洪琪琛

（1.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南株洲 412002；2.直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南株洲 412002）

0 引言

直升機(jī)具有垂直起降、空中懸停、向前后左右各個(gè)方向飛行等能力[1]，在農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化、生態(tài)環(huán)境建設(shè)、應(yīng)急事件處理等方面具體不可替代的作用。傳動(dòng)系統(tǒng)是直升機(jī)的三大動(dòng)部件之一[2]，直接影響直升機(jī)的性能、可靠性等。傳統(tǒng)系統(tǒng)一般由減速器、動(dòng)力傳動(dòng)軸組件和尾傳動(dòng)軸組件等部件組成[3]。其中，動(dòng)力傳動(dòng)軸是直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中的重要部件，作用是將發(fā)動(dòng)機(jī)的功率和轉(zhuǎn)速傳遞給減速器，同時(shí)補(bǔ)償輸入/輸出軸線之間的軸向、徑向和角向偏移。

隨著國(guó)內(nèi)外直升機(jī)技術(shù)的發(fā)展，在滿足可靠性和安全性的前提下，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)提出了更高的輕量化要求。作為傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力傳輸?shù)募~帶，動(dòng)力傳動(dòng)軸組件的優(yōu)化設(shè)計(jì)顯得尤為必要。

傳統(tǒng)的傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)，根據(jù)軸管剪切強(qiáng)度等確定其內(nèi)、外徑，然后為避免共振產(chǎn)生應(yīng)進(jìn)行振動(dòng)計(jì)算，確定其臨界轉(zhuǎn)速扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性[4]。在方案設(shè)計(jì)初期，需對(duì)動(dòng)力傳動(dòng)軸強(qiáng)度進(jìn)行校核，往往給定一個(gè)較大的安全系數(shù)[5]，且過(guò)去的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，未對(duì)許多因素的不確定性加以考慮，如設(shè)計(jì)參數(shù)的取值界限、設(shè)計(jì)與制造水平、載荷性質(zhì)及使用情況等判定的模糊性以及工作應(yīng)力的隨機(jī)性等，無(wú)法獲得動(dòng)力傳動(dòng)軸的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

目前，對(duì)于模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)已有大量研究。馮國(guó)弟、李彬[6]等將模糊數(shù)學(xué)和可靠性理論結(jié)合起來(lái)，考慮機(jī)械零部件設(shè)計(jì)參數(shù)的隨機(jī)性，建立了零部件磨損可靠性數(shù)學(xué)模型和可靠性設(shè)計(jì)流程。馬慧斌[7]常規(guī)的可靠性理論應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型的核心內(nèi)容轉(zhuǎn)化為模糊可靠性應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型，可用于指導(dǎo)機(jī)械產(chǎn)品實(shí)際生產(chǎn)。陳金梅、金譽(yù)輝[8]針對(duì)機(jī)械零件的失效分析，利用傳統(tǒng)可靠性理論中的改進(jìn)一次二階矩陣法對(duì)機(jī)械零件的模糊可靠性進(jìn)行了分析。莫才頌、千學(xué)明[9]通過(guò)分析機(jī)械零件的應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型，推導(dǎo)出模糊可靠度的計(jì)算公式，建立了模糊可靠性設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。胡啟國(guó)、謝國(guó)賓、羅天洪[10]以泥漿泵齒輪為研究對(duì)象，開展多指標(biāo)約束下齒輪傳動(dòng)的模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

大多數(shù)學(xué)者圍繞模糊可靠性設(shè)計(jì)，以零部件強(qiáng)度指標(biāo)等單一條件進(jìn)行驗(yàn)證，鮮有學(xué)者結(jié)合直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)開展強(qiáng)度、動(dòng)力學(xué)等多條件驗(yàn)證。因此，開展多指標(biāo)約束下直升機(jī)傳動(dòng)軸模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)顯得尤為必要。本文將動(dòng)力傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)應(yīng)該考慮的約束條件和模糊數(shù)學(xué)和可靠性理論結(jié)合起來(lái)，提出動(dòng)力傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 模糊可靠性設(shè)計(jì)原理

1.1 模糊可靠度定義

可靠性工程學(xué)科通過(guò)概率分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，已將單值確定的現(xiàn)象擴(kuò)大至多值非確定的隨機(jī)現(xiàn)象，并已逐漸發(fā)展成為一門成熟的學(xué)科。大量的隨機(jī)事件合在一起可以表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而單一事件的發(fā)生是隨機(jī)且不確定的，此類事件稱之為模糊事件。

將“動(dòng)力傳動(dòng)軸優(yōu)化設(shè)計(jì)”當(dāng)作模糊事件來(lái)處理，它由論域U=（-∞，+∞）的模糊事件A 來(lái)表征，則模糊事件A 的模糊可靠度為：

其中，uA（x）為模糊事件的隸屬函數(shù)，fτ（x）為概率密度函數(shù)，x 為隨機(jī)變量。

1.2 隸屬函數(shù)

作為模糊變量來(lái)處理的強(qiáng)度，其關(guān)鍵是隸屬函數(shù)的選擇，工程中常用的隸屬函數(shù)形式有半梯形和梯形分布、拋物線形分布、正態(tài)分布、柯西分布等[11]。

通過(guò)大量的實(shí)例表明，可用降半梯形分布來(lái)描述失效應(yīng)力從許用到不許用的過(guò)度過(guò)程，即：

其中，a1、a2分別為動(dòng)力傳動(dòng)軸選用材料剪切強(qiáng)度的上、下限臨界值。

2 模糊可靠性數(shù)學(xué)模型

直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)軸連接發(fā)動(dòng)機(jī)和主減，傳遞運(yùn)動(dòng)和扭矩，軸體部分通常為空心薄壁結(jié)構(gòu)[12]，在工作過(guò)程中只承受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力而不承受彎曲應(yīng)力，故本文在設(shè)計(jì)計(jì)算過(guò)程中可以將動(dòng)力傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力和強(qiáng)度當(dāng)作服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量來(lái)處理[13]。

動(dòng)力傳動(dòng)軸軸體為等截面空心薄壁軸，長(zhǎng)度一般由直升機(jī)總體布局決定，即動(dòng)力傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度為定值，因而軸體設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)就是確定薄壁軸的截面尺寸。

在設(shè)計(jì)過(guò)程中，將動(dòng)力傳動(dòng)軸的內(nèi)徑d、外徑D 作為變量，則抗扭截面模量計(jì)算公式為：

由動(dòng)力傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)力計(jì)算公式：

其中，τ 為扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，M 為扭矩，W 為抗扭截面模量。

由式（8）可以得到工作應(yīng)力的均值σ 和標(biāo)準(zhǔn)離差Sτ：

由于傳動(dòng)軸應(yīng)力的隨機(jī)分布性，可假設(shè)其符合正態(tài)分布規(guī)律，失效應(yīng)力概率密度函數(shù)為：

將式（2）、式（11）代入式（1），可以得到模糊可靠度計(jì)算公式：

3 動(dòng)力傳動(dòng)軸可靠性優(yōu)化

動(dòng)力傳動(dòng)軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量X 為：

動(dòng)力傳動(dòng)軸優(yōu)化的目標(biāo)為在滿足強(qiáng)度、剛度及模糊可靠度要求的前提下達(dá)到輕量化的目的，可用動(dòng)力傳動(dòng)軸總重量最小為目標(biāo)函數(shù)。

長(zhǎng)度一定時(shí)，動(dòng)力傳動(dòng)軸的重量與橫截面積成正比，因此目標(biāo)函數(shù)為：

3.1 約束條件

3.1.1 剪切強(qiáng)度模糊可靠度約束

剪切強(qiáng)度模糊可靠度約束為：

其中，R（x）為模糊可靠度函數(shù)，R0為設(shè)計(jì)要求的模糊可靠度。

3.1.2 臨界轉(zhuǎn)速約束

某型號(hào)直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)軸為亞臨界軸設(shè)計(jì)，GJB 2350—1995《直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)通用規(guī)范》規(guī)定，傳動(dòng)軸系上任一段的臨界轉(zhuǎn)速和其工作轉(zhuǎn)速之間至少應(yīng)有10%的裕度。設(shè)傳動(dòng)軸沿全軸長(zhǎng)斷面尺寸相同，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則其臨界轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足：

式中 E——材料的彈性模量

J——慣性矩，m（4J=（D4-d4））

g——重力加速度，m/s2

A——橫截面積，mm2（A=π（D2-d2））

ρ——材料的密度，kg/m3

δ——系數(shù)，一般可取0.9

nmax——最大工作轉(zhuǎn)速，r/min

3.1.3 失穩(wěn)約束

傳動(dòng)軸臨界應(yīng)力τcr不小于實(shí)際最大剪應(yīng)力τmax的情況下才能保證直升機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行，故失穩(wěn)約束為：

P——傳遞功率，kW

n——工作轉(zhuǎn)速，r/min

Ks——失穩(wěn)系數(shù)

μ——泊松比

3.1.4 制造工藝條件約束

其中，t0為軸管最小厚度。

3.1.5 尺寸限制

其中，Dmin、Dmax分別為許用最小、最大外徑；dmin、dmax分別為許用最小、最大內(nèi)徑。

3.2 求最優(yōu)解

Matlab 是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的高級(jí)語(yǔ)言，本例屬于小型優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，可采用Matlab 軟件的fmincon 函數(shù)來(lái)求解。求得最優(yōu)解之后，結(jié)合實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)并按相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)要求將所得最優(yōu)解進(jìn)行圓整處理。

4 某型號(hào)直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)

某型直升機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)和減速器之間的動(dòng)力傳動(dòng)軸結(jié)構(gòu)如圖1 所示，兩端連接結(jié)構(gòu)已作處理。由圖1 可以看出，動(dòng)力傳動(dòng)軸主要重量為空心薄壁花鍵軸重量，且空心薄壁花鍵軸還影響法蘭盤、聯(lián)軸節(jié)及端蓋的尺寸。選擇合適的空心薄壁花鍵軸軸管的外徑、內(nèi)徑，對(duì)于滿足動(dòng)力傳動(dòng)軸強(qiáng)度、減少動(dòng)力傳動(dòng)軸重量有重要意義。

圖1 某型號(hào)直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)軸結(jié)構(gòu)

選取薄壁軸軸管截面為危險(xiǎn)截面，采用模糊優(yōu)化方法對(duì)該直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

已知該軸長(zhǎng)600 mm，傳遞功率為1750 kW，工作轉(zhuǎn)速為20 900 r/min，材料為9310 鋼；設(shè)計(jì)要求模糊可靠度R0為0.999 9。通過(guò)建立傳動(dòng)軸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，并調(diào)用Matlab 優(yōu)化工具箱可得到優(yōu)化后設(shè)計(jì)參數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 優(yōu)化結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于模糊可靠性研究，提出了一種動(dòng)力傳動(dòng)軸優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，在滿足給定可靠度要求的條件下，設(shè)計(jì)出的動(dòng)力傳動(dòng)軸在長(zhǎng)度一定的前提下，截面面積減少32%，可滿足直升機(jī)的輕量化要求，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案更加經(jīng)濟(jì)、合理。另外，調(diào)用Matlab 的優(yōu)化函數(shù)可使設(shè)計(jì)程序化，改變相關(guān)參數(shù)即可獲得不同尺寸的動(dòng)力傳動(dòng)軸，方法簡(jiǎn)單便捷。該優(yōu)化方法，可用于直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)軸組件的優(yōu)化設(shè)計(jì)。