李小松 孫志敏

摘要：針對(duì)控制系統(tǒng)控制性能不穩(wěn)定的問(wèn)題，實(shí)踐中可在控制系統(tǒng)里設(shè)定一種分?jǐn)?shù)階PID控制器。相比于整數(shù)階PID控制器，分?jǐn)?shù)階PID控制器增加了λ和μ兩個(gè)控制參數(shù)，這樣可以讓控制器在控制過(guò)程中擁有更好的性能，但同時(shí)也使得參數(shù)整定使用更加困難。為了更容易地求出控制器的參數(shù)，需要使用改良過(guò)的粒子群（PSO）優(yōu)化方法來(lái)進(jìn)行整定，將時(shí)間誤差絕對(duì)值（ITAE）準(zhǔn)則應(yīng)用到控制器的控制過(guò)程當(dāng)中，可以快捷地得出分?jǐn)?shù)階PID控制器的優(yōu)化參數(shù)。通過(guò)對(duì)常規(guī)PID控制器與分?jǐn)?shù)階PID控制器的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的粒子群算法得到的參數(shù)在運(yùn)用到控制系統(tǒng)中時(shí)會(huì)得到的更好的效果，說(shuō)明了優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制效果要優(yōu)于整數(shù)階PID控制器的控制效果。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階PID；粒子群算法；參數(shù)整定

doi：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2024.03.023

中圖分類號(hào)：TP 273? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? ?文章編碼：1672-7274（2024）03-00-03

隨著近年來(lái)科技的不斷進(jìn)步，工業(yè)和醫(yī)療對(duì)科技的要求也越來(lái)越高。在20世紀(jì)90年代Podlubny提出，將傳統(tǒng)PID控制器引入微分階次μ和積分階次λ，增加了FOPID控制器的控制范圍[1-2]，控制精度大大提高，在被控對(duì)象的控制過(guò)程中也可以更加靈活地操作。

相比于傳統(tǒng)PID控制器，F(xiàn)OPID控制器增加了兩個(gè)參數(shù)，在參數(shù)整定方面，F(xiàn)OPID控制器變得更加復(fù)雜。傳統(tǒng)控制中采用整數(shù)階PID控制器是因?yàn)槿鄙偾蠼夥謹(jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)學(xué)工具，F(xiàn)OPID控制器雖然可以解決許多復(fù)雜難題，但是參數(shù)整定的問(wèn)題如果不能得到有效解決依然不能得到廣泛推廣，于是參數(shù)整定的問(wèn)題成為分?jǐn)?shù)階PID控制的研究熱點(diǎn)。相比于常見(jiàn)的頻域幅值裕量法和主導(dǎo)極點(diǎn)法，采用優(yōu)化方法可以縮減很多工作量。優(yōu)化方法最重要的一環(huán)就是獲得優(yōu)化參數(shù)，在控制系統(tǒng)的控制過(guò)程中正是借用這些參數(shù)提升系統(tǒng)性能的，利用粒子群（Particle Swarm Optimization，PSO）優(yōu)化算法是當(dāng)下獲取參數(shù)運(yùn)用比較廣泛的新型算法。

1? ?分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階PID控制器

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分

整數(shù)階微積分通過(guò)延伸的方式推出分?jǐn)?shù)階微積分，只要不是整數(shù)階次的微積分就可以被定義成分?jǐn)?shù)階微積分。若想實(shí)現(xiàn)多種階次的微積分也需要依靠分?jǐn)?shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分的算子能在整數(shù)階微積分算子的基礎(chǔ)上拓展得到，表達(dá)式如下：

式中，為分?jǐn)?shù)階微積分算子；下限中積分或微分用a表示；上限中積分或微分用t表示；階次用表示。下面四個(gè)公式是分?jǐn)?shù)階微積分中使用最多的定義。

（1）Caputo表達(dá)式。

式中，α<0。

（2）Cauchy表達(dá)式。

式中，C為開(kāi)區(qū)域的光滑曲線。

（3）Grunwald-Letnikov表達(dá)式。

式中，為函數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)；[（t-α）]可以趨向于∞。

（4）Riemann-Liouville表達(dá)式。

1.2 FOPID控制器

FOPID控制器和傳統(tǒng)PID控制器的不同之處就在于FOPID控制器多了兩個(gè)可以任意調(diào)整的參數(shù)，其傳遞函數(shù)為

圖2是FOPID控制器在數(shù)軸坐標(biāo)下的表示，數(shù)軸中用橫坐標(biāo)表示積分階次，用縱坐標(biāo)表示微分階次。通過(guò)橫縱坐標(biāo)的改變可以得到常見(jiàn)的PID控制器，在特殊情況下也會(huì)得到另外兩種控制器。

從圖2中得到的信息有很多，例如，圖2中的陰影部分涵蓋的是λ和μ的所有值，得到PD控制器只需要將λ用0表示μ用1表示，得到PI控制器只需要將λ用1表示μ用0表示。對(duì)于整數(shù)階PID控制器我們將λ和μ共同賦予數(shù)字1即可得到，由此可見(jiàn)分?jǐn)?shù)階PID控制器可以變成上述三種控制器。

整數(shù)階PID控制器中的微分環(huán)節(jié)中有固定的相角超前，通過(guò)產(chǎn)生修正信號(hào)來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。但是固定的相角超前可能達(dá)不到理想的控制效果，而微分環(huán)節(jié)在分?jǐn)?shù)階控制器中可以任意改變?chǔ)痰闹?，這樣可以使相角超前在0°～180°之間任意改變，直到調(diào)節(jié)到最適合被控系統(tǒng)的值。大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果證明，在震蕩頻率，控制時(shí)間和超調(diào)量這些重要數(shù)據(jù)都受到u值干擾的情況下，u值的選擇極其重要并直接決定了系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)。表示相角滯后的PID控制器，可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但也降低了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，可能使系統(tǒng)響應(yīng)太慢，大大延長(zhǎng)了調(diào)節(jié)時(shí)間，從而使得與預(yù)期的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。代表在控制器中占有重要意義的積分環(huán)節(jié)，由于λ可以任意改變其值，所以相角滯后可以在0°～180°之間任意變化，使得調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量減小，穩(wěn)態(tài)精度提高，這樣可以更好地使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，同時(shí)也保證了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

2? ?粒子群算法和仿真實(shí)驗(yàn)

選取文獻(xiàn)[3]中的經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)

用粒子群算法對(duì)被控系統(tǒng)設(shè)計(jì)FOPID控制器主要任務(wù)是參數(shù)的整定，、、、μ、λ這5個(gè)參數(shù)是需要被整定的。

第一步對(duì)粒子群在五維空間中選擇最優(yōu)位置，設(shè)定由5個(gè)參數(shù)的量子位置組成的向量是，，將量子位置轉(zhuǎn)為優(yōu)化解區(qū)域的值來(lái)計(jì)算量子粒子適應(yīng)度值，有如下規(guī)則：

式中，為第d個(gè)參數(shù)優(yōu)化的下限值；為第d個(gè)參數(shù)優(yōu)化的上限值；為第k次迭代中第i個(gè)量子粒子在第d維中的位置。

表示第i個(gè)量子粒子的個(gè)體最優(yōu)位置，表示在位置最優(yōu)情況下量子粒子群的整體，用以下的公式表示整個(gè)演變過(guò)程中粒子i坐標(biāo)和相角的改變軌跡：

設(shè)粒子數(shù)；最大迭代次數(shù)；；，學(xué)習(xí)因子。

第二步在確定具體哪個(gè)函數(shù)指標(biāo)性能較好時(shí)，階躍響應(yīng)時(shí)間同誤差絕對(duì)積分（ITEA）的結(jié)合結(jié)果更好，因此在適應(yīng)度函數(shù)的選擇上使用了ITEA，即：

取得計(jì)算步長(zhǎng)，。

其結(jié)果函數(shù)值大小與控制器的控制性能相關(guān)，函數(shù)值越小，則整定的參數(shù)值越好，控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能也越好。利用上述方法得到一組參數(shù)數(shù)據(jù)：=99.75，=81.34，=92.16，λ=1.09，μ=1.67，得到分?jǐn)?shù)階控制器：。

比較其他設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出的FOPID控制器作用在相同被控對(duì)象下的情況。

第三步用極點(diǎn)階數(shù)法、差分進(jìn)化算法和幅值相位裕量法得到4個(gè)不同的FOPID控制器。

得到的階躍響應(yīng)對(duì)比曲線如圖3所示。可見(jiàn)用粒子群算法得到的FOPID控制器控制的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間超調(diào)量都很小，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性優(yōu)于其他方法得到的FOPID控制器。現(xiàn)給一傳遞函數(shù)：

采用ITAE準(zhǔn)則指標(biāo)優(yōu)化后得到優(yōu)化后的FOPID控制器參數(shù)，，，，，得到FOPID控制器的傳遞函數(shù)，用常規(guī)PID控制器設(shè)計(jì)方法得到。

通過(guò)上述仿真結(jié)果可知，F(xiàn)OPID控制器的控制性能明顯好于一般意義上的PID控制器。將普通的PID控制器與結(jié)論推出來(lái)的控制器做對(duì)比，本文得到的控制器的準(zhǔn)確性和快速性更好，穩(wěn)定后的誤差也更小，超調(diào)量變小，調(diào)節(jié)時(shí)間也變短，表現(xiàn)出很好的魯棒性和穩(wěn)定性。

3? ?結(jié)束語(yǔ)

在確定FOPID參數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，使用了多種不同模式的辦法，相比于其他求FOPID控制器參數(shù)的算法，采用經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的粒子群算法得到的FOPID控制器效果表現(xiàn)更好。仿真實(shí)驗(yàn)也從多個(gè)角度證明了分?jǐn)?shù)階PID控制器和整數(shù)階PID控制器存在本質(zhì)的區(qū)別，在具體實(shí)驗(yàn)中也可以看出，優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PID控制器控制效果較好，穩(wěn)定性得到了明顯的改善，超調(diào)量更小，調(diào)節(jié)時(shí)間也更短。在穩(wěn)定性，準(zhǔn)確性和快速性方面都取得了更優(yōu)的效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉璐，單梁，蔣超，等．基于改進(jìn)粒子群算法的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)（英文）[J]．東南大學(xué)學(xué)報(bào)（英文版），2018（1）：6-14.

[2] 王心，郭偉，魏妙．基于粒子群優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階PID滑?？刂茀?shù)整定[J]．測(cè)控技術(shù)，2017（12）：63-66.

[3] Engineering - Mechanical Engineering; Data from Warsaw University of Technology Advance Knowledge in Mechanical Engineering （Plc Based Fractional-order Pid Temperature Control In Pipeline： Design Procedure and Experimental Evaluation）[J]. Journal of Engineering， 2020，67（3）：102-106.