馬 迪，李晨松

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

近幾十年來，動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)得到廣泛應(yīng)用，比如電網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)可看作是由許多時(shí)變節(jié)點(diǎn)連接形成的網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)的耦合普遍存在時(shí)滯，文獻(xiàn)［1］研究了時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)的同步問題。網(wǎng)絡(luò)有時(shí)會(huì)有外界干擾，當(dāng)外界干擾存在時(shí)可以采用H∞控制的方法，文獻(xiàn)［2］研究了狀態(tài)依賴的非線性切換系統(tǒng)有限時(shí)間的H∞控制，文獻(xiàn)［3］研究了具有擾動(dòng)的非線性二階多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)H∞有限時(shí)間一致性控制。

為了使網(wǎng)絡(luò)性能更好，可以采用切換來改變節(jié)點(diǎn)間的拓?fù)溥B接方式，文獻(xiàn)［4］研究了切換拓?fù)涞膹?fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)簇同步，此外，數(shù)據(jù)傳輸是通過數(shù)字網(wǎng)絡(luò)鏈路進(jìn)行的，由于傳輸寬度的限制，數(shù)據(jù)信息在傳輸之前量化為有限位數(shù)也是一個(gè)提高性能有效的方法，文獻(xiàn)［5］研究了非線性系統(tǒng)的量化自適應(yīng)控制。量化和切換拓?fù)涞姆椒ㄊ沟孟到y(tǒng)不是右連續(xù)的系統(tǒng)，通常要考慮微分包含理論，文獻(xiàn)［6］基于微分包含理論研究了有限時(shí)間協(xié)調(diào)控制。然而利用微分包含理論，在切換拓?fù)湎聦?duì)具有量化的時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)的H∞控制研究很少。本文的工作是：1）在切換拓?fù)湎?，設(shè)計(jì)量化控制器使得時(shí)滯動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)在無外界干擾時(shí)有限時(shí)間穩(wěn)定；2）在有外界干擾時(shí)，用相同的量化控制器和切換信號(hào)，此網(wǎng)絡(luò)具有有限L2增益。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］→ξ表示對(duì)數(shù)量化函數(shù)，表示為：

其中ξ={±ξi,ξi=ρiξ0,i=±1,±2,…} ?{±ξ0} ?{0 } ,ρ∈( 0,1),ξ0＞0，ρ稱作量化密度，并且對(duì)于任意的ι，可得到下面性質(zhì)：

其中Δ ∈[-δ,δ] 是量化誤差。

定義2［7］考慮一個(gè)向量微分方程

其中向量場(chǎng)f(x,t):?n×? →?n，設(shè)Filippov集值映射K[f](xi(t),t):?n×? →?n，定義

定義3［6］令V:?n→? 是局部Lipschitz函數(shù)，Clarke廣義梯度?V:?n→?(?n)定義為

其中co為凸殼，ΩV為V不可微點(diǎn)的集合。在x處，V相對(duì)于f的集值李導(dǎo)數(shù)LfV:?n→2?定義為：LfV={a∈?|?v∈f(x),ζTv=a,?ζ∈?V(x)} 。

2 問題描述

考慮由N個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)方程為

其中xi(t)=(xi1,xi2,…,xin)T∈Rn表示節(jié)點(diǎn)狀態(tài)，f(xi,t)表示可微的向量函數(shù)，c是節(jié)點(diǎn)間耦合強(qiáng)度，Z=(zij)N×N表示外部耦合矩陣，Γ=diag(r1,r2,…,rn)表示內(nèi)部耦合矩陣，d＞0 表示常時(shí)滯。uiσ(t)表示切換控制輸入，其中σ表示切換信號(hào)在M={1,2,…,m} 內(nèi)取值。gi為常數(shù)表示外部干擾強(qiáng)度，wi(t)表示外部干擾，?={1,2,…,N}是指標(biāo)集。

假設(shè)1假設(shè)Z滿足零行和條件：，其中

設(shè)s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T∈?n是s˙(t)=f(s(t),t)的解，并定義ei(t)=xi(t)-s(t)，yi(t)=ei(t)，=f(xi(t),t)-f(s(t),t)，誤差系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)為：

為了提高傳輸速度而引入量化器，系統(tǒng)重寫為：

由于系統(tǒng)（3）為右端不連續(xù)的系統(tǒng)，因此將系統(tǒng)（3）寫成微分包含

假設(shè)2存在一個(gè)正常數(shù)θ使得非線性函數(shù)f:?n→?n滿足：

定義4［1］當(dāng)w=0 時(shí)，存在T＞0 使得當(dāng)t＞T時(shí)，‖(e(t)) ‖≡0；那么系統(tǒng)（3）稱為有限時(shí)間穩(wěn)定。

定義5［14］如果存在非負(fù)常數(shù)γ和c，對(duì)于任意T＞0 和w(t)∈?2[0,+∞]，滿足

那么系統(tǒng)（3）具有有限?2增益。

筆者研究系統(tǒng)（3）的有限時(shí)間H∞問題：設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴的切換信號(hào)σ(e)與每個(gè)節(jié)點(diǎn)的量化控制器uσ(e)，使得下面條件分別成立。

1）當(dāng)外界干擾w(t)=0 時(shí)，系統(tǒng)（3）在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定；

2）當(dāng)外界干擾w(t)≠0 時(shí)，系統(tǒng)（3）有限?2增益。

為了研究上述問題，引用了如下引理：

引理1［1］對(duì)給定矩陣G1,G2,G3和常數(shù)ε＞0，

引理2［9］對(duì)任意向量x1,x2,…,xN∈?n，存在一個(gè)實(shí)數(shù)0 ＜p＜2 使得

成立。

引理3［10］對(duì)任意向量x,y∈?n，ε＞0 和正定矩陣Q∈?n×n，下面不等式成立：

引理4［11］對(duì)任意ωi≥0(i=1,2,…,n)，α1＞1，0＜α2≤1，下面不等式成立：

引理5［13］對(duì)于每一個(gè)x∈?n，如果其中θi≥0，那么

其中Ωi={x∈?n|xTQix≥0} 。

引理6［6］令Q??n為包含原點(diǎn)的開集，考慮微分包含（1），如果存在連續(xù)可微函數(shù)V(x):?n→?≥0和正定連續(xù)函數(shù)r:?≥0→?≥0，其中r(0)=0 ，滿足maxLfV(x)≤-r(V(x)),?x∈Q，且對(duì)于所有的ε＞0 ，有，那么微分包含是有限時(shí)間穩(wěn)定的且有限收斂時(shí)間滿足

3 主要結(jié)果

誤差系統(tǒng)（3）的量化控制器設(shè)計(jì)如下

將式（5）代入式（3），可得閉環(huán)系統(tǒng)：

用前面定義的向量，閉環(huán)系統(tǒng)寫為微分包含：

其中K=diag(k1,k2,…,kN)。

定理1若系統(tǒng)（6）滿足假設(shè)1，且存在正定對(duì)角矩陣K使得

成立，其中α11=2θIN?Γ+c(ZZT)?(ΓΓT)+δ2ε-1(KKT)?In+εINn-2K?In，α22=c(1+δ2)INn，設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴的切換信號(hào)，則系統(tǒng)（4）H∞問題可解。

證明令由狀態(tài)依賴切換信號(hào)，所以

（1）當(dāng)w(t)=0 時(shí)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：，在Ωi內(nèi)，V的集值李導(dǎo)數(shù)為

其 中 π(t)=diag(π1(t),π2(t),…,πN(t))，πi(t)=diag(Δi1(t),Δi2(t),…,Δin(t))，Δik(t)∈[-δ,δ]，k=1,2,…,n，i∈?，，其中

令G2(t)=π(t)δ-1，G1(t)=e(t)，G3(t)=δeT(t)()-K?In，顯然

于是由引理1可得到

即：

在上式兩邊加-2eT(t)(K?In)e(t)可得到

由假設(shè)2可得到

由Li?Γ＜0，可得到

由引理2可得到

由式（11）～式（13）可得到

即maxLq^V≤-2ηr(V(t))，其中，又因?yàn)閂是連續(xù)的，由引理6 可得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)同步。

（2）下面證明w(t)≠0 的情況。由定理?xiàng)l件（7）可得到

即

而此時(shí)V的集值李導(dǎo)數(shù)滿足下面不等式

所以

由e(t)是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，故V(t)=eT(t)e(t)也是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，因此于是有

由于V(t)＞0，令V(t0)=c，可得

由定義4可知，系統(tǒng)為有限?2增益。

注釋：定理中的矩陣不等式可利用Schur補(bǔ)引理寫成線性矩陣不等式條件

4 數(shù)值仿真

考慮由5個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)方程為

其中，令s(0)=(-7,5,-2)T，對(duì)數(shù)量化器的參數(shù)ξ0=1，δ=0.1，內(nèi)部耦合矩陣Γ=diag(0.3,0.1,1)，外部耦合矩陣為

c=1，w(t)=1+0.01 sint。仿真結(jié)果如圖1～圖4。

圖1 無外界干擾時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的軌跡Fig.1 The trajectory of each node without external interference

圖1顯示無外界干擾時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的軌跡，分別表示xi1,xi2,xi3,i=1,2,…,5 的軌跡；圖2顯示無外界干擾時(shí)誤差系統(tǒng)的軌跡，分別表示的軌跡；圖3顯示有外界干擾時(shí)誤差系統(tǒng)的有限增益圖，其中γ=max{γi}；圖4顯示切換信號(hào)。由仿真結(jié)果可知，所有節(jié)點(diǎn)在無外界干擾時(shí)同步，并且誤差系統(tǒng)在無外界干擾時(shí)有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，在有外界干擾時(shí)具有有限?2增益。

圖2 無外界干擾時(shí)誤差系統(tǒng)的軌跡Fig.2 The trajectory of the error system without external interference

圖3 有外界干擾時(shí)誤差系統(tǒng)有限L2增益穩(wěn)定Fig.3 Finite L2 gain stability of error system with external interference

圖4 切換信號(hào)Fig.4 The switching signal

5 總結(jié)

在切換拓?fù)湎?，通過設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴切換信號(hào)使得量化時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)在無外界干擾時(shí)所有節(jié)點(diǎn)有限時(shí)間內(nèi)同步，且誤差系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，在有外界干擾時(shí)網(wǎng)絡(luò)具有有限?2增益，并且通過仿真例子驗(yàn)證了定理的有效性。目前有未知參數(shù)的自適應(yīng)控制器應(yīng)用廣泛，今后會(huì)繼續(xù)研究自適應(yīng)相關(guān)問題。