劉海波，韓宇新，武興愷，陳廣茂

（1.北京理工大學 信息與電子學院, 北京 100081；2.北京理工大學 信息與電子學院國家重點實驗室電磁感知研究中心, 北京 100081）

近幾十年以來，相控陣雷達由于其先進的性能而被廣泛應(yīng)用[1-3]，相控陣天線方向圖綜合是陣列信號處理的熱點研究問題[4-6].常見的方向圖綜合方法主要分為3 類：基于凸優(yōu)化理論的方向圖綜合算法、基于加權(quán)最小二乘的方向圖綜合算法和基于自適應(yīng)陣理論的方向圖綜合算法，基于凸優(yōu)化理論的方向圖綜合算法能得到的權(quán)值向量的最優(yōu)解，但需要將方向圖綜合問題轉(zhuǎn)化為凸問題；基于加權(quán)最小二乘的方向圖綜合算法通過調(diào)整最小二乘代價函數(shù)實現(xiàn)，調(diào)整中需要對不同參數(shù)通過試湊法選取，無法保證陣列響應(yīng)滿足期望條件；基于自適應(yīng)陣理論的方向圖綜合算法，依據(jù)最大信噪比準則迭代求解權(quán)值向量，能夠?qū)崿F(xiàn)任意陣型的方向圖綜合.1990 年，OLEN 等[7]首次系統(tǒng)地將自適應(yīng)波束形成原理運用于陣列的方向圖綜合，該算法假設(shè)干擾位于方向圖低副瓣區(qū)域所對應(yīng)的空間方向，并基于最大信噪比準則實現(xiàn)了方向圖的低副瓣，且算法收斂后形成的方向圖具有等副瓣特性.1999 年在Olen-Compton算法基礎(chǔ)上，提出一種能夠在實現(xiàn)等副瓣的同時控制波束的主瓣形狀的波束方向圖綜合方法[8].2003 年，刁躍龍[9]對該算法的迭代公式進行了修改，降低了迭代次數(shù)縮短了算法收斂所需時間.此外，還引入了變參考電平的概念，基于變參考電平該算法不僅能使方向圖在固定主瓣寬度下達到最低的等副瓣電平，還能同時產(chǎn)生寬度和深度可控的凹口.2014 年將該算法應(yīng)用于MTD 濾波器的設(shè)計[10]，2018 年基于Olen-Compton 算法解決了恒定響應(yīng)寬帶波束形成問題[11].

本文在Olen-Compton 算法基礎(chǔ)上，通過對可變參考電平進行修改，得到了一種新的波束方向圖綜合算法，新算法能夠在共形陣方向圖主瓣寬度一定的前提下，同時實現(xiàn)方向圖的等低副瓣、可控凹口和可控零點，從而使波束能靈活地對抗雜波和干擾.與最新的等低副瓣方向圖綜合算法相比[12-14]，本文所提算法能夠保持方向圖凹口電平相等，且加入零點和凹口后，對其他區(qū)域的副瓣電平影響較小，最后通過計算機仿真驗證了算法的有效性.

1 算法模型

1.1 基于自適應(yīng)波束形成的方向圖綜合方法簡述

陣列天線的方向圖綜合問題就是在陣元位置、陣元數(shù)量和單元方向圖已知的前提下，通過某種方法來找到一組復(fù)數(shù)權(quán)值w，該權(quán)值能使方向圖B(θ)在期望波束指向處具有最高的增益，且旁瓣電平滿足某些特定的要求.

陣列天線的方向圖函數(shù)可以表示為

式中：v(θ)和w分別代表陣列的導向矢量和復(fù)權(quán)值；H 代表Hermite 轉(zhuǎn)置.導向矢量v(θ)可表示為

式中： θi表示來波方向也是期望波束指向；N表示陣元個數(shù)；gi(θ) 表示第i個陣元的單元方向圖；T 表示矩陣轉(zhuǎn)置； φi(θ)為電磁波在空間中傳播時，由于波程差導致的第i個陣元的相位延遲，即φi(θ) =kxi，其中k表示波數(shù)，xi表示陣列中的第i個陣元在空間中的坐標位置.

在陣列天線方向圖的綜合問題中，運用最大信噪比(MSNR)準則進行波束形成，就是尋找一組復(fù)權(quán)值，該權(quán)值能使陣列天線的方向圖在波束指向的方向獲得的增益盡可能大，而干擾方向陣列增益盡量小，從而使得陣列的輸出滿足信干噪比(SINR)最大[9].

陣列的輸入可以表示為

式中：xs表示期望信號；xn表示天線單元本身包含的噪聲；xf表示干擾信號.將非期望信號合并，有

式(4)中，xu表示無用信號.根據(jù)自適應(yīng)陣原理，在MSNR 準則下，最優(yōu)權(quán)矢量表示為

式中： μ為一個大于0 的常數(shù)；q為的最大特征值所對應(yīng)的特征向量，而Rs和Ru分別為無用信號和期望信號的自相關(guān)矩陣，其數(shù)學表達式為

當期望信號只來自一個方向時，式(5)可表示為

式中vs為所期望波束指向的導向矢量.

假設(shè)存在一個期望信號和一個干擾信號，它們同時入射到陣列上，其來波方向分別記為 θs和 θf，信號振幅記為As和Af，初相記為 φs和 φf，角頻率分別為ω1和 ω2，則這兩個信號可表示為

式中vs和vf分別為期望信號和干擾信號的導向矢量.根據(jù)式(6)和(7)，有

設(shè)噪聲矢量xn可表示為

式中ni(t)為第i個陣元的噪聲，i=1,2,...,N.設(shè)噪聲功率均為 σ2且相互獨立，則噪聲的自相關(guān)矩陣為

假設(shè)信號，噪聲和干擾均滿足兩兩獨立分布[7]，則有

令s=，f=，則信噪比和干噪比可寫為

為討論簡便，不妨設(shè)σ2=1，則RSN=s，RIN=f.因此，期望信號和無用信號的自相關(guān)矩陣[9]可表示為

此時便可以利用Rs和Rf來確定MSNR 準則下陣列的最優(yōu)權(quán)矢量wsopt.

Olen-Compton 算法的核心主要基于以下表達式

式(20)和(21)所描述的也是MSNR 準則下的最優(yōu)權(quán)適量求解問題，只不過將干擾信號由一個變?yōu)槎鄠€的同時，式(19)也就相應(yīng)地變?yōu)槭?21).根據(jù)式(17)，fi既能表示第i個干擾信號，也表示其干噪比.vfi表示其導向矢量，Vf和F分別可表示為

現(xiàn)在簡述Olen-Compton 算法的內(nèi)容.首先根據(jù)式(2)來確定期望信號的導向矢量.然后確定一個期望的副瓣參考電平，若要求其比主瓣峰值低D(θ)dB，則期望副瓣電平d(θ)(線性值)可換算為

式中，Vpeak表示方向圖p(θ)的峰值電平，p(θ)可由式(1)確定.

假設(shè)m個干擾一次性地入射到方向圖的副瓣區(qū)域，這些干擾的入射角分別記為θfi(i=1,2,...,m)，接著對fi賦初值，為了方便計算，可將其直接取1.然后，在 θfi處對當前方向圖的電平和期望方向圖的電平進行做差比較，若差值大于0，則表明此處干擾功率不足，需要增大當前位置的干擾功率，若差值小于0，則需要減小當前位置的干擾功率.隨著干擾功率在不斷調(diào)整，陣列天線方向圖的副瓣電平也在不斷下降，因此主瓣寬度也在不斷展寬.因此，在每次迭代時，務(wù)必要保證當前方向圖的主瓣區(qū)域內(nèi)干擾功率為0.由于每次迭代后，方向圖的峰值電平會發(fā)生變化，這里將式(24)進行修正，使其為迭代次數(shù)k和角度 θ的函數(shù)，即

式中Vpeak(k)表示第k次迭代時方向圖p(θ,k)的最大峰值電平.

Olen 算法的干擾功率迭代公式為[9]

式中：(θLeft(k),θRight(k))表示方向圖主瓣區(qū)，該區(qū)域內(nèi)干擾功率被置0；fi(k)表示第k次迭代時 θi方向的干擾功率；K為迭代系數(shù)，K＞0 ； Δ(θfi,k)表示第k次迭代后在 θfi方向上當前方向圖的電平值與期望方向圖的電平值之差，用公式表示為

這里再次強調(diào)：由于干擾功率在隨著迭代不斷變化，導致基于MSNR 準則的波束形成器的最優(yōu)權(quán)值也變化.因此，方向圖的主瓣區(qū)也在隨之改變.因此，每次迭代后務(wù)必要重新確定主瓣區(qū)域.

Olen-Compton 算法存在的問題是：算法收斂速度太慢，一般需要上百次才能收斂，且K值的選取不具有通用性，而K值的大小又和算法的收斂性和穩(wěn)定性密切相關(guān)，因此每次實驗只能通過“累嘗法”來尋找合適的K[9].

刁躍龍[9]在對式(26)所述的迭代公式進行詳細分析后，將迭代公式修改為

由于式(28)考慮了干擾間的相對大小并對電平差Δ(θfi,k)進行了歸一化處理，因此算法的收斂速度大幅加快，且K值易于選取(一般為1 或者0.1).自此，該算法收斂速度問題和系數(shù)選取問題在一定程度上被解決.

但Olen-Compton 算法所解決的問題是在固定波束指向和主副瓣電平差的前提下的任意陣列方向圖綜合問題，但這種規(guī)定可能是無解的，且得到的方向圖也不再具有等副瓣特性.例如：希望在波束指向為θs時得到旁瓣峰值電平比主瓣低LdB 的均勻副瓣方向圖，但如果L的值較大時，無論算法迭代多少次，都無法得到期望的方向圖，而只能得到較為令人滿意的方向圖，且得到的方向圖其實是根據(jù)最小均方誤差獲得的一個模糊的解，而且在這種情況下方向圖的副瓣不一定是均勻的[9].

事實上，在進行陣列天線的方向圖綜合時，由于波束寬度與測角精度息息相關(guān)，往往更加關(guān)心這樣一個問題：在波束的指向和主瓣寬度都確定的前提下，如何獲得最低的均勻副瓣方向圖.為解決該問題，刁躍龍[9]提出變參考電平的概念，即將式(25)修改為

并且在每次迭代前，均對集合d進行搜尋.這種峰值搜索對于現(xiàn)代計算機仿真軟件來說是很容易完成的.

引入變參考電平后，隨著迭代不斷進行，高的副瓣總是試圖與最低副瓣趨于同一水平，而參考電平d又是旁瓣區(qū)域內(nèi)最低的峰值電平，因此當所有的副瓣峰值與d趨于一致時，即可得到均勻等副瓣的方向圖.

引入變參考電平后的算法步驟可以描述為[9]：

(1) 確定期望波束指向 θs，并利用式(2)求出其導向矢量；

(2) 根據(jù)預(yù)設(shè)的主瓣寬度和波束指向，確定主瓣區(qū)域(θLeft,θRight)(θLeft,θRight)；

(3) 在主瓣區(qū)以外的副瓣區(qū)引入大量的虛擬干擾，并對其賦初始功率(為方便操作，可直接令所有干擾的功率初值為1)；

(4) 根據(jù)式(11)和(12)，求出期望信號和無用信號的自相關(guān)矩陣，并根據(jù)MSNR 準則計算在當前迭代次數(shù)k下的最優(yōu)權(quán)值，然后利用式(1)求出陣列的方向圖p(θ,k)；

(5) 根據(jù)式(29)計算當前的參考電平d(θ,k) ,并確定當前方向圖的電平與期望方向圖的電平差Δ(θ,k)；

(6) 根據(jù)式(28)所述的迭代公式更新下次迭代時的干擾功率，這里要注意的是，在引入變參考電平后，主瓣區(qū)是被固定的，因此不需要重新搜索主瓣區(qū)范圍；

(7) 重復(fù)步驟(4)～(6)，直至迭代次數(shù)達到預(yù)設(shè)上限或滿足以下表達式

式中 δ為所能容忍的最大副瓣峰值電平差.此時，MSNR 準則下求得的權(quán)值wsopt即為滿足公式(30)限制的權(quán)矢量.根據(jù)式(5)中最大信噪比準則的最優(yōu)權(quán)矢量表達式，μwsopt就是所求的最優(yōu)權(quán)矢量，這里的μ值可以根據(jù)陣列的峰值增益需求來確定.

刁躍龍[9]在提出變參考電平概念后，還對其進行了一定程度的應(yīng)用擴展.如為了對抗干擾，往往希望陣列天線的方向圖能夠在某些方向形成凹口區(qū).針對這個問題，刁躍龍將式(29)所述的變參考電平修改為

而此時d1(θ,k)的選擇與式(27)所述不同，此時修改為

式中L0表示凹口深度與等副瓣電平的電平差，dB.

通過這樣設(shè)置變參考電平，收斂后的的方向圖不僅能保持等副瓣特性，還能夠在指定的區(qū)域產(chǎn)生凹口，且凹口深度可控.

1.2 算法改進

實際情況中，在抗雜波和干擾時會存在以下幾種需求：

(1) 方向圖在一個或多個固定的區(qū)域形成寬度和深度可控的凹口；

(2) 方向圖只在某個或某幾個固定的角度形成深度可控的零點，而不形成具有一定寬度的凹口；

(3) 方向圖在某個或某幾個固定區(qū)域形成寬度和深度可控的凹口，同時在某幾個固定的角度形成深度可控的零點.

對于需求(1)，采用式(32)所述的可變參考電平即可實現(xiàn).而對于需求(2)和需求(3)，由于式(32)的搜索方法為對指定的副瓣區(qū)進行最低旁瓣峰值搜索，而零點位置只是一個或幾個固定的點，因此不存在副瓣峰值，參考電平在這些位置的峰值搜索結(jié)果一定是空的.為實現(xiàn)零點控制，將變參考電平修改為

其中

如此，便可以在指定位置產(chǎn)生深度可控的零點.以上方法也適用于同時產(chǎn)生多個深度不同的零點，只需在式(33)中對多個零點進行分別控制即可.下面以兩個零點為例，給出變參考點的定義公式

式中，零點1 和零點2 的零點深度比收斂后的正常副瓣電平分別低L1和L2，dB.此時d1(θ,k)修改為

對于需求(3)，可以考慮將變參考電平修改為

此時d1(θ,k)與式(32)相同，為凹口區(qū)的最低峰值電平.同樣地，也可以按照式(35)中對參考電平的修改方式來修改式(37)，以此同時控制多個凹口和多個零點.

2 仿真驗證

圓弧陣是極具代表性的共形陣[11]，本節(jié)以均勻圓弧陣為示例對本文所述算法進行仿真驗證，完整的66 元均勻圓環(huán)陣(UCA)布陣示意方式如圖1所示.

圖1 均勻圓環(huán)陣列陣元排布示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniform circular array element layout

取圖1 所示圓環(huán)陣相鄰的22 個陣元(56～11 號陣元)為均勻圓弧陣.對圓弧陣進行仿真實驗，具體參數(shù)見表1，算法收斂條件取式(30)，陣列的單元方向圖取

表1 圓弧陣仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of arc array

式中 φm為以O(shè)為圓心，第m個陣元與X軸的夾角.

2.1 凹口控制

選擇參考電平如式(31)所述，可以實現(xiàn)固定主瓣寬度下最低等副瓣方向圖的同時控制波束的零陷寬度和深度.如要求1：在波束指向為0°時形成等副瓣波束，波束寬度限制為20°，且在30°～50°處產(chǎn)生比副瓣電平低30 dB 的凹口；要求2：在波束指向為10°時形成等副瓣波束，波束寬度限制為20°，且在-45°～-35°和35°～50°處產(chǎn)生比副瓣電平分別低20 dB 和30 dB 的凹口.采用表1 所述的圓環(huán)陣進行仿真，凹口控制結(jié)果如圖2 所示.

圖2 凹口控制結(jié)果Fig.2 The results of gaps controlling

圖2 的仿真結(jié)果表明，方向圖在均勻低副瓣的同時能將主瓣寬度保持在20°，而且在指定位置產(chǎn)生了期望寬度和深度的凹口.

2.2 零點控制

選擇參考電平如式(33)所述，可以實現(xiàn)固定主瓣寬度下最低等副瓣方向圖的同時控制波束的零點位置和深度.如要求3：在波束指向為0°時形成等副瓣波束，波束寬度限制為20°，且在-60°，-40°，50°和70°處產(chǎn)生比副瓣電平低40 dB 的零點；要求4：在波束指向為20°時形成等副瓣波束，波束寬度限制為20°，且在-85°、-50°、30°和60°處產(chǎn)生比副瓣電平分別低40 dB、40 dB、50 dB 和30 dB 的零點.采用表1所述的圓環(huán)陣進行仿真，凹口控制結(jié)果如圖3 所示.

圖3 零點控制結(jié)果Fig.3 The results of nulls controlling

根據(jù)圖3 的仿真結(jié)果可知，方向圖在均勻低副瓣的同時能將主瓣寬度保持在20°，而且在指定位置產(chǎn)生了期望深度的零點.

2.3 凹口與零點同時控制

選擇參考電平如式(37)所述，可以實現(xiàn)固定主瓣寬度下最低等副瓣方向圖的同時控制波束的零點和凹口.如要求5：在波束指向為-25°時形成等副瓣波束，波束寬度限制為20°，在-60°處產(chǎn)生比副瓣電平低40 dB 的零點，且在35°～50°處產(chǎn)生比副瓣低30 dB的凹口；要求6：在波束指向為0°時形成等副瓣波束，波束寬度限制為20°，且在-60°～-35°和40°處產(chǎn)生比副瓣電平分別低30 dB 和40 dB 的凹口和零點.采用表1 所述的圓環(huán)陣進行仿真，凹口控制結(jié)果如圖4所示.

圖4 凹口和零點同時控制的結(jié)果Fig.4 The results of nulls and gaps controlling simultaneously

通過圖4 可知，方向圖在均勻低副瓣的同時能將主瓣寬度保持在20°，而且在指定位置產(chǎn)生了期望深度的零點與期望寬度和深度的凹口.

3 結(jié) 論

本文對已有的基于自適應(yīng)陣原理的低副瓣方向圖綜合方法進行了改進.相比于原算法，新算法能夠?qū)崿F(xiàn)波束在固定主瓣寬度下同時具備等低副瓣、可控深度和寬度的凹口與可控深度的零點，這對于相控陣雷達對抗雜波和干擾有一定的實用價值.