韓亦文 胡成 洪云

1)(重慶工商大學(xué)物理系,重慶 400067)

2)(成都東軟學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院,成都 611844)

1 引言

2019 年,視界望遠(yuǎn)鏡(EHT)合作組織首次公布了距人類5500 萬光年外的大質(zhì)量星系M87 中心超大質(zhì)量黑洞的照片,這是人類首次能真正“看見”黑洞.自此人類不僅能“聽”到黑洞的聲音、還能“看”到黑洞的陰影,對(duì)黑洞這一神秘天體的研究由此也掀開了新的序章[1].事實(shí)上,早在20 世紀(jì)70 年代,霍金就開創(chuàng)性地揭示了黑洞視界的面積不會(huì)減小[2,3].從那時(shí)起,人們普遍相信黑洞就是一個(gè)普通的熱力學(xué)體系.在這樣的熱力學(xué)系統(tǒng)中黑洞存在一個(gè)視界,通過視界的任何粒子都無法逃脫它的引力,即使是光.這也意味著任何能量或物質(zhì)都無法到達(dá)位于黑洞外的觀察者.然而,考慮到量子效應(yīng),一小部分能量可以通過輻射到達(dá)黑洞時(shí)空的視界之外.此前的研究顯示,從輻射能量出發(fā),黑洞的溫度被定義.同時(shí),黑洞也可以被視為具有霍金溫度的熱力學(xué)系統(tǒng)[4].此外,黑洞具有不可約質(zhì)量,這是一個(gè)在不可逆過程中增加的性質(zhì).不可約質(zhì)量與普通熱力學(xué)系統(tǒng)中的熵相似,基于這種相似性,黑洞的熵由不可約質(zhì)量得到.這就是黑洞的貝肯斯坦-霍金熵[5,6],它與視界面積成正比.利用溫度和熵這兩個(gè)熱力學(xué)特性,建立了黑洞作為熱系統(tǒng)的熱力學(xué)定律.在正常相空間,黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的守恒量,如電荷、角動(dòng)量以及系統(tǒng)的熱力學(xué)勢(shì),也都在黑洞的視界上得到定義.換言之,基于黑洞視界,黑洞的熱力學(xué)被建立起來.之后,有關(guān)黑洞熱性質(zhì)尤其是對(duì)黑洞的霍金輻射得到廣泛的研究[7–15].但是,在這些眾多的研究中,由于沒有考慮到黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的自引力相互作用,其所得到的輻射光譜都是純粹的熱譜.

2000 年,Parick 和Wilczek[16]提出了一種研究霍金輻射的新的方法即量子隧穿方法.這種方法將黑洞的事件視界視為量子隧穿中的勢(shì)壘,在考慮到能量守恒及時(shí)空背景結(jié)構(gòu)的前提下,給出了勢(shì)壘的位置并且得到了黑洞輻射的隧穿概率.以此對(duì)霍金輻射熱譜進(jìn)行了修正,并證明了黑洞的霍金輻射譜不是純粹熱光譜.由于這種方法的普適性,這項(xiàng)工作很快被推廣到對(duì)一系列黑洞輻射的廣泛研究[17–37].然而,當(dāng)這種方法在被應(yīng)用到對(duì)德西特黑洞時(shí)空和反德西特黑洞時(shí)空中的研究時(shí),通常是將宇宙學(xué)參數(shù)處理成了一個(gè)固定的參數(shù)[38–41].最近,研究人員注意到,如果將宇宙學(xué)參數(shù)考慮作為一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參量,探索其對(duì)黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)會(huì)有何貢獻(xiàn)與影響將是一項(xiàng)十分有趣的工作.因?yàn)?若將宇宙學(xué)參數(shù)考慮作為黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)動(dòng)態(tài)參量,即在擴(kuò)展相空間中,黑洞熱力學(xué)定律是否成立,宇宙監(jiān)督假設(shè)是否有效都是值得探討和深入研究的.

幾乎在這一同時(shí),Caldarelli 等[42]率先將宇宙學(xué)常數(shù)提升為黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的可變的狀態(tài)參數(shù),并研究了Kerr-Newman-AdS 黑洞的熱力學(xué)性質(zhì).Hendi 等[43]直接將包含了宇宙學(xué)常數(shù)這個(gè)可變狀態(tài)參數(shù)的相空間(M,Q,Λ) 稱為擴(kuò)展相空間,并進(jìn)一步研究了一類帶電黑洞的熱力學(xué)相變.此外,一些學(xué)者提出了一個(gè)黑洞的體積,它可以被定義為熱力學(xué)系統(tǒng)共軛變量,聲稱宇宙學(xué)常數(shù)的作用變成了壓力P自然的候選者.因此,熱力學(xué)體積可以被解釋成V=(?M/?P)|S,J,Q,黑洞熱力學(xué)第一定律修改為 dM=TdS+?dJ+ΦdQ+VdP.其中,M被解釋為焓,亦即焓被定義成熵與壓強(qiáng)的變量[44–48].實(shí)際上,從一般相對(duì)論的角度來看,一個(gè)負(fù)的宇宙學(xué)參數(shù)Λ,在被解釋成一個(gè)熱力學(xué)體積的共軛動(dòng)態(tài)參量,即將宇宙學(xué)常數(shù)Λ視作黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參量,這樣的變化有時(shí)是令人費(fèi)解的.但更多地,這個(gè)理論引起了人們極大的興趣和廣泛關(guān)注.基于這理論,諸如黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)范德瓦耳斯相變、弱宇宙監(jiān)督假設(shè)、黑洞微觀結(jié)構(gòu)的排斥性相互作用以及Smarr 關(guān)系與熱力學(xué)第一定律是否一致等許多有趣現(xiàn)象被廣泛研究,也得到許多有意義的結(jié)果[49–53].這些研究顯示,在正常相空間中引入了壓強(qiáng)、體積項(xiàng),使得黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的相結(jié)構(gòu)空間更加豐富.在這樣的擴(kuò)展相空間,黑洞熱力學(xué)定律依然成立,弱宇宙監(jiān)督假設(shè)同樣有效,具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.但是,作為構(gòu)成黑洞熱性質(zhì)重要組成部分的霍金輻射,在考慮到將宇宙學(xué)常數(shù)作為動(dòng)態(tài)參量后,即在擴(kuò)展相空間中,一類AdS 黑洞時(shí)空及反AdS 黑洞時(shí)空的量子隧穿行為將會(huì)有何影響,出射粒子穿越黑洞視界面時(shí)的隧穿概率將有何變化等問題都是值得深入探討和研究的.

最近,我們?cè)跀U(kuò)展相空間中,對(duì)RN-AdS 黑洞的量子隧穿效應(yīng)進(jìn)行了嘗試性的研究.結(jié)果顯示,包含熱力學(xué)壓力和體積的情況下,RN-AdS 黑洞出射粒子的輻射概率依然與其粒子出射前后黑洞的貝肯斯坦-霍金熵差成正比,即輻射概率

不依賴于相空間[54].為了驗(yàn)證這一結(jié)果是否在其他黑洞中同樣出現(xiàn),本文以帶整體單極的AdS黑洞時(shí)空為例進(jìn)行研究.整體單極子可能是在早期宇宙演化的相變過程中拓?fù)淦迫毙纬傻?帶整體單極的黑洞度規(guī)最初是由Barriola 和Vilenkin[55]得到的,這一度規(guī)是在Schwarzschild 背景下具有多重態(tài)的標(biāo)量場(chǎng)的SO(3)對(duì)稱破缺導(dǎo)致的.帶有整體單極子時(shí)空的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和 Schwarzschild 時(shí)空的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全不同,特別是具有一個(gè)虧損角.目前這一黑洞的各種性質(zhì)已被廣泛研究,如熱力學(xué)[56]、透鏡效應(yīng)[57]、全息超導(dǎo)[58]、全息糾纏熵[59].本文試圖獲得帶有電荷的粒子從帶有整體單極黑洞視界穿出的行為,計(jì)算在擴(kuò)展相空間中出射粒子的隧穿概率(即含有熱力學(xué)壓力).由于時(shí)空背景帶有整體單極,所以計(jì)算粒子在有拓?fù)淙毕莸臅r(shí)空背景中沿測(cè)地線運(yùn)動(dòng)時(shí),粒子和時(shí)空的Arnowitt-Deser-Misner(ADM)質(zhì)量、電荷及黑洞的熵實(shí)際上都要多一個(gè)因子 (1?8πη2).文獻(xiàn)[31,60]將霍金輻射推廣到有時(shí)空拓?fù)淙毕莸暮诙?研究了在有拓?fù)淙毕莸臅r(shí)空背景中出射粒子的隧穿形式但是都沒有考慮宇宙學(xué)參數(shù)的情況,所以本文將進(jìn)一步討論粒子在擴(kuò)展相空間從有時(shí)空拓?fù)淙毕莸腞eissner-Nordstrom-AdS 黑洞穿出的行為,其中將宇宙學(xué)參數(shù)解釋為熱力學(xué)壓強(qiáng).本文選擇單位G=?=c=1.

2 擴(kuò)展相空間黑洞熱力學(xué)

靜態(tài)帶電球狀物體周圍的真空引力場(chǎng)(即時(shí)空彎曲狀況),可以從愛因斯坦方程解出.具有負(fù)宇宙學(xué)常數(shù)的Reissner-Nordstrom AdS 黑洞的作用量可表示成:

式中,G是牛頓常數(shù),R為里奇張量,Λ為宇宙學(xué)常數(shù),FμνFμν表示為電磁拉格朗日常量.在自然單位下,文獻(xiàn)[61]給出了具有整體單極的時(shí)空線元表達(dá)式為

其中

以及,m和q分別是黑洞的質(zhì)量和電荷,η是規(guī)范對(duì)稱破缺的尺度.考慮到整體單極,該黑洞的阿諾維特-德斯特-米斯納(ADM)總質(zhì)量和電荷應(yīng)分別修改為

在擴(kuò)展相空間,熱力學(xué)壓強(qiáng)為[45,46]

相應(yīng)地,Reissner-Nordstrom AdS 黑洞度規(guī)f(r)被重寫成:

由f(r)=0,可得黑洞質(zhì)量:

其中,rH是黑洞的事件視界位置.由此,可以導(dǎo)出熱力學(xué)體積為

相應(yīng)地,帶有整體單極子Reissner-Nordstrom AdS黑洞的相空間得到了擴(kuò)展.在擴(kuò)展相空間中,黑洞熱力學(xué)第一定律被改寫成:

黑洞熵:

3 帶電粒子的測(cè)地線方程

為了描述粒子穿越視界的行為,應(yīng)當(dāng)消除坐標(biāo)奇異性.為此,引入 Painlev坐標(biāo)系進(jìn)行變換[62,63],(2)式可改寫成

在帶整體單極Reissner-Nordstrom AdS 黑洞中,出射粒子為有靜止質(zhì)量帶電的粒子.眾所周知,靜止質(zhì)量不為零的粒子不再是類光粒子,將不沿著類光測(cè)地線,其世界線應(yīng)該是類時(shí)的.因此,不能利用文獻(xiàn)[16]中通過 ds=dθ=dφ=0 的方法來計(jì)算粒子的測(cè)地線方程.由此,Zhang 等[24,27]提出一種關(guān)于有質(zhì)量粒子測(cè)地線方程的方法,他們將出射粒子看作出射德布羅意波球面波(S 波).然后,先求出出射粒子的相速度及群速度,再根據(jù)兩者之間的關(guān)系求出測(cè)地線方程.應(yīng)用WKB 近似,有靜止質(zhì)量粒子的球面波徑向波函數(shù)可以寫成:

其中,ri?ε表示粒子出射時(shí)的初始位置,然后假設(shè)取某一特定的相位,令:

對(duì)(13)式兩邊同時(shí)微分,可得

其中,k為德布羅意波的波數(shù).由(14)式可知,實(shí)際上對(duì)應(yīng)德布羅意波的相速度.這里,德布羅意波不同于電磁波,德布羅意波的相速度νp不等于群速度νg.二者之間關(guān)系為

當(dāng)粒子穿越勢(shì)壘時(shí),其運(yùn)動(dòng)的過程是一個(gè)瞬時(shí)過程.一般認(rèn)為“粒子穿入勢(shì)壘”和“粒子穿出勢(shì)壘”這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生.根據(jù)朗道(Landau)的對(duì)鐘理論,這兩個(gè)事件發(fā)生的坐標(biāo)時(shí)差為

其中,rc為粒子的位置.出射粒子貫穿勢(shì)壘時(shí),波包的群速度為

因此,根據(jù)相速度與群速度之間的關(guān)系,粒子的相速度表達(dá)式為

再將gtt和gtr的表達(dá)式代入即可得到粒子的類時(shí)測(cè)地線方程.這里gtt和gtr為

將(19a)式及(19b)式代入(18)式可得

4 具有熱力學(xué)壓力下帶電粒子隧穿輻射譜

接下來討論有質(zhì)量粒子在引入體積壓強(qiáng)項(xiàng)之后黑洞視界處的霍金輻射.在黑洞事件視界處附近(邊界極靠近內(nèi)部),由于量子效應(yīng)真空漲落產(chǎn)生正負(fù)粒子對(duì).其中的負(fù)能粒子被黑洞吸收,正能粒子通過視界而輻射到無窮遠(yuǎn)處,從而使黑洞能量、電荷減少.考慮到出射粒子的自引力相互作用,在能量守恒,電荷守恒的條件下,一個(gè)大質(zhì)量的帶電粒子從事件視界向外輻射,黑洞的質(zhì)量M、壓力P和電荷Q應(yīng)該減少為M→M?ω′,P→P?p′和Q→Q?q′.至此,我們已將擴(kuò)展相空間中的能量視為系統(tǒng)的總能量.亦即,包括了系統(tǒng)的內(nèi)能和環(huán)境真空能.因此,在擴(kuò)展相空間中得到的黑洞貝肯斯坦-霍金熵ΔS應(yīng)該重新改寫為ΔSBH=S(M?ω′,P?p′,Q?q′)?S(M,P,Q),而非一般相空間中的 ΔSBH=S(M?ω)?S(M).因此,度規(guī)f(r) 的表達(dá)式(3)被改寫成:

同時(shí),粒子的徑向類時(shí)測(cè)地線方程隨之修改為

電磁勢(shì)的非零分量也相應(yīng)地修改為

我們的研究對(duì)象是從黑洞視界出射的大質(zhì)量帶電粒子,因此需要考慮電磁場(chǎng)的影響.在這里,物質(zhì)-重力系統(tǒng)包括黑洞和其外部電磁場(chǎng).該系統(tǒng)的拉格朗日量可以表示成:

其中,Lh=?1/4FμνFμν為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)Aμ=(At,0,0,0)的電磁場(chǎng)的拉格朗日函數(shù).但從Lh的表達(dá)式中,發(fā)現(xiàn)Aμ=(At,0,0,0) 是一個(gè)可忽略的坐標(biāo).為了消除與可遺坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的自由度的影響,出射粒子的作用量的表達(dá)式應(yīng)該寫為

其中,Pr是r對(duì)應(yīng)的正則動(dòng)量.利用粒子的哈密頓正則方程,則有:

在粒子穿越視界時(shí),出射粒子的軌跡會(huì)經(jīng)過視界半徑處(r=rH),這導(dǎo)致上述積分在該點(diǎn)存在奇異性.為了計(jì)算這個(gè)積分,可以使用換元的方法來消除極點(diǎn)上的奇異性,即將變量做以下替換:

對(duì)方程兩邊同時(shí)微分,可以得到

如前所述,可得

因此,(29)式可以改寫為

將其代入(28)式,積分可得

可以看出,該積分在u=1 處是一個(gè)存在一個(gè)極點(diǎn).因此,上述積分可以上半復(fù)平面進(jìn)行計(jì)算,先對(duì)u進(jìn)行積分,可以得到:

將(34)式代入(33)式,可得

因此,可得到帶整體單極Reissner-Nordstrom AdS黑洞的隧穿概率為

ΔSBH=SBH(M?ω′,P?p′,Q?q′)?SBH(M,P,Q)是粒子穿越事件視界初始和穿越后的黑洞貝肯斯坦-霍金熵的變化值.顯然,計(jì)算結(jié)果表明即使在擴(kuò)展相空間的具有整體單極的黑洞中,考慮熱力學(xué)壓強(qiáng),得到的帶電粒子出射譜實(shí)際上也偏離了純熱譜,粒子的出射率與出射粒子穿越勢(shì)壘前后的貝肯斯坦-霍金熵變有關(guān),同時(shí)滿足量子力學(xué)中的幺正性理論,支持了信息守恒的結(jié)論.

5 熱力學(xué)角度分析粒子隧穿輻射過程

事實(shí)上,我們發(fā)現(xiàn)不論是靜態(tài)球?qū)ΨQ黑洞,還是穩(wěn)態(tài)軸對(duì)稱黑洞,不管討論的出射粒子是哪一種粒子(無質(zhì)量粒子、有質(zhì)量粒子,或者帶電粒子),在證明信息守恒過程中都可以用到熱力學(xué)第一定律在可逆過程中的表達(dá)式.

之前的研究已顯示出輻射光譜與黑洞熱力學(xué)第一定律密切相關(guān),但沒有包含熱力學(xué)體積和壓強(qiáng)項(xiàng).通過第1 節(jié)的討論,可以看到在擴(kuò)展相空間中,熱力學(xué)第一定律得到修改,即(9)式可修改為

利用(26)式,經(jīng)典禁止軌道作用的虛部可表示為

式中,T為霍金溫度.出射粒子穿越視界的概率為

不難看出,通過應(yīng)用黑洞熱力學(xué)第一定律的微分形式和熱力學(xué)第二定律,我們同樣能夠?qū)С龀錾淞Ｗ哟┰揭暯绲母怕?并且與(36)式得到的結(jié)果相同.但是需要注意的是這種推導(dǎo)只適用于可逆的靜態(tài)過程,這是因?yàn)槿舨皇强赡孢^程,熱力學(xué)第二定律的關(guān)系式為

因?yàn)閷?duì)應(yīng)過程有不可逆熵產(chǎn)生,而將(40)式代替(38)式,將得不到(39)式的結(jié)果.總之,這個(gè)結(jié)果與(36)式得到結(jié)果一致.同時(shí),這個(gè)結(jié)果表明,在擴(kuò)展的相空間中,將宇宙學(xué)參數(shù)Λ視作黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參量并將其解釋為熱力學(xué)壓強(qiáng)的情形下,所得到的帶電粒子的出射譜實(shí)際上也偏離了純熱譜,粒子的出射率與出射粒子穿越勢(shì)壘前后的黑洞貝肯斯坦-霍金熵差有關(guān),同時(shí)滿足量子力學(xué)中的幺正性理論,支持了信息守恒的結(jié)論.

6 結(jié)論

將宇宙學(xué)參數(shù)Λ視為一個(gè)動(dòng)態(tài)變量,并將其解釋為熱力學(xué)壓強(qiáng),從而使黑洞相空間得到了擴(kuò)展并包含了體積壓強(qiáng)項(xiàng).以此為基礎(chǔ),我們進(jìn)一步研究了擴(kuò)展相空間中帶有整體單極Reissner-Nordstrom-AdS 黑洞在擴(kuò)展相空間中的霍金輻射.計(jì)算結(jié)果顯示,在有拓?fù)淙毕莸臅r(shí)空背景下,有靜止質(zhì)量帶電粒子在擴(kuò)展相空間中的出射概率與粒子穿越勢(shì)壘前后的貝肯斯坦-霍金熵差有關(guān),它意味著所得到的出射光譜偏離了純熱光譜,這與將宇宙學(xué)參數(shù)作為固定參數(shù)的情況一致.特別是整體單極子盡管影響粒子的動(dòng)力學(xué)行為和熱力學(xué)量,但并不影響熵變和隧穿率.因此,即使在擴(kuò)展相空間中,出射粒子穿越黑洞視界面時(shí)的隧穿概率依然與貝肯斯坦-霍金熵變化量成正比,并且粒子的出射光譜也并非純熱譜,輻射概率不依賴于相空間.這一結(jié)果滿足量子力學(xué)的幺正性原理,支持了信息守恒.霍金輻射作為黑洞熱力學(xué)成立的證據(jù),從另一個(gè)角度證明了將負(fù)宇宙學(xué)常數(shù)解釋為熱力學(xué)壓強(qiáng)的理論有其正確性,并進(jìn)一步完善了黑洞熱力學(xué)的理論框架,同時(shí)豐富了黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的相結(jié)構(gòu).這為我們更深入地理解黑洞、量子場(chǎng)論和引力理論之間的內(nèi)在聯(lián)系提供了重要的理論依據(jù).當(dāng)然,本研究?jī)H僅局限于對(duì)帶有整體單極Reissner-Nordstrom-AdS 黑洞在擴(kuò)展相空間中的隧穿輻射的討論,其普適性還有待進(jìn)一步的廣泛研究和有效證明.