張海濤,王偉林,張雅聲,王 浩,李 智*

(1. 航天工程大學, 北京 101416; 2. 酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心, 甘肅 酒泉 735000)

由于地球靜止軌道(geosynchronous orbit, GEO)的軌道優(yōu)勢,許多高價值航天器都位于GEO區(qū)域。2021年,歐洲航天局空間碎片辦公室在《歐洲年度空間環(huán)境報告》中指出,截至2020年底,共有873個GEO空間目標[1]。GEO空間目標距離地面近36 000 km,給地面高清觀測[2-3]帶來巨大挑戰(zhàn)。

GEO區(qū)域的成像衛(wèi)星能夠在不受大氣干擾的情況下,拍攝更清晰的GEO空間目標圖像,并能更好地監(jiān)測GEO航天器的工作狀態(tài)。因此,部署成像衛(wèi)星接近GEO航天器,實現(xiàn)對GEO航天器的持續(xù)觀測具有重要意義。利用GEO的軌道周期特點,成像衛(wèi)星可以在整個自然繞飛任務中以良好的觀測角對GEO航天器進行連續(xù)觀測。

根據(jù)用于表示相對運動的狀態(tài)量的類型,研究相對運動的模型可以分為兩類:第一類是用軌道參數(shù)作為狀態(tài)量的相對運動模型;第二類是用相對狀態(tài)矢量作為狀態(tài)量的相對運動模型,例如用直角坐標系中的相對位置和速度[4]作為狀態(tài)矢量。第一類模型[5-8]的優(yōu)點是易于分析攝動對相對運動的影響。因此,這種模型具有較高的精度,并能有效避免偏差的長期累積。這種模型的缺點是不便于建立狀態(tài)微分方程,不利于研究連續(xù)小推力作用下的相對運動。在第二類模型[9-11]中,Clohessy-Wiltshire (CW)方程應用最為廣泛,CW方程的優(yōu)點在于:建立狀態(tài)方程后,便于結合最優(yōu)控制理論開展成像衛(wèi)星接近GEO航天器的研究,也便于對飛行編隊進行研究。缺點是CW方程的偏差較大,且偏差隨時間不斷累積[12]。

在繞飛軌跡規(guī)劃問題上,劉猛等[13]給出了航天器基于最小沖量進入對空間目標繞飛軌道的策略,在軌道機動燃料消耗方面有借鑒價值。黃藝等[14]研究了對非合作目標繞飛任務的姿軌耦合控制策略,給出能夠?qū)ν饨绺蓴_和不確定參數(shù)具有很好抑制效果的控制方案。譚天樂等[15-17]給出近圓軌道和大橢圓軌道的相對運動建模和解析方法,提供了對空間非合作目標高精度的相對懸停和循跡繞飛控制方法。劉濤等[18]提出一種用于非合作目標慣性指向軸位置捕獲的繞飛方法。常燕等[19]研究了對橢圓軌道上非合作目標進行長期繞飛檢測的相對運動軌道構型設計與構型保持問題。梁靜靜等[20]基于粒子群算法研究了雙脈沖繞飛的優(yōu)化問題和安全繞飛軌跡設計問題。王功波等[21]在連續(xù)小推力條件下,針對圓軌道推導了滿足快速繞飛條件的空間圓編隊動力學模型。Dang[22-23]推導了在任意開普勒軌道上相對運動的新狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣,給出了Tschauner-Hempel(TH)方程的解。

在CW方程的偏差問題上,通過修正CW方程的非球形攝動偏差和非線性二次項偏差改進CW方程;在軌跡規(guī)劃問題上,計算對GEO航天器繞飛的初始相位區(qū)間,成像衛(wèi)星在連續(xù)小推力作用下接近GEO航天器,以合適的初始相位對其開始繞飛,實現(xiàn)對GEO航天器的自然繞飛并持續(xù)以有利的光照條件對其觀測,如圖1所示。

圖1 成像衛(wèi)星P在整個繞飛任務中以良好的觀測角對GEO航天器E進行拍照Fig.1 The optical satellite P can take pictures of the GEO spacecraft E with favorable observation angles throughout the entire fly-around mission

1 CW方程

CW方程采用當?shù)卮怪碑數(shù)厮?local vertical local horizontal, LVLH)坐標系,該坐標系以航天器質(zhì)心為原點,x軸沿地心到航天器質(zhì)心的方向;z軸垂直于軌道平面,與瞬時角動量方向相同,y軸方向根據(jù)右手定則確定。

兩個非常接近的航天器分別記為M和S,M為主航天器,S為輔航天器,存在:

(1)

(2)

式中:

(3)

(4)

其中,ω為航天器M的軌道角速度。

記t0時刻,S的相對狀態(tài)矢量為X(t0),則t時刻,航天器S的相對狀態(tài)矢量為:

(5)

式中:

(6)

2 改進的CW方程

非線性、參考軌道的偏心率和攝動是CW方程偏差的三個來源。在成像衛(wèi)星對GEO航天器的接近和繞飛的任務中,以GEO航天器為原點建立LVLH坐標系,則CW方程偏差來源主要為非線性項和攝動項。記P為成像衛(wèi)星,E為被成像的GEO航天器。已知P和E的初始軌道參數(shù),改進的CW(improved CW, ICW)方程研究相對運動的步驟如下:

步驟1：以航天器E的質(zhì)心為原點建立LVLH坐標系,記為R;

步驟2：計算成像衛(wèi)星P的初始狀態(tài)矢量,即在LVLH坐標系中成像衛(wèi)星P相對GEO航天器E的位置和速度矢量:

(7)

據(jù)文獻[22]的方法可求得:

(8)

步驟3：GEO航天器受到的主要攝動為非球形、三體和太陽光壓攝動。然而,由于GEO軌道的軌道特性,非球形攝動是導致兩航天器存在相對運動偏差的最主要因素?？紤]J2和J22項攝動,將CW方程中的萬有引力常數(shù)μ修正為ICW方程中的萬有引力常數(shù)μ′:

(9)

式中,μ=3.986 005×1014m3/s2為萬有引力常數(shù),rE為地球的赤道半徑,ac為GEO軌道的半長軸,λ為GEO航天器E的星下點地理經(jīng)度,J2=-1.082 627×10-3,J22=1.815 528×10-6。

步驟4：通過對CW方程初始狀態(tài)矢量的修正來補償非線性長期項偏差。將非線性二次項假設為虛加的攝動,通過虛攝動解可求解對CW方程初始狀態(tài)矢量的修正項。對CW方程初始狀態(tài)矢量的修正項為:

(10)

式中,nL為LVLH坐標系相對ECI坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度,ρ2為成像衛(wèi)星P與航天器E的相對距離的平方,β0為初始時刻y軸沿z軸反方向到成像衛(wèi)星P位置矢量的角度。

步驟5：將兩個獨立的修正結合起來,以補償非線性偏差和非球形攝動偏差。ICW方程的初始狀態(tài)矢量為:

(11)

在ICW方程中,通過步驟3補償非球形攝動偏差,通過步驟4補償非線性偏差,2.1節(jié)和2.2節(jié)分別研究步驟3和步驟4補償攝動偏差和非線性偏差的原理。

2.1 補償非球形攝動偏差

定義航天器在離地球無限遠處的重力勢能為0。r為ECI坐標系中的位置矢量,r為位置矢量的大小。設r處單位質(zhì)量的重力勢能為:

(12)

(13)

化簡后,引力勢為:

各項的權重為:

(15)

對于GEO航天器,權量最大的五項分別是J2,J22,J3,J31和J33,權重比為:

A2∶A22∶A3∶A31∶A33=11 053 ∶64 ∶3 ∶7 ∶6

(16)

因此,J2和J22是非球形攝動中權重最大的項。將這兩項引入ICW方程中,包含J2和J22項的引力勢為:

(17)

式中,λ22=-14.929°。對于兩個相對接近的GEO航天器,其星下點的地理經(jīng)度近似相等。由于sin2φ≈0,cos2φ≈1,式(17)可簡化為:

(18)

J2和J22對相對運動的影響體現(xiàn)在與CW方程相比,ICW方程中的萬有引力常數(shù)修正為:

(19)

2.2 補償非線性偏差

在CW方程中,為了得到線性的狀態(tài)方程,重力加速度的泰勒級數(shù)展開式中的非線性項在式(1)的條件下被舍棄,二次項是偏差的主要來源。被舍棄的二次項在位置分量上產(chǎn)生常數(shù)項、長期項和短周期項三種類型的偏差。長期項只出現(xiàn)在y軸方向上,是對精度影響最大的偏差。偏差的長期項可通過對CW方程的初始狀態(tài)矢量的修正來補償,利用攝動法可計算用于補償CW方程中非線性偏差的修正項。攝動法中,將非線性二次項作為CW方程中的虛加攝動力。通過虛攝動解求解用于補償CW方程中非線性長期項偏差的初始狀態(tài)矢量的修正項。

(20)

其中,R為在r處單位質(zhì)量的勢能。成像衛(wèi)星P相對GEO航天器E的位置矢量為ρ=rP-rc。根據(jù)式(12),對于航天器E和成像衛(wèi)星P,存在:

(21)

(22)

其中,fc和fP分別為航天器E和成像衛(wèi)星P受到的攝動力,如太陽光壓攝動等。式(21)與式(22)相減得:

(23)

式中,Δf為成像衛(wèi)星P和航天器E受到的攝動偏差。ICW方程在步驟3中對主要攝動偏差進行修正,在步驟4中對非線性偏差進行修正。因此,在修正非線性偏差時,令Δf=0。將式(23)從ECI坐標系轉(zhuǎn)換到LVLH坐標系:

(24)

(25)

在CW方程中,式(25)可化簡為:

(26)

記CW方程中的狀態(tài)矢量為:

(27)

解為:

(28)

保留式(25)等號右邊的二次項,舍棄高階項。將式(25)化簡為:

(29)

根據(jù)式(29),將重力加速度泰勒級數(shù)展開式中的非線性二次項作為CW方程中虛加的攝動力,虛加攝動力為:

(30)

將式(29)簡記為:

(31)

式(31)為CW方程的非線性偏差傳播方程。記CW方程的非線性偏差為:

(32)

根據(jù)式(5)可得式(31)的解為:

(33)

CW方程中被舍棄的二次項導致y軸方向偏差的長期項為:

(34)

為了修正y軸方向偏差的長期項,令ynl-long=0,可得非線性偏差的零累積準則:

(35)

因此,根據(jù)虛攝動解可得到對CW方程初始狀態(tài)矢量的修正項如式(10)所示。

2.3 偏差修正驗證

為了研究ICW方程相對CW方程的改進效果,選取成像衛(wèi)星P和GEO航天器E進行仿真驗證,其軌道半長軸a、偏心率e、軌道傾角i、升交點赤經(jīng)Ω、近地點幅角w、平近地點角m如表1所示。

表1 成像衛(wèi)星P與GEO航天器E的軌道參數(shù)

LVLH坐標系中成像衛(wèi)星P的初始狀態(tài)矢量如表2所示。初始時刻從y軸沿z軸反方向到成像衛(wèi)星P的位置矢量的角度為0°,X為CW方程的初始狀態(tài)矢量,Y為ICW方程的初始狀態(tài)矢量。

表2 成像衛(wèi)星P的初始狀態(tài)矢量

2.3.1 非球形攝動偏差修正驗證

為了驗證ICW方程中步驟3的非球形攝動解,將非球形攝動解與高精度軌道傳播(high-precision orbit propagator, HPOP)模型作對比。HPOP模型中考慮前21階非球形攝動、太陽光壓攝動和三體引力攝動。利用二體模型、HPOP模型和步驟3中的非球形攝動解,分別在ECI坐標系中計算成像衛(wèi)星P和GEO航天器E的位置。將P在ECI坐標系中的位置分別轉(zhuǎn)換到LVLH坐標系R中,P在R中的位置即為P相對于E的位置,將HPOP模型得到的相對位置視為真實相對位置。在仿真場景中,航天器星下點的地理經(jīng)度為165″E。

相比二體模型,非球形攝動解在相對位置的x、y和z方向?qū)鹊奶岣叻謩e如圖2、圖3和圖4所示。圖中紅色實線表示非球形攝動解相對HPOP模型的偏差,藍色虛線表示二體模型相對HPOP模型的偏差。通過比較可得,非球形攝動是攝動偏差的最主要因素,非球形攝動解提高了CW方程在LVLH坐標系x、y軸方向的精度。

圖2 非球形攝動解對x方向精度的提高Fig.2 Improvement of the non-spherical perturbation solution in x-coordinate

圖3 非球形攝動解對y方向精度的提高Fig.3 Improvement of the non-spherical perturbation solution in y-coordinate

圖4 非球形攝動解對z方向精度的提高Fig.4 Improvement of the non-spherical perturbation solution in z-coordinate

利用ICW方程和CW方程仿真成像衛(wèi)星P相對于GEO航天器E的運動,比較三個軌道周期內(nèi)相對位置的x、y、z坐標差異。由于CW方程存在非線性偏差,為了展現(xiàn)ICW方程中步驟3對CW方程的改進效果,本節(jié)中不對ICW方程進行非線性偏差修正。ICW方程與CW方程中相對位置的x、y、z坐標差值分別如圖5、圖6和圖7所示。

圖5 ICW方程和CW方程在x軸方向的差值Fig.5 Deviation in x-coordinate between ICW equations and CW equations

圖6 ICW方程和CW方程在y軸方向的差值Fig.6 Deviation in y-coordinate between ICW equations and CW equations

圖7 ICW方程和CW方程在z軸方向的差值Fig.7 Deviation in z-coordinate between ICW equations and CW equations

從圖5～7中可以看出,ICW方程與CW方程中相對位置的x、y、z坐標差值呈周期性變化,且差值幅值逐漸增大。x、y坐標差值幅值的增長率在同一個數(shù)量級,z坐標幅值的增長率比x、y坐標幅值的增長率小一個數(shù)量級。

2.3.2 非線性偏差修正驗證

CW方程和ICW方程計算出的成像衛(wèi)星P相對GEO航天器E的位置的y坐標如圖8所示。圖中紅色實線代表ICW方程的y坐標,藍色虛線代表CW方程的y坐標。ICW方程與CW方程的y坐標差值如圖9所示。

圖8 ICW方程和CW方程中的y坐標值Fig.8 y-coordinate in ICW equations and CW equations

圖9 ICW方程和CW方程在y軸方向的 非線性偏差值Fig.9 y-coordinate nonlinear deviation between ICW equations and CW equations

為了驗證ICW方程步驟4的改進效果,將CW方程和ICW方程計算的相對位置的y坐標與真值進行比較。由于CW方程存在攝動偏差,為了展現(xiàn)ICW方程中步驟4對CW方程的改進效果,本節(jié)不對ICW方程進行攝動偏差修正。如圖10所示,紅色實線表示ICW方程中相對位置的y坐標與真值的差值,藍色虛線表示CW方程中相對位置的y坐標與真值的差值。

圖10 ICW方程和CW方程在y軸方向與真值的差值Fig.10 y-coordinate deviation of ICW equations and CW equations from the truth value

成像衛(wèi)星P與GEO航天器E的初始距離為200 km,3個軌道周期后,ICW方程中相對位置的y坐標相對真值出現(xiàn)36 m的長期偏差,而CW方程的長期累積偏差為33 563 m。ICW方程的長期偏差僅約為CW方程的0.1%。通過比較,驗證了ICW方程對非線性偏差長期項補償?shù)挠行浴?/p>

ICW方程補償了相對位置y軸方向二次非線性偏差的長期項和x、y軸方向上主要的攝動偏差。ICW方程中,在建立狀態(tài)微分方程時,不對非線性偏差的短期項進行修正。在有更高的精度需求時,可用短期項偏差修正結果狀態(tài)矢量。這樣處理的優(yōu)點在于:得到的控制系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng),同時在最終的狀態(tài)矢量中加入短周期項可保證結果的準確性。

3 軌跡規(guī)劃

對GEO航天器繞飛持續(xù)觀測任務的軌跡規(guī)劃分為兩段:成像衛(wèi)星抵近GEO航天器和成像衛(wèi)星對GEO航天器繞飛。為了實現(xiàn)燃料消耗最少,成像衛(wèi)星最理想的軌跡規(guī)劃方案是:在連續(xù)小推力控制下接近GEO航天器,然后對GEO航天器自然繞飛完成持續(xù)觀測任務。

3.1 成像衛(wèi)星對GEO航天器繞飛

3.1.1 觀測角和太陽的運動

觀測角定義如圖11所示。定義α為成像衛(wèi)星對GEO航天器的觀測角。0°觀測角表示:成像衛(wèi)星、GEO航天器和太陽共線,成像衛(wèi)星處于中間位置。顯然,越接近0°,成像衛(wèi)星對GEO航天器的觀測越有利;越接近180°,成像衛(wèi)星對GEO航天器的觀測越不利。成像衛(wèi)星為了在整個繞飛階段都能對GEO航天器成像,需觀測角始終小于60°。成像衛(wèi)星能較好地對GEO航天器成像的觀測角的最大值取決于成像衛(wèi)星相機的成像能力和GEO航天器的材質(zhì),通常情況下,成像衛(wèi)星在觀測角小于60°的情況下,可實現(xiàn)對GEO航天器成像。

圖11 觀測角的定義Fig.11 Observation angle

在ECI坐標系中,太陽的軌道參數(shù)為:

(36)

其中,T為儒略世紀,d為儒略日。據(jù)太陽的軌道參數(shù),可得太陽在ECI坐標系中的位置矢量。由于太陽到地心的距離遠大于GEO航天器到地心的距離,假設地心到太陽的方向與GEO航天器E到太陽的方向重合。太陽在以航天器E為原點的LVLH坐標系R中的方向矢量為:

dsun=AECI→LVLH·kECI

(37)

式中,kECI為太陽在ECI中的方向矢量。

3.1.2 繞飛階段的觀測角

設計成像衛(wèi)星P在GEO航天器E軌道平面內(nèi)的繞飛軌跡。設tp時刻太陽方向矢量在LVLH坐標系R的xoy平面上的投影與x軸重合,成像衛(wèi)星P在t0到tp時刻完成對航天器E的抵近,從tp時刻開始繞飛。dP為航天器E到成像衛(wèi)星P的位置矢量,記θxy為dP在tp時刻的初始相位角,即θxy為tp時刻x軸沿z軸反方向到dP矢量的角度,如圖12所示。δ為太陽的赤緯,即太陽的星下點緯度,顯然δ∈(-23°26′,+23°26′)。t時刻,dP在LVLH坐標系R中的x、y、z坐標為:

圖12 太陽和成像衛(wèi)星的相對位置Fig.12 Position of the sun and the optical satellite

dP=[x(t),y(t),z(t)]

(38)

(39)

(40)

當θxy=0°時,成像衛(wèi)星P在GEO航天器E的一個軌道周期內(nèi)對E的觀測角如圖13所示。

圖13 在θxy=0°時成像衛(wèi)星P對GEO航天器E的觀測角Fig.13 Observation angles of the optical satellite P to the GEO spacecraft E when θxy=0°

太陽的赤緯在-23°26′到+23°26′間變化。記αm為一個軌道周期內(nèi)P對E的最大觀測角,αm隨太陽赤緯而變化,如圖14所示。當θxy=0°時,αm在δ=0°時取得最小值19.47°,在δ=±23°26′時取得最大值26.35°。因此,成像衛(wèi)星P在tp時刻以θxy=0開始對GEO航天器E繞飛,成像衛(wèi)星P對GEO航天器E的觀測角始終小于26.35°。

圖14 成像衛(wèi)星P對GEO航天器E的最大 觀測角隨太陽赤緯的變化Fig.14 Maximum observation angle of the optical satellite P to the GEO spacecraft E varies with the declination of the sun δ

tp時刻,成像衛(wèi)星P以初始相位角θxy≠0°開始對GEO航天器E繞飛。θxy取不同值時,一個軌道周期內(nèi)的最大觀測角αm隨太陽赤緯δ變化,如圖15所示。因此,無論太陽的赤緯δ取何值,如果繞飛的初始相位θxy∈(-37.2°,37.2°),在整個繞飛任務中,P對E的觀測角始終小于60°,P可以以有利的觀測角對E拍照。因此,可對GEO航天器持續(xù)觀測的成像衛(wèi)星的繞飛初始相位角區(qū)間為θxy∈(-37.2°,37.2°)。

圖15 不同θxy時最大觀測角αm隨太陽赤緯的變化Fig.15 The maximum observation angle in an orbital period αm varies with the declination of the sun δ at different θxy

3.1.3 繞飛軌道參數(shù)確定

設計成像衛(wèi)星P在GEO航天器E軌道平面內(nèi)的繞飛。在LVLH坐標系R中,繞飛相對軌跡為橢圓,記rxy為相對軌跡的半長軸,記yoff為橢圓相對軌道的中心與航天器E的距離。記Δe、Δi、ΔΩ、Δω和Δm為P與E軌道的偏心率、軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角和平近地點角差值:

(41)

已知GEO航天器E的軌道參數(shù),根據(jù)任務要求的rxy、θxy和yoff,設計成像衛(wèi)星P的相對軌跡。根據(jù)式(41)可得Δa、Δe、Δi、ΔΩ、Δω、Δm,進而可得成像衛(wèi)星P在tp時刻的軌道參數(shù)。

3.2 成像衛(wèi)星抵近GEO航天器

據(jù)3.1節(jié)的方法,可得成像衛(wèi)星P在tp時刻的軌道參數(shù),已知成像衛(wèi)星在t0時刻的軌道參數(shù)。以成像衛(wèi)星P的燃料消耗為優(yōu)化指標,計算成像衛(wèi)星接近GEO航天器的控制策略,從t0到tp的軌跡優(yōu)化是一個兩點邊界問題。狀態(tài)方程為:

(42)

支付函數(shù)為:

(43)

根據(jù)式(43),哈密頓函數(shù)可寫為:

(44)

式中,λ是協(xié)態(tài)變量。

根據(jù)最優(yōu)化的必要條件,協(xié)態(tài)方程為:

(45)

(46)

把式(46)代入式(42),得:

(47)

據(jù)式(47)和式(45),可得:

(48)

式(48)的解析解為:

(49)

式(49)可寫為:

(50)

已知ICW方程中的初始狀態(tài)矢量Y(t0)和終端狀態(tài)矢量Y(tp),可得:

λ*(t0)=Π12(tp)-1[Y*(tp)-Π11(tp)Y(t0)]

(51)

根據(jù)式(46)、式(50)和式(51),可得最優(yōu)控制策略:

U*(t)=-BT[Π21(t)Y(t0)+Π22(t)λ*(t0)]

(52)

4 仿真

從t0到tp,成像衛(wèi)星P在連續(xù)小推力的作用下接近GEO航天器E;自tp時刻開始,成像衛(wèi)星P對GEO航天器自然繞飛。成像衛(wèi)星P的相對繞飛軌跡在GEO航天器E的軌道平面內(nèi),橢圓相對軌跡的半長軸為20 km,初始相位角θxy=0°。在該場景中,t0為GEO航天器星下點當?shù)貢r間2021年6月10日00:00:00,tp為2021年6月11日12:00:00。成像衛(wèi)星P和GEO航天器E在t0時刻的軌道參數(shù)如表1所示。

根據(jù)CW方程和ICW方程,LVLH坐標系R中成像衛(wèi)星P在t0和tp時的狀態(tài)矢量如表3所示,X為CW方程的狀態(tài)矢量,Y為ICW方程的狀態(tài)矢量。

表3 成像衛(wèi)星P在LVLH坐標系中的狀態(tài)矢量

分別基于CW方程和ICW方程進行仿真。計算成像衛(wèi)星P的最優(yōu)控制策略,將成像衛(wèi)星P在ECI坐標系中的運動方程積分得到其位置和速度,再將ECI中得到的位置轉(zhuǎn)換到LVLH坐標系中。積分采用龍格-庫塔法,積分得到的結果作為成像衛(wèi)星P的真實位置,進而可得成像衛(wèi)星P相對GEO航天器E的位置以及P對E繞飛過程中的觀測角。將基于CW方程和ICW方程得到的相對位置和觀測角進行對比。

4.1 基于CW方程的仿真

基于CW方程進行仿真。t0到tp時間內(nèi),成像衛(wèi)星P在連續(xù)小推力作用下接近GEO航天器E,施加的總速度增量為4.70 m/s。圖16為成像衛(wèi)星P相對GEO航天器E的位置在LVLH坐標系xoy平面中的投影。由于CW方程存在偏差,相對繞飛軌跡的中心在y軸方向上偏離GEO航天器E。圖17為P到E的距離,tp時刻,P到E的距離不是預先規(guī)劃的10 km,而是14 km。圖18為成像衛(wèi)星P在tp后的一個軌道周期內(nèi)對GEO航天器E的觀測角,最大觀測角為75.57°,成像觀測仿真任務失敗。

圖16 基于CW方程仿真的成像衛(wèi)星P相對GEO 航天器E的位置在LVLH坐標系xoy平面中的投影Fig.16 Position of the optical satellite P relative to the GEO spacecraft E on the xoy plane based on CW equations simulation

圖17 基于CW方程仿真的成像衛(wèi)星P與 GEO航天器E的距離Fig.17 Distance between the optical satellite P and the GEO spacecraft E, simulation based on CW equations

圖18 基于CW方程仿真的成像衛(wèi)星P對 GEO航天器E的觀測角Fig.18 Observation angles of the optical satellite P to the GEO spacecraft E based on CW equations simulation

4.2 基于ICW方程的仿真

基于ICW方程進行仿真,圖19為成像衛(wèi)星P從t0到tp的控制推力加速度(工程上一般表述為控制推力),總速度增量為4.67 m/s。圖20～22分別表示成像衛(wèi)星P的推力控制的x、y、z坐標分量。圖23為P相對于E的位置,圖24為P與E間的距離,tp時刻P與E的距離為10 km,P開始對E自然繞飛。圖25為P對E在tp后一個軌道周期內(nèi)的觀測角,最大觀測角為22.6°。成像衛(wèi)星P能以良好的觀測角在整個繞飛任務中對GEO航天器E成像。

圖19 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P的控制推力Fig.19 Thrust control of the optical satellite P based on ICW equations simulation

圖20 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P在x方向的推力Fig.20 Thrust control of the optical satellite P in x-coordinate simulation based on ICW equations

圖21 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P在y方向的推力Fig.21 Thrust control of the optical satellite P in y-coordinate simulation based on ICW equations

圖22 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P在z方向的推力Fig.22 Thrust control of the optical satellite P in z-coordinate simulation based on ICW equations

圖23 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P相對 GEO航天器E的位置Fig.23 Position of the optical satellite P relative to the GEO spacecraft E based on ICW equations simulation

圖24 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P與 GEO航天器E間的距離Fig.24 Distance between the optical satellite P and the GEO spacecraft E based on ICW equations simulation

圖25 基于ICW方程仿真的成像衛(wèi)星P對 GEO航天器E的觀測角Fig.25 Observation angles of the optical satellite P to the GEO spacecraft E based on ICW equations simulation

5 結論

通過修正非球形攝動偏差和重力加速度二次長期項偏差改進CW方程。將CW方程、ICW方程與真值作仿真對比,ICW方程補償了非線性偏差的長期項和主要的攝動偏差。在軌跡規(guī)劃問題上,計算對GEO航天器繞飛的初始相位角區(qū)間,成像衛(wèi)星以該區(qū)間內(nèi)的初始相位角對GEO航天器開始繞飛,可實現(xiàn)在整個繞飛任務中都能以良好的觀測角對GEO航天器進行觀測。選擇合適的初始相位角,分別基于CW方程和ICW方程仿真接近和繞飛的全過程。在仿真中,成像衛(wèi)星在連續(xù)的小推力作用下接近GEO航天器,然后對GEO航天器自然繞飛?；贑W方程的仿真任務失敗,而基于ICW方程達到預期目標。在基于ICW方程的仿真中,所需要的總速度增量僅為4.67 m/s,工程上具有很強的可行性。ICW方程可滿足精度要求,可用于GEO空間態(tài)勢感知和在軌服務任務規(guī)劃。