田孟昊,韓有攀

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,西安 710600)

期權(quán)是金融市場(chǎng)上重要的衍生證券之一,期權(quán)定價(jià)合理是期權(quán)發(fā)揮增進(jìn)市場(chǎng)流動(dòng)性與提升市場(chǎng)配置效率作用的重要保證。期權(quán)定價(jià)中,經(jīng)典的模型有Blank-Scholes模型[1]、Merton的混合跳躍擴(kuò)散模型[2]、Cox等的恒定方差彈性模型[3]與Madan等的方差-伽馬模型[4]等,這些模型均是在假設(shè)隨機(jī)收益分布已知的情況下進(jìn)行研究的,在實(shí)踐中往往難以實(shí)現(xiàn)。

本研究利用中心極限定理為累積收益建立多面體不確定集,通過(guò)魯棒優(yōu)化方法建立歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型。該不確定集下,可以通過(guò)對(duì)偶理論[5]使魯棒期權(quán)定價(jià)模型轉(zhuǎn)化為易求解的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。

1 不確定集的建立

利用魯棒優(yōu)化方法解決期權(quán)定價(jià)問(wèn)題時(shí),要選取合適的不確定集[5]。多面體不確定集Uc={ξ∶‖ξ‖1≤τ1,|ξ|≤τ2}具有線(xiàn)性結(jié)構(gòu)和易控制不確定性的優(yōu)勢(shì),可根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史收益數(shù)據(jù)與中心極限定理構(gòu)造關(guān)于累積收益的多面體不確定集。

(1)

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的收益服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),于是再由中心極限定理可得:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2 魯棒歐式期權(quán)定價(jià)模型

歐式期權(quán)的標(biāo)的物為一種標(biāo)的資產(chǎn),標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在離散時(shí)間點(diǎn)上變化。自融資策略下,∈-套利原理是尋求將標(biāo)的資產(chǎn)S和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B組成的投資組合進(jìn)行動(dòng)態(tài)復(fù)制,使其在任意時(shí)刻的價(jià)值與期權(quán)的收益基本一致,從而保證在T時(shí)刻該投資組合的價(jià)值WT與期權(quán)收益P(ST,K)的誤差盡可能小,則投資組合初始價(jià)值W0為期權(quán)的價(jià)格?；诖?魯棒歐式期權(quán)定價(jià)模型為:

(7)

(8)

利用上述劃分可以得到與式(8)等價(jià)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,詳見(jiàn)式(9):

(9)

minε

(10)

3 實(shí)證分析

選取上證50ETF和上證300ETF歐式看漲期權(quán)數(shù)據(jù),具體數(shù)據(jù)為:①上證50ETF標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)為2.748元,敲定價(jià)為2.45～2.95元,剩余期限為42天。②上證50ETF標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)為2.727元,敲定價(jià)為2.55～3元,剩余期限為22天。③上證300ETF標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)為4.116元,敲定價(jià)為3.643～4.4元,剩余期限為41天。

使用MATLAB?2022b-academic use軟件中優(yōu)化工具箱的“l(fā)inprog”求解了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,并利用金融工具箱的“blsprice”做期權(quán)定價(jià)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。數(shù)值結(jié)果表明,魯棒期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格與經(jīng)典的B-S模型計(jì)算出的價(jià)格相比,精度更高,更接近期權(quán)的實(shí)際價(jià)格,詳見(jiàn)表1、表2、表3。通過(guò)擬合ρ關(guān)于K/S的二次函數(shù)捕捉到B-S模型存在“隱含波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象,原因可能是期權(quán)持有者對(duì)不同執(zhí)行價(jià)格具有不同的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度,詳見(jiàn)圖1、圖2、圖3。

圖1 上證50ETF 42天歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平-rho vs K/SFig.1 Shanghai stock exchange 50ETF 42-day European call option -rho vs K/S

圖2 上證50ETF 22天歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平-rho vs K/SFig.2 Shanghai stock exchange 50ETF 22-day European call option -rho vs K/S

圖3 上證300ETF 41天歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平-rho vs K/SFig.3 Shanghai stock exchange 300ETF 41-day European call option -rho vs K/S

表1 上證50ETF 42天歐式看漲期權(quán)Tab.1 Shanghai stock exchange 50ETF 42-day European call option

表2 上證50ETF 22天歐式看漲期權(quán)Tab.2 Shanghai stock exchange 50ETF 22-day European call option

表3 上證300ETF 41天歐式看漲期權(quán)Tab.3 Shanghai stock exchange 300ETF 41-day European call option

4 結(jié)論

通過(guò)∈-套利方法與自融資策略建立魯棒期權(quán)定價(jià)模型,選取我國(guó)期權(quán)市場(chǎng)上三組期權(quán)進(jìn)行定價(jià)實(shí)驗(yàn),模型結(jié)果與傳統(tǒng)B-S模型結(jié)果相比在精度上有了明顯的提高,說(shuō)明魯棒定價(jià)模型能夠?yàn)榻鉀Q我國(guó)金融市場(chǎng)的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題提供一定的參考,豐富了期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法。