本文引用格式：何亮.中心距誤差對(duì)斜齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響研究[J].自動(dòng)化與信息工程，2024，45（1）：23-29.

HE Liang. Research on the influence of center distance error on the dynamic characteristics of helical gears[J]. Automation & Information Engineering， 2024，45（1）：23-29.

摘要：基于斜齒輪嚙合接觸線理論，分析中心距誤差對(duì)斜齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響。以一對(duì)地鐵斜齒輪為研究對(duì)象，首先，利用切片法和勢能法計(jì)算存在中心距誤差的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度和動(dòng)態(tài)傳遞誤差；然后，采用集中質(zhì)量法建立彎-扭-軸8自由度斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型，分析斜齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合特性；最后，研究不同中心距誤差對(duì)斜齒輪時(shí)變嚙合剛度、動(dòng)態(tài)嚙合力和振動(dòng)特性的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度隨中心距誤差增大而減??；動(dòng)態(tài)嚙合力隨中心距誤差變化波動(dòng)較??；中心距誤差會(huì)導(dǎo)致斜齒輪嚙合穩(wěn)定性降低，為斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的降振減噪提供參考。

關(guān)鍵詞：中心距誤差；斜齒輪；時(shí)變嚙合剛度；動(dòng)態(tài)嚙合力；動(dòng)態(tài)特性

中圖分類號(hào)：TH132.41? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-2605（2024）01-0004-07

DOI：10.3969/j.issn.1674-2605.2024.01.004

Research on the Influence of Center Distance Error on the Dynamic Characteristics of Helical Gears

HE Liang

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Chongqing Jiaotong University， Chongqing 400074， China）

Abstract： Based on the meshing contact line theory of helical gears， the influence of center distance error on the dynamic characteristics of helical gears is analyzed. Taking a pair of subway helical gears as the research object， firstly， the slicing method and the potential energy method are used to calculate the time-varying meshing stiffness and dynamic transmission error of the helical gears under the center distance error; then， the lumped mass method is used to establish the bending-torsional-axis helical gear dynamics. model to analyze the dynamic meshing characteristics of the helical gear system; finally， the effects of different center distance errors on the time-varying meshing stiffness， dynamic meshing force and vibration characteristics of the helical gear are studied. The research results show that the time-varying meshing stiffness of the helical gear decreases as the center distance error increases; the average dynamic meshing force of the helical gear fluctuates less with the change of the center distance error， and the center distance error will cause the gear meshing stability to decrease， as Provide reference for vibration and noise reduction of gear system.

Keywords： center distance deviation; TVMS; gear dynamics; dynamic characteristics

0? 引言

斜齒輪因具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)和傳動(dòng)效率高等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于車輛、機(jī)床、船舶、電力等領(lǐng)域。嚙合特性是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的重要指標(biāo)，而內(nèi)部激勵(lì)[1-3]會(huì)影響齒輪的振動(dòng)噪聲和使用壽命等。因此，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合特性和內(nèi)部激勵(lì)開展研究具有

現(xiàn)實(shí)意義。

學(xué)者們對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合特性以及不同內(nèi)部激勵(lì)對(duì)嚙合特性的影響展開了一系列的研究[4-5]。蔣建政等[6]建立3種直齒圓柱齒輪系統(tǒng)仿真模型，對(duì)比分析不同轉(zhuǎn)速工況下的嚙合力和動(dòng)態(tài)傳遞誤差，發(fā)現(xiàn)基于集中質(zhì)量法的齒輪模型能更好地反映直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能。陳思雨等[7]綜合考慮摩擦、時(shí)變嚙合剛度和3種不同工況間隙，利用數(shù)值仿真得到齒輪系統(tǒng)的時(shí)頻域曲線，對(duì)3種不同工況間隙進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究，發(fā)現(xiàn)隨著間隙增加，齒輪系統(tǒng)的響應(yīng)平均分量波動(dòng)較大。陳會(huì)濤等[8]利用數(shù)值仿真方法建立基于時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙的齒輪純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，通過分析得到齒輪系統(tǒng)的響應(yīng)分量及動(dòng)態(tài)嚙合力特征。馬輝等[9]建立基于修形的不對(duì)中工況的齒輪副嚙合模型，分析不同條件下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度和接觸狀態(tài)，并利用有限元法驗(yàn)證其有效性。黃一倫等[10]建立不同嚙合點(diǎn)處的直齒輪靜態(tài)嚙合有限元模型，研究發(fā)現(xiàn)隨著中心距偏差增大，直齒輪嚙合剛度降低，靜態(tài)傳遞誤差增大。徐銳等[11]建立微線段齒輪動(dòng)力學(xué)模型，利用離散化齒面接觸，分析中心距偏差對(duì)靜態(tài)傳遞誤差及齒間隙的影響，發(fā)現(xiàn)微線段齒輪對(duì)中心距偏差比漸開線齒輪更為敏感。常樂浩等[12]根據(jù)齒輪動(dòng)態(tài)嚙合激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系，提出一種齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析模型，可模擬齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合過程。朱凌云等[13]建立計(jì)及多狀態(tài)嚙合的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)彎扭擺非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析載荷對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響，發(fā)現(xiàn)載荷較大時(shí)，動(dòng)力學(xué)特性穩(wěn)定，載荷較小時(shí)，出現(xiàn)多狀態(tài)嚙合特性。目前，鮮有學(xué)者研究中心距誤差對(duì)斜齒輪嚙合狀態(tài)的影響。

本文以一對(duì)地鐵斜齒輪為研究對(duì)象，首先，基于斜齒輪嚙合接觸線理論，分析中心距誤差對(duì)斜齒輪嚙合狀態(tài)的影響；然后，利用集中質(zhì)量法建立彎-扭-軸8自由度斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型；最后，計(jì)算斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力和y向振動(dòng)加速度，研究不同中心距誤差對(duì)斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)的影響，分析斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合特性，揭示嚙合狀態(tài)對(duì)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)影響，為斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的減振降噪提供參考。

1? 中心距誤差機(jī)理

1.1? 中心距誤差

在中心距無誤差的理想情況下，斜齒輪按理論中心距安裝，兩個(gè)斜齒輪的分度圓相切且嚙合角等于分度圓壓力角。但斜齒輪實(shí)際安裝時(shí)，會(huì)存在中心距誤差，導(dǎo)致兩個(gè)斜齒輪的中心軸線距離發(fā)生改變，節(jié)圓半徑不等于各自的分度圓半徑，影響輪齒嚙合狀態(tài)，端面嚙合角α′t不等于分度圓的壓力角，如圖1所示。

存在中心距誤差的斜齒輪端面嚙合角為

（1）

式中：a′為實(shí)際中心距，；a為理想中心距；αt為理想端面嚙合角。

存在中心距誤差的斜齒輪端面重合度為

（2）

式中：αat1、αat2分別為主、從動(dòng)輪齒頂圓壓力角。

存在中心距誤差的輪齒嚙合平面如圖2所示。

隨著中心距改變，斜齒輪端面重合度也發(fā)生改變，輪齒嚙合平面A0B0C0D0變?yōu)锳′B′C′D′或A′′B′′C′′D′′。若中心距偏大，輪齒嚙合平面長度B0C0變?yōu)锽′C′；若中心距偏小，輪齒嚙合平面長度B0C0變?yōu)锽′′C′′。

存在中心距誤差的斜齒輪接觸線長度為

（3）

式中：為軸向重合度；εα為端面重合度；為總重合度，且；為嚙合周期。

根據(jù)地鐵斜齒輪幾何參數(shù)（見表1），計(jì)算地鐵斜齒輪理論時(shí)變接觸線長度如圖3所示。

1.2? 剛度計(jì)算

首先，利用切片法將地鐵斜齒輪沿齒寬方向進(jìn)行均勻切片，使其近似于正齒輪；然后，利用勢能法求解每個(gè)近似正齒輪切片的嚙合剛度；最后，通過積分求和計(jì)算地鐵斜齒輪時(shí)變嚙合剛度。

地鐵斜齒輪切片剛度求解模型如圖4所示，其中F為地鐵斜齒輪嚙合力；Fa、Fb分別為F的切向分力和徑向分力；d為切片嚙合點(diǎn)與基圓的距離；h為嚙合點(diǎn)到中心線的距離；hx為距基圓x處截面高度；α1i為F與Fa之間的夾角；α2為基圓上的半齒角。

輪齒在嚙合過程中會(huì)受力變形，使輪齒內(nèi)部積蓄彎曲彈性勢能Ub、剪切彈性勢能Us、軸向壓縮勢能Ua和赫茲接觸勢能Uh：

（4）

（5）

（6）

（7）

式中：E = 2.06×1011 Pa為彈性模量，G為切變模量，Ix為距基圓x處嚙合點(diǎn)的慣性矩，Ax為距基圓x處嚙合點(diǎn)的橫截面面積，kh為赫茲接觸剛度，kb為彎曲剛度，ks為剪切剛度，ka為軸向壓縮剛度。

（8）

（9）

（10）

式中：ν為泊松比。

通過勢能法求解剛度kb、ks、ka、kh為

（11）

（12）

（13）

（14）

式中：N為參與嚙合切片的個(gè)數(shù)；為基圓上半齒角，z為齒數(shù)，α0為法面壓力角；i為切片序號(hào)；α1i為每個(gè)切片的接觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度。

地鐵斜齒輪基體柔性變形對(duì)應(yīng)的剛度為

（15）

式中：參數(shù)uf、Sf、L*、M*、P*、Q*見文獻(xiàn)[14]。

輪齒嚙合過程中單齒嚙合剛度k1可表示為

（16）

地鐵斜齒輪在嚙合過程中，時(shí)變嚙合剛度km等于參與嚙合輪齒的嚙合剛度之和

（17）

式中：M為t時(shí)刻參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)。

在斜齒輪理想嚙合過程中，設(shè)兩個(gè)地鐵斜齒輪在嚙合線上的相對(duì)位移為x，準(zhǔn)靜態(tài)接觸下忽略斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)方程中慣性力和阻尼2個(gè)動(dòng)態(tài)項(xiàng)，可得

（18）

式中：T1、T2分別為輸入、輸出轉(zhuǎn)矩，rb1、rb2分別為地鐵斜齒輪基圓半徑。

在載荷的作用下，中心距誤差改變接觸線，進(jìn)而影響地鐵斜齒輪嚙合剛度，其動(dòng)態(tài)傳遞誤差為

（19）

2? 地鐵斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型

考慮存在中心距誤差的地鐵斜齒輪時(shí)變嚙合剛度、動(dòng)態(tài)傳遞誤差等因素，基于集中質(zhì)量法建立彎-? ?扭-軸8自由度地鐵斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型，如圖5所示。

地鐵斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可被視為一個(gè)具有橫向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、軸向振動(dòng)相耦合的時(shí)變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其廣義位移列陣為

（20）

地鐵斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力及X、Y、Z方向的分力為

（21）

式中：km為地鐵斜齒輪時(shí)變嚙合剛度；為地鐵斜齒輪中心軸連線與X軸之間的夾角；cm為地鐵斜齒輪嚙合阻尼，計(jì)算公式為

（22）

式中：為阻尼比，本文取值0.1。

地鐵斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性振動(dòng)微分方程為

（23）

式中：m1、m2分別為主、從動(dòng)輪質(zhì)量，I1、I2分別為主、從動(dòng)輪繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kij、cij （i =1、2; j = x、y、z）分別為地鐵斜齒輪i沿j向的支承剛度和阻尼，T1、T2分別為兩個(gè)地鐵斜齒輪的扭矩，F(xiàn)xi、Fyi、Fzi分別為地鐵斜齒輪i（i=1、2）在X、Y、Z 3個(gè)方向上的嚙合分力。

3? 地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)特性分析

地鐵斜齒輪轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，輸入功率為? ?138 kW。地鐵斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)彈性模量E = 2.06× 1011 Pa，泊松比υ = 0.3，質(zhì)量密度ρ = 7 850 kg/m3。

3.1? 地鐵斜齒輪內(nèi)部激勵(lì)分析

地鐵斜齒輪在嚙合過程中，因存在中心距誤差，輪齒嚙合區(qū)域發(fā)生變化，導(dǎo)致嚙合剛度和動(dòng)態(tài)傳遞誤差也發(fā)生改變，如圖6所示。

由圖6（a）、（b）可知：當(dāng)中心距誤差為正時(shí)，地鐵斜齒輪接觸線與接觸區(qū)域均減小，單齒嚙合剛度也減小，地鐵斜齒輪綜合嚙合剛度減??；當(dāng)中心距誤差為負(fù)時(shí)，地鐵斜輪齒接觸線與接觸區(qū)域均變大，單齒嚙合剛度也增大，地鐵斜齒輪綜合嚙合剛度增大。

由圖6 （c）可知：動(dòng)態(tài)傳遞誤差隨地鐵斜齒輪時(shí)變嚙合剛度的變化而改變。當(dāng)輪齒中心距為正時(shí)，動(dòng)態(tài)傳遞誤差增大；當(dāng)中心距誤差為負(fù)時(shí)，動(dòng)態(tài)傳遞誤差減小。

3.2? 地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合特性分析

為研究不同中心距誤差對(duì)地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合特性的影響，基于彎-扭-軸8自由度斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算中心距誤差為-0.4、-0.2、0、+0.2和+0.4 mm等工況下的動(dòng)態(tài)嚙合力，如圖7所示。

圖7 （e）為理論中心距下地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，可作為中心距誤差的對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)。

由圖7 （a）可知：當(dāng)中心距誤差為-0.4 mm時(shí)，地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)相對(duì)于理論中心距較大，表明在此誤差下地鐵斜齒輪嚙合振動(dòng)較為明顯；嚙合力標(biāo)準(zhǔn)差為537.09 N，穩(wěn)定性相對(duì)較差。

由圖7 （b）可知：當(dāng)中心距誤差為-0.2 mm時(shí)，地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)相對(duì)于中心距誤差為? ?-0.4 mm時(shí)稍微有所降低；嚙合力標(biāo)準(zhǔn)差為536.95 N，穩(wěn)定性相對(duì)較差。

由圖7 （c）可知，當(dāng)中心距誤差為+0.2 mm時(shí)，地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)相對(duì)于理論中心距較大，嚙合力標(biāo)準(zhǔn)差為543.33 N，穩(wěn)定性相對(duì)較差。

由圖7 （d）可知，當(dāng)中心距誤差為+ 0.4 mm時(shí)，地鐵斜齒動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)相對(duì)于中心距誤差為? ?-0.2 mm時(shí)逐漸減小，接近理論中心矩下的動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)；嚙合力標(biāo)準(zhǔn)差為545.56 N，穩(wěn)定性良好。

綜上所述：中心距誤差為負(fù)時(shí)，地鐵斜齒輪嚙合力幅值波動(dòng)較明顯，且穩(wěn)定性相對(duì)較差；中心距誤差為正時(shí)，地鐵斜齒輪嚙合力幅值波動(dòng)先增加后減小，穩(wěn)定性也同于此現(xiàn)象；中心距誤差在一定范圍內(nèi)變化，地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力均值保持不變。

存在中心距誤差的地鐵斜齒輪y向振動(dòng)加速度如圖8所示。

圖8 （e）為理論中心距下的地鐵斜齒輪y向振動(dòng)加速度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，可作為地鐵斜齒輪振動(dòng)噪聲的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。

由圖8 （a）、（b）可知，當(dāng)中心距誤差為負(fù)時(shí)，地鐵斜齒輪y向振動(dòng)加速度比理論中心距大，表明地鐵斜齒輪嚙合振動(dòng)較為明顯。

由圖8 （c）、（d）可知，當(dāng)中心距誤差為正時(shí)，地鐵斜齒輪y向振動(dòng)加速度比理論中心距小，表明地鐵斜齒輪嚙合振動(dòng)相對(duì)平穩(wěn)。

地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力和y向振動(dòng)加速度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨中心距誤差的變化規(guī)律如圖9所示。

由圖9可知：動(dòng)態(tài)嚙合力均值不隨中心距誤差的變化而改變，y向振動(dòng)加速度均值隨中心距誤差增大而減??；隨著中心距誤差增大，動(dòng)態(tài)嚙合力標(biāo)準(zhǔn)差先減小后增大，最后趨近于平穩(wěn)，y向振動(dòng)加速度標(biāo)準(zhǔn)差變化與動(dòng)態(tài)嚙合力標(biāo)準(zhǔn)差變化規(guī)律一致。

4? 結(jié)論

本文計(jì)算了存在中心距誤差的地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力、動(dòng)態(tài)傳遞誤差、y向振動(dòng)加速度，分析了不同中心距誤差對(duì)地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響，得出以下結(jié)論：

1） 地鐵斜齒輪接觸線隨中心距誤差的增大而減小，其時(shí)變嚙合剛度也隨中心距誤差的增大而減?。?/p>

2） 中心距誤差在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，地鐵斜齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力幅值波動(dòng)較小，動(dòng)態(tài)傳遞誤差隨中心距誤差的增大而變大；

3） 受中心距誤差增大的影響，地鐵斜齒輪振動(dòng)特性先增大而后減小到某特定范圍，中心距誤差減小對(duì)地鐵斜齒輪振動(dòng)特性影響較大。

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作者簡介：

何亮，男，1997年生，碩士研究生，主要研究方向：齒輪傳動(dòng)與振動(dòng)噪聲控制。E-mail： he934306669@163.com。