(jié)區(qū)域內(nèi)任一點的溫度，℃；tCT表示凍結(jié)管內(nèi)鹽水溫度，℃；r0表示凍結(jié)管半徑，m；ξ 表示凍土厚度，m；l表示凍結(jié)管間距，m。

為了便于描述，在圖1 凍結(jié)壁上選取3 個特征面：軸面（Ⅰ-Ⅰ），即y=0 的面；主面（Ⅱ-Ⅱ），即x=0 的面；界面（Ⅲ-Ⅲ），即x=l/2 的面。

2 單排管凍土溫度場數(shù)值模擬

為了對單排管巴霍爾金公式進(jìn)行瞬態(tài)分析，須知道某一時刻凍土帷幕的厚度。由凍土帷幕的厚度，可推算得到凍結(jié)管的溫度場。因此，首先采用數(shù)值模擬得到不同時刻凍土帷幕的厚度。由于Abaqus 軟件在熱力學(xué)計算中可以清晰反映凍結(jié)壁的瞬態(tài)溫度場，并與實際的分析結(jié)果較為吻合，故采用Abaqus 作為數(shù)值模擬的軟件。模型以及參數(shù)介紹如下：

1）模型為寬20 m 的矩形平板，在中間豎直線上以1 m 為間距建立3 根凍結(jié)管模型，凍結(jié)管直徑采用工程中常用的0.108 m，模型如圖2 所示；2）初始土層溫度為18 ℃，凍結(jié)管表面施加隨時間變化的荷載，10 天降到-26 ℃，14 天降到-30 ℃，上下邊緣設(shè)為絕熱邊界，左右邊緣為固定溫度18 ℃；3）土體材料相關(guān)參數(shù)如表1 所示；4）單元采用4 節(jié)點熱分析單元DC2D4；5）計算時間為60 天。

圖2 數(shù)值模型示意圖

表1 土體材料參數(shù)

3 巴霍爾金公式與數(shù)值模擬對比分析

3.1 凍結(jié)壁厚度

通過數(shù)值計算，可得到凍土帷幕厚度隨時間的發(fā)展如圖3所示。根據(jù)計算結(jié)果，代入公式（1）就可以得到對應(yīng)時間的巴霍爾金公式的溫度場。

圖3 凍結(jié)壁厚度發(fā)展曲線

對于界面區(qū)凍土厚度的發(fā)展，數(shù)值計算結(jié)果與巴霍爾金公式的計算結(jié)果比較見圖4。

圖4 界面區(qū)凍土厚度發(fā)展曲線對比

可以看出，在凍結(jié)早期巴氏公式的計算結(jié)果要大于數(shù)值模擬結(jié)果。隨著時間的增加，二者之間的差值逐漸變小。其原因是，對于巴氏公式來說，凍土帷幕是一條平行于凍結(jié)管軸線的直線，主要參考主面的凍土厚度。而實際凍結(jié)過程中，主面凍結(jié)厚度在凍結(jié)初期要比界面發(fā)展得快，所以對于界面的凍土厚度來說，巴氏公式的計算結(jié)果要大于數(shù)值模擬的結(jié)果。

3.2 主面溫度分析

在單排凍結(jié)管的主面上選取等距的三個計算點，距離凍結(jié)管中心的距離分別為0.5 m，1.0 m 和1.5 m，分別比較在數(shù)值模擬和巴氏公式計算條件下溫度隨時間的變化關(guān)系，計算結(jié)果如圖5—圖7 所示。

圖5 主面上距離凍結(jié)管0.5 m 處溫度發(fā)展曲線

圖6 主面上距離凍結(jié)管1.0 m 處溫度發(fā)展曲線

圖7 主面上距離凍結(jié)管1.5 m 處溫度發(fā)展曲線

由圖5—圖7 可以看出，當(dāng)觀測點處于正溫區(qū)時，數(shù)值模擬結(jié)果同巴氏公式計算結(jié)果偏差較大。初始偏差最大，隨著時間的增加，偏差減小直至接近于一個穩(wěn)定值。初始階段誤差較大的原因主要是，巴氏溫度場的推導(dǎo)是假設(shè)計算點的溫度處于負(fù)溫區(qū)。故當(dāng)計算點位于正溫區(qū)時，誤差很大。當(dāng)計算點位于負(fù)溫區(qū)后，隨著時間的延長，數(shù)值模擬與巴氏公式計算結(jié)果之間的差值基本趨于一個穩(wěn)定值。通過比較以上3 圖可以發(fā)現(xiàn)，計算點距離凍結(jié)管越遠(yuǎn)，穩(wěn)定偏差就越小。

3.3 界面溫度分析

在單排管界面上選取3 個計算點，距離凍結(jié)管軸線的距離分別為0.0 m，0.864 m 和1.404 m。選取這三點的原因可參照圖1，當(dāng)凍結(jié)圓柱半徑分別為0.5 m，1.0 m 和1.5 m 時，界面區(qū)凍土厚度分別為0.0 m，0.864 m 和1.404 m。分別比較在數(shù)值模擬和巴氏公式計算條件下溫度隨時間的變化關(guān)系，計算結(jié)果如圖8—圖10 所示。

圖8 界面上距離凍結(jié)管軸線0.0 m 處溫度發(fā)展曲線

圖9 界面上距離凍結(jié)管軸線 0.864 m 處溫度發(fā)展曲線

圖10 界面上距離凍結(jié)管軸線1.404 m 處溫度發(fā)展曲線

觀察以上三圖可以得到與主面類似的結(jié)論，即當(dāng)計算點處于正溫區(qū)時，數(shù)值模擬結(jié)果同巴氏公式的計算結(jié)果偏差較大。當(dāng)計算點位于負(fù)溫區(qū)后，數(shù)值模擬與巴氏公式計算結(jié)果之間的差值基本趨于一個穩(wěn)定值。并且計算點距離凍結(jié)管軸線越遠(yuǎn)，數(shù)值結(jié)果同巴氏結(jié)果之間的差值就越小。

4 誤差分析

通過以上計算可以發(fā)現(xiàn)，無論計算點處于何位置，數(shù)值結(jié)果與巴氏公式計算結(jié)果之間的誤差最終都會趨向于一個穩(wěn)定值。接下來主要探討影響這個穩(wěn)定值大小的因素?？紤]凍結(jié)溫度場的熱傳導(dǎo)控制方程：

根據(jù)熱傳導(dǎo)公式可以看出土體的導(dǎo)熱過程與熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱有較大關(guān)系。同時，凍結(jié)管之間的間距也會對凍土溫度場的分布產(chǎn)生較大的影響，故接下來將探討以上幾個方面對公式的影響。

4.1 熱傳導(dǎo)系數(shù)

取主面上距離凍結(jié)管中心為1.0 m 處的計算點，凍結(jié)管的間距取為1.0 m，土體的密度及比熱采用表1 所給的值?？紤]以下三種情況：正常土體導(dǎo)熱系數(shù)λ，較小的導(dǎo)熱系數(shù)0.1λ，以及較大的導(dǎo)熱系數(shù)10λ（λ 為表1 中的導(dǎo)熱系數(shù)）。分別比較以上三種情況下數(shù)值模擬與巴氏公式的計算結(jié)果，如圖11—圖13 所示。

圖11 熱傳導(dǎo)系數(shù)為0.1λ 溫度發(fā)展曲線

圖12 熱傳導(dǎo)系數(shù)為λ 溫度發(fā)展曲線

圖13 熱傳導(dǎo)系數(shù)為10λ 溫度發(fā)展曲線

可以清楚地看出，隨著時間延長，數(shù)值模擬與巴氏公式之間的差值逐漸變小。其中熱傳導(dǎo)系數(shù)越大，二者之間的差值就越小。在60 d，導(dǎo)熱系數(shù)為10λ 時，穩(wěn)定偏差值為0.5 ℃；導(dǎo)熱系數(shù)為0.1λ 時，穩(wěn)定偏差值為6.8 ℃。故熱傳導(dǎo)系數(shù)是影響巴氏公式產(chǎn)生偏差的原因之一。

4.2 凍結(jié)管間距

選取主面上距離凍結(jié)管中心為1.0 m 處的計算點，分別考慮凍結(jié)管間距為0.5 m，1.0 m 和1.5 m 三種情況，其余參數(shù)參照表1。分別比較以上三種情況下數(shù)值模擬與巴氏公式的計算結(jié)果，如圖14—圖16 所示。

圖14 凍結(jié)管間距為0.5 m 溫度發(fā)展曲線

圖15 凍結(jié)管間距為1.0 m 溫度發(fā)展曲線

圖16 凍結(jié)管間距為1.5 m 溫度發(fā)展曲線

可以看出，隨著時間的增加，數(shù)值模擬與巴氏公式之間的差值在逐漸變小。其中，凍結(jié)管之間的間距越小，二者之間的差值就越小。在60 d，凍結(jié)管間距為0.5 m 時，穩(wěn)定偏差值為0.8 ℃；導(dǎo)熱系數(shù)為1.5 m 時，穩(wěn)定偏差值為2.0 ℃。故凍結(jié)管間距也是影響巴氏公式產(chǎn)生偏差的原因之一。

4.3 土體密度

由熱傳導(dǎo)公式（3）可以看出，土體密度和土體比熱對熱傳導(dǎo)的影響是類似的。故在本文中僅考慮土體密度的影響。選取主面上距離凍結(jié)管中心為1.0 m處的計算點，考慮以下三種情況：正常土體密度ρ，較小的導(dǎo)熱系數(shù)0.1ρ，以及較大的導(dǎo)熱系數(shù)10ρ。其他參數(shù)的選取參照表1，分別比較以上三種情況下數(shù)值模擬與巴氏公式的計算結(jié)果，如圖17—圖19 所示。

圖17 密度為0.1ρ 溫度發(fā)展曲線

圖18 密度為ρ 溫度發(fā)展曲線

圖19 密度為10ρ 溫度發(fā)展曲線

從以上三圖可以看出隨著時間的增加，數(shù)值模擬與巴氏公式之間的差值在逐漸變小。其中，土體密度越小，二者之間的差值就越小。在60 d，土體密度為0.1ρ 時，穩(wěn)定偏差值為0.5 ℃；導(dǎo)熱系數(shù)為10ρ 時，穩(wěn)定偏差值為6.9 ℃。故土體密度也是影響巴氏公式產(chǎn)生偏差的原因之一。

5 結(jié)語

總體來說，對于負(fù)溫區(qū)巴霍爾金單排管公式具有較好的精度，能夠滿足工程上的需求。并且當(dāng)測點遠(yuǎn)離凍結(jié)管時，誤差較小。影響誤差的主要因素有土體的熱傳導(dǎo)系數(shù)、凍結(jié)管之間的間距、土體的密度及比熱。當(dāng)土體的熱傳導(dǎo)系數(shù)變大時，數(shù)值模擬與巴氏公式間的誤差變?。划?dāng)凍結(jié)管之間的間距變小時，數(shù)值模擬與巴氏公式間的誤差變??；當(dāng)土體的密度、比熱容變小時，數(shù)值模擬與巴氏公式間的誤差變小。