安 陽(yáng)，王天舒

（清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084）

0 引言

隨著飛行器飛行速度的提高、結(jié)構(gòu)尺寸的增大以及結(jié)構(gòu)重量的降低，柔性結(jié)構(gòu)在飛行器整體結(jié)構(gòu)中的占比越來越大［1-3］，彈性振動(dòng)對(duì)飛行器動(dòng)力學(xué)與控制的影響也隨之增強(qiáng)［4-6］。例如，高超聲速飛行器為了滿足高速和大射程的要求，一般具有較大的長(zhǎng)細(xì)比和較輕的結(jié)構(gòu)重量，導(dǎo)致其本體彈性模態(tài)的固有頻率較低，表現(xiàn)出明顯的柔性特性［7-8］?？臻g站太陽(yáng)能電池陣列等大型網(wǎng)架式空間結(jié)構(gòu)由于含有桿、板、繩索等柔性構(gòu)件以及它們之間的非線性約束［9］，不再符合傳統(tǒng)柔性航天器模型中具有中心剛體平臺(tái)、柔性結(jié)構(gòu)僅在附件中存在的假設(shè)［10］。此外，近年來提出的太陽(yáng)帆航天器［11］、空間太陽(yáng)能電站［12］等新概念航天器，大型柔性結(jié)構(gòu)也占其整體的絕大部分。針對(duì)彈性飛行器的動(dòng)力學(xué)建模及模型降階問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了大量研究［13-17］。楊輝等［18］指出了混合坐標(biāo)法的不足，并基于Hamilton 變分原理和有限元法導(dǎo)出了剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)一次近似的動(dòng)力學(xué)模型，該模型充分考慮了中心剛體大范圍運(yùn)動(dòng)與柔性附件彈性振動(dòng)的耦合效應(yīng)。郭東等［19］基于一種瞬態(tài)坐標(biāo)系，通過拉格朗日方程和有限元法，推導(dǎo)了能夠描述彈性飛行器結(jié)構(gòu)、流場(chǎng)與控制等多學(xué)科耦合特性的動(dòng)力學(xué)模型。Cao等［20］基于哈密頓原理建立了具有側(cè)向太陽(yáng)電池陣的三軸穩(wěn)定航天器的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，采用全局模態(tài)法求解了模型的固有頻率和全局模態(tài)振型，并通過與有限元軟件的結(jié)果對(duì)比，說明了該方法可以準(zhǔn)確描述航天器的剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)。袁秋帆等［21］通過定義廣義全局模態(tài)振型，基于哈密頓原理推導(dǎo)了一種單翼大撓性航天器的全局模態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，并采用瑞利瑞茲法得到了非約束模態(tài)頻率和振型的計(jì)算方法。閆玉龍等［22］基于D’Alembert 原理推導(dǎo)了航天器柔性附件的振動(dòng)方程，通過準(zhǔn)坐標(biāo)Lagrange 方程建立了剛-柔-晃耦合的航天器狀態(tài)方程，并指出柔性附件的安裝位置對(duì)于航天器的動(dòng)力學(xué)特性具有重要影響。張恒浩等［23］基于正交理論建立了撓性航天器剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的離散動(dòng)力學(xué)模型，闡明了動(dòng)力學(xué)剛化現(xiàn)象產(chǎn)生的原因和對(duì)航天器產(chǎn)生干擾的干擾源，并提出了一種能夠抑制這種干擾的一階動(dòng)力學(xué)模型。曹芊等［24］采用李群SE（3）上的指數(shù)坐標(biāo)描述了航天器的位置與姿態(tài)，在SE（3）框架下推導(dǎo)了柔性航天器姿-軌-結(jié)構(gòu)一體化的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而得到了其相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型。Huang等［25］采用有限元法建立了柔性桁架兩端附著剛體類航天器的動(dòng)力學(xué)模型，通過分析得到了柔性航天器的無約束模態(tài)。朱尊紅等［26］提出了一種自旋撓性航天器帆板的梁式簡(jiǎn)化模型，基于歐拉方程和哈密頓原理建立了航天器的動(dòng)力學(xué)方程，并解釋了剛性模態(tài)和彈性模態(tài)之間的耦合。Kim等［27］將一種基于單元連通性的剛度評(píng)估方法與絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法相結(jié)合，提出了一種基于剛度評(píng)估的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型降階方法，提高了傳統(tǒng)建模方法的計(jì)算效率。

在目前的彈性飛行器動(dòng)力學(xué)建模領(lǐng)域，對(duì)描述彈性體變形運(yùn)動(dòng)的變形場(chǎng)階次和模態(tài)截?cái)嚯A次等問題已有較多研究［18，28-29］，而對(duì)在模態(tài)階數(shù)與彈性變形場(chǎng)階次選定后，在動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)過程中產(chǎn)生的各階彈性變形相關(guān)項(xiàng)取舍問題的研究較少。在傳統(tǒng)的中心剛體-柔性附件模型中，中心剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等在飛行器整體中占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，柔性附件的彈性振動(dòng)對(duì)飛行器整體動(dòng)力學(xué)的影響較小，因此通常忽略動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)過程中產(chǎn)生的關(guān)于彈性變形的高階項(xiàng)，而近似后的模型仍能保有滿足工程要求的精度。但當(dāng)飛行器主體呈現(xiàn)柔性特性時(shí)，這種高階項(xiàng)是否還能忽略及其對(duì)整體動(dòng)力學(xué)的影響尚無定論。此外，在動(dòng)力學(xué)模型建立后，通常選用無外力作用時(shí)系統(tǒng)的線動(dòng)量和角動(dòng)量作為守恒量，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和對(duì)比模型的計(jì)算精度。系統(tǒng)動(dòng)量表達(dá)式中彈性變形相關(guān)項(xiàng)的保留階次也可能對(duì)其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生影響。研究彈性變形相關(guān)項(xiàng)的保留程度對(duì)飛行器動(dòng)力學(xué)及動(dòng)量計(jì)算的影響，對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的降階與驗(yàn)證具有重要的指導(dǎo)意義。本文首先基于虛功率原理與混合坐標(biāo)法建立彈性飛行器的飛行動(dòng)力學(xué)模型，并定義剛?cè)狁詈想A次以描述動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)過程中產(chǎn)生的彈性變形相關(guān)項(xiàng)的保留程度，然后以由柔性中心體和剛性附件組成的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)為例，對(duì)比分析動(dòng)力學(xué)模型及動(dòng)量公式的剛?cè)狁詈想A次對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與守恒量的影響。

1 基于虛功率原理的彈性飛行器動(dòng)力學(xué)建模

假設(shè)飛行器本體為彈性體，舵面為剛體，二者通過單自由度旋轉(zhuǎn)副連接。飛行器系統(tǒng)的構(gòu)型及坐標(biāo)系定義示意圖如圖1 所示。其中，慣性系Oxyz固定在地面，本體系Ocxcyczc為與本體固連的浮動(dòng)坐標(biāo)系，第i(i=1，…，np)個(gè)舵面的隨體系Op，ixp，iyp，izp，i與舵面固連且原點(diǎn)位于舵面與本體的連接處。

圖1 飛行器系統(tǒng)構(gòu)型與坐標(biāo)系定義示意圖Fig.1 Configuration of the flight vehicle system and coordinate system definition diagram

虛功率原理的表達(dá)式為：

式中：δPI為慣性力虛功率，δPa為主動(dòng)力虛功率，δPe為虛應(yīng)變能變化率，δPd為阻尼力虛功率，符號(hào)Σ 表示對(duì)系統(tǒng)求和。

基于虛功率原理推導(dǎo)彈性飛行器飛行動(dòng)力學(xué)方程的主要步驟為：首先，計(jì)算飛行器本體與舵面等附件的速度、加速度與速度變分；然后，計(jì)算本體及各附件的虛功率；最后，將各部件虛功率代入虛功率原理的表達(dá)式，根據(jù)各變分相互獨(dú)立得到飛行器的動(dòng)力學(xué)方程。

采用有限元法將飛行器本體離散為l個(gè)質(zhì)量單元，則本體上第k(k=1，…，l)個(gè)質(zhì)量單元相對(duì)慣性系原點(diǎn)的矢徑為：

式中：Rc為本體系原點(diǎn)相對(duì)慣性系原點(diǎn)的矢徑，表示飛行器的平動(dòng)位移為本體未發(fā)生變形時(shí)，其第k個(gè)質(zhì)量單元相對(duì)本體系原點(diǎn)的矢徑為本體第k個(gè)質(zhì)量單元的彈性變形矢量，利用模態(tài)展開法表示為：

式中：rcp，0為本體未發(fā)生變形時(shí)舵面系原點(diǎn)相對(duì)本體系原點(diǎn)的矢徑；rp為舵面上任一質(zhì)量單元相對(duì)舵面系原點(diǎn)的矢徑。式（5）體現(xiàn)了本體彈性振動(dòng)對(duì)舵面運(yùn)動(dòng)的影響，以下記rcp=rcp，0+

基于式（2）與式（5）計(jì)算飛行器本體及舵面的速度、加速度、速度變分與虛功率，代入式（1）并根據(jù)變分、δωc、相互獨(dú)立，可得：

飛行器平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：m為飛行器的總質(zhì)量；S為飛行器相對(duì)本體系的總靜矩；ωc為本體相對(duì)慣性系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，即飛行器的姿態(tài)角速度；F為飛行器主動(dòng)力的合力；Qt為飛行器平動(dòng)耦合慣性力的合力；耦合系數(shù)陣Ct的表達(dá)式為：

式中：Cct為本體彈性振動(dòng)對(duì)飛行器平動(dòng)的耦合系數(shù)陣；Crt，i為第i個(gè)舵面受本體振動(dòng)影響而產(chǎn)生的對(duì)飛行器平動(dòng)的附加耦合系數(shù)陣；mc，k為本體上第k個(gè)質(zhì)量單元的質(zhì)量；mp，i為第i個(gè)舵面的質(zhì)量；np為舵面的數(shù)量。

飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：J為飛行器相對(duì)本體系的總慣量張量；T為飛行器主動(dòng)力矩的合力矩；Qr為飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)耦合慣性力的合力；耦合系數(shù)陣Cr的表達(dá)式為：

式中：rpp，i為第i個(gè)舵面的質(zhì)心相對(duì)其隨體系原點(diǎn)的矢徑；Ccr為本體彈性振動(dòng)對(duì)飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合系數(shù)陣；Crr，i為第i個(gè)舵面受本體振動(dòng)影響而產(chǎn)生的對(duì)飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)的附加耦合系數(shù)陣。需要說明的是：為了方便表示，在式（9）中仍使用了空間矢量的叉乘符號(hào)來描述位置矢量與模態(tài)矢量陣之間的運(yùn)算關(guān)系。它表示將位置矢量分別與模態(tài)矢量陣中的各階模態(tài)矢量進(jìn)行矢量叉乘，再將叉乘得到的結(jié)果矢量按順序排列成一行，得到一個(gè)新的矢量陣。

飛行器振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：Cc為飛行器本體的模態(tài)阻尼陣，Kc為模態(tài)剛度陣；Ff為飛行器的模態(tài)力；Qf為飛行器振動(dòng)耦合慣性力的合力；模態(tài)質(zhì)量陣Mf的表達(dá)式為：

式中：Mcf為飛行器本體的模態(tài)質(zhì)量陣，當(dāng)本體的模態(tài)矢量陣采用模態(tài)質(zhì)量規(guī)一時(shí)，Mcf近似為單位陣；它是第i個(gè)舵面受本體振動(dòng)影響而產(chǎn)生的附加模態(tài)質(zhì)量陣，一般不是對(duì)角陣。則矩陣Mf的非對(duì)角線位置也將出現(xiàn)非零元素，使方程（10）中經(jīng)主坐標(biāo)變換后的廣義坐標(biāo)也不再完全解耦。

飛行器的線動(dòng)量表達(dá)式為：

式中：mc為飛行器本體的質(zhì)量；Sc為飛行器本體相對(duì)本體系的靜矩，Sp，i為第i個(gè)舵面相對(duì)舵面系的靜矩；ωp，i為第i個(gè)舵面相對(duì)本體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

飛行器的角動(dòng)量表達(dá)式為：

式中：pc為飛行器本體的線動(dòng)量，pp，i為第i個(gè)舵面的線動(dòng)量；Jc為飛行器本體相對(duì)本體系的慣量張量，Jp，i為第i個(gè)舵面相對(duì)舵面系的慣量張量。

為了檢驗(yàn)所建立的動(dòng)力學(xué)模型的正確性，采用MATLAB 語(yǔ)言編寫其仿真程序，并與ADAMS 軟件進(jìn)行仿真結(jié)果對(duì)比。當(dāng)本體與舵面均不受外力作用，僅對(duì)兩者的相對(duì)轉(zhuǎn)角施加驅(qū)動(dòng)使其按照正弦規(guī)律變化時(shí)，自編程序與ADAMS 軟件的部分仿真結(jié)果對(duì)比如圖2 所示。圖中兩組曲線吻合較好，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型及其仿真程序的正確性。

圖2 自編程序與ADAMS的仿真結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of simulation results between self-programmed program and ADAMS

2 剛?cè)狁詈想A次的定義

上文推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)模型是未忽略各階彈性變形相關(guān)項(xiàng)的完整模型，其動(dòng)力學(xué)方程與系統(tǒng)角動(dòng)量表達(dá)式中含有模態(tài)坐標(biāo)的一階與二階項(xiàng)，將此動(dòng)力學(xué)模型定義為二次剛?cè)狁詈夏Ｐ?，?dòng)量公式定義為二次動(dòng)量公式。在二次模型中，本體與舵面相對(duì)本體系的靜矩、線動(dòng)量、平動(dòng)與振動(dòng)耦合慣性力、本體振動(dòng)對(duì)飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合系數(shù)、舵面對(duì)飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)的附加耦合系數(shù)中含有模態(tài)坐標(biāo)的一階項(xiàng)，本體與舵面相對(duì)本體系的慣量張量、角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)耦合慣性力中含有模態(tài)坐標(biāo)的一階與二階項(xiàng)。如飛行器本體相對(duì)本體系x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc，xx、本體的轉(zhuǎn)動(dòng)耦合慣性力Qcr的表達(dá)式分別為：

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，為了簡(jiǎn)化模型和減少計(jì)算量，計(jì)算本體及舵面的速度、加速度與速度變分時(shí)通常根據(jù)彈性變形為小量而將模態(tài)坐標(biāo)項(xiàng)忽略，只保留模態(tài)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。簡(jiǎn)化后本體與舵面上任一質(zhì)量單元相對(duì)慣性系的速度、加速度與速度變分分別為：

基于式（16）與式（17）推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)模型中，慣性參數(shù)、彈性耦合系數(shù)、耦合慣性力與動(dòng)量計(jì)算公式中均不含模態(tài)坐標(biāo)項(xiàng)，將此動(dòng)力學(xué)模型定義為零次剛?cè)狁詈夏Ｐ?，?dòng)量公式定義為零次動(dòng)量公式。如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc，xx在此只保留式（14）中的第一項(xiàng)，耦合慣性力Qcr的表達(dá)式則簡(jiǎn)化為：

在二次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷幕A(chǔ)上，忽略模態(tài)坐標(biāo)的二階項(xiàng)而只保留一階項(xiàng)，將這樣簡(jiǎn)化后的動(dòng)力學(xué)模型定義為一次剛?cè)狁詈夏Ｐ?，相?yīng)的動(dòng)量公式定義為一次動(dòng)量公式。如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc，xx在此只保留式（14）中的前兩項(xiàng)。而對(duì)于耦合慣性力Qcr，由于式（15）僅在慣量張量Jc中含有模態(tài)坐標(biāo)的二階項(xiàng)，故一次與二次模型中的Qcr僅存在慣量張量保留階次的不同。在這里，考慮到飛行器彈性振動(dòng)的振幅雖然較小，但振動(dòng)速度較快，模態(tài)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)量級(jí)高于模態(tài)坐標(biāo)，故在一次模型中未將模態(tài)坐標(biāo)與模態(tài)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)的乘積項(xiàng)作為高階小量忽略，在零次模型中也未將模態(tài)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)的一階項(xiàng)忽略。

3 模型剛?cè)狁詈想A次對(duì)動(dòng)力學(xué)分析的影響

在本體振動(dòng)的基頻f0=9.9 Hz，系統(tǒng)不受外力，舵面與本體間的相對(duì)轉(zhuǎn)角按αp=cost-1（t表示時(shí)間）規(guī)律變化的條件下，各次剛?cè)狁詈夏Ｐ蛣?dòng)力學(xué)時(shí)域響應(yīng)的部分結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

圖3 各次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷臅r(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.3 Comparison of time domain response of rigid-flexible coupling models of each order

一次模型與二次模型的時(shí)域響應(yīng)基本吻合，而零次模型的時(shí)域響應(yīng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)逐漸與一二次模型的結(jié)果出現(xiàn)偏差，絕對(duì)值較小的響應(yīng)值的偏差較為顯著。考慮到系統(tǒng)不受外力，本體與舵面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角按正弦規(guī)律驅(qū)動(dòng)，故理論上動(dòng)力學(xué)時(shí)域響應(yīng)值應(yīng)在一固定的平衡位置上周期性變化，不會(huì)呈現(xiàn)出發(fā)散的變化趨勢(shì)，所以零次模型的長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算結(jié)果是不合理的。

在沒有外力作用且初始速度為零時(shí)，飛行器總的線動(dòng)量和角動(dòng)量的計(jì)算值都接近理論值0，則認(rèn)為動(dòng)力學(xué)模型是合理的，計(jì)算值的絕對(duì)值越小，則認(rèn)為模型的計(jì)算精度越高。為了比較動(dòng)力學(xué)模型的剛?cè)狁詈想A次對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量計(jì)算結(jié)果的影響，本節(jié)中線動(dòng)量與角動(dòng)量的計(jì)算均使用二次動(dòng)量公式。各次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷木€動(dòng)量與角動(dòng)量計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖4 所示，各次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量計(jì)算結(jié)果均接近0，二次模型計(jì)算結(jié)果的量級(jí)最低，可以認(rèn)為其計(jì)算精度最高。

圖4 各次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷膭?dòng)量對(duì)比Fig.4 Comparison of linear momentum and angular momentum of rigid-flexible coupling models of each order

零次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量計(jì)算結(jié)果比一、二次模型的高6～10 個(gè)數(shù)量級(jí)，且隨著時(shí)間的增長(zhǎng)總體上呈近似線性地單調(diào)增大，該誤差并非由數(shù)值積分過程引入，而是模型建立時(shí)在式（16）和式（17）中忽略了部分彈性變形相關(guān)項(xiàng)導(dǎo)致的。僅將一次和二次模型的動(dòng)量計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。

圖5 一、二次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷膭?dòng)量對(duì)比Fig.5 Comparison of linear momentum and angular momentum of one-order and two-order rigid-flexible coupling models

一次模型的角動(dòng)量計(jì)算結(jié)果比二次模型的高3 個(gè)數(shù)量級(jí)，且隨著時(shí)間的增長(zhǎng)總體上呈近似線性地單調(diào)增大，而兩者線動(dòng)量的計(jì)算結(jié)果較為接近?？梢缘贸觯合到y(tǒng)角動(dòng)量的計(jì)算精度對(duì)模型剛?cè)狁詈想A次的變化比線動(dòng)量更敏感。

為了分析剛?cè)狁詈想A次對(duì)動(dòng)力學(xué)分析的影響與中心柔性體振動(dòng)頻率的關(guān)系，將本體有限元模型的材料彈性模量改為原來的1/100，其他條件保持不變，本體振動(dòng)的基頻變?yōu)閒′0=0.99 Hz。本體基頻降低后的各次模型動(dòng)力學(xué)時(shí)域響應(yīng)的部分結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

圖6 本體基頻降低后的時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparison of time domain response after the fundamental frequency reduction of the body

與本體振動(dòng)基頻為9.9 Hz 時(shí)的動(dòng)力學(xué)時(shí)域響應(yīng)結(jié)果對(duì)比，基頻降低后零次模型與高次模型的計(jì)算結(jié)果偏差顯著增大。此外，零次模型的計(jì)算結(jié)果中平動(dòng)位移、歐拉角等位移量與高次模型的偏差比平動(dòng)速度、角速度等速度量的偏差更明顯?？梢缘贸觯簞?cè)狁詈想A次對(duì)動(dòng)力學(xué)分析的影響受中心柔性體振動(dòng)頻率的影響，中心柔性體振動(dòng)的基頻越低，零次模型動(dòng)力學(xué)時(shí)域響應(yīng)的結(jié)果與高次模型的偏差越大，計(jì)算誤差越大。

本體基頻降低前后零次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量、一次模型的角動(dòng)量計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖7所示。

圖7 本體基頻降低前后的動(dòng)量對(duì)比Fig.7 Comparison of linear momentum and angular momentum before and after the fundamental frequency reduction of the body

本體振動(dòng)基頻降低后，一次模型的角動(dòng)量增大4個(gè)數(shù)量級(jí)，零次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量增大2個(gè)數(shù)量級(jí)?？梢缘贸觯褐行娜嵝泽w振動(dòng)頻率降低會(huì)使由于模型剛?cè)狁詈想A次降低而導(dǎo)致的線動(dòng)量與角動(dòng)量的計(jì)算誤差增大。

4 動(dòng)量公式剛?cè)狁詈想A次對(duì)動(dòng)量計(jì)算的影響

與本體振動(dòng)基頻f0=9.9 Hz 時(shí)的條件保持相同，采用各次動(dòng)量公式計(jì)算零次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷木€動(dòng)量與角動(dòng)量的結(jié)果對(duì)比如圖8所示。

圖8 零次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷母鞔蝿?dòng)量對(duì)比Fig.8 Comparison of linear momentum and angular momentum of each order of zero-order rigid-flexible coupling model

各次動(dòng)量公式計(jì)算所得的零次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量分別在同一個(gè)數(shù)量級(jí)。同樣可以驗(yàn)證，采用二次動(dòng)量公式計(jì)算一次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量，其結(jié)果與一次動(dòng)量公式的計(jì)算結(jié)果在同一個(gè)數(shù)量級(jí)。可以得出：當(dāng)動(dòng)力學(xué)模型的剛?cè)狁詈想A次較低時(shí)，采用較高階次的動(dòng)量公式并不能使線動(dòng)量與角動(dòng)量的計(jì)算精度提高。

采用各次動(dòng)量公式計(jì)算二次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷木€動(dòng)量與角動(dòng)量的結(jié)果對(duì)比如圖9所示，僅將其中的一次和二次動(dòng)量公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如圖10所示。

圖9 二次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷母鞔蝿?dòng)量對(duì)比Fig.9 Comparison of linear momentum and angular momentum of each order of two-order rigid-flexible coupling model

圖10 二次剛?cè)狁詈夏Ｐ偷囊?、二次?dòng)量對(duì)比Fig.10 Comparison of the one-order and two-order linear momentum and angular momentum of two-order rigid-flexiblecoupling model

采用零次動(dòng)量公式計(jì)算二次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量，結(jié)果比二次動(dòng)量公式的高8 個(gè)數(shù)量級(jí)。采用一次動(dòng)量公式計(jì)算二次模型的角動(dòng)量，結(jié)果比二次動(dòng)量公式的高2個(gè)數(shù)量級(jí)。由于線動(dòng)量的計(jì)算公式中不含模態(tài)坐標(biāo)的二階項(xiàng)，一次與二次線動(dòng)量計(jì)算公式相同，故采用一次與二次動(dòng)量公式計(jì)算的二次模型的線動(dòng)量結(jié)果相同。同樣可以驗(yàn)證，采用零次動(dòng)量公式計(jì)算一次模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量，其結(jié)果的數(shù)量級(jí)也比高次動(dòng)量公式的計(jì)算結(jié)果高?？梢缘贸觯撼淮闻c二次動(dòng)量公式計(jì)算各次模型線動(dòng)量的精度相同外，采用剛?cè)狁詈想A次較低的動(dòng)量公式計(jì)算階次較高模型的線動(dòng)量與角動(dòng)量，誤差將比高次動(dòng)量公式的大。

5 結(jié)論

本文研究了彈性飛行器飛行動(dòng)力學(xué)建模的問題，提出了飛行器的彈性耦合系數(shù)和廣義模態(tài)質(zhì)量的修正方法，可以精確描述連接在柔性本體上的部件對(duì)飛行器動(dòng)力學(xué)的影響。分析了剛?cè)狁詈想A次對(duì)計(jì)算精度的影響，發(fā)現(xiàn)隨著剛?cè)狁詈想A次的降低，動(dòng)力學(xué)模型的時(shí)域響應(yīng)和動(dòng)量計(jì)算結(jié)果的誤差可能會(huì)增大，且中心柔性體振動(dòng)的基頻越低誤差越顯著。進(jìn)一步指出了在利用動(dòng)量守恒檢驗(yàn)系統(tǒng)的計(jì)算精度時(shí)，動(dòng)量計(jì)算公式的剛?cè)狁詈想A次應(yīng)不低于動(dòng)力學(xué)模型的剛?cè)狁詈想A次。