許卓, 許沛堯, 初晨, 姚楠, 李暉, 顧大衛(wèi), 李鶴, 聞邦椿

（1.東北電力大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，吉林 132011；2.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽 110819；3.東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110819；4.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310014）

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁截錐殼相對(duì)于金屬薄壁圓錐殼，具有質(zhì)量輕、承載能力較好，可靠性高、絕緣性好等多種優(yōu)點(diǎn)，目前正在被廣泛應(yīng)用于航空航天、海洋船舶、石油化工等重要工程領(lǐng)域[1-3]。如液體航空發(fā)動(dòng)機(jī)所使用的復(fù)合材料殼體燃燒室、深海無人探測(cè)器的復(fù)合材料耐高壓殼體、船舶螺旋槳尾部艙段等，在復(fù)雜的工程應(yīng)用環(huán)境中，這些殼體很容易受到基礎(chǔ)激勵(lì)載荷的作用，另外，應(yīng)用結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、應(yīng)用環(huán)境的多樣性使其振動(dòng)響應(yīng)的問題尤為突出[4-5]。因此，研究基礎(chǔ)激勵(lì)下的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁截錐殼的振動(dòng)響應(yīng)問題有著重要的工程及學(xué)術(shù)意義。

長期以來，國內(nèi)外研究人員針對(duì)復(fù)合材料薄壁截錐殼在不同激勵(lì)條件下的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了深入的研究，并取得了階段性的成果。例如：王愛勤[6]基于二維解析、一維離散的半解析有限元法，計(jì)算了一般材料的截錐體(殼)在復(fù)雜載荷激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)。楊紹武[7]基于一階剪切變形理論和von Karman幾何非線性關(guān)系，研究了功能梯度復(fù)合材料截錐殼在面內(nèi)熱環(huán)境下的振動(dòng)響應(yīng)，并對(duì)不同溫度下的系統(tǒng)非線性振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析。Dey等[8]基于替代模型的方法結(jié)合概率有限元模型的方法對(duì)復(fù)合材料層壓截錐殼的固有特性及基礎(chǔ)激勵(lì)響應(yīng)進(jìn)行了求解，但此種方法具有概率上的不確定性，因此需要大量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比擬合。Ansari[9]基于Hamilton原理與廣義微分求積法對(duì)功能梯度的碳納米管復(fù)合材料截錐殼的振動(dòng)特性進(jìn)行求解，并用變分格式下的數(shù)值分析方法求解了其振動(dòng)響應(yīng)。Mercan[10]基于離散奇異卷積的方法，并通過錐殼方程的極限取值對(duì)功能梯度復(fù)合材料環(huán)形板的振動(dòng)響應(yīng)。謝坤[11]基于冪級(jí)數(shù)半解析計(jì)算方法，對(duì)一般材料的船舶螺旋槳尾部的加筋圓錐殼艙段進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析，并對(duì)小型密封式加筋圓錐殼進(jìn)行橫、縱向激勵(lì)實(shí)驗(yàn)。張永強(qiáng)[12]基于板殼振動(dòng)理論、彈性力學(xué)理論建立了一般材料的薄壁圓錐殼的常規(guī)動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)模型的固有特性和基礎(chǔ)激勵(lì)響應(yīng)進(jìn)行了求解。Lei等[13]基于場(chǎng)變量修正的傅里葉級(jí)數(shù)法與Ritz法對(duì)一般邊界條件下的功能梯度碳納米管的增強(qiáng)復(fù)合材料截錐板進(jìn)行了自由振動(dòng)分析，并進(jìn)行了有限元驗(yàn)證。Li等[14]基于Rayleigh-Ritz法從理論上對(duì)硬質(zhì)涂層纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并求解了其振動(dòng)響應(yīng)。Heidari Soureshjani等[15]基于一階剪切變形理論推導(dǎo)了基礎(chǔ)激勵(lì)下的三明治夾層結(jié)構(gòu)的截錐殼的響應(yīng)方程，并進(jìn)行了求解。Zhang等[16]基于簡(jiǎn)化板理論和二維改進(jìn)的傅里葉-利茲法對(duì)厚度較大的扇形錐板的振動(dòng)響應(yīng)問題進(jìn)行了求解。Kamaloo等[17]基于能量法與Galerkin方法建立了全周向三明治結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料截錐殼的振動(dòng)特性問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)求解。Yang等[18]基于一階剪切變形理論、von Karman型非線性幾何假設(shè)建立了截?cái)喙δ芴荻葟?fù)合材料(FGM)錐殼的非線性振動(dòng)方程，并采用Hamilton原理和Galerkin方法對(duì)其非線性振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了求解。Safarpour等[19]基于彈性理論對(duì)片狀功能梯度石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料截錐殼的振動(dòng)響應(yīng)公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并進(jìn)行了自由振動(dòng)響應(yīng)的求解。Rezaiee-Pajand等[20]基于一階剪切變形理論建立了納米復(fù)合材料錐殼的自由振動(dòng)方程。并用廣義微分求積法來求解Donnell型控制微分方程，從而求解出其振動(dòng)響應(yīng)。Maji等[21]基于高階剪切變形理論建立了三維編織復(fù)合材料截錐殼自由振動(dòng)方程，并對(duì)其振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解。Sobhani等[22]基于一階剪切變形理論對(duì)夾層復(fù)合材料圓錐-圓柱-圓錐殼進(jìn)行了自由振動(dòng)分析，并根據(jù)幾個(gè)復(fù)雜的工程應(yīng)用實(shí)例模擬了不同激勵(lì)條件下的振動(dòng)響應(yīng)。Shi等[23]基于一階剪切變形理論，建立了功能梯度材料截錐殼的熱力耦合能量方程。通過引入人工彈簧技術(shù)，推導(dǎo)了熱環(huán)境下截錐殼結(jié)構(gòu)的能量表達(dá)式。并對(duì)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解。

從上述文獻(xiàn)可以看出，雖然眾多學(xué)者已經(jīng)對(duì)截錐殼的振動(dòng)響應(yīng)問題進(jìn)行了深入的研究，但上述研究主要集中在金屬和功能梯度材料所制成的構(gòu)件上，對(duì)于纖維增強(qiáng)材料所制成截錐殼的研究較少，且大多都停留在理論分析推導(dǎo)與求解的層面，其理論分析結(jié)果并沒有經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。由于纖維增強(qiáng)材料具有各向異性的特點(diǎn)，其本構(gòu)方程更加復(fù)雜，且由于母線與激勵(lì)方向存在夾角，這導(dǎo)致其振動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)更加困難。在上述的一些有理論分析與實(shí)驗(yàn)對(duì)比的文獻(xiàn)中，理論預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果出現(xiàn)了較大的對(duì)比誤差；同時(shí)，一些文獻(xiàn)中所提出的修正方法計(jì)算量較大，迭代過程也過于繁瑣。

因此，針對(duì)上述問題，本文首先以纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁截錐殼(FRCTCS)為研究對(duì)象，考慮結(jié)構(gòu)中各向異性的特點(diǎn)，建立所研究結(jié)構(gòu)的本構(gòu)方程，并通過能量法和拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)方程，考慮結(jié)構(gòu)母線和激勵(lì)方向的夾角，將激勵(lì)分解并求解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。其次，為了驗(yàn)證所提出方法的正確性，搭建了基礎(chǔ)激勵(lì)下的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁截頂圓錐殼振動(dòng)響應(yīng)的測(cè)試系統(tǒng)，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。最后，利用本文提出的二分粒子群迭代法，對(duì)理論模型進(jìn)行修正運(yùn)算，從而達(dá)到較高的計(jì)算精度。本文所提出的方法可對(duì)該類結(jié)構(gòu)的實(shí)際工程應(yīng)用提供通用性的理論依據(jù)和指導(dǎo)。

1 基礎(chǔ)激勵(lì)下的FRCTCS振動(dòng)響應(yīng)求解

所研究的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼是由N層正交各項(xiàng)異性的纖維材料組合而成的，固定方式為大半徑端固定，“O-XθZ”坐標(biāo)系位于中間平面，所受基礎(chǔ)激勵(lì)方向與“XOZ”面垂直，見圖1。

圖1 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼理論模型Fig.1 Theoretical model for fiber-reinforced composite thin-walled conical shells

首先，以其中面為參考平面，纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼大半徑為R2，小半徑為R1，母線長為L，殼體厚為h，半錐角為α；其次，材料的每一層位于Z軸較低平面hk-1與hk之間，厚度均勻。最后，1代表平行纖維方向，2代表垂直纖維方向。設(shè)1-2平面內(nèi)的剪切彈性模量為G12，1方向的彈性模量為E1，2方向的彈性模量為E2，1方向所引起的1-2平面的應(yīng)變泊松比為μ1，2方向所引起的1-2平面的應(yīng)變泊松比為μ2，密度為ρ。

假設(shè)薄壁圓錐殼體受到基礎(chǔ)激勵(lì)載荷的影響，并且給出基礎(chǔ)激勵(lì)的位移表達(dá)式為

其中：Y為激勵(lì)幅值；ω為激勵(lì)頻率；i為復(fù)數(shù)因子；t為時(shí)間。

在考慮層間纖維方向的影響下，基于復(fù)模量法，對(duì)復(fù)合材料的材料參數(shù)進(jìn)行重新定義：

其中：、η1分別代表平行纖維方向的復(fù)彈性模量和損耗因子；、η2分別代表垂直纖維方向的復(fù)彈性模量和損耗因子；、η12分別代表1-2平面中的復(fù)剪切模量和損耗因子；、、分別為復(fù)彈性模量的實(shí)部及復(fù)剪切模量的實(shí)部。

表1 梁函數(shù)系數(shù)的取值Table 1 Values of beam function coefficients

基于經(jīng)典層合理論和Kirchhoff-Love假設(shè)，將忽略了剪切變形的纖維增強(qiáng)復(fù)合截頂圓錐殼的中面位移分量方程寫成如下形式：

其中：A、B、C分別為方向的振動(dòng)幅值；n為圓錐殼的周向波數(shù)；ω0為復(fù)合薄殼的固有圓頻率；ψ(x)為不同邊界條件下的梁函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，梁函數(shù)ψ(x)表示為

其中，m為圓柱殼的軸向波數(shù)。由于本章所研究的復(fù)合薄殼大半徑端為約束端，小半徑端及母線端均為自由的狀態(tài)，因此根據(jù)文獻(xiàn)[1]，梁函數(shù)系數(shù)λm和σm(m=1, 2, 3)的取值如表1所示。

根據(jù)Love殼體理論，纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的應(yīng)力-應(yīng)變可表示為

對(duì)于正交各向異性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系為

其中：σ1、σ2、τ12分別為平行于纖維方向的應(yīng)力、垂直纖維方向的應(yīng)力和平面內(nèi)的應(yīng)力；ε1、ε2、γ12分別為平行與纖維方向上的應(yīng)變、垂直纖維方向的應(yīng)變和平面內(nèi)的應(yīng)變；Qij(i=1, 6；j=1, 2, 6)為定義應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的利茲參數(shù)：

其中，由于本文使用的是經(jīng)典層合理論，利茲參數(shù)矩陣省略了Q16、Q26、Q44與剪切變形相關(guān)的3個(gè)元素。

當(dāng)纖維材料與主軸x方向有一定的夾角β時(shí)，第k層平面的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中：k表示復(fù)合殼的第k層；βk表示第k層纖維與坐標(biāo)系x軸的夾角的大小。

為了使理論建模更加方便，將殼體收到的基礎(chǔ)激勵(lì)載荷等效為均勻的慣性力外載荷f(t)，其表達(dá)式為

由基礎(chǔ)激勵(lì)載荷f(t)可以得到激勵(lì)力所做功Wf為

其中，fu、fν和fw分別為基礎(chǔ)激勵(lì)在u、ν、w3個(gè)方向的分量系數(shù)，由于受力在圓錐殼的徑向，因此需要通過半錐角α對(duì)母線(L)的斜度進(jìn)行等效糾正，取值為

需要說明的是，當(dāng)不考慮半錐角α與母線(L)的斜度問題時(shí)，fu、fν和fw取1即可。

纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼動(dòng)能T用下式表示：

其中，R0=(R1+R2)/2。

纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼應(yīng)變能U表示為

其中，[ε]為應(yīng)變向量，其公式為

S為薄膜剛度矩陣，定義如下：

其中，矩陣S中的元素計(jì)算公式為

式中：Aij、Bij和Dij分別為拉伸、耦合與彎曲矩陣；hk為上下平面到參考平面的距離。

將面位移分量方程式(3)和應(yīng)力-應(yīng)變公式(5)代入到外載荷做功公式(11)、動(dòng)能公式(13)、應(yīng)變能公式(14)中，可以得到復(fù)合薄殼的最大動(dòng)能、最大應(yīng)變能和最大外載荷做功分別為Tmax、Umax和Wfmax。

繼續(xù)推導(dǎo)具有外部激勵(lì)情況下的拉格朗日能量函數(shù)，其表達(dá)式為

通過對(duì)拉格朗日函數(shù)求偏導(dǎo)為0，來計(jì)算梁函數(shù)參數(shù)大?。?/p>

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo)，得到圓錐殼頻域振動(dòng)方程：

其中：K、C和M分別為纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼的剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣；位移向量a=(A,B,C)T為梁函數(shù)系數(shù)的具體解；F為激振力向量。令式(1)、阻尼矩陣C和激振力向量F為0時(shí)，式(19)變?yōu)?/p>

對(duì)式(19)進(jìn)行求解，即可獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率ω。

通過求解方程(20)中的位移向量a，將其代入式(3)中，可以獲得復(fù)合薄殼自身的振動(dòng)響應(yīng)ω0。

根據(jù)模態(tài)疊加法，計(jì)算的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果為結(jié)構(gòu)自身的振動(dòng)響應(yīng)ω0及基礎(chǔ)激勵(lì)y(t)的位移之和。因此，將復(fù)合薄殼的振動(dòng)響應(yīng)ξ (x, θ,t)可以表示為

式(21)給出了基礎(chǔ)激勵(lì)下的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼的絕對(duì)振動(dòng)響應(yīng)求解的表達(dá)式；因此，在確定式(1)和式(3)的情況下，可以進(jìn)行任意一點(diǎn)的響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算及預(yù)測(cè)。

2 基礎(chǔ)激勵(lì)下的FRCTCS振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算原理與流程

2.1 計(jì)算原理

由于在實(shí)驗(yàn)樣件制備的過程中，會(huì)產(chǎn)生諸多不可控因素，例如樹脂基鋪設(shè)的不均勻性、纖維布質(zhì)量的優(yōu)劣和制作工藝中產(chǎn)生的誤差等問題；這些問題都會(huì)使結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)產(chǎn)生偏差。其中，纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼的損耗因子與振動(dòng)響應(yīng)密切相關(guān)。因此，準(zhǔn)確確定損耗因子是能否準(zhǔn)確分析振動(dòng)響應(yīng)的關(guān)鍵。

首先，通過理論建模計(jì)算結(jié)構(gòu)的各階固有頻率，同時(shí)通過模態(tài)測(cè)試獲得相應(yīng)的固有頻率；接著，對(duì)理論模型的材料參數(shù)進(jìn)行二分粒子群迭代修正，使固有頻率的誤差滿足誤差函數(shù)efreq，其具體的表達(dá)式為

同理，定義振動(dòng)響應(yīng)誤差函數(shù)為eamp：

其中：Δfi為計(jì)算與測(cè)試固有頻率之差；fi為計(jì)算的固有頻率值；ΔMi為計(jì)算與測(cè)試振動(dòng)響應(yīng)之差；Mi為計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)值；Rmode為模態(tài)階次。

根據(jù)廠家所提供的材料參數(shù)值E'1、E'2、G'12為基礎(chǔ)，定義二分粒子群迭代法的迭代群落范圍如下：

其中，Rerr為定義粒子群群落范圍的參數(shù)，其取值在10%～20%之間可以滿足粒子群群落范圍要求。

在計(jì)算固有特性時(shí)，為了滿足固有特性誤差函數(shù)(efreq≤1%～3%)要對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行二分迭代修正計(jì)算。

首先，定義二分粒子群：

其中：x1=X(1-Rerr)、xN=X(1+Rerr)；N為粒子群元素?cái)?shù)量且為奇數(shù)，一般定義N為9即可獲得較高的迭代精度。

其次，將材料參數(shù)同時(shí)進(jìn)行迭代計(jì)算，將基于二分法形成的粒子群元素代入式(2)進(jìn)行計(jì)算，將滿足誤差函數(shù)efreq的較優(yōu)個(gè)體極值計(jì)為

其中，Pbetter是一個(gè)D維向量，具體元素?cái)?shù)量由滿足誤差函數(shù)efreq的xi的數(shù)量決定。

最后，當(dāng)Pbetter的元素?cái)?shù)量大于1時(shí)，將定義的誤差函數(shù)值縮小，當(dāng)向量Pbetter中的元素?cái)?shù)量唯一時(shí)，跳出計(jì)算，并定義唯一元素為Pbest，即為二分粒子群算法所獲得的材料參數(shù)最優(yōu)解。

需要說明的是，由于振動(dòng)響應(yīng)與損耗因子密切相關(guān)，因此在進(jìn)行材料參數(shù)修正后，需要使用二分粒子群迭代法對(duì)式(2)中的損耗因子(η1, η2,η12)進(jìn)行迭代修正；與材料參數(shù)不同的是，在定義二分粒子群時(shí)，由于損耗因子沒有明確的參考值，需要定義(j=1, 2, 12)為0，并規(guī)定最大損耗因子。針對(duì)損耗因子所定義的粒子群群落范圍為

針對(duì)損耗因子定義的二分粒子群為

同上，將定義的二分粒子群(26)代入式(2)進(jìn)行整個(gè)模型的迭代計(jì)算，在滿足誤差函數(shù)eamp后，即可得到二分迭代粒子群算法所獲得的損耗因子最優(yōu)解。

2.2 計(jì)算流程

在本部分，利用Matlab軟件，編寫了相應(yīng)的計(jì)算程序，并提出了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓錐殼的振動(dòng)響應(yīng)流程，可分為以下幾個(gè)關(guān)鍵步驟：

(1) 輸入纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓錐殼的母線長度L、大半徑端R1、半錐角α和纖維鋪層角度β等幾何參數(shù)后，繼續(xù)輸入纖維縱向彈性模量為E1、纖維橫向彈性模量為E2、剪切模量G12、泊松比μ12等材料參數(shù)；

(2) 將基礎(chǔ)激勵(lì)表達(dá)式(1)、基于梁函數(shù)法來表示振型函數(shù)(3)、應(yīng)力-應(yīng)變表達(dá)式(5)分別代入激勵(lì)做功公式(11)、動(dòng)能表達(dá)式(13)、應(yīng)變能表達(dá)式(14)后，令諧波分量為1，即得到激勵(lì)做功公式Wfmax、最大動(dòng)能Tmax、最大應(yīng)變能Umax；

(3) 采用Ritz法求解固有頻率。將最大動(dòng)能Tmax、最大應(yīng)變能Umax代入拉格朗日能量函數(shù)公式(17)，根據(jù)Ritz法，將П對(duì)所有參數(shù)求偏導(dǎo)，得到了剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的特征方程(19)，令阻尼矩陣C和激振力向量F為0，得到公式(20)，通過對(duì)方程(21)進(jìn)行求解，即可得到纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼得固有頻率；

(4) 求解纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的振動(dòng)響應(yīng)?；趶?fù)模量法和模態(tài)疊加法，在考慮基礎(chǔ)激勵(lì)表達(dá)式(1)與表達(dá)式(19)中的阻尼矩陣C、激振力向量F的情況下進(jìn)行求解，得到振動(dòng)響應(yīng)ω0，ω0與基礎(chǔ)激勵(lì)y(t)進(jìn)行疊加得到在基礎(chǔ)激勵(lì)下的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓錐殼的振動(dòng)響應(yīng)ξ(x, θ,t)；

(5) 進(jìn)行單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，用以測(cè)試?yán)w維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的固有頻率，并根據(jù)固有頻率結(jié)果定義誤差函數(shù)(22)；

(6) 根據(jù)廠家提供的材料參數(shù)來定義材料參數(shù)的二分粒子群的迭代群落(24)，選定合適的粒子數(shù)量N后，定義二分迭代粒子群(25)，將群落中的粒子代入式(2)進(jìn)行迭代計(jì)算，輸出滿足誤差函數(shù)(22)的較優(yōu)個(gè)體向量(26)；最后，通過更改誤差函數(shù)來完成固有頻率的二分粒子群迭代修正并輸出材料參數(shù)的最優(yōu)個(gè)體Pbest；

(7) 進(jìn)行基礎(chǔ)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，用以測(cè)試?yán)w維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼的振動(dòng)響應(yīng)，并根據(jù)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果定義誤差函數(shù)(23)；

(8) 定義損耗因子的二分粒子群的迭代群落(27)，并重復(fù)步驟(6)，即可完成對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的二分粒子群迭代修正并輸出損耗因子的最優(yōu)個(gè)體。

基于二分粒子群迭代法的修正流程如圖2所示，需要說明的是，二分法主要用于規(guī)定粒子群落中的粒子數(shù)量及取值。

圖2 二分粒子群迭代法的計(jì)算流程Fig.2 Computational process of the binary particle swarm iteration method

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)對(duì)象及測(cè)試系統(tǒng)

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，本文將以TC300碳纖維/環(huán)氧樹脂基纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼為研究對(duì)象，搭建相應(yīng)的測(cè)試系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行模態(tài)和基礎(chǔ)激勵(lì)響應(yīng)測(cè)試。實(shí)驗(yàn)件母線長度L為150 mm，大半徑端R1為132.5 mm，厚度h為3 mm，半錐角α=30°，密度為ρ=1 570 kg/m3，纖維縱向彈性模量為E1=120 GPa，纖維橫向彈性模量為E2=8.5 GPa，剪切模量G12=4.74 GPa，泊松比μ12=0.3。此類型復(fù)合薄殼為對(duì)稱正交鋪設(shè)，鋪層方式為[+45°/-45°]12，共有24層，并且每一層具有相同的厚度和纖維體積分?jǐn)?shù)。

圖3為所搭建的基礎(chǔ)激勵(lì)下纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼的振動(dòng)特性測(cè)試系統(tǒng)；在測(cè)試之前，需要進(jìn)行如下參數(shù)的設(shè)置：(I) 頻率范圍：20～3 000 Hz；(II) 頻率分辨率：0.1 Hz；(III) 窗函數(shù)：Hanning窗；(IV) 基礎(chǔ)激勵(lì)幅度：1 g；(V) 掃頻速度：0.5 Hz/s。

圖3 纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼幅頻測(cè)試系統(tǒng)Fig.3 Amplitude frequency test system for thin-walled conical shells of fiber-reinforced composites

實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先需要通過力錘，對(duì)其進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，以便于確定各階響應(yīng)所在的頻率區(qū)間；模態(tài)測(cè)試中，本文采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)的方法，利用兩個(gè)B&K 4517B加速度傳感器來進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。同時(shí)，為了減小誤差，進(jìn)行3次有效錘擊測(cè)試。

在確定好固有特性與響應(yīng)點(diǎn)后，開始進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)測(cè)試：由金盾EM-1000F電磁振動(dòng)臺(tái)提供1 g的基礎(chǔ)激勵(lì)；利用B&K 4517B輕質(zhì)加速度傳感器與LMS16通道便攜式數(shù)據(jù)采集儀進(jìn)行響應(yīng)信號(hào)的采集，再通過安裝有LMS Test.Lab 14A軟件的筆記本電腦對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，最終獲得結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果。另外需要說明的是，被測(cè)試的TC300碳纖維/環(huán)氧樹脂基纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓錐殼在制造時(shí)，其末端預(yù)留了安裝邊和安裝孔，可通過多個(gè)M8螺栓固定在獨(dú)立的夾具上，確保其與理論中呈現(xiàn)的大半徑端固定、小半徑端與沿母線方向自由的邊界條件一致。

3.2 測(cè)試結(jié)果與驗(yàn)證對(duì)比

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性，將測(cè)試結(jié)果與本文提出方法的理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，圖4給出了模態(tài)實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的固有頻率-加速度曲線。

圖4 纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的固有頻率-加速度曲線Fig.4 Intrinsic frequency-acceleration curves of fiber-reinforced composite conical shells

在準(zhǔn)確測(cè)試獲得了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的前4階固有頻率的基礎(chǔ)上，設(shè)定固有頻率誤差函數(shù)efreq≤3%，設(shè)定群落參數(shù)Rerr為10%，開始進(jìn)行材料參數(shù)的迭代修正。圖5給出了實(shí)驗(yàn)測(cè)試的固有頻率值與經(jīng)過9次修正后的計(jì)算固有頻率值及其誤差。廠家提供的材料參數(shù)、經(jīng)過二分粒子群迭代法修正計(jì)算后的材料參數(shù)和損耗因子如表2所示。

表2 修正前后的材料參數(shù)、損耗因子Table 2 Material parameters before and after correction, loss factor

圖5 纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的固有頻率及計(jì)算誤差Fig.5 Natural frequencies and computational inaccuracies of fiberreinforced composite thin-walled conical shells

將材料參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確修正后，結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，可以精確的確定纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓錐殼的振動(dòng)響應(yīng)掃頻范圍；在準(zhǔn)確測(cè)定振動(dòng)響應(yīng)后，設(shè)定振動(dòng)響應(yīng)誤差函數(shù)eamp≤3%、損耗因子最大值為0.005，在程序中設(shè)定好后，開始對(duì)損耗因子進(jìn)行迭代求解。圖6給出了實(shí)驗(yàn)測(cè)試的頻率-響應(yīng)曲線C、經(jīng)過迭代計(jì)算的頻率-響應(yīng)曲線D、在確定材料參數(shù)和損耗因子后，不考慮式(9)進(jìn)行母線與激勵(lì)角度偏移修正的頻率-響應(yīng)曲線E。為了使對(duì)比結(jié)果更加明顯，表3給出了實(shí)驗(yàn)測(cè)試的振動(dòng)響應(yīng)值C、經(jīng)過迭代計(jì)算的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果D、確定損耗因子的計(jì)算結(jié)果E與誤差。

表3 實(shí)驗(yàn)和計(jì)算獲得的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的前4階響應(yīng)值及誤差Table 3 Experimentally and computationally obtained response values and errors of the first 4th order for thin-walled conical shells of fiber-reinforced composites

圖6 實(shí)驗(yàn)和計(jì)算獲得的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的前4階頻率-響應(yīng)曲線Fig.6 Experimentally and computationally obtained frequency-response curves of the first 4th orders of thin-walled conical shells of fiber-reinforced composites

通過表2可以看出，由于制作工藝等不可控誤差的存在，實(shí)驗(yàn)樣件的材料參數(shù)與理論的材料參數(shù)具有一定的偏差，因此進(jìn)行材料參數(shù)與損耗因子的迭代修正是尤為重要的；通過圖5的對(duì)比分析可以看出，在經(jīng)過修正后，實(shí)驗(yàn)與計(jì)算所獲的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼固有頻率的誤差分別在1.4%～2.3%之間，數(shù)值變化趨勢(shì)基本一致，從而驗(yàn)證本文所提出的方法在計(jì)算固有特性時(shí)的正確性。通過表3可以看出，在經(jīng)過材料參數(shù)與損耗因子修正后，實(shí)驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)C與計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)D的誤差在1.8%～3.0%之間；實(shí)驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)C與計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)E的誤差在2.5%～8.3%之間；因此，在理論建模時(shí)考慮母線與基礎(chǔ)激勵(lì)載荷方向存在夾角是尤為重要的。

4 結(jié) 論

采用理論與實(shí)踐相結(jié)合的方式，對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)下的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄壁圓錐殼的振動(dòng)響應(yīng)問題進(jìn)行了研究，得到的結(jié)論如下：

(1) 實(shí)驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)C與考慮激勵(lì)載荷與母線夾角的計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)D的誤差在1.8%～3.0%之間。實(shí)驗(yàn)振動(dòng)響應(yīng)C與不考慮激勵(lì)載荷與母線夾角的計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)E的誤差在2.5%～8.3%之間。這主要是由于式(11)中的u、ν、w這3個(gè)方向的分量系數(shù)fu、fν和fw值有所變化引起的。由此可見，在理論建模與計(jì)算中，需要充分考慮基礎(chǔ)激勵(lì)載荷與圓錐殼母線之間的角度關(guān)系；

(2) 由于制作工藝等不可控誤差的存在，實(shí)驗(yàn)樣件材料參數(shù)與理論參數(shù)具有一定的偏差，因此需要通過迭代計(jì)算的到較精確的材料參數(shù)與損耗因子；通過修正計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)，固有特性的誤差在1.4%～2.3%之間，振動(dòng)響應(yīng)的誤差在1.8%～3.0%之間，驗(yàn)證了本文所提出的二分粒子群迭代法具有精度高、通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，適用于工程結(jié)構(gòu)的核心部件進(jìn)行振動(dòng)特性的研究與材料參數(shù)的修正，具有較強(qiáng)的工程實(shí)際意義；

(3) 將經(jīng)典板殼理論、復(fù)模量法進(jìn)行結(jié)合，在建立精確的分析模型后，考慮載荷方向與母線的夾角、纖維鋪層方向與x軸的夾角，利用能量法與模態(tài)疊加法進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)的求解，對(duì)于不同材料的圓錐殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的分析與預(yù)測(cè)具有理論指導(dǎo)意義。