文／康葉紅

推理是思維的基本形式之一，代數(shù)推理常與代數(shù)思維緊密聯(lián)系，即從一定的條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)定義、代數(shù)公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，以推理論證得到具體數(shù)和代數(shù)式結(jié)構(gòu)，或數(shù)量上的相等關(guān)系和不等關(guān)系等。本文將和大家一起來(lái)領(lǐng)略函數(shù)中的代數(shù)推理。

一、化生疏為熟悉——等價(jià)轉(zhuǎn)化

在解答代數(shù)推理問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的分析，等價(jià)轉(zhuǎn)化，逐步變形，化繁為簡(jiǎn)，以尋求到代數(shù)推理的突破口。

例1已知，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，y1≥y2。

【分析】比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，可以從“形”的角度結(jié)合圖像思考，亦可從“數(shù)”的角度結(jié)合作差法思考。

例2已知二次函數(shù)y=（x-m）（xm-2）（m為常數(shù)），求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

【分析】要判斷函數(shù)的圖像與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為分析一元二次方程的根的情況。

證明：令y=0，則（x-m）（x-m-2）=0。

∴x1=m，x2=m+2。

∵m≠m+2，

∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

∴不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。

【總結(jié)】等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決函數(shù)問(wèn)題的主要手段，通過(guò)恒等變形向目標(biāo)結(jié)構(gòu)或關(guān)系轉(zhuǎn)化，化生疏為熟悉。遇到比較大小的問(wèn)題，考慮用作差法，通過(guò)因式分解實(shí)現(xiàn)；遇到分析與坐標(biāo)軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，考慮轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)解決。

二、逐個(gè)擊破——分類討論

在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，依據(jù)具體問(wèn)題背景、情形，或根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的異同，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行分析，這就是分類討論思想的運(yùn)用。

例3已知函數(shù)求證：在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。

【分析】反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，有兩支，因此，我們要對(duì)“在每一個(gè)象限內(nèi)”的圖像進(jìn)行分析，需要分類討論，分為當(dāng)x＜0時(shí)和當(dāng)x＞0時(shí)。

證明：在函數(shù)圖像上任意取兩點(diǎn)A、B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。

當(dāng)x＜0 時(shí)，不妨設(shè)x1＜x2＜0，則y2-

因?yàn)閤1＜x2＜0，所 以x1x2＞0，x1-x2＜0。因此，即y2-y1＜0，y2＜y1。所以，當(dāng)x＜0 時(shí)，y隨x的增大而減小。

同理可證，當(dāng)x＞0 時(shí)，y也是隨x的增大而減小。

【總結(jié)】在解決以函數(shù)為載體的代數(shù)推理問(wèn)題時(shí)，依據(jù)具體問(wèn)題來(lái)分類討論，通過(guò)作差法比較大小，逐類進(jìn)行研究，推理過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，可促進(jìn)思維的有序生長(zhǎng)。

三、執(zhí)果索因——逆向分析

代數(shù)推理，一般從題目中的已知條件和結(jié)論出發(fā)，結(jié)合推理論證，逐步分析得到若干中間結(jié)論，執(zhí)果索因，不斷推理。

例4點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數(shù)y=x2+4x-5 圖像上的兩點(diǎn)。若x1+x2=2，求證：y1+y2＞0。

【分析】從結(jié)論進(jìn)行分析，要證明y1+y2＞0，有兩個(gè)思考方向：（1）涉及y1、y2兩個(gè)量，可以考慮消元法；（2）涉及二次不等式的證明，可以考慮配方法，利用完全平方式的非負(fù)性和不等式的基本性質(zhì)解決。

證明：∵點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是y=x2+4x-5圖像上的兩點(diǎn)，

∴y1=x12+4x1-5，y2=x22+4x2-5。

∵x1+x2=2，

∴x2=2-x1。

∴y1+y2=x12+4x1-5+（2-x1）2+4（2-x1）-5=2x12-4x1+2=2（x1-1）2。

∵x1+x2=2，x1≠x2，

∴x1≠1。

∴2（x1-1）2＞0。

∴y1+y2＞0。

【總結(jié)】要證明結(jié)論成立，我們可以從結(jié)論出發(fā)，由結(jié)論聯(lián)想需知，再?gòu)臈l件出發(fā)，由已知聯(lián)想可知，再由可知進(jìn)一步聯(lián)想、組合聯(lián)想需知，實(shí)現(xiàn)解題的完整路徑。此外，我們?cè)诮鉀Q多元問(wèn)題時(shí)，可以利用消元法將之轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題來(lái)解決；解決二次多項(xiàng)式問(wèn)題時(shí)，可以利用配方法，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)來(lái)解決。

四、洞察結(jié)構(gòu)——構(gòu)造函數(shù)

在解決代數(shù)推理問(wèn)題時(shí)，我們還可以通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，有助于促進(jìn)思維的縱向生長(zhǎng)，將函數(shù)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)上升到新高度。

例5已知函數(shù)y=-x2+（m-1）x+m（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像的 頂點(diǎn)都在 函數(shù)y=（x+1）2的圖像上。

（2）當(dāng)-2≤m≤3時(shí)，求證：該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)z的取值范圍是0≤z≤4。

【分析】想要求函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)z的取值范圍，可以把z看成關(guān)于m的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和最小值即可。

所以，不論m為何值，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=（x+1）2的圖像上。

（2）設(shè)函數(shù)z=。

當(dāng)m=-1時(shí)，z有最小值0。

當(dāng)-2≤m＜-1 時(shí)，z隨m的增大而減?。划?dāng)-1＜m≤3時(shí)，z隨m的增大而增大。

所以，當(dāng)-2≤m≤3 時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)z的取值范圍是0≤z≤4。

【總結(jié)】我們?cè)诮獯饐?wèn)題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真分析函數(shù)結(jié)構(gòu)后構(gòu)造新函數(shù)，如把頂點(diǎn)縱坐標(biāo)z看成關(guān)于m的二次函數(shù)，深入挖掘函數(shù)問(wèn)題的內(nèi)涵特征，揭示本質(zhì)。這樣的數(shù)學(xué)眼光正如智者的最高境界——“看山還是山，看水還是水”。