方 柳 任紅飛 吳富梅

1 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安市雁塔路中段1號(hào),710054

2 西安測(cè)繪研究所,西安市雁塔路中段1號(hào),710054

地月空間平動(dòng)點(diǎn)是圓形限制性三體問題的5個(gè)特解,包括3個(gè)共線平動(dòng)點(diǎn)L1、L2和L3以及2個(gè)三角平動(dòng)點(diǎn)L4和L5。由于特殊的位置特性和動(dòng)力學(xué)特性,在平動(dòng)點(diǎn)附近存在大量的周期、擬周期軌道,對(duì)中繼通信、空間中轉(zhuǎn)站、星際低能轉(zhuǎn)移等具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。共線平動(dòng)點(diǎn)附近的軌道類型主要有Halo軌道、Lissajous軌道和Lyapunov軌道3類。

眾多學(xué)者對(duì)共線平動(dòng)點(diǎn)附近周期軌道進(jìn)行過研究[1-5],但由于圓形限制性三體問題在理論模型、參數(shù)設(shè)置、數(shù)值計(jì)算等方面均存在誤差,因此獲得的解析軌道均為近似值。例如在圓形限制性三體問題中將地月質(zhì)心距離作為固定參數(shù)處理,但實(shí)際上受地月質(zhì)量分布、太陽(yáng)攝動(dòng)等因素的影響,地月質(zhì)心相對(duì)位置是不斷變化的。相應(yīng)的變化信息主要依賴于美國(guó)DE系列、法國(guó)INPOP系列和俄羅斯EPM系列數(shù)值星歷表,這3種星歷表代表了目前世界上數(shù)值星歷表的領(lǐng)先水平。張文昭等[6]對(duì)比以上3種歷表中大行星(包含月球)相對(duì)地球和相對(duì)太陽(yáng)系質(zhì)心的位置坐標(biāo)差最大值及均方根。結(jié)果表明,相對(duì)于地心的位置偏差,月球歷表的精度在dm～m級(jí),3個(gè)歷表之間的差別可從側(cè)面反映當(dāng)前行星位置的測(cè)量精度。李萌萌等[7]對(duì)比不同版本的JPL歷表對(duì)地球及其他天體天球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及月固坐標(biāo)系與月心天球坐標(biāo)系的影響。劉婉逸等[8]基于DE405、DE421、DE430、DE440星歷計(jì)算各大行星在地球質(zhì)心及太陽(yáng)系質(zhì)心慣性系中的位置,比較其他星歷相對(duì)于DE440星歷的位置精度。地月歷表是地月空間軌道的時(shí)空基準(zhǔn),分析其誤差對(duì)研究地月空間軌道誤差至關(guān)重要,但目前尚無(wú)學(xué)者針對(duì)此問題進(jìn)行深入、系統(tǒng)的研究。

根據(jù)誤差傳播定律,地月歷表的誤差會(huì)引起平動(dòng)點(diǎn)的位置誤差,而共線平動(dòng)點(diǎn)具有弱穩(wěn)定性,其附近的軌道對(duì)初值和擾動(dòng)非常敏感。故分析地月歷表誤差對(duì)平動(dòng)點(diǎn),尤其是共線平動(dòng)點(diǎn)附近軌道不同空間位置的影響特性,對(duì)于航天器入軌點(diǎn)選擇、入軌速度確定、測(cè)控支持等具有一定的參考意義。本文首先研究圓形限制性三體問題的建模與求解,分析不同初值條件下的軌道演化特性,再研究地月歷表誤差對(duì)地月共線平動(dòng)點(diǎn)周期軌道在不同初值及初值誤差時(shí)的影響。

1 圓形限制性三體問題

圓形限制性三體問題是深空探測(cè)中考察探測(cè)器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)常用的基本力學(xué)模型之一,其描述一個(gè)質(zhì)量可忽略的小天體(如探測(cè)器)在2個(gè)作相互圓周運(yùn)動(dòng)的大天體(主天體)的引力作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[9]。求解圓形限制性三體問題通常用到質(zhì)心慣性坐標(biāo)系和質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(也稱會(huì)合坐標(biāo)系)[10]。質(zhì)心慣性坐標(biāo)系的定義為:坐標(biāo)原點(diǎn)位于2個(gè)主天體質(zhì)心,X軸指向慣性空間某固定方向,Z軸指向主天體軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量方向,Y軸與X、Z軸構(gòu)成右手系。會(huì)合坐標(biāo)系的定義是:坐標(biāo)原點(diǎn)位于2個(gè)主天體質(zhì)心,x軸由大天體指向小天體,z軸指向主天體軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量方向,y軸與x、z軸構(gòu)成右手系(圖1)。會(huì)合坐標(biāo)系繞質(zhì)心慣性坐標(biāo)系作勻速圓周運(yùn)動(dòng),其周期與2個(gè)主天體繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的周期相同。在會(huì)合坐標(biāo)系中,設(shè)i、j、k分別為x軸、y軸和z軸方向的單位矢量,3個(gè)質(zhì)點(diǎn)P1、P2和P3的位置矢量分別為(x1,0,0)、(x2,0,0)和(x,y,z)。

圖1 會(huì)合坐標(biāo)系

在會(huì)合坐標(biāo)系中,圓形限制性三體問題的標(biāo)量形式為[10]:

(1)

為簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)方程的表達(dá)形式,對(duì)式(1)進(jìn)行無(wú)量綱化處理,得到無(wú)量綱化的動(dòng)力學(xué)方程[9]:

(2)

式中,Ω為等效勢(shì)能函數(shù),且[9]

(3)

(4)

方程(4)有以下2種情況[10]:

(5)

y≠0,

(6)

求解方程(5)和(6)可得到拉格朗日點(diǎn)的位置,如圖2所示,L1、L2、L3為共線平動(dòng)點(diǎn),L4、L5為三角平動(dòng)點(diǎn)。

圖2 平動(dòng)點(diǎn)位置圖

2 共線平動(dòng)點(diǎn)附近的周期軌道

2.1 不同初值條件下周期軌道

利用文獻(xiàn)[11]給出的3階解析解分析共線平動(dòng)點(diǎn)附近的周期軌道:

(8)

(9)

此外,為了消除軌道解析解中的非周期項(xiàng),初始條件中還需滿足[11]:

(10)

需要說(shuō)明的是,式(10)均為無(wú)量綱形式。圖3～5給出不同初始條件(表1)的三維軌道圖及在xy、xz和yz平面的投影。

表1 不同初始條件

圖3 共線平動(dòng)點(diǎn)周期軌道T1

當(dāng)z方向初始位置和初始速度均為0時(shí),軌道為水平Lyapunov軌道(圖3),其在xy平面投影為橢圓,在xz和yz平面投影為一條直線;當(dāng)z方向初始位置不為0、初始速為0時(shí),軌道為Halo軌道(圖4),其在xy平面和yz平面投影為橢圓,在xz平面投影為一條直線;當(dāng)z方向初始位置為0、初始速度不為0時(shí),軌道為垂直Lyapunov軌道(圖5)。

圖4 共線平動(dòng)點(diǎn)周期軌道T2

圖5 共線平動(dòng)點(diǎn)周期軌道T3

2.2 地月歷表誤差對(duì)平動(dòng)點(diǎn)周期軌道的影響

式(7)中,x(τ)、y(τ)、z(τ)分別對(duì)x0、z0求偏導(dǎo),可得:

由文獻(xiàn)[7]可知,對(duì)于月球在地心天球坐標(biāo)系中的位置,DE405與DE430的位置差異最大值約為18.73 m,均方根為1.363 m;DE421、DE423、DE418與DE430的位置差異最大值約為0.56 m、1.61 m、1.76 m,均方根為1.12 m、0.82 m、0.88 m。文獻(xiàn)[8]以DE440為參考,分析其他不同歷表(DE405、DE421、DE430)的誤差。其中,DE405、DE421、DE430的月球地心位置精度分別約為7 m、1.5 m、1.3 m,用于月球探測(cè)器從月慣性系轉(zhuǎn)換為月固系產(chǎn)生的坐標(biāo)誤差分別為30 m、1.3 m、1 m。以上分析表明,歷表對(duì)于月球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的影響為m級(jí),并表現(xiàn)出一定的周期性和隨機(jī)性。

假設(shè)地月歷表誤差均為隨機(jī)噪聲,分析T1、T2、T3三種軌道分別在以下4種誤差條件下的軌道誤差:1) [dx0dz0]T均值為[10 m 10 m]T,標(biāo)準(zhǔn)差為[1 m 1 m]T;2) [dx0dz0]T均值為[20 m 20 m]T,標(biāo)準(zhǔn)差為[1 m 1 m]T;3) [dx0dz0]T均值為[10 m 10 m]T,標(biāo)準(zhǔn)差為[2 m 2 m]T;4) [dx0dz0]T均值為[0 0]T,標(biāo)準(zhǔn)差為[1 m 1 m]T。

圖6～11給出T1、T2、T3軌道在不同地月歷表誤差條件下不同位置的軌道誤差及軌道誤差隨時(shí)間的變化,圖中圓圈直徑表示誤差的大小。綜合分析圖6～11可知:1)同一條軌道不同位置的軌道誤差有較大差別,平面Lyapunov軌道誤差的峰值點(diǎn)位于或接近X向最大值與最小值處,在x=0處最小;Halo軌道誤差的峰值點(diǎn)位于或接近軌道Z向最大值與最小值處,在z=0處誤差值最小;垂直Lyapunov軌道誤差的峰值點(diǎn)位于或接近z=0處,在Z向最大值與最小值處誤差最小。2)地月歷表誤差對(duì)于軌道誤差的影響表現(xiàn)為隨時(shí)間周期性變化,其無(wú)量綱的周期約為π,為軌道周期的0.5倍(無(wú)量綱軌道周期為2π)。3)軌道誤差的值與地月歷表誤差的值在同一個(gè)量級(jí),當(dāng)?shù)卦職v表誤差的均值不為0時(shí),軌道誤差的峰值約為地月歷表誤差均值的2.5倍。

圖6 T1軌道在第1種地月歷表誤差下的軌道誤差

圖7 T2軌道在第1種地月歷表誤差下的軌道誤差

圖8 T3軌道在第1種地月歷表誤差下的軌道誤差

圖9 T3軌道在第2種地月歷表誤差下的軌道誤差

圖10 T3軌道在第3種地月歷表誤差下的軌道誤差

圖11 T3軌道在第4種地月歷表誤差下的軌道誤差

3 結(jié) 語(yǔ)

本文面向深空探測(cè)任務(wù)的實(shí)際工程需求,基于圓形限制性三體問題下地月平動(dòng)點(diǎn)的3階軌道解析解,分析不同初值條件下的軌道演化特性?；谡`差傳播理論,研究地月歷表誤差對(duì)地月共線平動(dòng)點(diǎn)周期軌道在不同初值及初值誤差時(shí)的影響。主要結(jié)論為:

1)軌道誤差與地月歷表誤差在同一個(gè)量級(jí),其峰值大約為地月歷表誤差的2.5倍;

2)地月歷表誤差對(duì)軌道誤差的影響表現(xiàn)為周期性,其隨時(shí)間變化的無(wú)量綱周期約為軌道無(wú)量綱周期的0.5倍;

3)在同一條軌道的不同位置,地月歷表誤差影響存在很大差異,對(duì)于不同類型的軌道,其誤差表現(xiàn)形式也不盡相同。

本文主要基于限制性三體問題的3階解析解進(jìn)行分析,但基于解析解的誤差分析與真實(shí)軌道之間存在一定差異,因此具有一定的局限性,后續(xù)將開展基于太陽(yáng)系力模型的數(shù)值軌道分析。