劉高峰 臧秋艷 李燕珊 胡媚

摘? 要：無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域，無人機(jī)編隊(duì)定位和隊(duì)型調(diào)整是研究前沿?zé)狳c(diǎn)，目前需提高現(xiàn)有方法的定位精度和魯棒性。針對現(xiàn)存問題，建立三級定位和四級定位的無人機(jī)編隊(duì)定位數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，利用最小二乘法求出近似解，并建立多步?jīng)Q策模型逐漸調(diào)整無人機(jī)位置，實(shí)現(xiàn)無人機(jī)編隊(duì)有效隊(duì)型調(diào)整。仿真實(shí)驗(yàn)表明所提方法的定位精度高且魯棒性強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；最小二乘法；魯棒性分析；多步?jīng)Q策；無源定位

中圖分類號：V279? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）10-0143-04

Abstract： Unmanned aerial vehicles （UAVs） have been widely used in military and civil fields. Formation positioning and formation adjustment of UAVs are hot topics in the research field. The positioning accuracy and robustness of existing methods should be improved. Aiming at the existing problems， a mathematical planning model of UAV formation positioning for three-aircraft positioning and four-level positioning was established. The least square method was used to get the approximate solution， and a multi-step decision model was established to gradually adjust the position of UAV formation to achieve effective formation adjustment. Simulation results show that the proposed method has high positioning accuracy and strong robustness.

Keywords： mathematical programming model; least square method; robustness analysis; multi-step decision-making; passive location

隨著無人機(jī)的數(shù)量指數(shù)級增長，避障技術(shù)的成熟程度偏低及無人機(jī)通信系統(tǒng)干擾的問題，將日漸突出并且受地形、天氣等客觀條件影響，導(dǎo)航衛(wèi)星信號易干擾，定位精度有待提高[1-2]。無人機(jī)集群在遂行編隊(duì)飛行時(shí)，為避免外界干擾，需使其盡可能保持電磁靜默，少向外發(fā)射電磁波信號。現(xiàn)有無人機(jī)的民航無線電干擾源定位、四旋翼飛行器的多信號源定位等方法定位，但是方法較復(fù)雜，魯棒性較低[3-5]。為保持無人機(jī)集群在遂行編隊(duì)時(shí)的隊(duì)形，擬采用純方位無源定位的方法調(diào)整無人機(jī)的位置，即由編隊(duì)中某幾架無人機(jī)發(fā)射信號、其余無人機(jī)被動接收信號，從中提取出方向信息進(jìn)行定位，來調(diào)整無人機(jī)的位置[6-8]。

1? 問題描述

編隊(duì)由10架無人機(jī)組成，形成一個(gè)圓形編隊(duì)，其中9架無人機(jī)（編號FY01—FY09）均勻分布在某一圓周上，另1架無人機(jī)（編號FY00）位于圓心。無人機(jī)基于自身感知的高度信息，均保持在同一個(gè)高度上飛行。

問題一：位于圓心的無人機(jī)（FY00）和編隊(duì)中任意2架無人機(jī)（已知它們的位置無偏差和編號）發(fā)射信號，其余位置略有偏差的無人機(jī)被動接收信號。建立被動接收信號無人機(jī)的定位模型。

問題二：已知某位置略有偏差的無人機(jī)除了接收到編號為FY00和FY01的無人機(jī)發(fā)射的信號，還接收到編隊(duì)中若干編號未知的無人機(jī)發(fā)射的信號。假設(shè)發(fā)射信號的無人機(jī)位置無偏差，那么除已知的FY00和FY01外，要求還需要幾架無人機(jī)發(fā)射信號，才能得到所有無人機(jī)的有效定位。

問題三：已知1架無人機(jī)位于圓心，另9架無人機(jī)均勻分布在半徑為100 m的圓周上。初始時(shí)無人機(jī)的位置略有偏差，我們每次選擇編號為FY00的無人機(jī)和圓周上最多3架無人機(jī)遂行發(fā)射信號，其余無人機(jī)根據(jù)接收到的方向信息，使它們調(diào)整到理想位置上（每次調(diào)整的時(shí)間忽略不計(jì)），即使得9架無人機(jī)最終均勻分布在這個(gè)半徑為100 m的圓周上，請給出合理的調(diào)整方案。又已知無人機(jī)的實(shí)際位置數(shù)據(jù)，僅根據(jù)接收到的方向信息來調(diào)整無人機(jī)的位置，請給出具體的無人機(jī)位置調(diào)整方案。

2? 符號說明

？茁1為射線CA、CO的夾角；？茁2為射線CO、CB的夾角；？茁3為射線CA、CB的夾角；d1為發(fā)射信號無人機(jī)BC的距離，單位為m；d2為發(fā)射信號無人機(jī)AC的距離，單位為m；d3為發(fā)射信號無人機(jī)AB的距離，單位為m；I為對應(yīng)無人機(jī)編號；xi為編號為i的無人機(jī)的橫坐標(biāo)；yi為編號為i的無人機(jī)的橫坐標(biāo)；θi為對應(yīng)編號下無人機(jī)與x軸的夾角；■k為當(dāng)前估計(jì)坐標(biāo)；■k-1為上一次的估計(jì)坐標(biāo)；kk為特定系數(shù)；zk為當(dāng)前的實(shí)際坐標(biāo)；Sn為狀態(tài)；zn為決策。

3? 模型的建立與仿真驗(yàn)證

3.1? 問題一 模型的建立與仿真驗(yàn)證

3.1.1? 模型的建立

以無人機(jī)FY00為原點(diǎn)，F(xiàn)Y00與FY01之間的連線為x軸建立直角坐標(biāo)系。假設(shè)另外2架發(fā)射信號的無人機(jī)位置坐標(biāo)分別為A（aj，bj），其中j∈{1，2，3，…，9}， B（ak，bk）其中k∈{1，2，3，…，9}，且j≠k，圓心處FY00位置坐標(biāo)為O（x0，y0），接收信號的無人機(jī)位置坐標(biāo)為C（x，y）其中i∈{1，3，4，6，7，8，9}且i≠j≠k。設(shè)被動接受信號的無人機(jī)接收到來自圓心與另外2架無人機(jī)的方向信息分別為？茁1、？茁2。接受信號的無人機(jī)C接收到來自除圓心外的另外2架無人機(jī)（A、B）的方向信息為？茁3。發(fā)射信號的無人機(jī)B、A、O分別與接收信號的無人機(jī)C的距離分別為d1、d2、d4，無人機(jī)A與接收信號的無人機(jī)B的距離為d3，無人機(jī)A、B與發(fā)射信號的無人機(jī)O的距離分別為d5、d6，具體如圖1所示。

圖1? 無人機(jī)接收到的方向信息示意圖

圖1中？茁1、？茁2、？茁3分別為線段AC和OC、BC和CO、BC和AC所成的夾角。

問題一模型如下。

目標(biāo)函數(shù)

約束條件

式中：aj、ak、bj、bk為輸入量，？茁1、？茁2、？茁3、x、y為輸出量。

3.1.2? 模型仿真驗(yàn)證

借助LINGO軟件采用最小二乘法，通過無限逼近于準(zhǔn)確解進(jìn)而求近似解。取已知編號的無人機(jī)為FY02與FY05，代入模型解得實(shí)際坐標(biāo)則可根據(jù)LINGO求解出對應(yīng)的接收信號的無人機(jī)實(shí)際坐標(biāo)，誤差相對較小，模型定位較精確，見表1。

3.1.3? 誤差分析

由于無人機(jī)位置調(diào)節(jié)因素，測量的角度？酌1、？酌2、？酌3會存在誤差，因此通過FY00與FY01無人機(jī)確定直角坐標(biāo)系，以FY00無人機(jī)為坐標(biāo)原點(diǎn)，調(diào)整其接收的已知無人機(jī)位置信號的角度？酌1、？酌2、？酌3，使其滿足正態(tài)分布，觀察該無人機(jī)位置的變化情況。定位誤差示意圖如圖2所示。誤差相對較小，模型定位精度高。

3.2? 問題二 模型的建立與求解

3.2.1? 模型的建立

以編號為FY00的無人機(jī)的位置為原點(diǎn)，F(xiàn)Y00與FY01之間的連線為x軸建立直角坐標(biāo)系。借助問題一的模型，假設(shè)接收信號的無人機(jī)另接收到2架未知編號無人機(jī)發(fā)射的信號，則設(shè)圓心處的無人機(jī)（FY00）位置坐標(biāo)為O（x0，y0），F(xiàn)Y01無人機(jī)位置坐標(biāo)為E（x1，y1）；接收信號的無人機(jī)實(shí)際位置坐標(biāo)為H（xi，yi）；理想位置坐標(biāo)為H（xi*，yi*），其中i為飛機(jī)編號且i∈{2，3，4，5，6，7，8，9}；另外2架發(fā)射信號的無人機(jī)位置坐標(biāo)分別為F（xh，yh），G（xh′，yh′），其中h與飛機(jī)編號i存在h=s（i）的關(guān)系，且h∈{2，3，4，5，6，7，8，9}且i≠h′≠h。

圖2? 定位誤差示意圖

建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，建立如下目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行模型求解。

目標(biāo)函數(shù)為

因此約束條件為

式中：x1、y1、xh、yh、x0、y0為輸入量，？茁1h、？茁2h、？茁3h、xh，yh為輸出量。

3.2.2? 模型仿真驗(yàn)證

目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，在MATLAB中固定另外2架未知編號的發(fā)射信號的無人機(jī)，并進(jìn)行定位后，當(dāng)2個(gè)位置坐標(biāo)無限接近時(shí)，在不同角度誤差情況下得到定位坐標(biāo)、定位誤差（表2），通過分析發(fā)現(xiàn)定位誤差很小，模型定位精度高，魯棒性強(qiáng)。

3.3 問題三 模型的建立與求解

3.3.1? 模型的建立

已知所有無人機(jī)的實(shí)際位置，選取編號0、1、2這3架無人機(jī)，假設(shè)編號2的無人機(jī)處在理想位置上，求出接收信號的無人機(jī)接收到來自編號0分別與編號1、2無人機(jī)的方向信息為？棕1、？棕2，聯(lián)系商人渡河的決策集合模型來解決此問題。

無人機(jī)發(fā)射信號后需要調(diào)整的無人機(jī)初始位置記為Sn=（xn，yn），將成功調(diào)整到理想位置后的狀態(tài)集合定義為允許狀態(tài)集合，無人機(jī)調(diào)整到理想位置為zn=（un，vn），將其定義為決策。研究發(fā)現(xiàn)本文定義的狀態(tài)Sn和決策zn是存在聯(lián)系的，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移率：Sn+1=Sn+（-1）nzn。因此可以抽象為多步?jīng)Q策模型。求zn∈D（n=1，2，…，m），使?fàn)顟B(tài)Sn∈S按照轉(zhuǎn)移率變化，初始狀態(tài)S1經(jīng)有限m步后到達(dá)狀態(tài)Sm+1求得結(jié)果。建立如下約束條件進(jìn)行模型求解。

約束條件為

式中：？棕1、？棕2、？棕3、aj、ak、bj、bk為輸入量，x、y為輸出量。

3.3.2? 無人機(jī)動態(tài)調(diào)整算法

第一步：首先除確定編號0和編號1無人機(jī)外，還需由在圓周的最多3架無人機(jī)發(fā)射信號，假設(shè)取2、5、8號無人機(jī)，通過與問題二相似的模型利用LINGO去尋找接收信號的無人機(jī)的實(shí)際位置。

第二步：通過多步?jīng)Q策模型，求出z1，z2，…，zn，使接收信號的無人機(jī)根據(jù)決策變量zn，多次調(diào)整方向，直到調(diào)整到與理想位置較為接近時(shí)達(dá)到預(yù)期。

4? 結(jié)論

本文通過建立直角坐標(biāo)系的方法合理利用幾何圖形計(jì)算無人機(jī)的位置，在無人機(jī)的位置關(guān)系的求解方面較為精確。主要優(yōu)點(diǎn)如下；

1）基于二維分析的模型，與無源定位實(shí)際十分吻合，經(jīng)過魯棒性分析得到的模型穩(wěn)定性好、適用范圍廣；

2）模型充分考慮了所有對應(yīng)編號的無人機(jī)的理想位置坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)之間的關(guān)系，模型較為精準(zhǔn)。

后續(xù)值得研究：在實(shí)際飛行中，無人機(jī)集群也可以是其他編隊(duì)隊(duì)形，例如錐形編隊(duì)隊(duì)形，仍考慮從純方位無源定位入手，設(shè)計(jì)無人機(jī)位置調(diào)整方案。也可以結(jié)合天氣變化情況，構(gòu)建屬于不同天氣下精準(zhǔn)的無人機(jī)定位模型。

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