? 福建省泉州市豐澤區(qū)教育局 周玉寶

?福建省泉州市第九中學(xué) 潘竹樹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:運(yùn)算能力的內(nèi)涵包括能夠理解運(yùn)算的問題,選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問題,能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展[1].數(shù)形結(jié)合優(yōu)化解題策略,是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解能力這一數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要途徑.

章建躍博士指出,用幾何眼光觀察,分析清楚幾何圖形的要素及有關(guān)幾何關(guān)系,再用代數(shù)的語言來表達(dá),在代數(shù)運(yùn)算中時(shí)刻注意利用它們來簡(jiǎn)化運(yùn)算,這就是解析幾何運(yùn)算的特點(diǎn),是幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算[2].初中階段數(shù)學(xué)雖然沒有達(dá)到解析幾何的高度,但是要為學(xué)生將來學(xué)習(xí)解析幾何奠定基礎(chǔ).本文中以優(yōu)化運(yùn)算策略為例,闡述如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

1 典型幾何案例

如圖1,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1),直線BC平行于x軸交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線段BC上,點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

圖1

2 數(shù)形結(jié)合,優(yōu)化運(yùn)算策略求解幾何問題

2.1 出現(xiàn)直角三角形,運(yùn)用勾股定理

圖2

2.2 發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱特征,運(yùn)用相似三角形

軸對(duì)稱圖形中對(duì)稱點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分,利用這一特征能夠換一種思路解決問題.

圖3

2.3 發(fā)現(xiàn)圖形中的等角,利用三角函數(shù)

觀察圖形,發(fā)現(xiàn)在兩個(gè)直角三角形中,存在相等的角.

2.4 發(fā)現(xiàn)圖形中存在高線,利用面積法

CD可以看作是Rt△ACD的高,從而聯(lián)想到利用面積法解決問題.

圖4

通過運(yùn)用不同的視角探索解題的途徑、優(yōu)化運(yùn)算的過程來提升和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)是我們?cè)诮虒W(xué)中需要著力解決的問題[2].審視如上幾何題,從多個(gè)角度進(jìn)行運(yùn)算,能夠?qū)崿F(xiàn)一題多解、多解歸一,從中概括解決幾何運(yùn)算的一般路徑,掌握幾何運(yùn)算的基本方法,通過挖掘圖形的特征,優(yōu)化解題策略.

3 優(yōu)化運(yùn)算策略,培養(yǎng)關(guān)鍵能力的幾點(diǎn)思考

幾何運(yùn)算是一種工具,更是一種思維.運(yùn)算是解決幾何問題的基本工具.運(yùn)算求解過程中,要求學(xué)生根據(jù)圖形特征,挖掘圖形中線段、角等元素之間的特殊關(guān)系,再通過這些元素之間特殊的位置、數(shù)量關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題,從而提高分析問題、解決問題的能力.

3.1 用幾何的眼光審視圖形特征,優(yōu)化運(yùn)算策略

如果不注重?cái)?shù)形結(jié)合,就很難讓學(xué)生通過理解知識(shí)的本質(zhì)去分析問題和解決問題[4].

用幾何的眼光審視數(shù)學(xué)問題,結(jié)合圖形特征通常能優(yōu)化運(yùn)算策略.重視數(shù)形結(jié)合,從中識(shí)別出基本圖形、基本模型,運(yùn)用基本原理,實(shí)現(xiàn)一題多解、多題一解.作輔助線等方法,為解決更復(fù)雜的問題提供了思維的通道與路徑.初中階段,幾何運(yùn)算常用的方法包括勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)和面積法,數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算策略.

3.2 用幾何的眼光審視幾何直觀,培養(yǎng)抽象能力

幾何直觀和抽象能力相互依托,幾何直觀本質(zhì)上是依托圖形展開想象的抽象思維.學(xué)生以幾何圖形為介質(zhì),“學(xué)會(huì)”分析與綜合、關(guān)系推理和質(zhì)疑,提升了批判性思維;“學(xué)會(huì)”聯(lián)系遷移、類比化歸,搭建起從直觀到抽象的橋梁,提升了創(chuàng)造性思維;“學(xué)會(huì)”主動(dòng)反醒,優(yōu)化策略,提升了元認(rèn)識(shí)能力[5].

數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用,離不開學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本技能,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,能夠幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).抽象能力的形成,離不開數(shù)學(xué)思想方法的滲透,如化歸思想、分類討論思想、整體思想和數(shù)形結(jié)合思想等.學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法一旦形成,就意味學(xué)生的抽象能力得到了提升.

3.3 用幾何的眼光審視運(yùn)算求解,培養(yǎng)推理能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)是數(shù)學(xué)推理,是“算”與“思”的有機(jī)統(tǒng)一.

推理能力的形成是一個(gè)螺旋上升的過程,為幾何的運(yùn)算求解提供了良好的媒介.靜態(tài)幾何學(xué)習(xí),需要學(xué)生根據(jù)圖形的特征,找出已知條件的聯(lián)系進(jìn)行解題,從而提升推理能力.動(dòng)態(tài)幾何的基本運(yùn)動(dòng)包括平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn),這些基本運(yùn)動(dòng)的特征比較復(fù)雜,需要學(xué)生從中挖掘出對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的特征,并準(zhǔn)確應(yīng)用這些特征解決問題,從而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.運(yùn)算求解過程,有助于學(xué)生更深刻地理解幾何的本質(zhì),拓展思維,在運(yùn)算能力提升的同時(shí)實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的飛躍,學(xué)生的推理意識(shí)、推理能力日益得到發(fā)展.

4 結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是評(píng)估教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵要素之一.為了提升這一能力,教師需將運(yùn)算教學(xué)與課程內(nèi)容深度融合,確保學(xué)生能夠熟練掌握并應(yīng)用基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算策略.通過優(yōu)化運(yùn)算策略,可以顯著增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,進(jìn)而提升整體的數(shù)學(xué)教學(xué)效果.因此,教師應(yīng)重視運(yùn)算教學(xué),不斷關(guān)注和評(píng)估學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展,以優(yōu)化教學(xué)方法,為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)更加高效和有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)境.

通過對(duì)幾何元素的深入剖析,引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算的對(duì)象和意義.通過對(duì)圖形特征的挖掘,多角度分析問題,選擇合理的運(yùn)算策略解決問題.優(yōu)化運(yùn)算策略有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì),發(fā)展幾何直觀、抽象能力和推理能力,從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.