王帥民 趙億奇 王振華 趙玉玲 徐玉靜 章劍華

1 河北工程大學礦業(yè)與測繪工程學院,河北省邯鄲市太極路19號,056038

2 河北省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局國土資源勘查中心,石家莊市中山西路800號,050081

地球自轉(zhuǎn)參數(shù)(Earth rotation parameters,ERP)包括極移運動(polar motion,PM)、UT1-UTC和日長變化(length of day,LOD),是實現(xiàn)天球坐標系與地球坐標系相互轉(zhuǎn)換的必要參數(shù),在GNSS和地球科學等領(lǐng)域有重要的應用價值[1-3]。許多實際應用需要實時獲取ERP參數(shù),但這十分困難。因此,有必要進行地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報[4-5]。目前主流的研究方向是基于最小二乘法(least squares,LS)和自回歸模型(autoregressive model,AR)組合預報地球自轉(zhuǎn)參數(shù)[2-3]。一些學者引入流體激發(fā)函數(shù)、遺忘因子等對LS+AR模型進行改進,極大提高了極移、UT1-UTC預報的精度和可靠性[6-8]。Akyilmaz等[9-10]基于模糊推理系統(tǒng)構(gòu)建一種易于實現(xiàn)且預報精度較高的地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報模型,并將模糊推理系統(tǒng)與小波分析算法進行結(jié)合,在ERP短期預報方面具有優(yōu)勢。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,一些學者將其引入到地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報,如王宇譜等[11]和王宗建[12]分別基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與反向傳播(back propagation,BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行日長變化預報與極移預報。

通過分析上述研究發(fā)現(xiàn),組合預報模型相比于單一預報模型有更好的泛用性與更高的預報精度,但不同的預報模型有各自的優(yōu)缺點,它們的適用性和預報效果尚未得到很好的驗證和分析。本文利用2019～2022年的ERP數(shù)據(jù),以最小二乘法、小波去噪、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ),構(gòu)建9種不同組合的地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報模型,對極移和日長變化進行預報和分析。

1 數(shù)據(jù)源與研究方法

本文使用的ERP數(shù)據(jù)來自國際地球自轉(zhuǎn)服務(international Earth rotation and reference systems service,IERS)。

1.1 最小二乘法模型

最小二乘法模型簡單且精度較高,可以較好地擬合ERP參數(shù)時間序列的趨勢項和周期項。在目前地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報中,該模型常與其他預報模型進行組合,用于擬合趨勢項與周期項,其他模型則預報剩余數(shù)據(jù)。具體模型如下:

f(t)=a0+a1t+

(1)

式中,a0和a1為趨勢項的擬合系數(shù),k為參與最小二乘擬合的主要周期數(shù)量,Ri為第i個周期項的周期值,Ai和Bi為模型擬合參數(shù),εt為0均值的白噪聲。

1.2 自回歸模型

自回歸模型是一種常見的時間序列處理方法,其優(yōu)點是所需數(shù)據(jù)不多,可用自身變數(shù)數(shù)列來進行預測,對于地球自轉(zhuǎn)參數(shù)這種受自身歷史數(shù)據(jù)影響較大的時間序列有較好的預報效果。自回歸模型的預報效果與模型階數(shù)p的選擇有極大關(guān)系,本文采用最終預測誤差準則(FPE)來確定模型階數(shù)。自回歸模型表達式可總結(jié)為:

(2)

式中,p為AR模型的階數(shù),φi為模型參數(shù),εt為t時刻的白噪聲。該公式稱為p階自回歸模型,記為AR(p)。

1.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種依托誤差反向傳播進行訓練的多層前饋網(wǎng)絡(luò),包含輸入層、輸出層和隱藏層。其基本思想是梯度下降法,數(shù)據(jù)作為輸入向量輸入后,在該層進行處理,并將處理后的輸出值作為下一層的輸入值,經(jīng)過逐層處理得到最終的輸出值,并計算輸出值與期望值的差值,根據(jù)差值不斷調(diào)整每個隱藏節(jié)點的權(quán)值。重復上述過程,直到差值達到要求(圖1)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強的非線性映射能力和柔性的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),同時具有強大的自學習、自適應能力,可以自動分析學習時間序列本身蘊含的周期項,對于時間序列預報具有較好的效果。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層節(jié)點數(shù)和隱藏層節(jié)點數(shù)對地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報有重要影響。以極移X為例,對比分析不同輸入層節(jié)點數(shù)和隱藏層節(jié)點數(shù)時BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預報效果(表1,單位mas)。

表1 不同輸入層節(jié)點數(shù)和隱藏層節(jié)點數(shù)時BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)30 d極移X預報RMSE

根據(jù)表1的預測結(jié)果可知,當輸入層節(jié)點數(shù)為60、隱藏層節(jié)點數(shù)為12時,RMSE最小,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對極移X的預報效果最好。以同樣的方式可得輸入層節(jié)點數(shù)為60、隱藏層個數(shù)為1、隱藏層節(jié)點數(shù)為12時,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行極移Y和LOD 預報的效果最佳。

1.4 小波去噪

本文采用基于小波包變換的小波分解重構(gòu)去噪,其可以同時對低頻和高頻信號進行有效分解。由于儀器本身固有的精度問題,基于現(xiàn)代空間大地測量手段獲取的地球自轉(zhuǎn)參數(shù)往往會含有一定的噪聲,小波分解重構(gòu)去噪可以通過去除序列中高頻項的方式去除這部分噪聲,同時也會刪去部分地球自轉(zhuǎn)參數(shù)序列中固有的高頻項,使地球自轉(zhuǎn)參數(shù)序列更加平滑。

1.5 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet neural network,WNN)是小波變換和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合。以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ),以小波基函數(shù)代替BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相鄰兩層之間的傳遞函數(shù),即可得到小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學習能力和非線性映射能力較強等特點,同時具有小波變換對信號時頻分析和處理的能力,對時間序列有很好的預測效果,其擬合函數(shù)為:

(3)

由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有類似的結(jié)構(gòu),故對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各項參數(shù)的選擇也與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似。以極移X為例,對比分析不同輸入層節(jié)點數(shù)和隱藏層節(jié)點數(shù)時小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預報效果(表2,單位mas)。

表2 不同輸入層節(jié)點數(shù)和隱藏層節(jié)點數(shù)時小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)30 d極移X預報RMSE統(tǒng)計

根據(jù)表2的預測結(jié)果可知,當輸入層節(jié)點數(shù)為70、隱藏層節(jié)點數(shù)為10時,RMSE最小,小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對極移X的預報效果最好。以同樣方式確定當輸入層節(jié)點數(shù)為60、隱藏層個數(shù)為1和隱藏層節(jié)點數(shù)為10時,小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對極移Y的預報效果最佳。但LOD預報與極移預報最佳參數(shù)略有不同,當隱藏層節(jié)點數(shù)為12時,小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對LOD的預報效果最好。

1.6 ERP預報方案設(shè)計

本文利用最小二乘法(LS)、小波去噪、線性自回歸(AR)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)構(gòu)建9種ERP預報方案,使用2019～2022年極移和日長變化序列進行學習訓練,然后對極移X(PMX)、極移Y(PMY)和日長變化值(LOD)進行30 d短期預報。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和WNN本身的隨機性,取獨立10次預報結(jié)果的平均值作為最終預報結(jié)果。構(gòu)建LS+BP和LS+WNN地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報模型時,首先基于LS模型擬合ERP周期項和趨勢項,然后使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和WNN對ERP殘差項進行預報。顧及到極移和日長變化序列本身的特點,對使用小波分解重構(gòu)去噪適當消去高頻項是否有助于提高精度進行探討。

9種方案具體為:方案1,基于LS+AR模型的ERP預報;方案2,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的ERP預報;方案3,基于WNN模型的ERP預報;方案4,基于LS+BP模型的ERP預報;方案5,基于LS+WNN模型的ERP預報;方案6,利用小波去噪后,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的ERP預報;方案7,利用小波去噪后,基于WNN的ERP預報;方案8,利用小波去噪后,基于LS+BP模型的ERP預報;方案9,利用小波去噪后,基于LS+WNN模型的ERP預報。

2 結(jié) 果

2.1 小波去噪前ERP預報精度對比

小波去噪前不同組合方案ERP預報精度統(tǒng)計結(jié)果見圖2和表3。

表3 各ERP預報方案的RMSE

圖2 小波去噪前各方案ERP預報精度

由圖2可知,對于極移X坐標,0～5 d預報范圍內(nèi),方案1、3、5的預測效果較好,與真值有很好的一致性;對于極移Y坐標,0～5 d預報范圍內(nèi),方案1、3、4、5的預測效果較好。0～30 d內(nèi)預報范圍內(nèi),方案5的預報結(jié)果與真值最為接近,方案2的預報結(jié)果與真值有較大的差異;方案1、3曲線高度相似,可見直接使用WNN和常規(guī)LS+AR的預報效果相近;方案2的預報結(jié)果與真值的偏差最大,表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測效果最差。

對于日長變化,0～30 d內(nèi)預報范圍內(nèi),方案2、3的曲線具有較高的相似度,且偏差變化平穩(wěn),與真值一致性高,而方案4、5的預報結(jié)果與真值差異較大,表明直接使用WNN和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預報效果較好,使用高頻殘差項預報的效果較差;方案5的預測效果最差,方案1、4的預測效果較差,方案2的預測效果較好,方案3預報效果最好。不難發(fā)現(xiàn),最小二乘法消去主要周期項后,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對高頻數(shù)據(jù)的學習效果得到提升,使極移預報的預報精度提高,日長變化的預報精度下降,說明增加高頻數(shù)據(jù)的學習不利于對日長變化的預報,這與韓恒星等[3]的結(jié)論一致。

2.2 小波去噪后ERP預報精度對比

小波去噪后不同組合方案ERP預報精度統(tǒng)計結(jié)果見圖3和表3。

圖3 小波去噪后各方案ERP預報精度

由圖3可知,對于極移坐標,在0～5 d預報范圍內(nèi),除方案6外,其他方案與真值一致性較好。在0～30 d預報范圍內(nèi),方案9的預報結(jié)果與真值最接近,方案6的預報結(jié)果與真值差異較大,方案7、8曲線相似,可見LS+BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預報與WNN預報效果近似。

對于日長變化,在0～30 d預報范圍內(nèi),預測效果從優(yōu)到差依次為方案7、方案6、方案8、方案9。不難發(fā)現(xiàn),小波去噪前后各方案之間的關(guān)系變化不大,小波去噪對ERP預報效果的影響明顯小于預報模型不同帶來的影響。

由表3可見,對于極移X坐標和極移Y坐標,方案5、9的RMSE小于1.4 mas,表明LS+WNN模型對極移殘差預報的效果較好;其他方案的RMSE都大于1.6 mas。小波去噪后的方案相比于小波去噪前的方案,預報結(jié)果具有一致性,精度有少量提升,但提升效果不明顯。總體而言,方案9的精度最高,表明小波去噪后使用LS+WNN對極移殘差項的預報效果最好。

對于日長變化預報,方案3、7的RMSE較小,小于0.12 ms,表明WNN的日長變化預報效果較好,其他方案的RMSE均大于0.13 ms。方案5、9的日長變化殘差預報的效果較差,其RMSE大于0.18 ms,說明對殘差項進行預測不適用于日長變化預報。小波去噪后的方案相比于小波去噪前的方案,預報結(jié)果具有一致性,精度有明顯提高。總體上,方案7的精度最高,表明小波去噪后直接使用WNN進行日長變化預報的效果最好。

3 結(jié) 語

本文利用LS、線性自回歸、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和WNN構(gòu)建了9種地球自轉(zhuǎn)參數(shù)預報模型,使用2019～2022年極移和日長變化序列進行學習訓練,然后對極移X、極移Y和日長變化值進行30 d短期預報,主要得到以下結(jié)論:

1)對于極移X、Y坐標而言,LS+WNN模型的預報效果較好,其RMSE小于1.4 mas;BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的RMSE最大,尤其在進行極移X坐標預報時,其RMSE大于26 mas。小波去噪后,預報精度有少量提高。

2)對于日長變化預報,WNN模型的RMSE小于0.12 ms,表明其日長變化預報效果較好;其他4種預報方案的的RMSE都大于0.13 ms,尤其是LS+WNN模型的RMSE大于0.28 ms,表明LS+WNN模型在預測日長變化方面效果較差。小波去噪后,預報精度有明顯提高,WNN預報模型的RMSE為0.07 ms,預報效果最好。