靳國(guó)良,孫茂凱,王生海,黃 哲,王丙昱,孫玉清

(大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院,遼寧 大連 116026)

0 引 言

橋式起重機(jī)作為工業(yè)生產(chǎn)中常見的吊裝設(shè)備,被廣泛應(yīng)用在工廠、碼頭和工程建設(shè)場(chǎng)地,進(jìn)行各種物資吊運(yùn)作業(yè)。

隨著橋式起重機(jī)吊裝場(chǎng)景的變化,其吊重也從質(zhì)點(diǎn)式向分布式質(zhì)量方向發(fā)展,工業(yè)上相應(yīng)地也對(duì)橋式起重機(jī)吊重減擺和小車定位控制技術(shù)提出了新要求。

在保證吊裝作業(yè)安全的前提下,橋式起重機(jī)小車的理想運(yùn)行狀態(tài)是盡可能朝著目標(biāo)位置快速前進(jìn),并實(shí)現(xiàn)精確定位目的。與此同時(shí),吊重也同步到達(dá)預(yù)定位置并消除擺動(dòng)[1]。但是,橋式起重機(jī)作為一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),受起重機(jī)系統(tǒng)內(nèi)部摩擦、環(huán)境載荷以及其他未知擾動(dòng)因素的干擾,具有很強(qiáng)的非線性特性,各狀態(tài)變量存在較強(qiáng)的耦合特性[2];這增加了多變量、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的橋式起重機(jī)吊重減擺控制的難度[3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者依托機(jī)器人學(xué)和現(xiàn)代控制理論,利用運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃[4]、自適應(yīng)控制[5]、輸入整形[6]、滑?？刂芠7]、魯棒控制[8]等方法,研究了橋式起重機(jī)吊重的防擺控制問題,取得了新的理論突破。但這些研究仍主要集中在質(zhì)點(diǎn)式吊重的搖擺控制方面,對(duì)現(xiàn)今工程場(chǎng)景中的分布式質(zhì)量吊重?fù)u擺抑制研究不足,不能有效地指導(dǎo)工程建設(shè)。

MASOUD Z等人[9]設(shè)計(jì)了一個(gè)由輸入整形和閉環(huán)控制方法相結(jié)合的雙組合控制器,其采用虛擬的帶有積分器的反饋控制器,消除由第一個(gè)控制器引起的吊鉤、吊重的殘留擺動(dòng),通過仿真和實(shí)驗(yàn)證實(shí)了該方法的有效性;但該方法涉及的數(shù)學(xué)模型復(fù)雜,采用該方法設(shè)計(jì)的控制器適應(yīng)性差。OUYANG Hui-min等人[10]針對(duì)旋轉(zhuǎn)式起重機(jī)的雙擺擺動(dòng)控制問題,提出了一種基于能量成形的非線性控制器,實(shí)現(xiàn)了對(duì)起重機(jī)吊臂、小車定位的良好控制目的;但上述研究涉及的控制運(yùn)算復(fù)雜,實(shí)際推廣受限。RAUSCHER F等人[11]針對(duì)起重機(jī)雙擺中由機(jī)械阻尼干擾引起的超調(diào)和殘余擺角控制問題,設(shè)計(jì)了一種基于微分平坦度的間接自適應(yīng)前饋控制器的參數(shù)自適應(yīng)方法,該方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)橋式起重機(jī)小車-吊重系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的精確控制目的;但其微分方程組求解計(jì)算復(fù)雜。肖友剛等人[12]利用線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來測(cè)量起重機(jī)吊鉤、吊重的擺動(dòng)角度,并采用滑?？刂破饕种频踔氐臄[動(dòng);但其未考慮來自系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)和外部環(huán)境變量對(duì)擺動(dòng)控制的影響。TANG Rui等人[13]針對(duì)分布式質(zhì)量吊重的搖擺控制問題,設(shè)計(jì)了一種采用風(fēng)抑制指令、平滑指令的開環(huán)控制方法,分別消除分布式質(zhì)量吊重的自然擺動(dòng)和由操作人員引起振蕩;但該方法的控制效果對(duì)系統(tǒng)模型的精確度依賴性較高。文天賜等人[14]針對(duì)大型吊裝作業(yè)的吊裝特點(diǎn),設(shè)計(jì)了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的雙吊車自適應(yīng)防擺控制方法;但該控制器對(duì)大型負(fù)載的擺動(dòng)抑制效果不敏感。

綜上所述,目前中外學(xué)者在常規(guī)吊重減擺理論研究和技術(shù)推廣方面已取得了較大的進(jìn)步,但在以集裝箱和風(fēng)電塔筒為代表的分布式質(zhì)量吊重的減擺研究方面仍有很大的技術(shù)創(chuàng)新空間。因此,筆者將分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的雙擺控制作為研究重點(diǎn)。

首先,考慮電機(jī)驅(qū)動(dòng)特性、摩擦阻力以及外界環(huán)境不確定性擾動(dòng)對(duì)橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重?cái)[動(dòng)控制的影響,筆者設(shè)計(jì)普通滑?？刂破?OSMC)和分層滑模控制器(HSMC);然后,采用Lyapunov函數(shù)和Barbalat引理對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行證明;最后,對(duì)控制器的魯棒性和抗干擾性進(jìn)行數(shù)值仿真研究。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)雙擺數(shù)學(xué)模型

橋式起重機(jī)小車和分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的雙擺模型如圖1所示。

圖1 分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)雙擺模型

在考慮小車電機(jī)驅(qū)動(dòng)特性、系統(tǒng)摩擦阻力以及外界環(huán)境不確定性擾動(dòng)的基礎(chǔ)上,筆者使用歐拉-拉格朗日方程,建立了橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的雙擺動(dòng)力學(xué)方程;結(jié)合分布式質(zhì)量吊重的轉(zhuǎn)動(dòng)特性對(duì)雙擺動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行修正,結(jié)果表示如下:

(1)

(mh+mp)gl1sinα=fd2+Δα

(2)

(3)

式(1)～式(3)用矩陣形式表示如下:

(4)

其中:

M(q)=

G(q)=[0(mh+mp)gl1sinαmplhgsinβ]T,

F=[F0 0]T,Δ=[ΔxΔαΔβ]T,

(5)

在保證橋式起重機(jī)作業(yè)安全前提下,筆者對(duì)橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)作如下假設(shè):

假設(shè)1分布式質(zhì)量吊重在吊運(yùn)過程中吊鉤擺角α和吊重β始終保持在(-π/2,π/2)之間;

假設(shè)3鋼絲繩l1和l2均為不可拉伸形變的剛體,其拉力和質(zhì)量忽略不計(jì)。

1.2 電機(jī)數(shù)學(xué)模型

F=Fc-Ff

(6)

(7)

(8)

將式(8)代入式(7)中,得到直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)力Fc的計(jì)算公式,表示如下:

(9)

1.3 系統(tǒng)摩擦力和不確定性擾動(dòng)數(shù)學(xué)模型

定義橋式起重機(jī)小車-分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)中摩擦力為Ff,公式表示如下[15]:

(10)

通過多次仿真模擬,筆者將黏性摩擦系數(shù)設(shè)置為δ1=2.2,δ2=36,δ3=1.3,δ4=1.8,δ5=65,δ6=0.26。

除了摩擦力Ff外,其他含有未知參數(shù)的不確定性擾動(dòng)統(tǒng)一用向量fd表示,即:

fd=[fd1fd20]T

(11)

其中:

(12)

式中:k1,k2為橋式起重機(jī)吊重、吊鉤在空氣中擺動(dòng)時(shí)所受的空氣阻尼系數(shù)和在小車行進(jìn)方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的摩擦阻尼力系數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性判斷

2.1 普通滑?？刂破?OSMC)設(shè)計(jì)

筆者設(shè)置系統(tǒng)狀態(tài)變量q=[xαβ]T的目標(biāo)狀態(tài)變量為qd=[xd0 0]T,橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的小車位置跟蹤誤差為e=x-xd。

令普通滑?？刂破?OSMC)滑模面s表示如下:

(13)

式中:λ1,λ2,λ3為整定參數(shù)。

(14)

將系統(tǒng)的滑模控制律設(shè)計(jì)為:u=ueq+usw。

將式(1)代入式(14),經(jīng)整理可得到等效控制量ueq的表達(dá)式如下:

(15)

為降低系統(tǒng)的抖動(dòng),筆者引入飽和函數(shù)sat(s)代替符號(hào)sgn(s)函數(shù)。飽和函數(shù)sat(s)表示如下:

(16)

式中:ε為大于0的常數(shù),表示表面邊界層的厚度。

(17)

其中:Min(λ(Δ))>Max(λ(Δx))。

2.2 普通滑?？刂破?OSMC)穩(wěn)定性證明

定義控制系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為:

(18)

顯然,V1(t)是正定的。

對(duì)式(18)求導(dǎo),可得:

(19)

將式(1)、式(17)代入式(19),則有:

(20)

所以,控制系統(tǒng)在滑模面s上是全局穩(wěn)定的。這也意味著基于OSMC的閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)量都可以到達(dá)滑模面s上。OSMC可以消除橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重的擺動(dòng)和跟蹤小車運(yùn)動(dòng)軌跡。

對(duì)V1(t)求二次導(dǎo)數(shù),結(jié)果如下:

(21)

接下來需要證明當(dāng)系統(tǒng)在滑模面s=0時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)變量會(huì)沿著滑模面s趨于平衡點(diǎn)。

其證明過程如下:

1.1 研究對(duì)象 2016年10月至2018年3月在復(fù)旦大學(xué)附屬眼耳鼻喉科醫(yī)院眼科門診診斷為視野損害前青光眼（開角型）的患者。

(22)

然后,將式(22)改寫為:

(23)

其中:

Φ(γ)=

(24)

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,可通過調(diào)整參數(shù)λ1、λ2和λ3,讓矩陣B的所有特征值都在復(fù)平面左半開平面遠(yuǎn)離虛軸的位置,這樣矩陣B為Hurwitz穩(wěn)定矩陣;此時(shí),存在正定矩陣P,滿足BTP+PB=-Q(Q為正定矩陣);最后,考慮到橋式起重機(jī)在實(shí)際吊裝作業(yè)中遭遇到的擾動(dòng)是有限的,也就意味著Φ(γ)是有界的,假設(shè)其滿足:‖Φ(γ)‖≤Lg‖γ‖(Lg∈R+)。

構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)如下:

V2=γTPγ

(25)

對(duì)式(25)求導(dǎo),則有:

-λmin(Q)‖γ‖2+2‖γ‖‖PC‖Lg‖γ‖≤

-(λmin(Q)-2Lg‖PC‖)‖γ‖2

(26)

式中:λmin(Q)為正定矩陣Q的最小特征值。

由于e=x-xd,所以x→xd成立。所以,在s=0時(shí),通過調(diào)整參數(shù)λ1、λ2、λ3值,非線性系統(tǒng)可以在平衡點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定。

2.3 分層滑模控制器(HSMC)設(shè)計(jì)

將式(1)代入式(2)、式(3)中,可得到橋式起重機(jī)-小車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)等價(jià)表達(dá)式,即:

(27)

fd2+Δα-(mh+mp)gl1sinα)

(28)

mpglhsinβ+Δβ)

(29)

為實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)中小車定位、吊重減擺的同步聯(lián)合控制目的,需要同時(shí)考慮小車位移x、吊鉤擺角α及分布式質(zhì)量吊重?cái)[角β這三個(gè)目標(biāo)控制量。所以筆者采用兩層滑模面來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,即將橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的狀態(tài)變量分為位移子系統(tǒng)和擺角子系統(tǒng),每個(gè)子系統(tǒng)的滑模面都滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。因此,子滑模面是漸進(jìn)穩(wěn)定的;之后,筆者定義系統(tǒng)總的滑模面是子滑模面的線性組合,這樣可以保證子滑模面的快速收斂[16]。

按照上述思路,設(shè)計(jì)的子滑模面表示如下:

(30)

按照上述思路,筆者整理得到ueq1、ueq2、ueq3的表達(dá)式,即:

(31)

(fd1+Δx)(mt+mh+mp)+

(32)

ueq3=

(33)

系統(tǒng)總控制律u、子系統(tǒng)ueq和切換控制律usw關(guān)系表示如下:

u=ueq+usw=ueq1+ueq2+ueq3+usw

(34)

式中:ueq1,ueq2,ueq3為位移子系統(tǒng)、擺角子系統(tǒng)的控制律。

為保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定,筆者對(duì)第一層滑模面的ueq1、ueq2和ueq3進(jìn)行線性化,設(shè)計(jì)了包含子系統(tǒng)的第二層滑模面S,表示如下:

S=η1s1+η2s2+η3s3

(35)

式中:η1,η2,η3為滑模面系數(shù)。

對(duì)滑模面S求導(dǎo),則有:

(36)

(37)

將式(37)代入式(34),可以得到總控制律u的表達(dá)式,表示如下:

(38)

2.4 分層滑?？刂破?HSMC)穩(wěn)定性證明

筆者利用Lyapunov穩(wěn)定性定理、Barbalat引理來證明HSMC的穩(wěn)定性。

首先,對(duì)第二層滑模面的穩(wěn)定性進(jìn)行證明,構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下:

(39)

對(duì)式(39)求導(dǎo),則有:

-KS2-n0‖S‖≤0

(40)

接下來需要對(duì)系統(tǒng)第一層滑模面的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。根據(jù)Barbalat引理可知:

(41)

(42)

同時(shí),根據(jù)物理常識(shí)可知,系統(tǒng)的狀態(tài)變量在重力和系統(tǒng)阻尼的雙重作用下最終會(huì)到達(dá)平衡點(diǎn)位置,表示如下:

(43)

綜上可得:

(44)

由式(35)知,當(dāng)S=0時(shí):

(45)

3 仿真分析

筆者采用MATLAB/Simulink仿真的方式,檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的OSMC、HSMC對(duì)橋式起重機(jī)小車-分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的雙擺控制性能。

3.1 滑?？刂破鲗?duì)比仿真

為檢驗(yàn)滑?？刂破鲗?duì)橋式起重機(jī)小車-分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)的雙擺擺動(dòng)抑制效果,筆者利用OSMC和HSMC進(jìn)行仿真研究。

橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型參數(shù)如表1所示。

表1 橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型參數(shù)

橋式起重機(jī)小車位移控制結(jié)果如圖2所示。

圖2 橋式起重機(jī)小車位移

從圖2可以看出:與OSMC相比,HSMC對(duì)橋式起重機(jī)小車位移控制響應(yīng)速度更快。

在小車目標(biāo)距離設(shè)定為2 m的時(shí)候,這兩種控制器對(duì)小車位移的控制都出現(xiàn)了不同程度的超調(diào),OSMC對(duì)小車位移的超調(diào)量最大值約為0.65 m,并且位移殘余誤差約0.1 m;而HSMC對(duì)小車位移的超調(diào)量約為0.2 m,并在12 s就平穩(wěn)到達(dá)目標(biāo)位置,位移殘余誤差約0.025 m,這說明了HSMC對(duì)小車運(yùn)動(dòng)控制效果好,穩(wěn)定誤差小。

橋式起重機(jī)吊鉤擺角控制如圖3所示。

圖3 橋式起重機(jī)吊鉤擺角

橋式起重機(jī)吊重?cái)[角控制如圖4所示。

圖4 橋式起重機(jī)吊重?cái)[角

從圖3和圖4可以看出:OSMC對(duì)吊鉤和分布式質(zhì)量吊重的擺動(dòng)抑制響應(yīng)較慢,約30 s到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài);HSMC對(duì)吊鉤和分布式質(zhì)量吊重的擺動(dòng)變化響應(yīng)迅速,在12 s實(shí)現(xiàn)對(duì)分布式質(zhì)量吊重?cái)[動(dòng)抑制目的。

3.2 滑?？刂破黥敯粜苑治?/h3>

保持其他參數(shù)不變時(shí),筆者將橋式起重機(jī)參數(shù)值l1、l2、mh、mp分別增加10%、20%和30%,進(jìn)行OSMC和HSMC魯棒性仿真研究。

控制器的魯棒性仿真參數(shù)如表2所示。

表2 控制器魯棒性仿真參數(shù)

OSMC和HSMC的魯棒性仿真對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 控制器魯棒性仿真對(duì)比

從圖5可以看出:隨著吊鉤mh、分布式質(zhì)量吊重mp及吊索l1、l2數(shù)值的增大,筆者設(shè)計(jì)的OSMC和HSMC均具有較強(qiáng)的魯棒性,對(duì)吊鉤、分布式質(zhì)量吊重的擺動(dòng)表現(xiàn)出良好的抑制性能。

3.3 控制方法有效性對(duì)比

筆者將所設(shè)計(jì)的OSMC、HSMC與基于低通濾波器的時(shí)間最優(yōu)分布式質(zhì)量吊重減擺控制方法進(jìn)行仿真對(duì)比[18],以檢驗(yàn)OSMC和HSMC對(duì)橋式起重機(jī)吊重系統(tǒng)雙擺抑制的有效性。

保持小車質(zhì)量mt不變,其他物理量參數(shù)設(shè)置如下:mh=2.5 kg,mp=34.13 kg,l1=1.13 m,l2=1.12 m,lp=0.5 m。

控制方法有效性對(duì)比結(jié)果中,橋式起重機(jī)小車位移如圖6所示。

圖6 橋式起重機(jī)小車位移

從圖6可以看出:相較于OSMC,筆者設(shè)計(jì)的HSMC的響應(yīng)速度更快,超調(diào)量和穩(wěn)定誤差更小,橋式起重機(jī)小車的定位控制能力更好。

控制方法有效性對(duì)比結(jié)果中,橋式起重機(jī)吊鉤擺角控制如圖7所示。

圖7 橋式起重機(jī)吊鉤擺角

控制方法有效性對(duì)比結(jié)果中,橋式起重機(jī)吊重?cái)[角控制如圖8所示。

圖8 橋式起重機(jī)吊重?cái)[角

從圖7和圖8可以看出:筆者設(shè)計(jì)的HSMC可以在9 s內(nèi)完成吊鉤和分布式質(zhì)量吊重的搖擺抑制,并且吊鉤和吊重的擺動(dòng)穩(wěn)定誤差小。

此外,筆者發(fā)現(xiàn)在相同仿真環(huán)境下,文獻(xiàn)[17-18]設(shè)計(jì)的控制器對(duì)分布式質(zhì)量吊重在3°以下的搖擺控制性能優(yōu)越,而筆者設(shè)計(jì)的HSMC對(duì)吊鉤和分布式質(zhì)量吊重在5°～9°下的擺動(dòng)有著良好的控制效果,這為研究分布式質(zhì)量吊重在大角度(5°以上)下的減擺控制提供了參考。

最后,通過3.1和3.3節(jié)發(fā)現(xiàn),在增大分布式質(zhì)量吊重和吊鉤質(zhì)量比的同時(shí)減小一級(jí)擺繩與二級(jí)有效擺繩長(zhǎng)度比,可以提高控制器的減擺控制能力。

3.4 抗干擾性檢驗(yàn)

考慮到橋式起重機(jī)在作業(yè)中會(huì)面臨許多干擾因素,比如碰撞或是環(huán)境的風(fēng)擾動(dòng)等。因此,橋式起重機(jī)必須具備較強(qiáng)的抗干擾性[19-22]。

在第20 s,筆者對(duì)橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重系統(tǒng)施加一個(gè)階躍擾動(dòng)信號(hào),進(jìn)行系統(tǒng)的抗干擾性仿真檢驗(yàn),以驗(yàn)證該控制器的抗擾動(dòng)性能。

對(duì)比結(jié)果如圖9所示。

圖9 控制器抗擾動(dòng)仿真對(duì)比

從圖9可以看到:在對(duì)系統(tǒng)施加擾動(dòng)后,采用OSMC可在10 s內(nèi)完成對(duì)吊鉤、分布式質(zhì)量吊重的擺動(dòng)進(jìn)行消擺;采用HSMC可在5 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)抑制目的,并且穩(wěn)定誤差小,消擺效果更好。

4 結(jié)束語

針對(duì)橋式起重機(jī)吊裝分布式質(zhì)量吊重時(shí)的大角度擺動(dòng)抑制和小車定位精度控制問題,筆者考慮了橋式起重機(jī)系統(tǒng)自身和外界環(huán)境擾動(dòng)對(duì)分布式質(zhì)量吊重?cái)[動(dòng)控制的影響,設(shè)計(jì)了OSMC、HSMC,開展了吊重大角度擺動(dòng)抑制方面的數(shù)值仿真研究。

研究結(jié)論如下:

1)筆者設(shè)計(jì)的滑模控制方法可以保證小車快速、平穩(wěn)地到達(dá)預(yù)定位置,實(shí)現(xiàn)對(duì)吊鉤和分布式質(zhì)量吊重?cái)[動(dòng)的有效抑制目的;同時(shí),該方法對(duì)來自起重機(jī)系統(tǒng)外部的干擾表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性;

2)OSMC和HSMC在控制吊鉤、分布式質(zhì)量吊重?cái)[動(dòng)方面互相形成對(duì)比,突出了HSMC在分布式質(zhì)量吊重減擺控制過程中具有的消擺迅速、穩(wěn)定誤差小的優(yōu)勢(shì);并且筆者設(shè)計(jì)的HSMC實(shí)現(xiàn)了對(duì)吊鉤、分布式質(zhì)量吊重在5°～9°擺動(dòng)下的快速、高效抑制目的,說明HSMC在抑制分布式質(zhì)量吊重?fù)u擺方面具有優(yōu)勢(shì)。

在后續(xù)的研究中,筆者將搭建橋式起重機(jī)分布式質(zhì)量吊重雙擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái),以進(jìn)一步驗(yàn)證該控制方法的有效性,并探討它們?cè)诠こ虘?yīng)用上的可行性。