陳鵬宇 秦 嶺

1 內(nèi)江師范學(xué)院地理與資源科學(xué)學(xué)院,四川省內(nèi)江市紅橋街1號(hào),641100

對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行及時(shí)分析,并對(duì)其未來變化趨勢(shì)作出準(zhǔn)確預(yù)測(cè),可為工程建設(shè)的安全評(píng)估以及地質(zhì)災(zāi)害的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)提供科學(xué)依據(jù)。用于變形監(jiān)測(cè)的預(yù)測(cè)模型和方法很多,其中以GM(1,1)模型為代表的灰色預(yù)測(cè)模型經(jīng)過不斷改進(jìn)和完善,取得了較好的預(yù)測(cè)效果。從目前的研究來看,用于變形監(jiān)測(cè)的灰色預(yù)測(cè)模型主要可以分為以下3類。

1)傳統(tǒng)GM(1,1)模型及其改進(jìn)模型[1-3]。由傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模原理可知,其僅適用于近似齊次指數(shù)序列的建模分析,本質(zhì)上可等效為齊次指數(shù)函數(shù)模型。由于傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷,即白化方程與灰微分方程的不匹配問題[4],研究人員往往會(huì)將其改進(jìn)后再用于變形監(jiān)測(cè),如對(duì)背景值進(jìn)行重構(gòu)[2]或者采用無偏GM(1,1)模型[3]。盡管改進(jìn)后的GM(1,1)模型能夠提高傳統(tǒng)GM(1,1)模型的精度,但仍未能改變其模擬序列為齊次指數(shù)序列的本質(zhì)。當(dāng)用于滑坡臨滑預(yù)測(cè)或變形體加速變形階段預(yù)測(cè)時(shí),GM(1,1)模型可以得到較高的預(yù)測(cè)精度,但對(duì)于具有收斂特征的變形數(shù)據(jù),如地基沉降數(shù)據(jù),GM(1,1)模型便不再適用[5]。

2)非齊次灰色模型。非齊次灰色模型是指擬合函數(shù)為非齊次指數(shù)函數(shù)、擬合序列為非齊次指數(shù)序列的一類灰色預(yù)測(cè)模型。其擬合函數(shù)滿足沉降的收斂特性,被廣泛應(yīng)用于沉降預(yù)測(cè)中。這類模型主要包括灰色線性組合模型[6]、無偏NGM(1,1,k)模型[3,5]和非等間隔GM(1,1)模型[7]。除灰色線性組合模型以外,其余2種灰色模型都具備白指數(shù)率預(yù)測(cè)無偏性,可直接使用。其中,非等間隔GM(1,1)模型解決了非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)的建模問題[7]。非齊次灰色模型也可用于滑坡變形預(yù)測(cè)[3,5],其預(yù)測(cè)精度往往高于GM(1,1)模型。這是因?yàn)檫吰屡R滑前的位移并不都完全服從近似齊次指數(shù)規(guī)律,許多數(shù)據(jù)具有非齊次指數(shù)規(guī)律[8]。

3)GM(1,1)冪模型及其改進(jìn)模型。GM(1,1)冪模型是一類非線性灰色預(yù)測(cè)模型,本質(zhì)上可等效為生長曲線模型。當(dāng)α=2時(shí),GM(1,1)冪模型即為灰色Verhulst模型[9]。當(dāng)沉降趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢(shì)時(shí),可采用GM(1,1)冪模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)[9]。與GM(1,1)模型類似,GM(1,1)冪模型也存在背景值構(gòu)造缺陷,需要將其改進(jìn)后再用于變形預(yù)測(cè)[9-10]。在非等間隔GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上,通過冪函數(shù)變換可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9],以解決非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)的建模問題。GM(1,1)冪模型(主要是灰色Verhulst模型)也常用于邊坡變形預(yù)測(cè)[11]。有學(xué)者[12-13]認(rèn)為,采用Verhulst模型的反函數(shù)和GM(1,1)冪模型的反函數(shù)來描述和擬合邊坡變形特征更為合理。

此外,在變形監(jiān)測(cè)中還有一些對(duì)數(shù)據(jù)處理進(jìn)行改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型,如殘差修正GM(1,1)模型[14-16]、灰色馬爾科夫組合模型[17]、動(dòng)態(tài)新陳代謝灰色模型[18]和卡爾曼濾波灰色模型[19]。但這些方法仍是以上述3類灰色預(yù)測(cè)模型為基礎(chǔ),只是在數(shù)據(jù)處理上進(jìn)行改進(jìn),并未改變灰色預(yù)測(cè)模型的擬合函數(shù)。

綜上所述,若不考慮數(shù)據(jù)處理方面的改進(jìn),僅從擬合函數(shù)的角度,變形監(jiān)測(cè)灰色預(yù)測(cè)模型可分為3類:傳統(tǒng)GM(1,1)模型及其改進(jìn)模型、非齊次灰色模型、GM(1,1)冪模型及其改進(jìn)模型。這3類模型的計(jì)算原理不同,特別是在擬合函數(shù)、是否適用于非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)建模以及是否存在極限值等方面存在差異,這些差異對(duì)于選擇變形監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)模型非常重要,而現(xiàn)有研究缺少這方面的系統(tǒng)性探討和總結(jié)。3類灰色預(yù)測(cè)模型本質(zhì)上可等效為函數(shù)模型或曲線模型,但與一般的曲線擬合在參數(shù)計(jì)算上又存在差異,兩者之間有何異同、曲線擬合函數(shù)是否可代替灰色預(yù)測(cè)模型用于變形監(jiān)測(cè)也值得探討。為此,本文以3類灰色預(yù)測(cè)模型為研究對(duì)象,以O(shè)rigin擬合函數(shù)作為3類灰色預(yù)測(cè)模型的替代方法,基于理論分析和工程實(shí)例對(duì)比分析3類灰色預(yù)測(cè)模型及其替代方法,驗(yàn)證替代方法的可行性,并提出各類模型和方法的應(yīng)用建議,為灰色預(yù)測(cè)模型在變形監(jiān)測(cè)中的合理應(yīng)用提供參考。

1 3類灰色預(yù)測(cè)模型的建模原理及替代方法

雖然本文從擬合函數(shù)的角度將變形監(jiān)測(cè)灰色預(yù)測(cè)模型分為3類,但由于改進(jìn)方法繁多,每一類灰色預(yù)測(cè)模型都包含多種改進(jìn)模型,所以本文僅選擇其中有代表性的改進(jìn)模型作為研究對(duì)象。具體按等時(shí)距和非等時(shí)距2種情況進(jìn)行選擇:等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型適用于變形數(shù)據(jù)為等時(shí)距的情況,非等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型適用于變形數(shù)據(jù)為非等時(shí)距的情況。

1)等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型的選擇。文獻(xiàn)[4]總結(jié)了GM(1,1)模型的改進(jìn)現(xiàn)狀,認(rèn)為白化方程參數(shù)重構(gòu)的GM(1,1)模型,即無偏GM(1,1)模型建模相對(duì)簡單、精度較高,故本文選用其作為第1類灰色預(yù)測(cè)模型的代表性模型。同樣,選擇改進(jìn)原理相似的無偏NGM(1,1,k)模型[3,5]和無偏GM(1,1)冪模型[9]作為第2類和第3類灰色預(yù)測(cè)模型的代表性模型。

2)非等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型的選擇。傳統(tǒng)非等間隔GM(1,1)模型以時(shí)間間隔作為權(quán)重,對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)累加,其模擬序列并非齊次指數(shù)序列,而是不規(guī)則序列,并不適用于具有近似齊次指數(shù)趨勢(shì)的變形數(shù)據(jù)[7]。因此,傳統(tǒng)非等間隔GM(1,1)模型與GM(1,1)模型并不屬于同一類模型。目前并未出現(xiàn)模擬序列為齊次指數(shù)序列的非等間隔GM(1,1)模型,所以對(duì)于第1類灰色預(yù)測(cè)模型本文不考慮非等時(shí)距的情況。文獻(xiàn)[7]提出一種非等間隔GM(1,1)模型,其模擬序列為非齊次指數(shù)序列,可用于沉降的分析預(yù)測(cè),本文將其作為第2類灰色預(yù)測(cè)模型的代表性模型。由冪函數(shù)變換結(jié)合非等間隔GM(1,1)模型可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9],本文將其作為第3類灰色預(yù)測(cè)模型的代表性模型。

1.1 等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型

1.1.1 無偏GM(1,1)模型

記變形監(jiān)測(cè)序列為X(0),其一次累加值為X(1)。無偏GM(1,1)模型的灰微分方程為:

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

式中,a為發(fā)展系數(shù),b為灰作用量,z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)]。以最小二乘法估計(jì)參數(shù)a、b。

其白化方程為:

(2)

時(shí)間響應(yīng)式為:

(3)

還原值為:

(4)

1.1.2 無偏NGM(1,1,k)模型

無偏NGM(1,1,k)模型的建模原理與無偏GM(1,1)模型相似,都是采用累加建模法。其灰微分方程為:

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

(5)

式中,a為發(fā)展系數(shù),kb+c為灰作用量。同樣以最小二乘法估計(jì)參數(shù)a、b、c。

其白化方程為:

(6)

時(shí)間響應(yīng)式為:

(7)

還原值為:

(8)

1.1.3 無偏GM(1,1)冪模型

對(duì)無偏GM(1,1)模型進(jìn)行冪函數(shù)變換可建立無偏GM(1,1)冪模型,但需將累加建模法改為直接建模法,其建模原理如下[9]。

(9)

本文采用文獻(xiàn)[9]的尋優(yōu)算法,通過編制無偏GM(1,1)冪模型的MATLAB程序,以擬合結(jié)果的平均相對(duì)誤差最小作為優(yōu)化目標(biāo),采用MATLAB直接搜索工具箱確定最優(yōu)參數(shù)α。無偏GM(1,1)冪模型滿足白冪指數(shù)率預(yù)測(cè)無偏性[9]。由式(9)可見,無偏GM(1,1)冪模型的擬合函數(shù)為生長曲線函數(shù),可用于趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢(shì)序列的分析和預(yù)測(cè)。

1.2 非等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型

1.2.1 非等間隔GM(1,1)模型

非等間隔GM(1,1)模型采用直接建模法,其建模原理如下[7]。

記變形監(jiān)測(cè)序列為X(1),對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列為T(1),一次累減值為X(0)和T(0)。非等間隔GM(1,1)模型的白化方程為:

(10)

時(shí)間響應(yīng)式為:

(11)

白化方程對(duì)應(yīng)的灰微分方程為:

(12)

式中,z(1)(k)為背景值,計(jì)算公式為:

z(1)(k)=px(1)(k)+(1-p)x(1)(k-1)

(13)

參數(shù)β同樣可采用文獻(xiàn)[9]的尋優(yōu)算法確定。非等間隔GM(1,1)模型滿足白指數(shù)率預(yù)測(cè)無偏性[7]。由式(11)可見,非等間隔GM(1,1)模型的擬合函數(shù)為非齊次指數(shù)函數(shù),可用于近似非齊次指數(shù)序列的分析和預(yù)測(cè)。

1.2.2 非等間隔GM(1,1)冪模型

由冪函數(shù)變換結(jié)合非等間隔GM(1,1)模型可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9]。

(14)

除參數(shù)β以外,還需確定冪函數(shù)變換參數(shù)α。同樣可采用文獻(xiàn)[9]的尋優(yōu)算法確定這2個(gè)參數(shù)。非等間隔GM(1,1)冪模型滿足白冪指數(shù)率預(yù)測(cè)無偏性[9]。由式(14)可見,非等間隔GM(1,1)冪模型的擬合函數(shù)為生長曲線函數(shù),可用于趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢(shì)序列的分析和預(yù)測(cè)。

1.3 替代方法

現(xiàn)有研究主要是在灰色建模法的基礎(chǔ)上對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn)以提高模型的精度,少有研究避開灰色建模原理,直接求解擬合函數(shù)。鑒于灰色建模法求解參數(shù)的復(fù)雜性,筆者曾建議采用曲線擬合的方法直接求解灰色預(yù)測(cè)模型的擬合函數(shù),即采用Origin軟件提供的非線性擬合函數(shù)代替灰色預(yù)測(cè)模型,亦可實(shí)現(xiàn)其建模目標(biāo)[3,9]。可代替3類灰色預(yù)測(cè)模型的Origin擬合函數(shù)分別為:

Exp2PModl:y=aebt

(15)

Exponential:y=y0+aebt

(16)

(17)

上述3種擬合函數(shù)分別為齊次指數(shù)函數(shù)、非齊次指數(shù)函數(shù)和生長曲線函數(shù),與3類灰色預(yù)測(cè)模型的擬合函數(shù)相對(duì)應(yīng),可作為3類灰色預(yù)測(cè)模型的替代方法。下面從計(jì)算原理、建模數(shù)據(jù)和擬合效果3個(gè)方面對(duì)比分析灰色預(yù)測(cè)模型與Origin擬合函數(shù)。

1)計(jì)算原理?；疑A(yù)測(cè)模型以最小二乘法為基礎(chǔ)計(jì)算參數(shù),對(duì)于無偏GM(1,1)冪模型、非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,還需采用尋優(yōu)算法求解冪函數(shù)變換參數(shù)和背景值構(gòu)造參數(shù),而且尋優(yōu)算法和最小二乘法屬于嵌套計(jì)算,這就要求借助MATLAB等軟件編制程序?qū)崿F(xiàn)參數(shù)求解。Origin非線性擬合一般采用Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法,研究人員只要學(xué)會(huì)擬合操作即可,復(fù)雜的迭代過程交由Origin軟件處理,在參數(shù)求解上更為簡便[3,9]。

2)建模數(shù)據(jù)。灰色預(yù)測(cè)模型一般適用于小樣本、少數(shù)據(jù)的建模[20],對(duì)數(shù)據(jù)量的要求較低,但數(shù)據(jù)量較大時(shí)會(huì)增加參數(shù)求解的難度。Origin擬合函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)量沒有特殊要求,只要能實(shí)現(xiàn)參數(shù)計(jì)算即可。變形數(shù)據(jù)往往為非等時(shí)間間隔,而大部分灰色預(yù)測(cè)模型僅適用于等時(shí)距變形數(shù)據(jù)建模,適用于非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)建模的非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型在參數(shù)求解上又存在一定難度。Origin擬合函數(shù)對(duì)變形數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔沒有要求,Origin軟件可直接對(duì)非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合?？梢?當(dāng)變形數(shù)據(jù)量較大或變形數(shù)據(jù)具有非等時(shí)距時(shí),采用Origin擬合函數(shù)更具優(yōu)勢(shì)。

3)擬合效果?；疑A(yù)測(cè)模型(不包括未改進(jìn)的模型)和Origin擬合函數(shù)的擬合效果相當(dāng),在建模數(shù)據(jù)較多時(shí),灰色預(yù)測(cè)模型的擬合效果可能不及Origin擬合函數(shù)[3,9]。當(dāng)采用尋優(yōu)算法求解無偏GM(1,1)冪模型等灰色預(yù)測(cè)模型的參數(shù)時(shí),其優(yōu)化目標(biāo)可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整,比如以平均相對(duì)誤差最小作為優(yōu)化目標(biāo)[9],或者采用考慮數(shù)據(jù)新舊程度的目標(biāo)誤差函數(shù)[21]。Origin擬合函數(shù)一般不能實(shí)現(xiàn)這種特殊優(yōu)化目標(biāo)。

2 3類灰色預(yù)測(cè)模型的對(duì)比分析

灰色預(yù)測(cè)模型的擬合函數(shù)屬于何種類型、能否實(shí)現(xiàn)極限值的預(yù)測(cè)、是否適用于非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)建模,這些性質(zhì)對(duì)于變形監(jiān)測(cè)都非常重要。因此,本文根據(jù)3類灰色預(yù)測(cè)模型的建模原理,從擬合函數(shù)、有無極限值、適合等時(shí)距或非等時(shí)距建模、替代方法和適用范圍等5個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析,如表1所示。

表1 3類灰色預(yù)測(cè)模型的對(duì)比

1)無偏GM(1,1)模型的擬合函數(shù)為齊次指數(shù)函數(shù)y=aebx,b<0時(shí),極限值為0。對(duì)于變形數(shù)據(jù),一般不存在極限值為0的情況,所以無偏GM(1,1)模型不適合趨于穩(wěn)定的沉降預(yù)測(cè)。b>0時(shí),無極限值,且呈指數(shù)增長趨勢(shì),一般適用于滑坡臨滑預(yù)測(cè)或變形體加速變形階段的變形預(yù)測(cè)[9]。受建模原理的限制,無偏GM(1,1)模型僅適合于等時(shí)距變形數(shù)據(jù)序列建模,若變形數(shù)據(jù)為非等時(shí)距,需要進(jìn)行等時(shí)距的變換處理[3]。若采用Exp2PModl函數(shù),則沒有等時(shí)距的要求,且參數(shù)求解更簡便。

2)無偏NGM(1,1,k)模型和非等間隔GM(1,1)模型的擬合函數(shù)為非齊次指數(shù)函數(shù)y=aebx+m,b<0時(shí),極限值為m,適用于趨于穩(wěn)定的沉降預(yù)測(cè)[7];b>0時(shí),無極限值,且呈指數(shù)增長趨勢(shì),適用于滑坡臨滑預(yù)測(cè)或變形體加速變形階段的變形預(yù)測(cè)[3,5]。受建模原理的限制,無偏NGM(1,1,k)模型僅適合于等時(shí)距變形數(shù)據(jù)建模,若變形數(shù)據(jù)為非等時(shí)距,則需采用非等間隔GM(1,1)模型。若采用Exponential函數(shù),則無需考慮變形數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔,且參數(shù)求解更簡便。

3 工程實(shí)例分析

3.1 模型對(duì)比

文獻(xiàn)[3,9]對(duì)比分析了除非等間隔GM(1,1)模型以外的代表性灰色預(yù)測(cè)模型與相應(yīng)替代方法的擬合和預(yù)測(cè)精度。本文也采用文獻(xiàn)[3,9]中的3個(gè)實(shí)例。

1)向家坡滑坡。以其位移監(jiān)測(cè)資料為例[22],監(jiān)測(cè)位移為等時(shí)距數(shù)據(jù),可采用無偏GM(1,1)模型和無偏NGM(1,1,k)模型。以第1～7周位移數(shù)據(jù)分別建立上述2種灰色預(yù)測(cè)模型和Exp2PModl、Exponential函數(shù),預(yù)測(cè)第8～9周位移,以對(duì)比各方法的擬合和預(yù)測(cè)精度。

2)邵陽-懷化高速公路。以某軟土路基斷面12期總體沉降實(shí)測(cè)值為例[23],沉降實(shí)測(cè)值為等時(shí)距數(shù)據(jù),可采用無偏NGM(1,1,k)模型和無偏GM(1,1)冪模型。分別建立上述2種灰色預(yù)測(cè)模型和Exponential、SRichards2函數(shù),對(duì)比各方法的擬合精度。

3)成綿樂鐵路客運(yùn)專線。以DK171+600測(cè)點(diǎn)的沉降觀測(cè)結(jié)果為例[24],沉降實(shí)測(cè)值為非等時(shí)距數(shù)據(jù),可采用非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型。分別建立上述2種灰色預(yù)測(cè)模型和Exponential、SRichards2函數(shù),對(duì)比各方法的擬合精度。

若采用累加建模法建立灰色預(yù)測(cè)模型,會(huì)導(dǎo)致還原函數(shù)對(duì)初始值不具有擬合效果[25]。為進(jìn)行合理對(duì)比,對(duì)于采用累加建模法的無偏GM(1,1)模型、無偏NGM(1,1,k)模型和無偏GM(1,1)冪模型,在比較這些灰色預(yù)測(cè)模型和相應(yīng)Origin擬合函數(shù)的擬合精度時(shí),不考慮第1組數(shù)據(jù),同時(shí)在求解Origin擬合函數(shù)時(shí),也不考慮第1組數(shù)據(jù)。對(duì)于采用直接建模法的非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,其擬合函數(shù)對(duì)初始值具有擬合效果,所以在進(jìn)行擬合精度比較以及求解Origin擬合函數(shù)時(shí),考慮第1組數(shù)據(jù)。

對(duì)于實(shí)例1,直接采用文獻(xiàn)[3]中無偏GM(1,1)模型、無偏NGM(1,1,k)模型和Exponential函數(shù)的擬合結(jié)果。只需計(jì)算Exp2PModl函數(shù)的擬合結(jié)果。對(duì)于實(shí)例2,直接采用文獻(xiàn)[9]中無偏GM(1,1)冪模型的擬合結(jié)果,需去除第1組數(shù)據(jù)重新求解Exponential函數(shù),同時(shí)還需計(jì)算無偏NGM(1,1,k)模型和Exponential函數(shù)的擬合結(jié)果。對(duì)于實(shí)例3,直接采用文獻(xiàn)[9]中非等間隔GM(1,1)冪模型和SRichards2函數(shù)的擬合結(jié)果,需計(jì)算非等間隔GM(1,1)模型和Exponential函數(shù)的擬合結(jié)果。其中,非等間隔GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造參數(shù)采用文獻(xiàn)[9]的尋優(yōu)算法確定,在搜索參數(shù)β的最優(yōu)值時(shí),初值為0.1,參數(shù)范圍為[-10,10]。各模型的擬合預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1所示,擬合公式和擬合(預(yù)測(cè))精度如表2所示,以均方差和平均相對(duì)誤差衡量精度。

圖1 各模型的擬合(預(yù)測(cè))結(jié)果與監(jiān)測(cè)結(jié)果的對(duì)比

表2 各模型的擬合公式和擬合(預(yù)測(cè))精度

根據(jù)圖1和表2可以得出:

1)對(duì)于實(shí)例1,與無偏GM(1,1)模型相比,無偏NGM(1,1,k)模型的擬合結(jié)果更接近于監(jiān)測(cè)結(jié)果,其擬合預(yù)測(cè)精度更高,這說明向家坡滑坡的位移發(fā)展趨勢(shì)更接近非齊次指數(shù)趨勢(shì)。無偏GM(1,1)模型與Exp2PModl函數(shù)的擬合預(yù)測(cè)效果相當(dāng),Exp2PModl函數(shù)擬合預(yù)測(cè)精度更高。無偏NGM(1,1,k)模型與Exponential函數(shù)的擬合預(yù)測(cè)精度非常接近,兩者的擬合預(yù)測(cè)效果幾乎相同。

2)對(duì)于實(shí)例2,與無偏NGM(1,1,k)模型相比,無偏GM(1,1)冪模型的擬合結(jié)果更接近于監(jiān)測(cè)結(jié)果,其擬合精度更高,這說明沉降發(fā)展趨勢(shì)更接近于“S”型變化。無偏NGM(1,1,k)模型與Exponential函數(shù)的擬合精度非常接近,兩者擬合效果相當(dāng)。無偏GM(1,1)冪模型與SRichards2函數(shù)的擬合精度較為接近,兩者的擬合效果相差不大,SRichards2函數(shù)擬合的均方差更小,但其平均相對(duì)誤差2.955%稍大于無偏GM(1,1)冪模型的2.671%。

3)對(duì)于實(shí)例3,非等間隔GM(1,1)模型的均方差為0.109 mm2,平均相對(duì)誤差為2.877%,擬合精度較高,說明沉降發(fā)展趨勢(shì)比較接近于非齊次指數(shù)趨勢(shì)。非等間隔GM(1,1)冪模型的擬合精度更高,均方差為0.072 mm2,平均相對(duì)誤差為

2.146%。非等間隔GM(1,1)模型和Exponential函數(shù)的擬合精度很接近,兩者的擬合效果相差不大,Exponential函數(shù)擬合精度更高。非等間隔GM(1,1)冪模型和SRichards2函數(shù)的擬合精度較為接近,兩者擬合效果相差不大,SRichards2函數(shù)擬合精度更高。

3.2 討論和建議

3.2.1 灰色預(yù)測(cè)模型的適用性

從上述實(shí)例分析中可以看出,對(duì)于不同類型的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),3類灰色預(yù)測(cè)模型的表現(xiàn)存在顯著差異。3類灰色預(yù)測(cè)模型的擬合函數(shù)決定了它們分別適用于具有近似齊次指數(shù)、非齊次指數(shù)和“S”型變化趨勢(shì)的變形數(shù)據(jù)。

第1類灰色預(yù)測(cè)模型的擬合函數(shù)為齊次指數(shù)函數(shù),無法較好地?cái)M合近似非齊次指數(shù)序列以及趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢(shì)的序列,其適用性在3類灰色預(yù)測(cè)模型中最差。只有在邊坡臨滑或變形體加速變形階段具有齊次指數(shù)發(fā)展趨勢(shì)時(shí),可采用第1類灰色預(yù)測(cè)模型。

第2類灰色預(yù)測(cè)模型屬于非齊次灰色模型,不僅可用于具有非齊次指數(shù)增長趨勢(shì)的滑坡位移建模,也可用于趨于穩(wěn)定的沉降數(shù)據(jù)建模。當(dāng)沉降發(fā)展趨勢(shì)接近于非齊次指數(shù)趨勢(shì)時(shí),第2類灰色預(yù)測(cè)模型可以得到較好的擬合效果,比如本文實(shí)例3。

第3類灰色預(yù)測(cè)模型屬于生長曲線模型,適用于趨于穩(wěn)定或具有“S”型變化趨勢(shì)的沉降預(yù)測(cè)。其模型結(jié)構(gòu)比非齊次灰色模型更為復(fù)雜,但適用性更強(qiáng),即使對(duì)于近似非齊次指數(shù)序列,也可以得到比非齊次灰色模型更高的擬合精度,比如本文實(shí)例3。

因此,建議在滑坡臨滑預(yù)測(cè)或變形體加速變形階段時(shí),對(duì)第1類和第2類灰色預(yù)測(cè)模型的擬合效果進(jìn)行對(duì)比,選擇更能反映當(dāng)前變形發(fā)展趨勢(shì)的模型;在趨于穩(wěn)定的沉降預(yù)測(cè)時(shí),可直接采用第3類灰色預(yù)測(cè)模型。受地質(zhì)條件和環(huán)境因素的影響,許多變形數(shù)據(jù)都具有波動(dòng)性或者階躍性[14,16,19,26]。這種情況下,3類灰色預(yù)測(cè)模型可作為趨勢(shì)分析模型,但需要根據(jù)變形的整體趨勢(shì)特征選擇合適的灰色預(yù)測(cè)模型。至于變形中的殘余波動(dòng)特征或者階躍特征,可采用時(shí)間序列分析模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法進(jìn)行分析。

3.2.2 Origin擬合函數(shù)的替代性

從本文實(shí)例來看,與3類灰色預(yù)測(cè)模型相比,Origin擬合函數(shù)可以得到相當(dāng)甚至更高的擬合或預(yù)測(cè)精度。除實(shí)例2中SRichards2函數(shù)的平均相對(duì)誤差稍大于無偏GM(1,1)冪模型以外,其余實(shí)例中Origin擬合函數(shù)的均方差和平均相對(duì)誤差都小于相應(yīng)的灰色預(yù)測(cè)模型。無偏GM(1,1)模型沒有相應(yīng)的非等時(shí)距模型,不能直接用于非等時(shí)距變形數(shù)據(jù)建模,其余2類灰色預(yù)測(cè)模型需要根據(jù)變形數(shù)據(jù)的時(shí)距特征選擇相應(yīng)的等時(shí)距或非等時(shí)距模型。相比之下,Origin擬合函數(shù)對(duì)變形數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔沒有要求,使用更為方便。

3類灰色預(yù)測(cè)模型采用最小二乘法計(jì)算參數(shù)a、b或a、b、c,需要進(jìn)行矩陣運(yùn)算,在參數(shù)辨識(shí)過程中可能出現(xiàn)病態(tài)性問題[27],影響模型的可靠性。無偏GM(1,1)冪模型、非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型在采用尋優(yōu)算法確定參數(shù)α或α、β時(shí),需要合理選擇待求參數(shù)的初始值和取值范圍以及尋優(yōu)算法的計(jì)算參數(shù),以避免陷入局部最優(yōu)解,影響計(jì)算結(jié)果。其中,非等間隔GM(1,1)冪模型有2個(gè)尋優(yōu)算法待求參數(shù),計(jì)算難度相對(duì)較大,計(jì)算效率相對(duì)較低。相比之下,3種替代方法為Origin軟件內(nèi)置擬合函數(shù),無需專門編制程序進(jìn)行參數(shù)的優(yōu)化求解,計(jì)算效率和可靠性相對(duì)更高。

綜上,Origin擬合函數(shù)完全可以代替灰色預(yù)測(cè)模型用于變形監(jiān)測(cè)。如果研究人員比較熟悉灰色預(yù)測(cè)模型的建模原理,也可根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合適的灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。對(duì)于需要參數(shù)優(yōu)化求解的非等間隔GM(1,1)模型、無偏GM(1,1)冪模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,可選擇以平均相對(duì)誤差最小作為優(yōu)化目標(biāo)或者采用考慮數(shù)據(jù)新舊程度的目標(biāo)誤差函數(shù)[21]等特殊優(yōu)化目標(biāo),有時(shí)可以得到比Origin擬合函數(shù)更低的平均相對(duì)誤差,比如本文實(shí)例2中的無偏GM(1,1)冪模型。

4 結(jié) 語

將變形監(jiān)測(cè)灰色預(yù)測(cè)模型分為傳統(tǒng)GM(1,1)模型及其改進(jìn)模型、非齊次灰色模型、GM(1,1)冪模型及其改進(jìn)模型3種類型,從擬合函數(shù)、有無極限值、適合等時(shí)距或非等時(shí)距建模和適用范圍等方面對(duì)比3類灰色預(yù)測(cè)模型的代表性模型,給出3類灰色預(yù)測(cè)模型的應(yīng)用建議,可為根據(jù)變形數(shù)據(jù)特征選擇合適的灰色預(yù)測(cè)模型提供指導(dǎo)。

以O(shè)rigin擬合函數(shù)Exp2PModl、Exponential和SRichards2作為3類灰色預(yù)測(cè)模型的替代方法。與3類灰色預(yù)測(cè)模型相比,Origin擬合函數(shù)在參數(shù)求解和建模數(shù)據(jù)要求上更具優(yōu)勢(shì),而且可以得到相當(dāng)甚至更高的擬合或預(yù)測(cè)精度,除需要編程實(shí)現(xiàn)的特殊優(yōu)化目標(biāo)外,可作為3類灰色預(yù)測(cè)模型的替代方法應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)。