? 江蘇省江陰市河塘中學(xué) 袁徐豐

在幾何中,面積是一個(gè)重要的概念,用于量化平面圖形所占據(jù)的空間大小.對于規(guī)則圖形,我們可以簡單地使用相應(yīng)的公式計(jì)算出其面積,例如長方形的面積等于長度乘寬度,三角形的面積等于底邊乘高除以2.然而,當(dāng)面對不規(guī)則圖形時(shí),這些簡單的公式就無法直接適用.不規(guī)則圖形指沒有明確規(guī)則形狀的圖形,如彎曲的邊界線、多邊形的組合等.這些圖形的面積無法通過簡單的公式計(jì)算得出,面積的計(jì)算變得更為復(fù)雜和困難,需要采用特定的方法和技巧來解決.

對于有固定公式的規(guī)則圖形的面積,例如扇形,圓等,可以直接應(yīng)用公式求解.

圖1

解：如圖2所示,連接BC.

圖2

由∠BAC=90°,得BC為⊙O的直徑.

在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=AC=2,所以

總結(jié)：在該題中,扇形是規(guī)則圖形,其面積有具體的公式可以應(yīng)用,所以該題可以直接利用公式求解.先通過勾股定理求得扇形的半徑,然后根據(jù)扇形的面積公式,即可求出陰影部分面積.

下面將介紹幾種方法,用于解決圓中不規(guī)則圖形面積問題.

1 和差法

和差法是一種用于計(jì)算不規(guī)則圖形面積的常用方法.如果一個(gè)圖形可以分解為若干個(gè)簡單的圖形,如矩形、三角形或者扇形等,那么該圖形的面積可以通過計(jì)算這些簡單圖形的面積的和或差來得到.和差法可以分為直接和差法和間接和差法.對于圖形構(gòu)成比較簡單的,可以直接應(yīng)用和差法進(jìn)行分析求解.對于較為復(fù)雜的圖形,需要借助輔助線,將復(fù)雜圖形變?yōu)閹讉€(gè)簡單圖形的組合,然后才能運(yùn)用和差法進(jìn)行運(yùn)算.

1.1 直接和差法

不需要借助輔助線,直接利用簡單圖形進(jìn)行面積計(jì)算.

例1如圖3,點(diǎn)A,B,C在⊙O上,OB=4,∠C=45°,則圖中陰影部分的面積是______．(結(jié)果保留π)

圖3

解：由∠C=45°,根據(jù)圓周角定理,可得∠AOB=90°.

總結(jié)：對圖形進(jìn)行分析,可以看出該不規(guī)則圖形可以通過扇形的面積與三角形的面積相減得到,故直接運(yùn)用和差法S陰影=S扇形AOB-S△AOB進(jìn)行計(jì)算.

1.2 間接和差法

該方法需借助輔助線,對圖形進(jìn)行分析.

例2如圖4,已知⊙O的半徑是4,點(diǎn)A,B,C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分的面積為( ).

圖4

解：如圖5所示,連接OB和AC,交于點(diǎn)D.

圖5

∵圓的半徑為4,

∴OB=OA=OC=4.

又四邊形OABC是菱形,

∴∠COD=60°,∠AOC=2∠COD=120°.

總結(jié)：該題需要借助輔助線求解.如果不作輔助線,并不能應(yīng)用和差法.思路為連接OB,AC,根據(jù)菱形和直角三角形的性質(zhì),首先求出AC的長和∠AOC的度數(shù),然后求出扇形AOC的面積及菱形ABCO的面積,最后由S扇形AOC-S菱形ABCO即可求得陰影部分的面積.

例3如圖6,∠AOB=90°,∠B=30°,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)A和點(diǎn)C,交OB于點(diǎn)D,若OA=3,則陰影部分的面積為______.

圖6

解：連接OC,如圖7所示.

圖7

∵OA=OC,∠OAB=∠AOB-∠B=90°-30°=60°,

∴△AOC為等邊三角形.

∴∠AOC=60°.

總結(jié)：該題與例3相比,難度較高.多次應(yīng)用了和差法.

2 割補(bǔ)法

割補(bǔ)法是改變陰影中某一部分圖形的位置,將原有的不規(guī)則圖形重新組合成一個(gè)簡單圖形.計(jì)算方法:S陰影=S組成圖形.

例4如圖8所示,在⊙O中,直徑AB=2,AC切⊙O于點(diǎn)A,BC交⊙O于點(diǎn)D,若∠C=45°,則陰影部分的面積為______.

圖8

解：如圖9,連接AD.

圖9

∵∠C=45°,AC切⊙O于點(diǎn)A,

∴∠BAC=90°,△ABC為等腰直角三角形.

又∠ADB=90°,

∴AD=BD.

∴弓形BD的面積=弓形AD的面積.

∴陰影部分的面積=S△ACD.

∵AB=2,

總結(jié)：在割補(bǔ)法中,選取面積并找出相等面積是重難點(diǎn),需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中充分掌握基本知識.本題考查的是圓的性質(zhì)及切線和弓形面積的知識.在該題中,充分利用圓的基礎(chǔ)知識,運(yùn)用圓的性質(zhì)找出與陰影部分相等面積的一部分是關(guān)鍵.

3 平移法

平移法指不改變圖形的大小和形狀,通過平移、旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ的方式,解決不規(guī)則圖形面積問題.

例5如圖10,直徑為4 cm的圓O1,平移5 cm到圓O2,則圖中陰影部分的面積為( ).

圖10

A.20 cm2B.10 cm2C.25 cm2D.16 cm2

解：通過平移操作,把⊙O2的半圓向左平移至圓O1位置.則此時(shí)不規(guī)則的陰影面積變成了一個(gè)矩形的面積.因此陰影部分的面積=5×4=20( cm2).

總結(jié)：圖形的旋轉(zhuǎn)、對稱和平移,都是常用的圖形變換方式.利用平移法,可以將不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形.

求解圓中不規(guī)則圖形的面積,我們可以運(yùn)用和差法、割補(bǔ)法以及平移法.在實(shí)際解題過程中,具體選取何種方法要從題目本身出發(fā).學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)生活中,要充分掌握數(shù)學(xué)中的幾何知識,并不斷培養(yǎng)的轉(zhuǎn)化思維和分析思維,才能提高數(shù)學(xué)解題能力.Z