楊亮亮，劉成林，趙勇兵，沈法華，趙 琪，劉建利

〈系統(tǒng)與設(shè)計〉

廣角衍射光學(xué)元件的優(yōu)化設(shè)計

楊亮亮，劉成林，趙勇兵，沈法華，趙 琪，劉建利

（鹽城師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，江蘇省智能光電器件與測控工程研究中心，江蘇 鹽城 224007）

為進(jìn)一步研究入射角度的增大對衍射光學(xué)元件（diffractive optical element, DOE）衍射效率及微結(jié)構(gòu)高度等參數(shù)的影響，分析了入射角度和周期寬度對帶寬積分平均衍射效率的影響?；跀U展標(biāo)量衍射理論，建立了DOE的微結(jié)構(gòu)高度與入射角度和周期寬度的數(shù)學(xué)模型，提出了工作在一定入射角度范圍內(nèi)，基于復(fù)合帶寬積分平均衍射效率（comprehensive polychromatic integral diffraction efficiency, CPIDE）最大化實現(xiàn)設(shè)計波長和微結(jié)構(gòu)高度等結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計方法。以工作在紅外波段的DOE為例進(jìn)行分析。結(jié)果表明：當(dāng)相對周期寬度為20，入射角度范圍為0°～40°時，該DOE的CPIDE為94.15%，微結(jié)構(gòu)高度為1.3396mm。該設(shè)計方法可以實現(xiàn)廣角DOE的優(yōu)化設(shè)計。

衍射光學(xué)元件；衍射效率；微結(jié)構(gòu)高度；入射角度

0 引言

近年來，鑒于衍射光學(xué)元件能夠為系統(tǒng)提供一定的設(shè)計自由度，被廣泛地應(yīng)用于各種光學(xué)系統(tǒng)中，如成像系統(tǒng)、光束整形系統(tǒng)、復(fù)眼和3D顯示等[1-5]。衍射效率和帶寬積分平均衍射效率（polychromatic integral diffraction efficiency，PIDE）是決定DOE工作波段的重要參數(shù)。DOE的衍射效率對入射角度具有一定的依賴性。入射角度的增大會降低其衍射效率，進(jìn)一步影響折衍混合光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。

目前，成像光學(xué)系統(tǒng)中的DOE都是利用標(biāo)量衍射理論（scalar diffraction theory，SDT）進(jìn)行設(shè)計的，但該理論沒有考慮入射角度對微結(jié)構(gòu)高度的影響[6]。隨著微結(jié)構(gòu)表面入射角的增大，DOE的衍射效率會不斷下降[7-8]。當(dāng)微結(jié)構(gòu)高度和波長處于同一數(shù)量級時，采用SDT計算衍射效率的準(zhǔn)確度會大幅度下降，此時可以利用矢量衍射理論（vector diffraction theory，VDT）進(jìn)行分析計算[9-12]。但是，VDT很難通過優(yōu)化設(shè)計微結(jié)構(gòu)高度等參數(shù)實現(xiàn)衍射效率的最大化。擴展標(biāo)量衍射理論（extended scalar diffraction theory，ESDT）考慮了入射角度這一參數(shù)，其計算結(jié)果要比SDT更加精確，能夠簡化VDT的計算時間，并實現(xiàn)DOE的優(yōu)化設(shè)計[13]。對于工作在可見光波段的雙層DOE，文獻(xiàn)[14]討論了基于SDT和VDT計算的入射角度對衍射效率的影響。文獻(xiàn)[15]基于ESDT討論了周期寬度對微結(jié)構(gòu)高度和PIDE的影響，但并沒有給出DOE結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。對于工作在一定入射角度范圍內(nèi)的DOE，基于ESDT對PIDE的優(yōu)化設(shè)計未見報道。

本文基于ESDT，提出了工作在一定入射角度范圍內(nèi)，基于復(fù)合帶寬積分平均衍射效率（comprehensive PIDE，CPIDE）最大化實現(xiàn)DOE設(shè)計波長、微結(jié)構(gòu)高度等結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計方法。以工作在紅外波段的DOE為例進(jìn)行了分析與討論。該方法可以實現(xiàn)工作在一定入射角度范圍內(nèi)的DOE結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計，特別是在相對周期寬度不是很大的情況下。

1 理論模型

當(dāng)光線以入射角傳播到DOE的微結(jié)構(gòu)上時，如圖1所示，根據(jù)衍射光柵公式，得到DOE的衍射光柵方程為：

(rsind－isin)＝(1)

式中：為光柵周期；i與r分別為相應(yīng)介質(zhì)材料在波長時的折射率；d為衍射角；為衍射級次。依據(jù)Snell折射定律，考慮衍射微結(jié)構(gòu)對光線傳播的影響，有：

isin(＋)＝rsin(r＋) (2)

圖1 光線經(jīng)過DOE的傳播模型

式中：為微結(jié)構(gòu)表面的傾角，tan＝/，r為折射角。當(dāng)衍射角等于折射角，即r＝d時，第衍射級次的衍射效率最大。利用公式(1)和(2)，得到DOE的表面微結(jié)構(gòu)高度為：

由公式(3)可知，當(dāng)衍射面兩端介質(zhì)材料確定后，DOE的微結(jié)構(gòu)高度與波長、入射角度和周期寬度有關(guān)。當(dāng)DOE工作在正入射的狀態(tài)下，微結(jié)構(gòu)高度可以表示為：

當(dāng)周期寬度遠(yuǎn)大于波長并且光線正入射時，得到基于SDT的DOE的微結(jié)構(gòu)高度為：

可見，基于SDT，當(dāng)介質(zhì)材料和衍射級次確定后，微結(jié)構(gòu)高度僅由設(shè)計波長0決定。

基于ESDT，斜入射時DOE的衍射效率為：

利用公式(3)和(6)可以計算周期寬度和入射角度對DOE衍射效率的影響。若把公式(6)中的換成SDT0即得到SDT的計算結(jié)果。

若DOE工作在min～max波段范圍時，其PIDE為：

要基于PIDE的最大化確定微結(jié)構(gòu)高度的大小，需要利用公式(7)，在周期寬度已知的前提下，確定公式(3)中的設(shè)計波長0和設(shè)計入射角度0，即可計算得到微結(jié)構(gòu)高度0，即：

若工作在成像光學(xué)系統(tǒng)中的DOE，其入射角度范圍為min～max，則DOE在整個工作入射角度范圍內(nèi)的CPIDE為：

若DOE工作在幾個分離的入射角度范圍內(nèi)，如變焦系統(tǒng)，則其CPIDE為：

式中：min和max分別表示第個入射角范圍的最小和最大入射角；為第個入射角范圍的權(quán)重；表示總的入射角范圍數(shù)量。

2 基于SDT的仿真與分析

以工作在紅外波段1.4～2.2mm的DOE為例，基底材料采用硫化鋅，衍射級次＝1。假設(shè)光束從空氣介質(zhì)入射到衍射基底，如圖2所示為基于SDT計算得到的正入射時DOE的PIDE與波長的關(guān)系。在整個波段范圍內(nèi)，PIDE最高為94.47%，此時對應(yīng)的峰值波長為設(shè)計波長，即1.7410mm，利用公式(5)計算得到微結(jié)構(gòu)高度SDT0為1.3726mm。

圖2 正入射時的PIDE與波長的關(guān)系

當(dāng)入射角度分別為20°和40°時，DOE的衍射效率與波長的關(guān)系如圖3所示。正入射時，在設(shè)計波長處的衍射效率為100%，最低衍射效率為81.07%。隨著入射角度的增大，100%衍射效率對應(yīng)的設(shè)計波長向長波方向移動；而且在工作波段范圍內(nèi)的最低衍射效率呈現(xiàn)快速下降的變化趨勢。

圖4給出了PIDE與入射角度的關(guān)系。當(dāng)入射角度分別為20°、40°和60°時，DOE在整個波段的PIDE分別為94.27%、91.13%%和78.05%。假設(shè)各個視場的權(quán)重相同，當(dāng)DOE分別工作在0°～20°、0°～40°和0°～60°入射角度范圍內(nèi)時，利用公式(10)計算得到CPIDE分別為94.43%、93.81%和91.13%?？梢?，基于正入射計算得到的微結(jié)構(gòu)高度，隨著入射角度或入射角度范圍的增大，對應(yīng)的PIDE或CPIDE逐漸減小。

圖3 衍射效率與波長的關(guān)系

圖4 PIDE與入射角度的關(guān)系

3 基于ESDT的仿真與分析

基于ESDT，首先分析周期寬度和入射角度對DOE微結(jié)構(gòu)高度的影響；然后，分析一定的周期寬度和不同入射角度時DOE的衍射效率；最后，基于CPIDE最大化實現(xiàn)微結(jié)構(gòu)高度等結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。

3.1 微結(jié)構(gòu)高度的分析

由公式(3)可知，DOE的微結(jié)構(gòu)高度的大小與周期寬度和入射角度有關(guān)。當(dāng)入射角度分別為0°、20°、40°和60°時，DOE的微結(jié)構(gòu)高度與相對周期寬度（周期寬度與波長1.7410mm的比值）的關(guān)系如圖5所示。正入射時，當(dāng)相對周期寬度為5時，衍射微結(jié)構(gòu)高度為1.3758mm，與SDT0相比，增大了0.0032mm。如表1所示，當(dāng)入射角度為40°時，相對周期寬度分別為10或無窮大時，對應(yīng)的微結(jié)構(gòu)高度分別為1.2511mm和1.2355mm，與SDT0相比，分別減小了8.85%和9.99%。如圖5和表1所示，當(dāng)入射角度或者相對周期寬度改變時，基于ESDT計算得到的微結(jié)構(gòu)高度與SDT的偏差不同。所以，當(dāng)入射角度較大時，需要考慮入射角度和相對周期寬度對微結(jié)構(gòu)高度的影響。

圖5 微結(jié)構(gòu)高度與周期寬度的關(guān)系

表1 微結(jié)構(gòu)高度與周期寬度的關(guān)系

3.2 斜入射時的仿真與分析

當(dāng)相對周期寬度確定為20時，在上述4個入射角度情況下，DOE的PIDE與波長的關(guān)系如圖6所示。隨著入射角度的增大，PIDE最大值對應(yīng)的峰值設(shè)計波長向短波方向移動。利用公式(4)計算得到微結(jié)構(gòu)高度如表2所示。伴隨著設(shè)計波長的減小，微結(jié)構(gòu)高度隨入射角度的增大也減小。

圖6 不同入射角度時PIDE與波長的關(guān)系

表2 基于帶寬積分平均衍射效率最大化確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)

利用上述計算得到的設(shè)計波長和微結(jié)構(gòu)高度，計算DOE的衍射效率如圖7所示。入射角度為20°時，采用SDT和ESDT設(shè)計時的DOE在整個工作波段范圍內(nèi)的衍射效率圖7(a)所示，衍射效率最小值分別為76.18%和81.65%，提高了5.47%。當(dāng)入射角度分別增大到40°和60°時，如圖7(b)、(c)所示，衍射效率最小值分別從59.25%增大到81.17%，從29.39%增大到81.21%，分別提高了21.92%和51.82%?？梢姡?dāng)入射角度偏離正入射時，利用基于ESDT計算得到的設(shè)計波長和微結(jié)構(gòu)高度能夠顯著提高衍射效率。

圖7 衍射效率與波長關(guān)系的對比

3.3 一定入射角度范圍工作時的仿真與分析

同樣假設(shè)DOE的相對周期寬度確定為20，當(dāng)DOE工作時的入射角度范圍為0°～20°，并假設(shè)各個視場的權(quán)重因子相同，DOE的PIDE與波長和入射角度的關(guān)系如圖8所示，基于CPIDE的最大化（94.45%），得到設(shè)計波長為1.73mm，設(shè)計角度為8.25°，進(jìn)一步計算得到DOE的微結(jié)構(gòu)高度為1.3615mm。若DOE工作的入射角度范圍增大到0°～40°或0°～60°時，其微結(jié)構(gòu)高度和CPIDE等參數(shù)如表3所示?？梢?，隨著DOE衍射面入射角度范圍的增大，其微結(jié)構(gòu)高度和CPIDE都逐漸減小。

圖8 一定周期寬度時的PIDE與入射角度和波長的關(guān)系

表3 基于帶寬積分平均衍射效率最大化確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)

4 結(jié)論

本文基于ESDT，建立了DOE的微結(jié)構(gòu)高度與入射角度、周期寬度的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，提出了工作在一定入射角度范圍內(nèi)，基于CPIDE最大化實現(xiàn)設(shè)計波長和微結(jié)構(gòu)高度等結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計方法。對工作在紅外波段的DOE進(jìn)行仿真分析。當(dāng)入射角度為40°時，對比SDT，基于ESDT計算得到的在工作波段范圍內(nèi)衍射效率的最小值提高了29.39%；當(dāng)DOE工作在0°～40°范圍內(nèi)時，通過優(yōu)化設(shè)計得到微結(jié)構(gòu)高度為1.3396mm，CPIDE為94.15%。隨著DOE在各類光學(xué)系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，該方法為工作在較大入射角度范圍內(nèi)DOE的優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù)。

[1] Greisukh G I, Ezhov E G, Zakharov O A, Diffractive microstructures of zoom lenses for visible and near-infrared ranges based on novel optical plastics[J]., 2022, 89(3): 127-131.

[2] 田曉航, 薛常喜. 小F數(shù)紅外雙波段無熱化折衍攝遠(yuǎn)物鏡設(shè)計[J]. 光學(xué)學(xué)報, 2022, 42(14): 181-187. TIAN Xiaohang, XUE Changxi. Athermalization design of small f-number refractive-diffractive telephoto objective lens in infrared dual-band[J]., 2022, 42(14): 181-187.

[3] 段慧慧, 楊艷芳, 何英,等. 4π聚焦系統(tǒng)中衍射光學(xué)元件對聚焦場多光球結(jié)構(gòu)的影響[J]. 光學(xué)學(xué)報, 2021, 41(20): 174-179. DUAN Huihui, YANG Yanfang, HE Ying, et al. Influence of diffractive optical elements on multiple spherical spots in a 4π focusing system[J]., 2021, 41(20): 174-179.

[4] 張博, 崔慶豐, 樸明旭, 等. 雙波段多層衍射光學(xué)元件的基底材料選擇方法研究及其在變焦系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 光學(xué)學(xué)報, 2020, 40(6): 0605001. ZHANG Bo, CUI Qingfeng, PIAO Mingxu, et al. Substrate material selection method for dual-band multilayer diffractive optical elements and its application in the zoom system[J]., 2020, 40(6): 0605001.

[5] Shima G G, David Fischer, Stefan Sinzinger. Multifocal multi-value phase zone plate for 3D focusing[J].2019, 58(32): 8943-8949.

[6] XUE Changxi, CUI Qingfeng. Design of multilayer diffractive optical elements with polychromatic integral diffraction efficiency[J]., 2010, 35(7): 986-988.

[7] YANG Liangliang, LIU Chenglin, LI Shengqiang. Optimal design of depth-scaling error for multilayer diffractive optical elements with oblique incidence[J]., 2017, 56(15): 4532-4536.

[8] GAO Long, To Suet, YANG Hongfang, et al. Effect of assembling errors on the diffraction efficiency for multilayer diffractive optical elements[J]., 2014, 53: 7341-7347.

[9] Laborde V, Loicq J, Habraken S. Modeling infrared behavior of multilayer diffractive optical elements using Fourier optics[J]., 2021, 60(7): 2037-2045.

[10] YANG Hongfang, XUE Changxi. Sensitivity of diffraction efficiency to period width errors for multilayer diffractive optical elements[J]., 2018, 57(14): 855-860.

[11] PANG H, YIN S Y, DENG Q L, et al. A novel method for the design of diffractive optical elements based on the Rayleigh–Sommerfeld integral[J]., 2015, 70: 38-44.

[12] Noponen E, Turunen J. Binary high-frequency-carrier diffractive optical elements: electromagnetic theory[J]., 1994, 11(3): 1097-1109.

[13] Swanson G J. Binary Optics Technology: Theoretical Limits on the Diffraction Efficiency of Multilevel Diffractive Optical Elements[R/OL]. M.I.T. Technical Report, 1991, https://api.semanticscholar.org/ CorpusID: 26445902.

[14] Greisukh G I, Danilov V A, Ezhov E G, et al. Comparison of electromagnetic and scalar methods for evaluation of efficiency of diffractive lenses for wide spectral bandwidth[J]., 2015, 338: 54-57.

[15] HUO Furong, WANG Wensheng, XUE Changxi. Limits of scalar diffraction theory for multilayer diffractive optical elements[J]., 2016, 127: 5688-5694.

Optimal Design of Wide Angle Diffractive Optical Element

YANG Liangliang，LIU Chenglin，ZHAO Yongbing，SHEN Fahua，ZHAO Qi，LIU Jianli

( Jiangsu Province Intelligent Optoelectronic Devices and Measurement-Control Engineering Research Center, School of Physics and Electronics Engineering, Yancheng Teachers University, Yancheng 224007, China)

The influence of the incident angle on the diffraction efficiency and microstructure height of the diffractive optical element (DOE) was analyzed to further study the influence of the incident angle and period width on the polychromatic integral diffraction efficiency (PIDE). Based on the extended scalar diffraction theory (ESDT), a mathematical model of the relationship among the microstructure height, incident angle, and period width of the DOE was established. An optimal design method for structural parameters, such as the design wavelength and microstructure height, was proposed based on maximizing the comprehensive PIDE (CPIDE) within a certain range of incident angles. A DOE operating within the infrared waveband was considered as an example. The results indicate that when the relative period width is 20 and the incidence angle range is 0° to 40°, the CPIDE of the DOE is 94.15%, and the microstructure height is 1.3396mm. This design method can realize the optimal design of a wide-angle DOE.

diffractive optical element, diffraction efficiency, microstructure height, incident angle

O436

A

1001-8891(2024)03-0256-05

2023-02-15；

2023-03-31.

楊亮亮（1986-），女，博士，副教授，主要從事衍射光學(xué)和光學(xué)設(shè)計方面的研究。E-mail: yang_liangliang@163.com。

國家自然科學(xué)基金（61904158）；江蘇省智能光電器件與測控工程研究中心開放基金（306054014）；江蘇省重點研發(fā)計劃-社會發(fā)展項目（BE2021685）江蘇省自然科學(xué)基金面上項目（BK20201475）。