梁錦玲，鄧光明,b

（桂林理工大學(xué)a.理學(xué)院；b.應(yīng)用統(tǒng)計研究所，廣西 桂林 541006）

0 引言

隨著數(shù)據(jù)收集便利程度的不斷提高，面板數(shù)據(jù)在計量建模相關(guān)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。由于其特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)特征，學(xué)者們也嘗試將面板數(shù)據(jù)引入多元統(tǒng)計分析中[2]。從多元統(tǒng)計角度出發(fā)，面板數(shù)據(jù)聚類的思路主要有：一是從聚類原理出發(fā)[3—6]，構(gòu)造新的統(tǒng)計量和相應(yīng)聚類算法測度樣本相似性。李因果和何曉群（2010）[3]從樣本指標(biāo)的水平值、增量值、波動特征等方面考慮，構(gòu)造了“綜合”距離函數(shù)和相應(yīng)聚類方法測度樣本相似性。二是對面板數(shù)據(jù)進(jìn)行降維[7—11]。王澤東和鄧光明（2019）[8]采用主成分分析法計算得到樣本的綜合得分序列，并構(gòu)造了綜合趨勢距離度量時間序列的相似性，此方法能較好地捕捉樣本發(fā)展趨勢的變化，也彌補(bǔ)了DTW 法的不足。以上兩種方法均是從面板數(shù)據(jù)指標(biāo)維度降維，也有學(xué)者從時間維度降維。如黨耀國和侯荻青（2016）[9]提取樣本在絕對水平、波動、趨勢、分布等方面的特征，并運(yùn)用重心法對特征量進(jìn)行動態(tài)聚類；戴大洋和鄧光明（2018）[10]利用主成分分析法對前人提取的特征量進(jìn)行二次綜合提取，不僅區(qū)分了樣本指標(biāo)的重要性程度，也解決了潛在的信息重疊問題，提高了樣本聚類結(jié)果的準(zhǔn)確性。以上方法為多指標(biāo)面板數(shù)據(jù)聚類問題提供了切實(shí)可行的思路，但同時也存在一些局限性。在聚類原理方面，多采用歐氏距離測度面板數(shù)據(jù)的相似性，而歐氏距離在測度帶有時間序列的數(shù)據(jù)時由于不能沿時間軸轉(zhuǎn)動，因此難以真正捕捉樣本在時間維度上的變化。在降維角度方面，相關(guān)研究雖避免了第一類方法中歐氏距離的問題，但在降維時存在以下不足：在從面板數(shù)據(jù)指標(biāo)維度降維時多采用主成分分析法，該方法在計算每年綜合得分時不在同一坐標(biāo)系下進(jìn)行，因此無法保證評價系統(tǒng)的一致性以及評價結(jié)果的可比性；在從面板數(shù)據(jù)時間維度降維時，采用均值法提取絕對值特征無法體現(xiàn)不同時間點(diǎn)的重要程度。

鑒于以上方法存在的問題，本文從面板數(shù)據(jù)的維度特征出發(fā)，分別對面板數(shù)據(jù)提取指標(biāo)維度綜合評價值和時間維度綜合評價值，并對兩個維度綜合評價值進(jìn)行系統(tǒng)聚類，最后用我國省域高等教育發(fā)展水平相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。在計算指標(biāo)維度評價值時，利用“縱橫向”拉開檔次法確定指標(biāo)權(quán)重，并依據(jù)“厚今薄古”的思想加入時間權(quán)重，以避免主成分分析法所得評價值缺乏統(tǒng)一性、可比性以及均值法無法體現(xiàn)時間點(diǎn)重要性的問題。在計算樣本時間維度綜合評價值時，運(yùn)用具有速度特征的綜合評價模型對樣本增量速度進(jìn)行動態(tài)綜合評價，所得評價值融合了樣本增量速度狀態(tài)和趨勢，能較好地體現(xiàn)樣本的波動大小和變化趨勢。

1 面板數(shù)據(jù)指標(biāo)維度的動態(tài)綜合評價

計算面板數(shù)據(jù)指標(biāo)維度綜合評價值的關(guān)鍵在于指標(biāo)權(quán)重的確定，常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法有主成分分析法、熵值法等，但此類方法只適用于靜態(tài)截面數(shù)據(jù)，若將其應(yīng)用于面板數(shù)據(jù)中分別計算每年的指標(biāo)權(quán)重，則會造成評價體系不統(tǒng)一、評價結(jié)果缺乏可比性等問題。因此，本文選擇“縱橫向”拉開檔次法[12]確定指標(biāo)權(quán)重?；舅枷牒颓蠼膺^程如下。

（1）設(shè)xij(tk)為第i（i=1，2，…，n）個樣本在tk（k=1，2，…，N）時刻第j（j=1，2，…，m）項(xiàng)指標(biāo)的觀測值。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

（2）對時刻tk（k=1，2，…，N）取綜合評價函數(shù)：

（3）確定權(quán)重系數(shù)wj（j=1，2，…，m）。用yi(tk)的總離差平方和σ2表示各種被評價樣本之間整體的差異：

若限定wTw=1，則當(dāng)取w為矩陣H的最大特征值λmax(H)所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征向量時，σ2最大，且有Hw=λmax(H)。

（4）將歸一化后的w=(w1，w2，…，wm)T代入式（2），可得各個樣本水平的綜合評價序列矩陣Y：

為體現(xiàn)“厚今薄古”的思想，對樣本每個時期綜合評價值賦予時間權(quán)重，進(jìn)而得到樣本i在總時期內(nèi)的指標(biāo)維度綜合評價值Yi：

其中，時間權(quán)重ωtk由反三角函數(shù)F(tk)=arctan(tk)（tk=1，2，…，N）確定[3]。

2 面板數(shù)據(jù)時間維度的動態(tài)綜合評價

為體現(xiàn)樣本的波動大小和變化趨勢，運(yùn)用具有速度特征的動態(tài)綜合評價模型[13]計算面板數(shù)據(jù)時間維度綜合評價值。根據(jù)“縱橫向”拉開檔次法得到綜合評價時間序列矩陣式（6），記樣本在[tj，tj+1]時間段的增量速度為vij，得到樣本的增量速度時間序列矩陣為：

根據(jù)式（8）可對樣本的增量速度狀態(tài)和趨勢進(jìn)行測度。

2.1 增量速度狀態(tài)

假設(shè)樣本在某一時間段內(nèi)的增量速度狀態(tài)是均勻的，則樣本增量速度的運(yùn)動軌跡如圖1所示。

圖1 樣本增量速度運(yùn)動軌跡

圖1 中折線與橫軸圍成的面積就是樣本在[tj，tj+1]時間內(nèi)增量速度狀態(tài)累計狀況，其動態(tài)綜合評價值可用積分表示為：

2.2 增量速度趨勢

由式（8）可求得樣本在時間[j，j+1]內(nèi)的增量加速度為：

為使動態(tài)綜合評價值體現(xiàn)出樣本“上升”或“下降”的變化信息，構(gòu)造如下單調(diào)遞增函數(shù)測度樣本的增量速度趨勢：

若aij→+∞，則λ(aij)趨近于ε；若aij→-∞，則λ(aij)趨近于0。利用λ(aij)的單調(diào)遞增性可對不同的增量速度狀態(tài)進(jìn)行獎懲式修正。若aij=0，λ(aij)=1，ε=2，樣本增量速度不變，則不對增量速度狀態(tài)進(jìn)行獎勵或懲罰；若，樣本增量速度加速上升，則增量速度狀態(tài)得到相應(yīng)大小的獎勵因子；若aij＜0，λ(aij)=，樣本增量速度加速下降，則增量速度狀態(tài)得到相應(yīng)大小的懲罰因子。

2.3 動態(tài)綜合評價值

結(jié)合增量速度狀態(tài)和增量速度趨勢，可得到第i個樣本在時間[tj，tj+1]內(nèi)的增量速度的動態(tài)綜合評價值為：

樣本在時間[t1，tN]內(nèi)的動態(tài)綜合評價值為：

3 基于特征提取的面板數(shù)據(jù)灰色可能度聚類步驟

基于動態(tài)綜合評價角度對面板數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析，具體步驟如下。

步驟1：利用“縱橫向”拉開檔次法對面板數(shù)據(jù)指標(biāo)維度進(jìn)行綜合評價，得到綜合評價序列矩陣式（6），并依據(jù)“厚今薄古”的思想，利用反三角函數(shù)F(t)=arctan(t)(t=1，2，…，N)計算時間權(quán)重，得到每個樣本指標(biāo)維度的綜合評價值Yi（式（7））。

步驟2：根據(jù)式（6）的綜合評價時間序列矩陣計算得到式（8）的變化速度時間序列矩陣，進(jìn)而計算樣本的增量速度狀態(tài)和趨勢，最后得到體現(xiàn)樣本波動大小和變化趨勢的時間維度評價值。

步驟3：將Yi和

4 實(shí)例分析

4.1 數(shù)據(jù)來源和指標(biāo)選取

本文選取了2011—2018 年我國31 個省份（不含港澳臺）的相關(guān)數(shù)據(jù)分析省域高等教育發(fā)展水平。從教育規(guī)模、教育投入、教育產(chǎn)出3個方面選取了9個指標(biāo)，分別為每十萬人口普通高等學(xué)校數(shù)、每萬人在校學(xué)生數(shù)，公共財政預(yù)算教育經(jīng)費(fèi)支出占一般公共預(yù)算財政支出的比重、生均教育經(jīng)費(fèi)支出、普通高校師生比、普通高校研究與發(fā)展（R&D）全時人員，普通高校專任教師平均R&D課題數(shù)、普通高校發(fā)表科技論文數(shù)、普通高校專利申請數(shù)。原始數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計年鑒》《中國教育經(jīng)費(fèi)統(tǒng)計年鑒》《中國科技統(tǒng)計年鑒》，部分指標(biāo)數(shù)據(jù)經(jīng)計算得到。

4.2 計算指標(biāo)維度綜合評價值

通過R軟件，依據(jù)“縱橫向”拉開檔次法的計算步驟，可以得到隱含時間因素的指標(biāo)權(quán)重為w=(0.1203，0.1370，0.1049，0.1034，0.0401，0.1298，0.1282，0.1278，0.1086)T。根據(jù)所得權(quán)重，可計算得到樣本的綜合評價時間序列矩陣，具體見表1。

表1 高等教育發(fā)展水平綜合評價時間序列矩陣

為進(jìn)一步得到樣本所有時期總的綜合評價值，利用反三角函數(shù)計算得到樣本的時間權(quán)重wt=(0.0776，0.1094，0.1234，0.1309，0.1357，0.1389，0.1412，0.1429) 。樣本在所有時期總的綜合評價值見表2。

表2 高等教育發(fā)展水平指標(biāo)維度綜合評價值

從表2 可以看出，北京的指標(biāo)維度綜合評價值最高，說明北京的高等教育發(fā)展水平最高；上海、江蘇、天津等省份次之，整體的高等教育發(fā)展水平也比較高；遼寧、浙江、湖北、陜西等省份得分也較為不錯，高等教育發(fā)展水平較高；而一些西部地區(qū)的省份，如云南、青海、西藏等得分比較低，說明這些省份的高等教育發(fā)展水平相對較低。

4.3 計算時間維度動態(tài)綜合評價值

由式（6）得到樣本的變化速度時間序列矩陣式（8），由式（9）得到樣本的高等教育發(fā)展水平增量速度狀態(tài)結(jié)果，結(jié)合式（10）、式（11）得到樣本高等教育發(fā)展水平的增量速度趨勢結(jié)果，由式（12）和式（13）得到樣本高等教育發(fā)展水平時間維度的動態(tài)綜合評價值（見表3）。

表3 高等教育發(fā)展水平時間維度綜合評價值

由表3 可知，廣東、福建等省份的時間維度綜合評價值較高，說明在2011—2018年，這兩個省份的高等教育發(fā)展較快。

4.4 聚類分析

圖2 聚類系數(shù)隨聚類數(shù)目變化散點(diǎn)圖

從圖2可以看出，當(dāng)聚類數(shù)目達(dá)到7之后，聚類系數(shù)的散點(diǎn)曲線逐漸趨于平緩，所以將離差平方和系統(tǒng)聚類的結(jié)果分為七類（見表4），并根據(jù)聚類結(jié)果繪制綜合評價趨勢圖（見圖3）。

表4 動態(tài)綜合評價法聚類結(jié)果

圖3 動態(tài)綜合評價法綜合得分趨勢圖

結(jié)合表4和圖3可知，第一類為北京，高等教育發(fā)展水平最高，整體呈現(xiàn)下降的趨勢。第二類為上海、江蘇、天津，高等教育發(fā)展水平也很高且整體發(fā)展趨勢相對平穩(wěn)。第三類為遼寧、陜西、浙江、湖北，高等教育發(fā)展水平較高，發(fā)展趨勢有一定波動起伏。第四類為廣東、福建，高等教育發(fā)展水平中等，整體呈現(xiàn)上升的趨勢，是近幾年發(fā)展較快的省份。第五類為黑龍江、吉林、山東、安徽、湖南、重慶、四川，高等教育發(fā)展水平較低，呈現(xiàn)上下浮動狀態(tài)。第六類為貴州、廣西、寧夏、山西、甘肅、江西、河北、河南，高等教育發(fā)展水平偏低，整體發(fā)展趨勢相對平緩。第七類為內(nèi)蒙古、海南、青海、新疆、云南、西藏，高等教育發(fā)展水平最低，發(fā)展比較緩慢。需要說明的是，整體呈現(xiàn)下降的趨勢不意味著教育水平的下降。如北京，雖然呈現(xiàn)逐年下降趨勢，但教育水平的各項(xiàng)指標(biāo)是沒有下降的，而綜合評價值逐年降低是因?yàn)閷γ磕陻?shù)據(jù)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理。標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)際上是一個縮放的過程，盡管北京的各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)值在增加，但其他省份的指標(biāo)數(shù)值增加得更多，因此，北京與其他省份的差距在變小，則標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)值也會相對變小。這也說明了教育資源從中心地區(qū)不斷向周圍其他地區(qū)下放，各省份間的高等教育水平差距在不斷縮小。

4.5 聚類結(jié)果對比分析

為了進(jìn)行對比分析，運(yùn)用文獻(xiàn)[10]中的特征提取法進(jìn)行聚類，聚類結(jié)果見表5和圖4。

圖4 特征提取法綜合得分趨勢圖

觀察表5 可知，兩種方法聚類結(jié)果較為相似，如北京均是自成一類，福建和廣東也都是聚為同一類，其他類別中也存在較多重疊的省份，但也有一些省份的歸類差別較大。如特征提取法將黑龍江、重慶、湖北、陜西、遼寧歸到了第四類，而動態(tài)綜合評價法是將浙江、湖北、陜西、遼寧聚為第三類。根據(jù)表3中的水平值可知，黑龍江和重慶的高等教育發(fā)展水平值在0 左右，而陜西、湖北、遼寧、浙江都在0.5左右，且在趨勢上也較為相近，所以就地區(qū)的整體水平來看，動態(tài)綜合評價法的聚類結(jié)果更為合理。又如特征提取法中第六類將寧夏、西藏、吉林、湖南等省份都聚到了一類，然而無論是教育的投入、規(guī)模還是產(chǎn)出，寧夏、西藏都與吉林、湖南等省份相去甚遠(yuǎn)，將其聚為一類并不合適。

再觀察圖3 和圖4，可以看出圖3 的聚類結(jié)果中各省份的高等教育發(fā)展水平高低和變化趨勢都較為相似，而圖4中特征提取法的聚類結(jié)果在整體趨勢上是較為相似的，但樣本絕對水平的跨度比較大，使得聚類結(jié)果看起來參差不齊。

為使對比更客觀，通過Calinski-Harabasz 指標(biāo)（CH）和Davies-Bouldin指標(biāo)（DB）度量聚類效果。

（1）CH通過類間分散度與類內(nèi)緊密度之比衡量聚類效果[14]。CH值越大表明聚類結(jié)果越好。

其中，n為數(shù)據(jù)個數(shù)，k為聚類數(shù)，trB(k)為類間離差陣的跡，trW(k)為類內(nèi)離差陣的跡。

（2）DB通過類內(nèi)與類間分散程度之比衡量類與類的相似度[15]。DB值越小，聚類結(jié)果越好。

其中，k為聚類數(shù)，Wi、Wj分別為第i類和第j類內(nèi)數(shù)據(jù)到其質(zhì)心的平均距離，Cij為第i、j類的類間距離。

根據(jù)上述指標(biāo)定義，可計算得到兩種方法聚類的CH值和DB值，結(jié)果如表6所示。

表6 CH 值和DB 值

觀察表6可知，動態(tài)綜合評價法聚類結(jié)果的CH值更大，DB值更小，即兩種指標(biāo)結(jié)果都顯示動態(tài)綜合評價法的聚類效果更優(yōu)。

5 結(jié)束語

基于面板數(shù)據(jù)聚類的特殊性以及現(xiàn)有面板數(shù)據(jù)聚類方法所存在的一些問題，本文從動態(tài)綜合評價角度提取面板數(shù)據(jù)指標(biāo)維度和時間維度信息。利用“縱橫向”拉開檔次法和具有速度特征的動態(tài)綜合評價模型分別提取樣本的指標(biāo)維度綜合評價值和時間維度綜合評價值，并對兩個維度綜合評價值進(jìn)行系統(tǒng)聚類。此方法避免了對面板數(shù)據(jù)使用歐氏距離所帶來的問題，同時也解決了主成分分析法所得評價值缺乏統(tǒng)一性、可比性以及均值法無法體現(xiàn)時間重要性的問題。最后對2011—2018年我國省域高等教育發(fā)展水平相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明所提方法聚類效果良好。