? 廣東省廣州市駿景中學 顧桂新

? 廣東省廣州市越秀區(qū)楊箕小學 趙毓君

初中數(shù)學深度學習是指在教師引領下,學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學學習過程[1].本課堂設計以學生為主體,教師進行引導,并采用探究式和問題式相結(jié)合的教學方法實施教學.首先通過嘗試猜想的學習經(jīng)驗總結(jié)歸納出研究相似變換運動軌跡的一般經(jīng)驗,獲得研究特殊圖形相似變換特征的方法,從知識層面上升到方法層面;然后以小組為單位,探究新的圖形相似變換運動軌跡的特征,引導學生在探究過程中,獲得研究相似變換運動軌跡的方法,并深入思考面對不同情況應采取的方案.

1 情境設置,以舊引新

學生已經(jīng)學習了“三角形”“全等三角形”“軸對稱”等知識點,如何從這些舊知識出發(fā),使學生想到相似變換運動軌跡呢?

問題1如圖1,在等腰直角三角形ABC中,D為斜邊BC上一點,若△ADE是以DE為斜邊的等腰直角三角形,求證:BD=CE.

圖1

設計意圖：通過證明BD=CE,明確“△ABD≌△ACE”,喚醒學生的知識儲備.

問題2在問題1的基礎上,添加條件“D為BC上動點”,求證:BD=CE.

2 通過嘗試,大膽猜想,導出主題

問題3在等腰直角三角形ABC中,D為斜邊BC上動點,若△DAE為等腰直角三角形(∠DAE為90°),當點D在線段BC上移動,如圖2,猜一猜:點E的運動軌跡是什么圖形?

圖2

設計意圖：在問題2的基礎上引出本節(jié)課主題“相似變換的運動軌跡”,同時通過問題2的知識鋪墊,引導學生從“特殊到一般”探究規(guī)律的方法,通過觀察,嘗試歸納點E的運動軌跡形狀.

在問題3中,學生通過取幾個不同D點,畫出相應的點E,再結(jié)合幾何畫板的演示(如圖3)和問題2的知識儲備,猜想:點E的運動軌跡在直線CE上,且長度等于BC,與BC夾角為90°.接下來就需要證明猜想的正確性.

圖3

3 問題驅(qū)動,突出思維之道

證明點E的運動軌跡在直線CE上,且長度等于BC,與BC夾角為90°,通常從“運動中的相等線段”的基本圖形尋找點D運動時,點E如何運動,而證明線段相等可以運用“全等三角形”解決.若沒有現(xiàn)成的“全等三角形”,就需要構(gòu)造,這是初中數(shù)學學習的難點.

問題4為什么點D在線段BC上運動時,點E運動的軌跡是線段呢?

設計意圖：由教師先引導學生構(gòu)造三角形,證明全等三角形,得到BD=CE,從而得到點D在BC運動時,點E在CE上運動.把證明運動軌跡是線段轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等.

解法：如圖4,連接CE,構(gòu)造△ACE,證明△ABD≌△ACE.

在環(huán)境檢驗實驗室數(shù)據(jù)處理的相關研究中，以往研究多注重在檢測結(jié)果的自動處理[10]．構(gòu)建檢測數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，通過測試系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫模塊、數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)模塊和綜合評價系統(tǒng)模塊，實現(xiàn)實驗室檢測環(huán)境數(shù)據(jù)的自動處理、匯總及分析評價系統(tǒng)，避免中間環(huán)節(jié)中數(shù)據(jù)人為記錄、匯總的誤差，提高了工作效率．高效、準確的環(huán)境檢測數(shù)據(jù)對認清環(huán)境現(xiàn)狀和相關部門的正確決策有重要意義．

圖4

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠1+∠3=90°,
∠2+∠3=90°.

∴∠1=∠2.

∵AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS).

∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°.

∴當點D在BC上運動時,點E的運動軌跡在直線CE上,且長度等于BC.

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.

上述解法是學生通過猜測、嘗試,在教師指導下得出的證明方法.啟發(fā)學生基于舊有經(jīng)驗,突破思維局限,創(chuàng)新研究思路,完成探索推理,概括獲得新知.

問題5如圖5,在等邊三角形ABC中,D為BC邊上動點,若△ADE為等邊三角形,當點D在線段BC上移動,點E的運動軌跡是什么圖形?

圖5

設計意圖：通過對特殊圖形的改變,對于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明,引導學生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并體會運動變化中不變的規(guī)律.

問題5的結(jié)論:因為點D在BC邊上運動,且△ADE是等邊三角形,所以,點E的運動軌跡在直線CE上,且長度等于BC,與BC夾角為120°.解法與問題4類似,只是在證明∠BAD=∠CAE時,用到60°角.

問題6如圖6,AB=AC,點D在BC上運動,AD=AE,∠BAC=∠DAE,當點D在線段BC上移動,點E的運動軌跡是什么圖形?

圖6

設計意圖：通過由特殊圖形到一般圖形的變換,對于每一種圖形結(jié)論的猜想與證明,引導學生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并體會運動變化中不變的規(guī)律.對問題4、問題5的解決,由淺入深、逐層遞增,學生已經(jīng)有解題思路,但需要深度加工,抽象出等腰三角形相似變換運動軌跡的規(guī)律.同時,變式也促進了學生的深度學習.

4 遷移應用,揭示問題本質(zhì)規(guī)律,觸類旁通

通過對等腰三角形相似變換運動軌跡的規(guī)律探究,得出規(guī)律:點D在線段BC上運動,點E的運動軌跡在直線CE上,且長度等于BC,與BC夾角等于等腰三角形底角的兩倍(即2∠C).

問題7如圖7,已知AB=AC,D是AC上一個動點,E,C位于BD兩側(cè),BD=BE,∠BAC=∠DBE=45°,連接AE.當∠CDB=______度時,AE最小.

圖7

設計意圖：在前面知識學習的基礎上設置同類型題目進行練習,加以鞏固.但是,問題7是在前面知識的基礎上又增加新的情境,從一個具有挑戰(zhàn)性的問題出發(fā),運用己有的知識和經(jīng)驗,經(jīng)歷研究等腰三角形相似變換運動軌跡的完整過程,將在學習知識的過程中積累的經(jīng)驗提升到一般的方法層面,整體把握研究相似變換運動軌跡的方法.加強相似變換運動軌跡的學習深度.

解法：如圖8,因為D是AC上一個動點,△BDE是等腰三角形,構(gòu)造等腰三角形BCF,BC=BF,所以點E的運動軌跡在直線FE上,且等于AC的長,∠CFE=135°(證明△BCD≌△BFE),則FE⊥AB.根據(jù)垂線段最短,當點E在AB上時,AE最小,此時∠DAE=∠DBE=45°,故∠BDC=90°.

圖8

5 結(jié)語

基于深度學習理念下的探究,需要從中找準適合學習的問題,創(chuàng)設情境,提升探究成效;逐步引導,激活學生的思維.初中數(shù)學深度學習的教學設計,重點在于通過精心設計問題情境和學習任務,引發(fā)學生認知沖突和深度思考.

本課堂設計,從特殊到一般,給學生創(chuàng)造觀察、猜想、探究、邏輯推理等學習機會,引導學生“從圖形的特征中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”,讓學生在變式中提升求知欲,凸顯學生學習主體地位,克服學習中的思維定勢.深挖知識點之間的聯(lián)系,盡量將知識點進行有機整合,促進學生的深度學習.