張 穎

(福建省三明市第二中學(xué),福建 三明 365000)

學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的對稱性,對于我們解決函數(shù)問題最大的優(yōu)勢就是知一半而求全部,提高了我們研究函數(shù)性質(zhì)的效率.因此,我們必須精準(zhǔn)地把握函數(shù)圖象的對稱性,才能“有效”“高效”地解決函數(shù)圖象的“雙對稱”問題.

在教學(xué)過程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要的學(xué)習(xí)困難有兩個(gè)方面:①對數(shù)學(xué)符號的理解不夠,不能準(zhǔn)確從表達(dá)式看出函數(shù)圖象的對稱關(guān)系;②由對稱性引發(fā)的一些潛在結(jié)論或不知道,或不理解,或不能靈活運(yùn)用.因此,本文給出以下教學(xué)策略.

1 重視函數(shù)圖象對稱性的理解

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(a-x)=f(a+x)(a∈R)(或f(x)=f(2a-x))則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;反之,若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則有f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)).

特別地,當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(a-x)+f(a+x)=2b(a,b∈R),(或f(x)+f(2a-x)=2b)則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱;反之,若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱,則有f(a-x)+f(a+x)=2b(或f(x)+f(2a-x)=2b).

特別地,當(dāng)a=0,b=0時(shí),函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

2 多角度判斷函數(shù)圖象的對稱性

問題如果函數(shù)f(2x+1)是偶函數(shù),則f(x)圖象有何對稱性?

方法二圖象變換.f(2x+1)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向右移一個(gè)單位,所以,f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

方法三根據(jù)函數(shù)圖象對稱性的定義.

令g(x)=f(2x+1),∵g(x)是偶函數(shù),

∴g(-x)=g(x)∴f(-2x+1)=f(2x+1)

∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

一般地,若f(x)圖象是中心對稱,則f(ax+b)圖象也是中心對稱,反之,也成立.若f(x)圖象是軸對稱,則f(ax+b)圖象也是軸對稱,反之,也成立.

3 從函數(shù)圖象的“雙對稱”中挖掘“多對稱”

性質(zhì)2若定義在R上的函數(shù)有兩個(gè)對稱中心(a,0),(b,0)(a≠b),則周期T=2|a-b|.

性質(zhì)3若定義在R上的函數(shù)有一條對稱軸x=a,一個(gè)對稱中心(b,0)(a≠b),則周期T=4|a-b|.

正、余弦函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱,也關(guān)于點(diǎn)對稱.教學(xué)中,借助正、余弦函數(shù)圖象的特征,幫助學(xué)生理解“雙對稱”與周期的關(guān)系.函數(shù)圖象“雙對稱”,此函數(shù)一定是周期函數(shù),那么,“雙對稱”一定可以得到“多對稱”.

幾何直觀上認(rèn)識,如圖1,已知對稱軸l1,l2,則直線l1關(guān)于直線l2的對稱直線l3,也是對稱軸,直線l2關(guān)于直線l3的對稱直線l4,也是對稱軸,以此類推,可以得到一系列的對稱軸.如圖2,已知對稱中心A,B,則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)C,也是對稱中心,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)D,也是對稱中心,以此類推,可以得到一系列的對稱中心.如圖3,已知對稱中心A和對稱軸l1,則點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)B,也是對稱中心,直線l1關(guān)于點(diǎn)B的對稱直線l2,也是對稱軸,以此類推,可以得到一系列的對稱軸和一系列的對稱中心.

圖1 正弦函數(shù)示意圖

圖2 正弦函數(shù)示意圖

圖3 正弦函數(shù)示意圖

函數(shù)圖象“雙對稱”隱含著周期,所以“雙對稱”本質(zhì)上是“多對稱”.從已知的“雙對稱”,我們可以通過數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化得到“多對稱”,也可以通過點(diǎn)關(guān)于直線對稱、線關(guān)于線對稱、線關(guān)于點(diǎn)對稱,借助點(diǎn)線之間的位置關(guān)系,通過幾何作圖的方法得到“多對稱”.

4 數(shù)形結(jié)合簡化“雙對稱”問題

例1(多選題)若函數(shù)f(x+2)為奇函數(shù),f(x+1)為偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=lnx,則選項(xiàng)正確的有( ).

A.f(e)=1 B.f(x)周期為4

C.f(x)為偶函數(shù) D.當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f(x)=ln(2-x)

解析函數(shù)f(x+2)為奇函數(shù),f(x+1)為偶函數(shù),通過平移,得到函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,關(guān)于直線x=1對稱.顯然,周期T=4(不一定是最小正周期),選項(xiàng)B正確.

幾何作圖得到(圖4),(2,0)關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)是(0,0),則(0,0)也是對稱中心,那么x=0會不會是對稱軸呢?只有當(dāng)函數(shù)是常函數(shù)y=0時(shí),函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),而此題當(dāng)x∈[1,2)的解析式不是常函數(shù),選項(xiàng)C錯誤.

圖4 點(diǎn)線對稱示意圖

e∈(2,3),若(e,f(e))在點(diǎn)C位置,則容易找到點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D,再通過點(diǎn)D關(guān)于直線x=1對稱點(diǎn)M,xM∈(0,1],接著把幾何關(guān)系用代數(shù)表示出來,即f(e)=-f(4-e)=-f(e-2)=-ln(e-2),選項(xiàng)A錯誤.同樣地,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),通過點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱,得到f(x)=f(2-x)=ln(2-x),選項(xiàng)D正確.

D.函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇-2,2]

圖5 點(diǎn)線對稱示意圖

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

性質(zhì)4:若f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f′(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱.

性質(zhì)5:若f(x)圖象關(guān)于(a,0)對稱,則f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

性質(zhì)6:若f′(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱,則f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱[2].

性質(zhì)7:f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)圖象關(guān)于(a,c)對稱.(c為常數(shù))

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),一定要理解知識的基本結(jié)構(gòu),從知識的整體性去認(rèn)知,這樣才能用聯(lián)系的觀點(diǎn)建立知識間的內(nèi)在的邏輯關(guān)系,尋求高效的方法解決問題.