張曉勇，謝謨文，張 磊，杜 巖，高世崇，李雙全

(1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083；2.北京中關(guān)村智連安全科學(xué)研究院有限公司，北京 100083)

危巖體失穩(wěn)崩塌是危巖體自母巖脫離并突然崩落的地質(zhì)現(xiàn)象，是多山地區(qū)常見的地質(zhì)災(zāi)害之一。危巖體失穩(wěn)崩塌往往能夠帶來巨大的生命財(cái)產(chǎn)安全損失，而我國平均每年發(fā)生危巖體崩塌災(zāi)害次數(shù)約為2000 余起[1]，嚴(yán)重制約我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)發(fā)展。

針對(duì)危巖體崩塌失穩(wěn)的防控，眾多學(xué)者從危巖體崩塌機(jī)理、防控手段著手進(jìn)行 研究。BERTRAN[2]基于地質(zhì)地貌學(xué)對(duì)阿爾卑斯山脈Claix 崩塌形成機(jī)制進(jìn)行了分析；BRAATHEN 等[3]通過對(duì)Norway境內(nèi)巖質(zhì)邊坡失穩(wěn)原因進(jìn)行分析，認(rèn)為軟質(zhì)巖層對(duì)巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定影響較大；ISHIKAWA 等[4]通過對(duì)裂縫寬度、溫度進(jìn)行監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)裂縫擴(kuò)展受低溫度影響；AREF[5]通過對(duì)也門山區(qū)危巖體綜合調(diào)查，并對(duì)該區(qū)域危巖失穩(wěn)崩塌致災(zāi)因素進(jìn)行總結(jié)，提出響應(yīng)的防控措施；陳洪凱等[6]通過斷裂力學(xué)理論分析危巖體失穩(wěn)機(jī)理，并提出基于強(qiáng)度因子的穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算方法，陳維等[7]通過對(duì)凹腔型危巖體研究發(fā)現(xiàn)，危巖體失穩(wěn)受巖腔深度、危巖體厚度和高度、主控裂隙深度等影響。王根龍等[8]認(rèn)為危巖體失穩(wěn)是由于危巖體后緣裂隙尖端應(yīng)力集中引起的。危巖體崩塌產(chǎn)生原因多類多樣，但危巖體穩(wěn)定程度直接受其后緣裂隙強(qiáng)度控制[9]。在分析各類危巖體失穩(wěn)機(jī)理基礎(chǔ)上，針對(duì)各類危巖體監(jiān)控技術(shù)應(yīng)運(yùn)，常見的監(jiān)測指標(biāo)包括：位移、應(yīng)力、應(yīng)變及環(huán)境因素等[10]。但危巖體由穩(wěn)定到失穩(wěn)時(shí)常年累月地?fù)p傷積累過程，初期危巖體的形變緩慢而微小，直至臨近失穩(wěn)才會(huì)出現(xiàn)較大變形，另外，邊坡危巖體的變形及破壞是一個(gè)多因素相互作用的非線性過程[11-12]，因此危巖體失穩(wěn)表現(xiàn)出空間位置隨機(jī)性、時(shí)間不確定性及突發(fā)性的特點(diǎn)，常見的基于位移、應(yīng)力-應(yīng)變等監(jiān)測指標(biāo)在監(jiān)測預(yù)警中有一定的時(shí)間滯后性及不確定性[13]，基于當(dāng)前的監(jiān)測技術(shù)仍無法有效地防控危巖體失穩(wěn)。

如何引入有效的監(jiān)測指標(biāo)來定量分析危巖體穩(wěn)定系數(shù)，是實(shí)現(xiàn)危巖體安全評(píng)價(jià)的關(guān)鍵所在。借鑒結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方法，巖體本身可作為結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，危巖體后緣裂隙擴(kuò)展是巖體結(jié)構(gòu)損傷的表現(xiàn)。當(dāng)前結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別主要集中在高危建筑、橋隧及機(jī)械等領(lǐng)域[14-17]，而基于動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)的損傷識(shí)別及定位是常用方法之一，基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的損傷識(shí)別方法所采用的主要模態(tài)參數(shù)包括：固有頻率、阻尼及振型等。同樣，巖體結(jié)構(gòu)損傷后在時(shí)域、頻域上出現(xiàn)明顯的改變[18]，眾多學(xué)者[19-22]通過實(shí)踐及試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著危巖體損傷程度變化，其振幅、頻率等動(dòng)力特征有著較為明顯的變化。HAN 等[23]通過設(shè)計(jì)振動(dòng)臺(tái)對(duì)具有不連續(xù)面高陡巖質(zhì)邊坡的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究；葉陽升等[24]通過室內(nèi)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)墜落危巖體的固有頻率隨危巖后緣貫通率的增大而明顯降低；杜巖等[25]通過試驗(yàn)及理論分析得出結(jié)論：隨著危巖體與基巖粘結(jié)程度降低，滑移型危巖體的固有頻率降低。VALENTIN 等[26]基于常時(shí)微動(dòng)測量技術(shù)對(duì)現(xiàn)場危巖體進(jìn)行測量，并建議采用頻譜特征分析監(jiān)測巖石損傷斷裂情況。DU 等[27]通過模擬凍融的方法模擬了危巖體崩落過程，并提出將基于固有頻率作為危巖體穩(wěn)定程度的表征指標(biāo)的方法。當(dāng)前危巖體動(dòng)力學(xué)基本停留在理論及試驗(yàn)角度以定性的角度得到危巖體損傷程度與固有頻率之間的關(guān)系，其主要分析方法是將危巖體作為質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行考慮，而實(shí)際上危巖體與母巖都是可變形體，對(duì)危巖振動(dòng)頻率與其后緣裂隙深度之間精確定量關(guān)系鮮有報(bào)道[28]。本文基于修正Timoshenko 梁理論，建立錯(cuò)斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數(shù)與固有頻率的定量關(guān)系，以期為危巖體崩塌防控提供有益借鑒。

1 錯(cuò)斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數(shù)靜力學(xué)計(jì)算方法

錯(cuò)斷式墜落危巖體[29]又稱“懸掛式危巖體”或“壁掛式危巖體”，該類危巖體往往厚度較薄，呈片狀或長條狀，巖體結(jié)構(gòu)豎向節(jié)理發(fā)育。危巖體底面臨空無支撐，危巖體與基巖的粘結(jié)面受由自重引起的張拉-剪切復(fù)合作用力，當(dāng)作用力大于主控?cái)嗔衙鎻?qiáng)度時(shí)，巖體沿主控?cái)嗔衙胬舯缆洹Ｈ鐖D1 所示，錯(cuò)斷式墜落危巖體形成主要原因?yàn)椴町愶L(fēng)化作用。由于坡體底部受河谷下切或人工開挖擾動(dòng)，巖體在卸荷回彈作用下在后緣形成陡傾張拉裂縫，在自重及漸進(jìn)風(fēng)化作用下裂縫不斷加深，巖橋部位應(yīng)力集中程度加劇進(jìn)一步加深，直至巖橋突然破裂，危巖發(fā)生失穩(wěn)崩落。

圖1 危巖體風(fēng)化過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of weathering process of dangerous rock mass

錯(cuò)斷式墜落危巖體受力示意圖如圖2 所示，危巖體模型高度為H，寬度為L， 厚度為B，后緣裂縫深度為h?；谠撃Ｐ涂捎?jì)算得裂縫處截面所受最大拉應(yīng)力 σmax和剪應(yīng)力τ，二者表達(dá)式如下：

圖2 危巖體受力示意圖Fig.2 Force diagram of dangerous rock mass

式中， ρ /( kg·m-3)為巖體密度。

如式(1)所示，隨著裂縫深度h增加，裂縫處截面上最大拉應(yīng)力 σmax和剪應(yīng)力τ隨之增大。若墜落危巖體以剪切破壞為主，則當(dāng)前危巖體穩(wěn)定系數(shù)為Fs1：

實(shí)際上，裂縫處截面受拉剪復(fù)合作用，拉剪復(fù)合作用條件下巖石抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)小于單軸抗拉強(qiáng)度[30]，拉剪復(fù)合作用條件下巖石的抗拉強(qiáng)度為：

式中： σt為拉剪復(fù)合作用下巖石抗拉強(qiáng)度；Rt為巖石單軸抗拉強(qiáng)度；c為巖石內(nèi)聚力；τ為巖石當(dāng)前所受剪應(yīng)力。由式(1)與式(3)可計(jì)算當(dāng)前巖石抗拉強(qiáng)度為：

若危巖體破壞形式為拉剪復(fù)合作用下張拉破壞，則當(dāng)前危巖體穩(wěn)定系數(shù)為：

實(shí)際上，危巖體破壞形式受幾何形式、巖體力學(xué)參數(shù)及后緣裂縫深度等因素，采用單一形式的破壞判據(jù)有失客觀，為安全起見，危巖體當(dāng)前穩(wěn)定系數(shù)取上述兩種破壞形式所采用的穩(wěn)定系數(shù)最小值：

式(6)所涉及的巖石材料力學(xué)參數(shù)及危巖體幾何形式往往是可測的，根據(jù)該式可基于巖體材料參數(shù)得到危巖體后緣裂隙臨界深度值。然而，隨著危巖體整體力學(xué)性質(zhì)劣化，其后緣裂縫深度h不斷增大，而裂縫深度的動(dòng)態(tài)變化無法經(jīng)靜力學(xué)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，危巖體的穩(wěn)定系數(shù)也就無法確定。因此，如何反映穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算必需參數(shù)h的動(dòng)態(tài)變化仍是亟需解決的問題。從動(dòng)力學(xué)角度而言，任何物體的動(dòng)力特征參數(shù)可反映該物體的本質(zhì)特征，如材料參數(shù)、形狀、邊界條件等。固有頻率是動(dòng)力特征參數(shù)之一，能夠反映物體固有的特征參數(shù)。隨著危巖體后緣裂隙深度增加，母巖對(duì)危巖體的約束程度降低，固有頻率亦隨之變化，為分析固有頻率與危巖體后緣裂隙深度的關(guān)系，筆者對(duì)危巖體固有頻率計(jì)算方法進(jìn)行分析。

2 錯(cuò)斷式墜落危巖體的固有頻率計(jì)算方法研究

2.1 錯(cuò)斷式墜落危巖體動(dòng)力學(xué)方程建立

錯(cuò)斷式墜落危巖體動(dòng)力學(xué)模型如圖2 所示，將危巖體與基巖分離的部分簡化為巖梁，巖梁長度為裂縫深度h， 寬度為L，厚度為B。

由圖3 可知，隨著裂縫深度增大，巖梁長度h不斷增大，母巖對(duì)危巖體的約束長度H-h不斷減小，巖梁的幾何形式及邊界特征變化直接導(dǎo)致其振動(dòng)特征發(fā)生改變，為獲取巖梁長度h對(duì)振動(dòng)特征的影響，建立基于修正Timoshenko 梁理論的動(dòng)力學(xué)方程[31]，修正Timoshenko 梁理論的同時(shí)考慮了梁的剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且不存在雙頻譜的問題，修正Timoshenko 梁理論方程式如下：

圖3 危巖體動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of dangerous rock mass

式中：S為巖梁橫截面積；G為巖石剪切模量；EI為巖梁抗彎剛度；μ為巖梁剪切系數(shù)，若截面為矩形，則

基于分離變量法可獲取方程的通解，獲取振型函數(shù)Y(x) 、彎矩引起的轉(zhuǎn)角函數(shù) Φ(x)及剪切引起的轉(zhuǎn)角函數(shù)B(x)：

式中：

通解見式(8)～式(10)，式中的c1～c4為待求系數(shù)，需根據(jù)邊界條件進(jìn)行求解。

2.2 巖梁約束條件分析

本文不考慮巖梁在X方向的平移運(yùn)動(dòng)，僅考慮梁的橫向彎曲。危巖體與母巖未分離部分受側(cè)向約束，橫向彎曲轉(zhuǎn)角近乎為0°，可忽略。將危巖體未分離部分的運(yùn)動(dòng)變形進(jìn)行分解，如圖4 所示。未分離部分的運(yùn)動(dòng)變形包括剛性運(yùn)動(dòng)及變形，其中剛性運(yùn)動(dòng)又包括剛性平移與剛性旋轉(zhuǎn)。基于該部分的運(yùn)動(dòng)變形特征可知，該部分受側(cè)向母巖的抗搖擺約束及抗平移約束，另外剪切變形也提供抗上部巖梁的搖擺運(yùn)動(dòng)作用。

圖4 運(yùn)動(dòng)分解示意圖Fig.4 Motion decomposition diagram

由于母巖尺度遠(yuǎn)大于危巖，因此，將未分離部分與母巖之間關(guān)系視為半無限空間地基與基礎(chǔ)的關(guān)系，可采用動(dòng)力基礎(chǔ)半空間理[32]進(jìn)行分析，如圖5 所示。

圖5 半無限空間地基與基礎(chǔ)示意圖Fig.5 Semi-infinite space foundation bed and foundation schematic diagram

半空間提供的抗平移剛度Ky與抗搖擺剛度Kψ計(jì)算方法如下：

式中：G′為半無限空間材料剪切模量；r1為橫向運(yùn)

其中系數(shù)F1(α1) 計(jì)算方法[33]見表1，F(xiàn)2(α2)表達(dá)式見式(12)：

表1F1(α1)計(jì)算式Table 1 Formulas ofF1(α1)

1) 抗巖梁搖擺剛度分析

“基礎(chǔ)”部分可發(fā)生整體縱向剪切變性和局部剪切變形，兩種變形同時(shí)存在。首先考慮“基礎(chǔ)”整體的剪切變形，如圖4 所示。

由材料力學(xué)可得“基礎(chǔ)”剪切變形提供的抗搖擺靜剛度為：

“基礎(chǔ)”局部變形如圖5 所示，由材料力學(xué)理論可得“基礎(chǔ)”部分局部變形產(chǎn)生的抗搖擺靜剛度為：

式中，Kψ1與Kψ2為“彈簧串聯(lián)”的關(guān)系。“剪切”變形伴隨著旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其參振質(zhì)量不可忽略，設(shè)“基礎(chǔ)”搖擺角度的簡諧運(yùn)動(dòng)為 Θ：

則考慮參振部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的抗“基礎(chǔ)”搖擺動(dòng)剛度Kψ3為：

半無限空間的抗搖擺動(dòng)剛度可由式(11)進(jìn)行計(jì)算，但該方法是基于等效圓面積比擬所得，為更加精確求解“地基”對(duì)矩形“基礎(chǔ)”的動(dòng)約束剛度，本文采用等效圓面積條件下動(dòng)、靜剛度之比乘以矩形“基礎(chǔ)”靜約束剛度的方法得到矩形“基礎(chǔ)”底部動(dòng)剛度。等效圓面積條件下“地基”對(duì)“基礎(chǔ)”的靜約束剛度為：

結(jié)合式(11)與式(17)，可計(jì)算得到動(dòng)、靜剛度比 γ1：

“地基”對(duì)矩形“基礎(chǔ)”的靜搖擺約束剛度為：

式中：γ1′=-0.0001χ4+0.002χ3-0.0148χ2+0.139χ+0.363，

結(jié)合式(18)與式(19)可得“地基”對(duì)矩形“基礎(chǔ)”動(dòng)約束剛度：

考慮“基礎(chǔ)”的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量造成“地基―基礎(chǔ)”對(duì)巖梁約束剛度的影響，“地基―基礎(chǔ)”對(duì)巖梁搖擺的約束剛度為：

由于Kψ3與Kψ7是“彈簧串聯(lián)”的關(guān)系，基于“彈簧串聯(lián)”理論最終得到“地基―基礎(chǔ)”對(duì)巖梁搖擺的約束剛度：

2) 抗巖梁橫向位移剛度分析

根據(jù)式(11)可得，不考慮“基礎(chǔ)”參振質(zhì)量條件下“地基”對(duì)與圓形等效面積的“矩形基礎(chǔ)”平移約束剛度?！暗鼗睂?duì)圓形等效面積矩形“基礎(chǔ)”的平移靜約束剛度表達(dá)式如下：

結(jié)合式(11)與式(23)，可計(jì)算得到動(dòng)、靜剛度比 γ2：

“地基”對(duì)矩形“基礎(chǔ)”的平移靜約束剛度為：

式中： γ2′=-0.0036χ2+0.1231χ+1.9932。

結(jié)合式(24)與式(25)可得“地基”對(duì)矩形“基礎(chǔ)”的平移動(dòng)約束剛度：

由于“基礎(chǔ)”是質(zhì)量體，其慣性條件需考慮，類比“地基―基礎(chǔ)”對(duì)巖梁搖擺約束剛度的計(jì)算方法，可得“地基―基礎(chǔ)”抗巖梁橫向位移剛度為：

通過上述分析，可根據(jù)式(22)與式(27)獲得抗巖梁搖擺約束剛度與抗巖梁橫向位移約束剛度，為巖梁振型的求解提供明確的約束邊界條件。

2.3 巖梁邊界條件分析及固有頻率求解

危巖體懸空端受剪力及彎矩皆為0，可將懸空自由端x=h處邊界條件寫作：

由于巖梁底部未分離部分受基巖限制，其橫向彎曲主要由彎矩引起，因此僅考慮梁未分離部分由彎矩引起的橫向彎曲及橫向平移。值得注意的是，修正Timoshenko 梁理論是基于梁內(nèi)部相對(duì)變形及作用內(nèi)力推導(dǎo)的，并不考慮整體剛性的位移或旋轉(zhuǎn)。而“半空間地基”需作為可變形體考慮，巖梁搖擺勢必引起剛性旋轉(zhuǎn)及剛性平移?；谠撔再|(zhì)，可推導(dǎo)x=0時(shí)梁的橫向彎曲運(yùn)動(dòng)及橫向平移運(yùn)動(dòng)的邊界條件，即：

式(30)中c1～c4為待求解系數(shù)，由線性代數(shù)理論可知，當(dāng)c1～c4全部為0 時(shí)，式(30)無意義，因此，c1～c4不全為0，故c1～c4的系數(shù)組成的4 階矩陣D行列式為零，對(duì)式 |D|=0進(jìn)行求解便可得到巖梁的固有頻率，其中矩陣D見式(31)。由于計(jì)算較為復(fù)雜，需要借助數(shù)值計(jì)算。式(31)中未知數(shù)僅為含ω項(xiàng)，利用編程軟件采用數(shù)值迭代法便可快速求解得到ω值，計(jì)算結(jié)果形式如圖6 所示，其中|D|第一個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率值即為第一階固有頻率。

圖6 固有頻率計(jì)算示意圖Fig.6 Diagram of natural frequency calculation

3 基于固有頻率的錯(cuò)斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算模型

3.1 固有頻率指標(biāo)敏感性分析

危巖體穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算服務(wù)于危巖體失穩(wěn)的防控，危巖體失穩(wěn)防控需要明確兩個(gè)問題：① 危巖體穩(wěn)定程度是否發(fā)生劣化；② 當(dāng)前危巖體穩(wěn)定系數(shù)是否達(dá)到臨界值。若無法實(shí)時(shí)地確定危巖體穩(wěn)定程度是否發(fā)生劣化，則當(dāng)前的穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算不具有任何意義，而反映危巖體穩(wěn)定程度或后緣裂縫深度指標(biāo)的敏感性是最為關(guān)鍵的，因此表征危巖體后緣裂縫深度的關(guān)鍵參數(shù)不僅要能夠反映當(dāng)前危巖體穩(wěn)定程度，還要對(duì)危巖體后緣裂縫深度變化有足夠的敏感性。

為了危巖體固有頻率對(duì)危巖體后緣裂縫深度變化的敏感性，本文采用數(shù)值軟件ABAQUS 數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行分析。由于母巖相對(duì)危巖尺寸無限大，且母巖的位移相對(duì)危巖近乎為0，因此，本次模擬中母巖尺寸為60 cm×60 cm×60 cm，并對(duì)母巖模型進(jìn)行固支。危巖模型尺寸：厚度B為10 cm、寬度L為10 cm、高度H為40 cm。數(shù)值模型如圖7 所示。

考慮危巖體與母巖一般材料相近或一致，本次模擬對(duì)母巖和危巖賦值同種材料屬性。數(shù)值模擬旨在分析危巖體固有頻率對(duì)裂縫深度的敏感性，暫不考慮危巖體的強(qiáng)度力學(xué)參數(shù)。材料各參數(shù)見表2。模擬過程中采用不斷加深后緣裂縫深度的方式模擬裂縫深度變化，每次加深長度為3 cm，裂縫深度h最大為36 cm。本次數(shù)值計(jì)算重點(diǎn)考察在平面上的彎曲運(yùn)動(dòng)，由于模型是三維的，危巖體對(duì)應(yīng)的模態(tài)不一定全部在單一平面做彎曲運(yùn)動(dòng)，裂縫深度為3 cm時(shí)，考察的平面彎曲運(yùn)動(dòng)為第4 階模態(tài)；裂縫深度為6 cm～27 cm 時(shí)，考察的平面彎曲運(yùn)動(dòng)為第2 階模態(tài)；裂縫深度為27 cm～36 cm 時(shí)，考察的平面彎曲運(yùn)動(dòng)為第1 階模態(tài)。危巖體固有頻率理論值與模擬值對(duì)比如圖8 所示。

表2 材料屬性表Table 2 Material property table

圖8 固有頻率計(jì)算Fig.8 Natural frequency calculation

如圖8 所示，隨著裂縫深度的增加，危巖體在考察平面彎曲運(yùn)動(dòng)固有頻率逐步降低，其降低的趨勢為：裂縫深度為3 cm～6 cm 時(shí)，固有頻率值降低速度相對(duì)較緩；裂隙深度為9 cm～24 cm時(shí)，固有頻率值降低速度較快；裂縫深度為27 cm～33 cm 時(shí)，固有頻率值降低速度又呈相對(duì)較緩的趨勢。裂隙深度由3 cm 逐步變?yōu)?3 cm 時(shí)，固有頻率下降幅值約250 Hz，由此可見，固有頻率值對(duì)后緣裂縫深度的變化較為敏感，可以有效地表征危巖體穩(wěn)定程度是否發(fā)生劣化。數(shù)值模擬與理論值存在些許誤差，原因在于：① 數(shù)值模擬過程中計(jì)算單元中的偽應(yīng)變能是不可避免的，偽應(yīng)變能的存在使得模型變形變大，一定程度上使得固有頻率降低；② 由于理論模型的復(fù)雜性，本文采用動(dòng)力基礎(chǔ)半空間理論時(shí)未考慮輻射阻尼，一定程度上使得固有頻率理論計(jì)算值比實(shí)際要高。

3.2 基于固有頻率錯(cuò)斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算模型建立

由于振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能主要集中在一階頻率，本文重點(diǎn)考察一階頻率，由數(shù)值模擬驗(yàn)證了危巖體固有頻率與后緣裂縫深度呈負(fù)相關(guān)，危巖體固有頻率隨后緣裂縫深度增大而降低。因此，可根據(jù)當(dāng)前危巖體固有頻率反演危巖體后緣裂縫深度。將固有頻率-裂縫深度曲線擬合得到關(guān)系式：

將式(32)代入式(2)、式(5)及式(6)中可得錯(cuò)斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算式：

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了說明本算法的正確性及適用性，筆者在室內(nèi)澆筑危巖-母巖模型，考慮到實(shí)際條件中危巖體與母巖材料屬性一致，因此試驗(yàn)中二者采用同種材料進(jìn)行澆筑，澆筑材料及配比見表3，材料的力學(xué)參數(shù)見表4，母巖模型尺寸為長度30 cm、寬度30 cm、高度40 cm 的矩形。危巖體模型寬度10 cm、厚度10 cm、高度30 cm，為了模擬更加準(zhǔn)確，母巖的頂部進(jìn)行加載固定，模型示意圖如圖9 所示。

表3 模型材料配比Table 3 Model material ratio

表4 模型材料力學(xué)參數(shù)Table 4 Mechanical parameters of model materials

圖9 模型示意圖Fig.9 Diagram of model

如圖10 所示，實(shí)驗(yàn)過程中，沿著危巖體與母巖體的接觸面向下進(jìn)行切割裂隙。每次切割深度為2 cm，切割完成后靜置5 min，然后每隔3 s 用力錘輕輕在危巖體表面進(jìn)行敲擊，并利用拾振器采集振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，單次采集完成后重復(fù)切割步驟，當(dāng)切割深度為26 cm 時(shí)，繼續(xù)切割過程中模型發(fā)生破壞。

圖10 裂隙切割示意圖Fig.10 Fracture cutting schematic

裂隙深度增加過程中，固有頻率隨裂隙深度變化數(shù)據(jù)如表5 所示。固有頻率ω-裂隙深度h曲線如圖11 所示。

表5 固有頻率與穩(wěn)定系數(shù)值Table 5 Natural frequency and stability coefficient

圖11ω-h關(guān)聯(lián)曲線Fig.11 The correlation curve ofω-h

通過對(duì)固有頻率ω(理論值)-裂隙深度h進(jìn)行擬合，可得式(34)：

穩(wěn)定系數(shù)Fs與固有頻率ω的關(guān)聯(lián)曲線如圖12所示，對(duì)Fs-ω曲線進(jìn)行擬合，二者之間近似呈負(fù)線性相關(guān)的關(guān)系。由此可知，錯(cuò)斷式墜落危巖體的穩(wěn)定系數(shù)完全可由固有頻率ω進(jìn)行表示，可基于危巖體的固有頻率實(shí)時(shí)計(jì)算當(dāng)前危巖體的穩(wěn)定系數(shù)。該研究成果為危巖體失穩(wěn)防控自動(dòng)化監(jiān)測提供有益借鑒。

圖12Fs-ω關(guān)聯(lián)曲線Fig.12 The correlation curve ofFs-ω

5 結(jié)論

針對(duì)錯(cuò)斷式墜落危巖體特點(diǎn)，將危巖體―母巖概化為基礎(chǔ)―半無限空間地基模型，結(jié)合修正Timoshenko 梁理論得到危巖體固有頻率解析，獲取危巖體后緣裂隙深度、固有頻率及穩(wěn)定系數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并通過數(shù)值分析及室內(nèi)試驗(yàn)驗(yàn)證了固有頻率指標(biāo)的敏感性及有效性。結(jié)論如下：

(1) 錯(cuò)斷式墜落危巖體安全程度受后緣裂縫深度影響，裂縫深度是評(píng)判危巖體安全系數(shù)的關(guān)鍵參數(shù)之一，裂縫深度的動(dòng)態(tài)變化制約了靜力學(xué)計(jì)算方法的使用，而通過危巖體一階固有頻率的變化可較好地反映裂縫深度的變化。

(2) 根據(jù)動(dòng)力基礎(chǔ)半空間理論分析危巖體所受的動(dòng)約束剛度，結(jié)合巖梁模型的運(yùn)動(dòng)邊界條件，根據(jù)修正Timoshenko 梁理論所得的振型通解可計(jì)算不同后緣裂縫深度條件下危巖體固有頻率值。

(3) 通過數(shù)值試驗(yàn)及室內(nèi)試驗(yàn)得出結(jié)論：錯(cuò)斷危墜落巖體的一階固有頻率ω隨后緣裂縫深度h變化而變化的趨勢較為明顯，且試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合度較高，說明危巖體一階固有頻率可作為危巖體安全系數(shù)的有效關(guān)鍵參數(shù)指標(biāo)。

(4) 通過分析固有頻率ω與危巖體后緣裂隙深度h的關(guān)系，建立了基于ω反 算h的計(jì)算方法，形成了基于固有頻率的錯(cuò)斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算模型。

本文僅分析矩形梁在平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)，未分析其阻尼特征，且未分析更復(fù)雜幾何形式的危巖體動(dòng)力學(xué)特征。