高 云 陳曉東 程 瑋 劉 磊

* (哈爾濱工業(yè)大學(威海)海洋工程學院,山東威海 264209)

? (天津大學水利工程智能建設與運維全國重點實驗室,天津 300072)

引言

輸流管道在能源、海洋工程和化工等領域均有著非常廣泛的應用.根據結構邊界條件,輸流管道可大致分為兩類:一類是兩端固支的輸流管道;另一類是一端固支、另一端自由的懸臂輸流管道.由于懸臂輸流管道自由端與外界存在質量和動量交換,因此,與兩端固支的輸流管道相比,懸臂輸流管道的動力學響應特征要更為復雜.為了保證流體能夠在懸臂輸流管道內進行安全、穩(wěn)定地輸送,有必要對懸臂輸流管道的動力學響應特征展開深入研究.

根據管內介質不同,可以將懸臂輸流管道動力響應特征研究劃分為:單相內流激勵下懸臂輸流管道動力響應研究以及多相內流激勵下懸臂輸流管道動力響應研究.針對單相內流激勵下懸臂輸流管道的動力響應研究,目前已經取得了很多有意義的研究成果.Semler 等[1]基于哈密頓原理推導得到了二維懸臂輸流管道動力學控制方程.Wadham 等[2]首先推導了三維懸臂輸流管道的控制方程,同年,Wadham 等[3-4]分別對有彈簧約束的懸臂管道動力學和附加點質量的懸臂管道動力學[3]展開研究,發(fā)現(xiàn)理論結果與實驗結果具有良好的一致性.Modarres等[5]研究了懸臂輸流管道系統(tǒng)的顫振問題,主要探討了質量比和重力參數(shù)的影響.包日東等[6]和Ghayesh等[7]研究了受約束的單相內流懸臂管道動力學特性,揭示了其通向混沌的途徑.Yamashita 等[8]研究了受周期性激勵的懸臂管道振動問題,對理論預測的激勵效應進行了定性驗證.Yun 等[9]提出了一種分析單相內流激勵下懸臂管道自由振動的方法,得到了不同流速下的模態(tài)振型.王乙坤等[10]研究了懸臂管與松動約束的碰撞振動問題,得到了不同內流速度下摩擦力對管道動力學響應的影響規(guī)律.陶立佳等[11]研究了隨從力作用下懸臂輸流管道的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的失穩(wěn)方式與臨界流速大小有關.王乙坤等[12]研究了懸臂管道在內流激勵下的參數(shù)共振行為,發(fā)現(xiàn)分布式運動約束力對管道位移響應有顯著影響.易浩然等[13]研究了調控集中質量對懸臂輸流管穩(wěn)定性的影響,得到了集中質量位置對管道振幅表現(xiàn)的影響規(guī)律.Zhou 等[14]研究了基底激勵下懸臂管道的振動響應特征,得到了在亞臨界流速和超臨界流速區(qū)間內管道的響應規(guī)律.方孟孟等[15]研究了懸臂輸流管道在基礎激勵以及脈動內流聯(lián)合作用下的動力學行為,發(fā)現(xiàn)相位差和頻率比對系統(tǒng)的混沌百分比有重要影響.ElNajjar 等[16]研究了附加質量和彈簧位置對懸臂管道臨界流速的影響,發(fā)現(xiàn)在特定位置添加附加質量和彈簧均可顯著提高臨界流速.2020 年開始,Chen 等[17-19]針對懸臂輸流管道系統(tǒng)地開展了一系列研究工作,研究內容主要包括:重力作用下懸臂輸流軟管可能出現(xiàn)的極大幅度振動[17]、懸臂輸流管道大變形振動的磁調控方法[18]以及三維懸臂輸流管道的幾何精確理論模型[19].近期,隨歲寒等[20]研究了懸臂管道受重力和內流作用時的撓度和轉角,發(fā)現(xiàn)隨著內流流速增大,結構撓度和轉角會減小.趙志賢等[21]研究了懸臂輸流管道的自由振動問題,發(fā)現(xiàn)一端帶有彈性支承的約束形式更有利于提高管道自由振動的穩(wěn)定性.漆發(fā)輝等[22]研究了分布載荷作用下懸臂輸流管道的穩(wěn)定性,得到了分布載荷和質量比和黏彈性系數(shù)對系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速的影響規(guī)律.

相比于單相內流激勵下懸臂輸流管道,針對多相內流激勵下懸臂輸流管道動力響應的研究起步較晚,且研究成果也相對較少.Adegoke 等[23]研究了熱載荷作用下輸送兩相流的懸臂管振動問題,發(fā)現(xiàn)溫差、壓力和頂部張力的增加會提高管道的橫向振動頻率.Liu 等[24]建立了輸送氣液兩相段塞流的懸臂管道系統(tǒng)的動力學模型,分析了管道系統(tǒng)的固有頻率.Ebrahimi 等[25]研究了不同兩相流模型下懸臂管道結構的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)模型的選擇對失穩(wěn)邊界有顯著影響,同時管道的動態(tài)響應在很大程度上取決于氣體的體積分數(shù).Guo 等[26]提出了考慮熱效應的兩相流懸臂式管中管系統(tǒng)自由振動的數(shù)學模型,發(fā)現(xiàn)管中管系統(tǒng)在穩(wěn)定性方面優(yōu)于單管輸液系統(tǒng).

由以上研究可以發(fā)現(xiàn),目前針對內流激勵下懸臂輸流管道動力響應特征研究存在兩個明顯不足.(1) 目前絕大多數(shù)研究均是針對單相內流展開,而針對多相內流的研究較少.此外,在有限的針對多相內流的研究中,大多均是針對氣-液兩相內流展開,而針對固-液兩相內流的研究則十分少見.(2) 在目前的研究中,絕大多數(shù)均假設管道質量分布具備均質特征,沒有考慮附著在管道上的集中質量塊引起的非均質特征.因此,端部帶集中質量塊的懸臂管道在固-液兩相內流激勵下的動力學響應特征、尤其是穩(wěn)定性特征問題還有待深入研究.該研究對懸臂輸流管道早期的合理設計、以及服役期的安全工作均有著重要的理論和工程價值.基于以上問題,本文基于能量法建立了固-液兩相內流激勵下帶集中質量塊懸臂管道的非線性耦合動力學模型,緊接著對管道動力學模型進行了數(shù)值求解,并對管道的穩(wěn)定性特征展開了深入分析.

1 問題描述

如圖1 所示,考慮一長度為L、外徑為D、內徑為d的懸臂輸流管道在內流激勵下的動力學響應特征問題,管道在自由端具有質量塊me,管道內部介質為固-液兩相流,流體流動方向自上而下,管道上端采用固接邊界條件,下端采用自由邊界條件.取管道頂端為原點o;z方向與管道未變形時軸線方向重合、且定義向下為正;x方向與管道振動方向重合、且定義向右為正;x和z兩個坐標方向構成結構模型所在的二維坐標系.

圖1 管道示意圖Fig.1 Pipeline diagram

由于經典的Hamilton 原理不適用于本文所研究的懸臂輸流管道模型,因此,這里將基于修正的Hamilton 原理建立管道振動方程.當管道自由端與外界存在質量與動量交換時,修正的哈密頓原理可表示如下[27]

式中,L 為系統(tǒng)拉格朗日函數(shù),W為非保守力做功,M為管道內流質量,U為管道內流速度,rL為管道自由端位置向量,τL為管道自由端空間切向量.當僅考慮管道的平面內振動時,rL和τL可表示為rL=xi+zk,τL=x'i+z'k(其中′表示對管道z坐標求空間偏導).

值得注意的是,式(1)表示的是針對單相內流的修正Hamilton 原理表達式.若考慮固-液兩相內流問題,式(1)可改寫為

式中,Us和Ul分別為固相和液相的流動速度;Ms和Ml分別表示管道內部的固相質量以及液相質量.L=T-V,其中,T以及V分別表示振動系統(tǒng)的總動能和總勢能.

當管道發(fā)生振動時,管內固體介質絕對流動速度vs以及管內液體絕對流動速度vl,可寫作管道振動速度和管內介質對管道相對速度的關系表達式[28]

為了方便計算,這里沒有對內部流場采用精細化建模,而是將內部流場看作是均勻定常流動.系統(tǒng)總動能T等于管道結構動能Tp、管內固體動能Ts以及管內液體動能Tl之和,表示如下

式中,mp是管道結構的質量.δ為Dirac 函數(shù),單位為L-1,表示如下

系統(tǒng)總勢能V等于管道內部固體重力勢能、管道內部液體重力勢能、管道結構重力勢能、管道末端集中質量塊me引起的重力勢能、以及管道彎曲引起的彈性勢能之和,可表示為

式中,κ=x″,為管道曲率.當忽略阻尼時,且不考慮系統(tǒng)外部的非保守力做功.通過系列變分操作及運算,可聯(lián)立式(2)～式(6),得到如下動力學方程

假設固相和液相密度分別為ρs和ρl;固相和液相體積比分別為Qs和Ql(Qs+Ql=1);固相和液相的流動速度Us和Ul可通過滑移因子β建立聯(lián)系,即Us=βUl.

當內部介質為固-液兩相流時,式(7)中內流部分的質量項、動量項和動能項可表示成兩相的疊加形式

聯(lián)立式(7)和式(8),得到內部介質為固-液兩相流時的結構振動控制方程

懸臂管道邊界條件(上端固支、下端自由)可表示為

為方便描述結構動力學響應特征,需對方程(9)進行無量綱化,引入如下無量綱變量

式中,η為無量綱位移,ξ為無量綱坐標位置,τ為無量綱時間,整理得到如下無量綱方程

式中,各無量綱系數(shù)可表示為

其中,κ1為單位長度管道中無量綱液體質量,κ2為單位長度管道中無量綱固體質量,κ3為無量綱附加點質量,u為無量綱內部液相流速,χ為細長比,α為無量綱重力系數(shù).無量綱形式的懸臂管道邊界條件可寫作

2 數(shù)值方法

對無量綱振動位移η進行Galerkin 離散,取前N階模態(tài)振型,可寫作

其中,?i(ξ)為懸臂邊界條件下輸流管道的第i階模態(tài)振型,是第i階廣義坐標.對于懸臂結構,其模態(tài)振型可表示如下[28]

將式(15)代入式(12)后,再在方程左右兩端同時乘以振型函數(shù) ?i(ξ),并在區(qū)間[0,1]上進行定積分,得到

式中,δ函數(shù)表示的附加點質量項的處理方式較為特殊[16],如下

將式(17)寫作矩陣形式,表示為

將式(20)轉化為一階微分方程,可表示如下

式中

假設Z(τ)的表達式寫為

將式(26)代入式(24)中得到

式中,I為單位矩陣,由式(27)可進一步得到

由式(28)可看出,λ為矩陣Y的特征值,對Y進行進一步展開,如下

特征值λ是一系列復數(shù),特征值λ與特征頻率ω之間存在恒定關系,即λ≡ iω[28].根據該關系式,基于矩陣Y的特征值λ便可非常方便地求解得到系統(tǒng)特征頻率ω.特征頻率的實部反應的是系統(tǒng)的固有頻率,特征頻率的虛部反應的是系統(tǒng)振動的穩(wěn)定性特征.若存在特征頻率虛部小于0 的情況,則認為結構發(fā)生失穩(wěn).

基于4 階Houbolt 差分格式對方程(20)進行離散,隨后采用Newton-Raphson 迭代法求解該線性方程組得到結構動力響應特征,該部分詳細數(shù)值方法可參考Gao 等[29]的論文.

3 結果與討論

3.1 理論及數(shù)值模型驗證

為了驗證本文中介紹的內流激勵下輸流管道穩(wěn)定性特征分析理論及數(shù)值模型的可靠性,這里對其展開了驗證.值得注意的是,對于帶集中質量塊的懸臂管道模型,由于缺乏管內為固液兩相流的相關模型數(shù)據,這里僅對管內為單相流的模型進行驗證.將本文中豎直方向的固液兩相內流流動簡化為水平方向的單相內流流動.針對水平方向的單相內流流動問題,可將式(7)進行退化并進行無量綱化處理,得到如下表達式

其中Mi為內部流動介質質量.基于第2 部分提出的理論及數(shù)值方法對式(30)進行數(shù)值求解,通過判斷特征頻率虛部得到管道發(fā)生顫振失穩(wěn)時的臨界速度uc.圖2 給出了當μ=0.2,ξp=0.5 以及γ=0 時基于本文數(shù)值方法得到的臨界速度uc與ElNajjar 等[16]研究結果的對比曲線.由圖2 可看出:臨界速度uc隨β的變化趨勢與ElNajjar 等的研究結果基本一致,從而驗證了本文中判斷內流激勵下管道穩(wěn)定性特征數(shù)值計算方法的可靠性.

圖2 臨界流速uc 驗證圖Fig.2 Verification diagram of critical velocity uc

這里,進一步對結構穩(wěn)定性特征計算方法的可靠性展開了驗證,基于前面的數(shù)值方法,分別對結構內流速度處于臨界速度uc前的亞臨界內流速度和臨界速度uc后的超臨界內流速度對應的結構動力學特征展開了分析.圖3 分別給出了亞臨界內流速度(ui=8.72)以及超臨界內流速度(ui=8.73)對應的結構前4 階模態(tài)振型對應的廣義坐標.由圖3 可以看出,當內流速度處于亞臨界區(qū)間時,結構前4 階模態(tài)振型對應的廣義坐標時程曲線均呈現(xiàn)出隨時間增加而逐漸衰減的特征,此時結構振動形式為衰減振動;當內流速度進入超臨界區(qū)間時,廣義坐標時程曲線均呈現(xiàn)出隨時間增加而逐漸放大的特征,此時結構振動呈現(xiàn)出顫振失穩(wěn)形式.

圖3 內流速度區(qū)間內結構前4 階模態(tài)廣義坐標的時程振動曲線Fig.3 The time-history vibration curve of generalized coordinates of the first four modes of the structure in the supercritical internal flow velocity interval

3.2 結構穩(wěn)定性特征分析

在本節(jié)穩(wěn)定性分析中,分析模型所選取的相關參數(shù)與文獻[30]保持一致,具體參數(shù)如表1 所示.

表1 懸臂管道基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the cantilevered pipe

這里首先系統(tǒng)地討論了流致阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,研究了特征頻率ω隨無量綱內流速度ui的變化特征.研究過程中,無量綱端部質量?3=1.0×10-4,無量綱固相比Qs=0.5.圖4 給出了管道復頻率隨內流速度變化的Argand 圖.由圖4 可以看出:當無量綱內流速度ui較低(ui<20.9)時,所有模態(tài)的特征頻率虛部Im(ω)均為正數(shù),意味著系統(tǒng)無法從內部流體中獲得能量,此時,管道振動呈衰減特征,結構振幅隨時間變化逐漸趨于0.隨著ui的增加,當ui增加至臨界速度20.9 時,第3 階模態(tài)特征頻率虛部Im(ω)首先從正值跨過0 點變?yōu)樨撝?對應的結構阻尼比ζ=Im(ω)/Re(ω) <0,由結構動力學可以知道,結構阻尼比ζ=c/2mωn,所以此時的流致阻尼為負數(shù),意味著系統(tǒng)將從內部流體中獲得能量,此時,結構發(fā)生顫振失穩(wěn),振幅將趨于無窮大.

圖4 管道特征頻率隨內流速度變化特性Fig.4 Characteristic frequency of pipeline varied with internal flow velocity

為了進一步研究流致阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,同時驗證圖4 給出的不穩(wěn)定性的定性判斷結果,這里計算了臨界流速uc前和達到臨界流速uc時這兩種內流速度(ui=20.8,20.9)對應的廣義模態(tài)坐標隨時間變化的特征(如圖5 所示).由圖5 可看出,當ui

圖5 廣義模態(tài)坐標振動時程曲線Fig.5 Generalized modal coordinate vibration time history curve

圖6 給出了4 種不同的無量綱端部質量塊?3下系統(tǒng)臨界流速uc與細長比χ的變化關系圖.由圖6可以看出,針對不同的?3,臨界速度uc隨細長比χ的增加呈現(xiàn)出不同的變化特征.當?3較小(?3=1.0×10-5)時,隨著χ的增大,uc呈下降趨勢,說明此時端部質量塊質量對結構剛度的影響較小,結構的柔性增加導致了結構的不穩(wěn)定性增加.隨著?3的增加,當?3取較大值(?3=2.5×10-5)時,隨著χ的增大,uc幾乎保持不變.當?3進一步增加到5.0×10-5和7.5×10-5時,隨著χ的增大,uc呈現(xiàn)先保持不變、后緩慢增大的趨勢.

圖6 不同長細比χ 對應的失穩(wěn)臨界速度Fig.6 Critical velocity at different aspect ratios,χ

圖7 給出了4 種不同的無量綱端部質量塊?3下系統(tǒng)臨界流速uc與管道重力系數(shù)α的變化關系圖.由圖7 可以看出,當?3較小(?3=1.0×10-5)時,uc隨著α的增大而迅速減小,隨著α的不斷增大,uc變化減緩,但總體變化趨勢不變.相比細長比χ,管道重力系數(shù)α對臨界速度的影響要復雜很多.隨著?3的增加,當?3較大(?3=2.5×10-5)時,隨著α的增大,uc緩慢減小.當?3進一步增加到5.0×10-5和7.5×10-5時,隨著α的不斷增大,uc總體呈增大的趨勢.

圖7 不同重力系數(shù)α 對應的失穩(wěn)臨界速度Fig.7 Critical velocity at different gravity coefficients,α

從4 條曲線變化趨勢可以看出,當重力系數(shù)α達到最大值(α=1.0×10-5)時,4 條曲線終點不斷趨近,此時uc大小接近相等.這說明,隨著α的不斷增大,?3對uc的影響不斷減小.

圖8 給出了4 種不同端部質量塊?3下系統(tǒng)臨界流速uc與管道固相比Qs的變化關系圖.當?3較小(?3=1.0×10-5)時,隨著Qs的增大,uc不斷增大,當Qs增大到0.4 左右,uc增大到最大值,接著隨著Qs的不斷增大,uc不斷減小.隨著?3的增加,當?3較大(?3=2.5×10-5)時,隨著Qs的增大,uc先不斷增大,接著有減小的趨勢,uc達到最大值對應的Qs大于0.4,出現(xiàn)最大值后移現(xiàn)象.當?3進一步增加到5.0×10-5和7.5×10-5時,隨著Qs的增大,uc呈現(xiàn)出不斷增加的趨勢.

圖8 不同固相比Qs 對應的失穩(wěn)的臨界速度Fig.8 Critical velocity at different solid phases,Qs

4 結論

本文利用能量法建立了帶集中質量塊的懸臂輸流管道的結構動力學方程,使用4 階Galerkin 法對結構方程進行了時空離散,得到了常微分方程組.隨后,將常微分方程組寫成矩陣形式,并基于特征值法對管道的穩(wěn)定性特征進行了研究.本文針對端部質量塊?3、細長比χ、重力系數(shù)α和固相體積比Qs對臨界流速uc的影響展開了深入分析.基于以上分析結果,得到結論如下.

(1)當內流速度處于亞臨界區(qū)間時,系統(tǒng)特征頻率虛部均為正數(shù),結構無法從流體中獲取能量,結構振動形式表現(xiàn)為衰減振動;當內流速度處于超臨界區(qū)間時,系統(tǒng)的某階特征頻率虛部會出現(xiàn)負數(shù),結構會從流體中持續(xù)不斷地獲取能量,結構振動形式表現(xiàn)為顫振失穩(wěn).

(2)當重力系數(shù)較小時,臨界速度受端部集中質量塊的影響非常明顯,且隨著端部集中質量塊質量的增加呈下降趨勢;隨著重力系數(shù)的增加,端部集中質量塊對臨界速度的影響逐漸降低.當質量系數(shù)增加到1.0×10-5時,不同端部集中質量塊下的臨界速度基本保持不變.

(3)當細長比和固相比較小時,臨界速度隨著端部集中質量塊質量的增加均呈下降趨勢;當細長比和固相比較大時,臨界速度不再隨著端部集中質量塊的增加呈單調變化趨勢,而是呈現(xiàn)出較為復雜的變化趨勢.