陳渝豐 徐曉璐 張金鵬 張昆峰 岳強(qiáng) 張文靜

摘 要：????? ?摩擦干擾力矩影響電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)的跟蹤性能， 造成位置和速度跟蹤偏差， 甚至可能導(dǎo)致伺服系統(tǒng)不穩(wěn)定。 針對(duì)摩擦力矩干擾下的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)跟蹤性能差的問題， 本文提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦補(bǔ)償算法（FOANN）， 估計(jì)并補(bǔ)償摩擦干擾力矩。 首先， 建立基于LuGre模型的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)模型， 利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)模型中的不可測(cè)狀態(tài)變量。 其次， 設(shè)計(jì)FOANN摩擦補(bǔ)償控制器， 利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明電動(dòng)舵機(jī)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 最后， 利用仿真和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)， 對(duì)比分析了FOANN、 傳統(tǒng)PD控制和模型自適應(yīng)控制的性能。 結(jié)果表明， 基于本文所提出的FOANN摩擦力矩補(bǔ)償控制算法， 電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均大幅減小， FOANN算法能夠有效估計(jì)并補(bǔ)償摩擦力矩， 降低摩擦干擾對(duì)電機(jī)舵機(jī)伺服系統(tǒng)的影響， 提高伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：???? 電動(dòng)舵機(jī)； 摩擦； LuGre模型； 分?jǐn)?shù)階控制； 自適應(yīng)控制； 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號(hào)：??? ?TJ765

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：??? A

文章編號(hào)：??? ?1673-5048（2024）01-0133-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0104

0 引? 言

電動(dòng)舵機(jī)是控制導(dǎo)彈飛行軌跡的執(zhí)行機(jī)構(gòu)， 其性能的優(yōu)劣決定了導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度和快速機(jī)動(dòng)能力［1-2］。 電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)的跟蹤性能受到諸多因素的影響， 其中， 摩擦力矩會(huì)造成“抖動(dòng)”或“爬行”現(xiàn)象， 是導(dǎo)致電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)跟蹤性能降低的重要因素［3-6］。 利用控制方法消除摩擦干擾的影響， 能夠提高舵機(jī)系統(tǒng)的性能。

近年來(lái)， 國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)摩擦力矩補(bǔ)償算法進(jìn)行了研究， 主要分為無(wú)模型摩擦補(bǔ)償算法和基于模型的摩擦補(bǔ)償算法兩類。 無(wú)模型摩擦補(bǔ)償控制方法將摩擦視為一種擾動(dòng)， 控制算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單但補(bǔ)償效果有限［7］。 為了追求更高的控制性能， 需建立摩擦模型來(lái)設(shè)計(jì)摩擦補(bǔ)償控制方法。 常見的摩擦模型有Stribeck模型、 Karnopp模型、 LuGre模型等。 LuGre模型能夠全面精確地反映預(yù)滑動(dòng)位移、 摩擦滯環(huán)、 變化的臨界摩擦、 爬行以及Stribeck效應(yīng)等摩擦特性， 得到了廣泛應(yīng)用［8-12］。 基于LuGre模型， 提出了各種不同的先進(jìn)摩擦補(bǔ)償控制方法， 如自適應(yīng)控制［13］、 自適應(yīng)滑模［14］、 魯棒自適應(yīng)［15］以及自適應(yīng)反步［16］等， 一定程度上降低了摩擦干擾的影響。 隨著分?jǐn)?shù)階控制理論的發(fā)展， 分?jǐn)?shù)階控制算法以其控制精度更高和魯棒性更強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)［17-20］， 逐漸成為一種重要的控制方法。

本文基于LuGre模型， 利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)LuGre模型中的不可測(cè)狀態(tài)變量， 引入分?jǐn)?shù)階控制理論， 提出一種基于分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Fractional Order Adaptive Neural Network， FOANN）的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)補(bǔ)償控制方法。 該控制器由四個(gè)模塊組成： PD、 前饋、 速度反饋以及分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦力矩補(bǔ)償模塊， 并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性。

該控制方法可以實(shí)時(shí)估計(jì)并補(bǔ)償系統(tǒng)受到的LuGre摩擦力矩， 從而降低摩擦干擾對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響， 提高系統(tǒng)跟蹤性能。 通過與PD控制器和模型參考自適應(yīng)控制器（Model Reference Adaptive Control， MRAC）的仿真和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)比實(shí)驗(yàn)， 驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。

1 基于LuGre模型的電動(dòng)舵機(jī)模型

在兩相旋轉(zhuǎn)d-q坐標(biāo)系下， 基于永磁同步電機(jī)（PMSM）的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下：

式中： ud， uq為d， q軸電壓； id， iq為d， q軸電流； ψd， ψq為d， q軸磁鏈； Ld， Lq為d， q軸電感； Rs為相電阻； ωr為轉(zhuǎn)子角速度； ψf為永磁鏈； Tem為電磁轉(zhuǎn)矩； p為電機(jī)極對(duì)數(shù)； J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； ω為旋轉(zhuǎn)的機(jī)械角度； Ffriction為摩擦力矩； B為阻尼系數(shù)。

對(duì)于電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)， 為了消除磁場(chǎng)定向控制中產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)， 令id=0。 不失一般性， 令Ld=Lq=L， ψd=ψq=ψf。 電動(dòng)舵機(jī)運(yùn)動(dòng)方程改寫為

令控制器輸出u=iq， 電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)模型改寫為

式中： σ0為鬃毛的剛度系數(shù)； σ1為阻尼系數(shù)； σ2為黏性摩擦系數(shù)； v為相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度； vs為Stribeck效應(yīng)速度； g（v）描述Stribeck現(xiàn)象； Fc為庫(kù)侖摩擦力； Fs為最大靜摩擦力； Ff為L(zhǎng)uGre摩擦力矩； z表示鬃毛的平均形變， 為不可測(cè)狀態(tài)變量。

定義參數(shù)σ、 （v）如下：

σ=σ1+σ2

將上兩式代入式（12）， LuGre摩擦力矩可改寫為

Ff=σ0z－σ1|v|（v）z+σv（13）

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不可測(cè)狀態(tài)變量估計(jì)

利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)LuGre摩擦力矩中的不可測(cè)狀態(tài)變量z：

z=wTh（i（t））+ε（i（t））（14）

式中： w∈Rp為未知權(quán)重向量； i（t）為輸入向量； ε（i（t））為有界估計(jì)誤差； h（i（t））為基向量， h（i（t））=［h0（i（t））， …， hp（i（t））］T∈Rp。

將式（14）代入式（13）中， LuGre摩擦力矩可改寫為

Ff=σ0wTh（i（t））－σ1v（v）wTh（i（t））+σv+ε（i（t））（σ0－σ1v（v））（15）

LuGre摩擦力矩的估計(jì)誤差εf可表示為

εf=ε（i（t））（σ0－σ1v（v））（16）

若速度v有界， 則估計(jì)誤差εf有上界ε0， 即εf≤ε0。

3 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

為了減小LuGre摩擦力矩干擾對(duì)電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)的不利影響， 基于LuGre模型的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)模型和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不可測(cè)狀態(tài)變量估計(jì)， 結(jié)合分?jǐn)?shù)階控制理論， 設(shè)計(jì)FOANN控制器， 并根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理， 證明系統(tǒng)穩(wěn)定性。

3.1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分利用分?jǐn)?shù)階微積分算子， 使得控制系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)增加， 提供更豐富的系統(tǒng)信息， 提高系統(tǒng)控制性能和魯棒性， 是整數(shù)階微積分的延伸。 分?jǐn)?shù)階微積分定義種類繁多， 本文選擇RL分?jǐn)?shù)階微積分定義：

RL分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

式中： RaIηt為積分算子； t、 a為積分算子的上、 下限； η為積分階次。

性質(zhì)1： 已知微分階次α=1， 若f（t）為常量， 則在微分區(qū)間［a， t］內(nèi)有RaDαtf（t）=0。

性質(zhì)2： 若微分階次α和積分階次η都為正實(shí)數(shù)， 則在微分區(qū)間［a， t］內(nèi)有RaDαt［RaIηtf（t）］=RaDα-ηtf（t）。

為了簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算， 提高其實(shí)用性， 本文采用改進(jìn)型Oustaloup算法［21］擬合分?jǐn)?shù)階微積分， 其在擬合頻段［ωb， ωh］內(nèi)的近似公式為

式中： b， d∈R+； 零點(diǎn)ωz、 極點(diǎn)ωp和增益K分別表示為

3.2 FOANN控制器設(shè)計(jì)

電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)誤差eω， ev和e定義如下：

eω=ω－ωd（24）

ev=v－vd（25）

e=ev+λeω（26）

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ε0的估計(jì)誤差定義如下：

由于待設(shè)計(jì)正參數(shù)λ>0， 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)Ge（s）=eω（s）/e（s）=1/（s+λ）始終保持穩(wěn)定， 因此e和eω具有相同的收斂性。 為減小電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)摩擦干擾的影響， 以系統(tǒng)誤差e盡可能小為控制目標(biāo)。

根據(jù)電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)模型式（8）～（9）以及LuGre摩擦力矩表達(dá)式（15）， 設(shè)計(jì)FOANN控制律如下：

式中： c為待設(shè)計(jì)的正參數(shù)。

FOANN控制器結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示， 主要包括4個(gè)

式中： kε、 kσ、 k0、 k1和Υ0、 Υ1分別為待整定的正參數(shù)和正定矩陣； α和β分別為待整定的微分階次和積分階次。

定理1： 對(duì)于LuGre摩擦力矩式（15）干擾下的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)式（8）～（9）， 利用FOANN控制律式（28）以及參數(shù)更新律式（29）～（34）， 可以保證系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定， 且當(dāng)t→∞時(shí)， 系統(tǒng)誤差e→0。

證明1： 系統(tǒng)的李雅普諾夫方程V定義如下：

根據(jù)性質(zhì)2， 對(duì)李雅普諾夫方程V求導(dǎo)得

將式（8）～（9）、 （15）、 （20）～（21）、 （24）～（28）代入（36）得

根據(jù)性質(zhì)1以及性質(zhì)3得

將參數(shù)更新律式（29）～（34）代入式（38）得

至此， 定理1證明完畢。

4 仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基于如圖2所示的舵機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及其參數(shù)， 驗(yàn)證所提出的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦補(bǔ)償算法的有效性。 在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中， 利用實(shí)時(shí)仿真器控制負(fù)載電機(jī)驅(qū)動(dòng)器， 驅(qū)動(dòng)負(fù)載電機(jī)， 模擬舵機(jī)系統(tǒng)的摩擦干擾。 利用PD控制器以及MRAC控制器和所提出的FOANN控制器進(jìn)行仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證， 電動(dòng)舵機(jī)參數(shù)如表1所示。

4.1 控制器參數(shù)整定

步驟1： PD控制參數(shù)整定

MRAC控制器和FOANN控制器中均包含相同結(jié)構(gòu)的PD控制模塊。 選取合適的PD參數(shù)， 可以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 參數(shù)整定時(shí)， 量化性能指標(biāo)如下：

（1） 無(wú)摩擦干擾時(shí)， 3種控制器的最大位置誤差均小于3%；

（2） 存在基于LuGre模型的摩擦干擾時(shí)， MRAC控制器和FOANN控制器的最大位置誤差小于6%。

根據(jù)上述指標(biāo)， 選擇如下PD參數(shù)：

（1） PD控制器參數(shù)： kP=2.36×102， kD=6.8。

（2） MRAC控制器的PD控制模塊參數(shù)： cm=6.1×10－2， km=5.2×101。

（3） FOANN控制器的PD控制模塊參數(shù)： c=3.15， λ=13。

步驟2： 自適應(yīng)參數(shù)整定

理論上， 自適應(yīng)參數(shù)可以選擇任意大于零的值， 但在實(shí)際應(yīng)用中， 自適應(yīng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能存在如下影響：

（1） 隨著kσ和k0增大， 估計(jì)參數(shù)收斂速度加快， 系統(tǒng)性能提高， 但相應(yīng)的控制輸出波動(dòng)變大；

綜合考慮系統(tǒng)跟蹤性能和穩(wěn)定性， 選擇如下的自適應(yīng)參數(shù)：

（1） MRAC控制器的自適應(yīng)參數(shù)： k0，m=2.28×10-3， k1，m=5.04×10-5， kσ，m=5.45×10-3。

（2） FOANN控制器自適應(yīng)參數(shù)： k0=2.2， k1=5.1×10－3， kσ=2.9×10－1。

步驟3： 分?jǐn)?shù)階參數(shù)整定

分?jǐn)?shù)階參數(shù)過小會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)LuGre摩擦力矩的估計(jì)速度下降， 過大則會(huì)導(dǎo)致估計(jì)的LuGre摩擦力矩出現(xiàn)震蕩， 甚至過擬合， 導(dǎo)致系統(tǒng)控制精度降低， 穩(wěn)定性下降。 綜合考慮LuGre摩擦力矩估計(jì)參數(shù)的收斂速度、 控制精度以及系統(tǒng)穩(wěn)定性， 選擇如下的FOANN控制器分?jǐn)?shù)階參數(shù)：

（1） FOANN控制器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)： Υ0=1.3·E， Υ1=（9.5×10-1）·E， kε=1×10－4。 E為單位矩陣。

（2） FOANN控制器的分?jǐn)?shù)階微積分參數(shù)： α=0.45， β=0.54。

4.2 仿真結(jié)果分析

設(shè)置電動(dòng)舵機(jī)位置伺服系統(tǒng)的采樣時(shí)間為10-4 s， 運(yùn)行時(shí)間為10 s， 期望位置軌跡ωd（t）=sin（2πt）。

圖3～4分別給出了3種控制器的位置跟蹤曲線和位置跟蹤誤差曲線。 由圖可知， PD控制器的位置跟蹤曲線出現(xiàn)了明顯的“平頂”現(xiàn)象， 未能準(zhǔn)確跟蹤輸入信號(hào)， 最大位置跟蹤誤差為1.19×10-1 rad； MRAC控制器在一定程度上補(bǔ)償了摩擦力矩， 改善了“平頂”現(xiàn)象， 最大位置跟蹤誤差為2.59×10-2 rad； FOANN控制器更準(zhǔn)確地估計(jì)并補(bǔ)償了LuGre摩擦力矩， 大幅削弱了“平頂”現(xiàn)象， 最大位置跟蹤誤差僅為2.85×10-3 rad， 低于PD控制器兩個(gè)數(shù)量級(jí)， 低于MRAC控制器一個(gè)數(shù)量級(jí)。 最大位置跟蹤誤差如表2所示。

圖5～6分別給出了3種控制器的速度跟蹤曲線和速度跟蹤誤差曲線。 由圖可知， PD控制器沒有補(bǔ)償LuGre摩擦力矩， 其速度跟蹤軌跡零點(diǎn)的鄰域附近出現(xiàn)了明顯的“死區(qū)”現(xiàn)象， 最大速度跟蹤誤差為1.38 rad/s；MRAC控制器在一定程度上補(bǔ)償了LuGre摩擦力矩， 改善了“死區(qū)”現(xiàn)象， 最大速度跟蹤誤差為1.23 rad/s， 誤差略小于PD控制器； FOANN控制器更準(zhǔn)確地估計(jì)并補(bǔ)償了LuGre摩擦力矩， 大幅削弱了“死區(qū)”現(xiàn)象， 最大速度跟蹤誤差僅為6.22×10-2 rad/s， 低于PD控制器和MRAC控制器兩個(gè)數(shù)量級(jí)。 最大速度跟蹤誤差如表2所示。

圖7比較了給定LuGre摩擦力矩與MRAC控制器以及FOANN控制器所估計(jì)的LuGre摩擦力矩。 由圖可知， MRAC控制器估計(jì)LuGre摩擦力矩與給定LuGre摩擦力矩之間存在較大誤差；? FOANN控制器估計(jì)的LuGre摩擦力矩與給定LuGre摩擦力矩之間存在微小誤差， 估計(jì)準(zhǔn)確性較高。

3種控制器的控制輸出如圖8所示。 由圖可知，? FOANN控制器的控制輸出曲線平滑， 沒有明顯的抖動(dòng)。 雖然FOANN控制器需要提供額外的補(bǔ)償控制輸出來(lái)補(bǔ)償LuGre摩擦力矩， 但其控制輸出與PD控制器和MRAC控制器近似相同。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制方法的有效性， 基于圖2所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)， 采用與仿真相同的控制器參數(shù)， 對(duì)比分析PD控制器、 MRAC控制器以及本文所提出的FOANN控制器的控制性能。

圖9～10分別給出了3種控制器的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)位置跟蹤曲線及其誤差曲線， 表3給出了3種控制器的最大位置跟蹤誤差。 可以看出， 相比仿真結(jié)果， 3種控制器的位置跟蹤性能均有所下降， 但FOANN控制器的性能仍然優(yōu)于PD控制器和MRAC控制器。

圖11～12分別給出了3種控制器的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)速度跟蹤曲線及其誤差曲線， 表3給出了三種控制器的最大速度跟蹤誤差。 可以看出， 在速度跟蹤軌跡零點(diǎn)的鄰域附近， 3種控制器作用下的電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)速度跟蹤曲線均出現(xiàn)了波動(dòng)， MRAC控制器和PD控制器的波動(dòng)幅度較大， 但FOANN控制器的波動(dòng)不明顯。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， FOANN能夠有效改善“死區(qū)”現(xiàn)象， 速度跟蹤更平穩(wěn)， 精度更高。

MRAC控制器和FOANN控制器的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)LuGre摩擦力矩估計(jì)曲線如圖13所示。 可以看出， 相較于MRAC控制器， FOANN控制器對(duì)LuGre摩擦力矩的估計(jì)更平穩(wěn)， 抖動(dòng)更小， 雖相比于仿真時(shí)震蕩略大， 但仍能較好地估計(jì)摩擦力矩。

綜合以上仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知， 相比于PD控制器和MRAC控制器， FOANN控制器更準(zhǔn)確實(shí)時(shí)地估計(jì)并補(bǔ)償電動(dòng)舵機(jī)位置伺服系統(tǒng)的LuGre摩擦力矩， 以微小的額外控制輸出， 可以實(shí)現(xiàn)更好的控制效果。

5 結(jié)? 論

針對(duì)電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)中的摩擦干擾問題， 本文基于LuGre模型， 利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)了系統(tǒng)模型中的不可測(cè)狀態(tài)變量， 設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦補(bǔ)償控制器。 該控制器由PD、 前饋、 速度反饋和分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦力矩補(bǔ)償四個(gè)模塊組成， 并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性。 與PD控制器和MRAC控制器的對(duì)比仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， FOANN控制器以微小的額外控制輸出， 更準(zhǔn)確實(shí)時(shí)地估計(jì)并補(bǔ)償了舵機(jī)伺服系統(tǒng)受到的摩擦力矩， 使舵機(jī)伺服系統(tǒng)跟蹤性能顯著提高。

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A Friction Disturbance Compensation Method for Electromechanical

Actuator

Based on Fractional Order Adaptive Neural Network

Abstract：Friction torque disturbance affects the tracking performance of electromechanical actuator servo system， bringing position and speed tracking errors， and even may leading to instability of the servo system. Aiming at the problem of poor tracking performance of electromechanical actuator servo system under friction torque disturbance， a FOANN friction compensation algorithm is proposed to estimate and compensate the friction torque. Firstly， base on LuGre friction model， a electromechanical actuator model is established， and the unmeasured state variable in the LuGre model is estimated by radial basis function neural network. Secondly， a FOANN controller is designed， and the stability of corresponding closed-loop system is proved by Lyapunov stability theory. Finally， through simulation and experimental platform， the dynamic performance of FOANN is compared with those of traditional PD and MRAC. The simulation and experimental results show that， with the proposed FOANN friction torque compensation algorithm， the tracking errors of both position and velocity of electromechanical actuator servo system are greatly reduced. FOANN algorithm can effectively estimate and compensate friction torque， reduce the impact of friction disturbance and enhance the dynamic performance of the servo system.

Key words： electromechanical actuator； friction； LuGre model； fractional order control； adaptive control； radial basis function neural network