? 西安交通大學(xué)蘇州附屬初級中學(xué) 馮 麗

數(shù)學(xué)變換方法是研究和解決數(shù)學(xué)問題時采取迂回手段達到目的的一種方法,也是進行理性思維的有效手段.由于數(shù)學(xué)變換方法具有抽象性、邏輯性和辯證性等特性,所以在學(xué)科研究的各個領(lǐng)域得到了充分的運用.常見的圖形變換主要有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)和相似等,巧抓問題突顯的特征,利用數(shù)學(xué)變換進行突破,是解答數(shù)學(xué)中考壓軸題的常用手段.

1 抓住“最值”,用平移突破

在解決涉及二次函數(shù)的動點問題時,常常會出現(xiàn)幾何圖形面積最值的問題.如何確定動點的位置,是解決此類問題的關(guān)鍵所在,也是難點之處.解決此類問題常常利用函數(shù)圖象中的“最值”問題,考慮使用平移變換,化動為靜,達到解題的目的.

圖1

圖2

2 抓住“特殊角”,構(gòu)造相似(或全等)突破

在解決一些平面幾何壓軸題時,問題中往往會出現(xiàn)一些比較特殊的角度,如45°,60°或者135°,我們需要根據(jù)具體的條件將這些角進行轉(zhuǎn)化,從而形成特殊的圖形,便于解答問題.

例2如圖3,已知AC,BD為四邊形ABCD的對角線,BC=2,CD=2AC,∠DCA=60°,∠DAB=135°,試求線段BD長度的最大值.

圖3

閱讀題目,發(fā)現(xiàn)有特殊角135°,通常情況下出現(xiàn)135°要么將其分成90°和45°,要么將其鄰補角補充出來.針對本題又該如何處理呢?根據(jù)題意可判斷∠DAC=90°,而BC長又為定值,由此判斷點A的軌跡是圓,于是找到解決問題的突破口.如圖4,取△ACB的外心O,同時構(gòu)造△EDC∽△OAC,從而找到定長的折線段D-E-O-B.當(dāng)點D,E,O,B共線時,BD取得最大值[1].

圖4

再如,在正方形ABCD中,點E在邊BC上運動,點F在邊DC或CB上運動.如圖5,若點F在邊DC上,已知∠EAF=45°,連接EF,求證:EF=BE+DF.

圖5

該問題中出現(xiàn)的特殊角為45°,動態(tài)的45°很難為我們所用,此時可以考慮通過構(gòu)造全等三角形進行解答.如圖6所示,延長CD至點G,使DG=BE,連接AG,可證明得到△ADG≌△ABE(SAS),從而容易得出結(jié)論.

圖6

3 抓住“模型”,用旋轉(zhuǎn)突破

在解決一些動點問題的過程中,有時很難直接通過計算解答,需要認真研究動點存在的軌跡,確定“模型”,如“隱圓”“胡不歸”“阿氏圓”等,從模型特點入手建立等量關(guān)系即可得到答案[2].

圖7

根據(jù)題意,首先確定點B′的位置是最關(guān)鍵的.在動態(tài)問題中找到不動的條件,發(fā)現(xiàn)BE的長度沒有變化,故可以判斷題目中存在“隱圓”模型,即點B′在以點E為圓心,以BE為半徑的圓上,再判斷出點G在點A右側(cè)過點A與AD垂直且等長的線段上,進而得出EF最大時,B′G最小,即可求出答案.整個問題在處理上首先確定兩個動點存在的位置,建立模型,從而順利解答.

4 抓住“規(guī)律”,用歸納突破

在日常教學(xué)中,我們經(jīng)常會遇到一些比較繁雜的問題,這類問題不能僅通過計算得到答案,往往需要通過觀察、分析、歸納、概括、演算、判斷等一系列探究活動,才能得到問題的結(jié)論,這類問題也就是我們常說的“規(guī)律探究”問題.這類問題,因其獨特的規(guī)律性和探究性,重點考查學(xué)生的分析與歸納能力[3].

圖8

規(guī)律性探究問題常常是由特殊結(jié)論推出一般性結(jié)論的合情推理,它對思維能力的要求比較高,包括觀察、實驗、類比、想象、猜測及驗證等思維形式.有些問題有時候較難用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)說明推理進程,在很大程度上依賴于不完全歸納法,對能力的要求較高[4].

5 抓住“一般性”,用特殊值突破

在遇到一些整式求值問題時,由于涉及到的單項式具有普遍性,因此在求值過程中可以考慮其“一般性”的特點,借助特殊值來突破.這種方法常常在填空題或者選擇題中用到,為解題帶來意想不到的效果.這類問題也考查了學(xué)生的特質(zhì)思維能力.

例5如圖9,有一束光線從左側(cè)射入后經(jīng)過點A(-2,1),恰好射到x軸上的一點B(2,0),反射后經(jīng)過點C(a,b),求a-4b的值．

圖9

針對此類問題,常規(guī)上根據(jù)反射性質(zhì),分別從點A、點C作垂線AG,CF(如圖10),構(gòu)造△AGB∽△CFB,結(jié)合比例線段求解.但是考慮到C是反射線BC上的任意一點,那么這點的橫坐標(biāo)a和縱坐標(biāo)b一定滿足同一個表達式.既然如此,那么點B的坐標(biāo)也滿足此條件,故將特殊點B(2,0)代入求值即可得到答案.

圖10

從上面幾個方面可以看出,抓住圖形的“特征”來解決問題,要緊扣圖形特點,將給定的圖形或已知條件進行集中轉(zhuǎn)化,形成簡單易解的情形,并運用它們的性質(zhì)展現(xiàn)圖形的內(nèi)涵與本質(zhì)屬性,將未知轉(zhuǎn)化為已知,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單、易操作的問題,從而可以體會到數(shù)學(xué)的美妙意境.