高舒芳,張 文,吳 凱

(1.山西工程科技職業(yè)大學(xué) 智能制造學(xué)院,山西 晉中 030619;2.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,山西 太原 030024;3.合肥通用機(jī)械研究院有限公司,安徽 合肥 230031)

0 引 言

工業(yè)機(jī)械臂是數(shù)智化時(shí)代先進(jìn)制造業(yè)中的關(guān)鍵執(zhí)行單元,其被廣泛應(yīng)用于汽車零部件制造[1-2]、高精密電子元器件制造[3]、光學(xué)元件精密制造[4]等領(lǐng)域。對機(jī)械臂進(jìn)行高精度、強(qiáng)魯棒性的運(yùn)動(dòng)控制是工業(yè)機(jī)械臂有效服役的關(guān)鍵前提。

工業(yè)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)包含了重力、科氏力、離心力、摩擦力和其他干擾項(xiàng),是一種高度非線性系統(tǒng),因此,機(jī)械臂的精確運(yùn)動(dòng)控制難度極大。過去幾十年來,國內(nèi)外學(xué)者廣泛開展了基于模型的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制方法研究[5-8],取得了良好的效果。然而,由于識(shí)別機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)存在很大難度,且模型參數(shù)的數(shù)量隨著機(jī)械臂自由度的增大而顯著增加,因而大多數(shù)基于模型的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制器都非常復(fù)雜,且對參數(shù)變化非常敏感。

為避免上述控制方法(基于模型控制)的缺陷,近年來國內(nèi)外學(xué)者廣泛研究了智能化的無模型機(jī)械臂控制方法[9]。

VO A T等人[10]設(shè)計(jì)了固定時(shí)間滑?？刂坡?同時(shí)結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),估計(jì)了機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性的不確定項(xiàng),其可以有效控制抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生。DENG Fu-wei等人[11]引入了無模型控制思想,建立了機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)超局部模型,并利用時(shí)延估計(jì)逼近超局部模型中的未知項(xiàng),最后設(shè)計(jì)了改進(jìn)的滑?？刂坡?在完成精確位姿控制的同時(shí)減小了控制器抖振。王建平等人[12]提出了一種基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制方法,進(jìn)行了二連桿機(jī)械臂無模型數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制,該方法具有高效、適應(yīng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

基于時(shí)延估計(jì)的控制(time-delayestimation-basedcontrol,TDEC/TDC)是一種能夠?qū)Υ嬖谕獠繑_動(dòng)和模型不確定性的非線性復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行有效控制的無模型方法,其具有簡單、高效和強(qiáng)魯棒性的優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)械臂控制領(lǐng)域[13-16]。TDEC方法基于樣本延遲信息對未知的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和模型不確定性進(jìn)行建模和消減。實(shí)際應(yīng)用證明,被控系統(tǒng)越復(fù)雜、不確定程度越高,TDEC方法的控制效果越顯著[17]。

然而,當(dāng)系統(tǒng)摩擦力、有效載荷或軌跡等存在突變時(shí),采用TDEC會(huì)存在較大估計(jì)誤差(即“TDE誤差”),因此,許多學(xué)者將輔助控制器集成到TDE控制器中,開展了廣泛的研究。

LEE J等人[18]提出了一種基于自適應(yīng)積分滑?？刂坪蚑DE的魯棒控制器,采用TDE來估計(jì)具有參數(shù)變化和干擾等不確定性的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng),并采用積分滑移面替代了傳統(tǒng)滑模控制中的到達(dá)相位和噪聲敏感切換動(dòng)作,控制效果魯棒性較強(qiáng)。KIM J等人[19]基于TDE方法設(shè)計(jì)了模糊PID控制器,并證明了在離散時(shí)域內(nèi),所提出的模糊PID控制器是TDE控制器的擴(kuò)展集,最后利用PUMA型機(jī)械臂驗(yàn)證了該控制器的有效性。WANG Yao-yao等人[20]將TDE與分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合,提出了一種新的非線性自適應(yīng)控制律,其具有穩(wěn)定性高、控制精度好的優(yōu)勢。

但是,現(xiàn)有的多數(shù)方法采用了傳統(tǒng)的TDEC技術(shù),因此,控制效果在很大程度上依然受到TDEC方法的限制,無法較好地平衡TDE誤差和控制輸入抖振現(xiàn)象,尤其是當(dāng)系統(tǒng)受到間歇性擾動(dòng)或存在較大不確定性時(shí),已有基于TDEC方法的控制策略容易出現(xiàn)嚴(yán)重問題。文獻(xiàn)[21]、[22]試圖通過在每個(gè)采樣點(diǎn)尋找適當(dāng)?shù)腡DEC控制增益來解決上述問題,但控制效果的不確定性依然較大。

基于TDEC方法的上述缺陷,筆者提出一種改進(jìn)的TDEC方法,即將模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器集成到經(jīng)典TDEC中,并融合滑?？刂?形成完整的多級控制策略框架,對機(jī)械臂輸入扭矩進(jìn)行魯棒控制;利用Lyapunov方法對改進(jìn)的TDEC控制策略的穩(wěn)定性進(jìn)行證明;最后,通過仿真分析和實(shí)驗(yàn)的方式,以此來驗(yàn)證該控制策略的有效性和優(yōu)越性。

1 多自由度機(jī)械臂TDEC方法

1.1 多自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

具有n自由度的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

(1)

(2)

上述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(1)滿足如下性質(zhì)和假設(shè)[24]。

(3)

式中:‖·‖為矩陣誘導(dǎo)范數(shù)運(yùn)算符。

(4)

(5)

式中:Fc為庫倫摩擦系數(shù);Fv為黏滯摩擦系數(shù);sgn(·)為符號函數(shù)。

1.2 機(jī)械臂TDEC方法基礎(chǔ)

(6)

式中:Nt為集總不確定性擾動(dòng)項(xiàng),表示為:

(7)

為消去式(6)中的Nt,將控制輸入力矩表示為:

(8)

上述誤差控制項(xiàng)ut如下所示:

(9)

式中:qd,t為機(jī)械臂關(guān)節(jié)參考軌跡(轉(zhuǎn)角)向量;et為軌跡跟蹤誤差向量;Kd,Kp為常系數(shù)對角陣,Kd=diag(kd,11,…,kd,nn),Kp=diag(kp,11,…,kp,nn)。

(10)

式中:L為采樣周期。

將式(8)和式(10)代入式(6),得到:

(11)

對于TDE誤差Γt,當(dāng)其滿足下式的穩(wěn)定性條件[16]1711-1712時(shí),有Γt<Γ*(Γ*為常向量),此時(shí)跟蹤誤差et收斂,公式如下:

(12)

式中:I為單位矩陣。

由此可見,基于TDE的控制方法總是存在TDE誤差與抖振之間的權(quán)衡。

基于TDE控制方法的權(quán)衡曲線示意圖如圖1所示。

圖1 基于TDE控制方法的權(quán)衡曲線示意圖

由圖1可知:由于采用了固定的控制增益,經(jīng)典TDEC的控制效果為權(quán)衡曲線上的固定點(diǎn);而自適應(yīng)TDEC(adaptive time-delay estimation based control,ATDEC)的控制效果動(dòng)態(tài)權(quán)衡TDE誤差和控制輸入抖振之間的相對值。

因此,筆者的目的是在已有方法的基礎(chǔ)上,通過引入模型不確定性自適應(yīng)估計(jì),同步降低TDE誤差和控制輸入抖振,從而實(shí)現(xiàn)更為優(yōu)良的基于TDEC的機(jī)械臂軌跡控制目的。

2 模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)方法

對工業(yè)機(jī)械臂進(jìn)行控制的目標(biāo)是使其關(guān)節(jié)實(shí)際軌跡能夠精確跟蹤期望的參考軌跡。

為設(shè)計(jì)一種能夠有效減小跟蹤誤差的自適應(yīng)控制方法,筆者引入了滑動(dòng)變量。對于滑動(dòng)變量st∈Rn,采用如下線性滑模面:

(13)

式中:Λ為正定對角陣,Λ=diag(Λ11,Λ22,…,Λnn),Λ決定了跟蹤誤差在滑模流形上收斂于0的速度。

2.1 模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器設(shè)計(jì)

參考式(10),針對Nt設(shè)計(jì)了如下基于延遲信號及其梯度的自適應(yīng)估計(jì)模型:

(14)

式中:Wt為梯度效應(yīng)調(diào)節(jié)系數(shù)矩陣,Wt=diag(W11,t,…,Wnn,t)∈Rn×n。

基于引入的滑模變量,Wt的元素由如下公式進(jìn)行自適應(yīng)計(jì)算:

(15)

綜合式(8)、式(13)及式(14),給出如下輸入力矩的控制律:

(16)

式中:Ks為開關(guān)增益矩陣,且Ks=diag(ks,11,…,ks,nn)。

將式(16)代入式(6),得到如下所示的誤差動(dòng)力學(xué)方程:

(17)

與經(jīng)典的TDEC相同,該控制方案的第一輔助控制器起到了穩(wěn)定名義模型式(6)的作用,而第二輔助控制器則起到進(jìn)一步抑制殘余誤差、穩(wěn)定控制效果的作用。

此外,因?yàn)門DE控制器相互獨(dú)立,所以模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器能夠進(jìn)一步集成到自適應(yīng)TDEC方法中,形成更為有效的控制策略。

最后,雖然改進(jìn)的TDEC控制方法依然在TDE誤差與控制輸入抖振現(xiàn)象之間進(jìn)行權(quán)衡,但權(quán)衡曲線相較于基于經(jīng)典TDEC方法更低。

改進(jìn)的TDEC控制算法整體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的TDEC控制算法整體結(jié)構(gòu)

2.2 穩(wěn)定性分析

筆者為說明改進(jìn)的TDEC控制方法的穩(wěn)定性,考慮如下的Lyapunov函數(shù):

(18)

對上式取時(shí)間導(dǎo)數(shù),并將式(17)代入,可得出:

(19)

首先,根據(jù)式(9)和式(11),TDE誤差Γt可以改寫為:

(20)

根據(jù)文獻(xiàn)[25]中的方法,關(guān)于Γt的閉環(huán)動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

(21)

其中:

(22)

因此,當(dāng)時(shí)延L足夠小時(shí),上述η1,t和η2,t為有界量。結(jié)合條件式(12),可以得出TDE誤差Γt有界。

(23)

因此,可以得出:

(24)

由上述過程可以看出,TDE誤差Γt以及Wii,t均有界,此時(shí)有:

W+·Γ*

(25)

(26)

將開關(guān)增益ks,ii設(shè)置為:

(27)

則有:

(28)

(29)

綜上,對于非零si,t,Lyapunov函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)總為負(fù)。因此,當(dāng)式(12)和式(27)成立時(shí),可以保證閉環(huán)系統(tǒng)在滑模面st=0上漸近穩(wěn)定。此外,算法的調(diào)節(jié)參數(shù)γii決定了Lyapunov函數(shù)的收斂速度。

2.3 參數(shù)調(diào)節(jié)策略

針對改進(jìn)的TDEC控制方法,筆者設(shè)計(jì)了如下的參數(shù)調(diào)節(jié)策略:

步驟1。確定第一輔助控制器中的Λ,使下述特征方程具有所期望的極點(diǎn):

(30)

值得注意的是,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)理論,可以選擇式(30)中的兩個(gè)極點(diǎn),以獲得理想的上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量等;

步驟4。選擇式(16)中第二輔助控制器的ks,ii。由于ks,ii的取值同時(shí)影響跟蹤性能和抖振效應(yīng),而自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)在一定程度上保證了跟蹤性能,因此,可以選擇較小的ks,ii值以避免抖振。

3 仿真分析

筆者采用簡化版三連桿PUMA型機(jī)械臂[26]進(jìn)行了仿真分析。

仿真機(jī)械臂構(gòu)型及其參數(shù)如圖3所示。

圖3 仿真機(jī)械臂構(gòu)型及其參數(shù)

仿真機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)

仿真案例中給定的參考關(guān)節(jié)軌跡為qd,t=[sin(t),cos(t),0.8·sin(t)],采樣周期L為1 ms,仿真時(shí)間為30 s。

仿真分析在如下兩類條件下開展:

1)變頻條件。為證明改進(jìn)的TDEC算法的有效性,令參考軌跡頻率在12 s后增大為原值的二倍;

2)變載荷條件。利用前述變頻條件下的參考軌跡,在10 s～12 s之間對機(jī)械臂施加5 kg載荷。

為定量評價(jià)控制性能和抖振,筆者計(jì)算了跟蹤誤差的均方根值(root mean square value of error,RMSE)和測量能耗的平方值積分(integral square value,ISV)。其中ISV的計(jì)算公式為:

(31)

式中:T為計(jì)算時(shí)間。

為節(jié)省篇幅,此處筆者僅針對末端關(guān)節(jié)的跟蹤誤差和抖振情況進(jìn)行分析。

各方法對于末端關(guān)節(jié)控制的跟蹤誤差對比曲線如圖4所示。

圖4 各方法對于末端關(guān)節(jié)控制的跟蹤誤差對比曲線

仿真分析中,各方法的RMSE和ISV定量對比結(jié)果(RMSE/ISV)如表2所示。

表2 仿真分析中各方法的RMSE和ISV定量對比結(jié)果(RMSE/ISV)

由圖4及表2可以看出:改進(jìn)的TDEC算法不僅優(yōu)于經(jīng)典的TDEC方法,而且控制輸入抖振也顯著降低。同時(shí),即使參考軌跡變化頻率或有效載荷發(fā)生變化,在不失魯棒性的情況下,改進(jìn)的TDEC算法依然可以獲得較小的跟蹤誤差。此外,與AGDTDC方法相比,集成了模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器的改進(jìn)AGDTDC獲得了更好的軌跡控制效果。因此,改進(jìn)的TDEC算法具有良好的靈活性。

然而,改進(jìn)的AGDTDC的輸入抖振較高,這是因?yàn)锳GDTDC在提高控制精度與抑制輸入抖振的權(quán)衡中選擇了前者。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)的TDEC算法的實(shí)用性,筆者采用六自由度Indy-7機(jī)械臂進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)[29]。

機(jī)械臂質(zhì)量為28 kg,其中關(guān)節(jié)1～3的電機(jī)齒輪比為1∶121,關(guān)節(jié)4～6的電機(jī)齒輪比為1∶101,角度測量采用16位編碼器,重復(fù)性為100 μm。

在不失一般性條件下,實(shí)驗(yàn)過程僅針對關(guān)節(jié)1～3進(jìn)行控制。為了施加扭矩,第一、第二軸和第三關(guān)節(jié)分別使用了兩臺(tái)PUCK驅(qū)動(dòng)器,驅(qū)動(dòng)器可產(chǎn)生的額定扭矩分別為117.73 N·m和47.5 N·m,最大峰值扭矩分別為431.97 N·m和193.27 N·m。采樣周期L為0.25 ms。控制算法在Ubuntu 12.04上采用C++編寫,計(jì)算出的信號通過CAN總線傳輸?shù)讲捎棉D(zhuǎn)矩模式控制的PUCK驅(qū)動(dòng)器中。同時(shí),實(shí)驗(yàn)在加載/零載兩種條件下進(jìn)行,實(shí)驗(yàn)時(shí)間為30 s。

實(shí)驗(yàn)采用的機(jī)械臂控制系統(tǒng)框圖如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)采用的機(jī)械臂控制系統(tǒng)框圖

Indy-7機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)及關(guān)節(jié)期望軌跡如圖6所示。

在未施加有效載荷的條件下,改進(jìn)的TDEC方法與經(jīng)典TDC的控制效果對比如圖7所示。

圖7 未施加有效載荷的條件下改進(jìn)的TDEC方法與經(jīng)典TDEC的控制效果對比

在施加有效載荷條件下,各方法的控制效果對比(以關(guān)節(jié)1為例)如圖8所示。

圖8 施加有效載荷下各方法的控制效果對比(以關(guān)節(jié)1為例)

實(shí)驗(yàn)中各方法控制誤差RMSE(未加載/加載)定量對比結(jié)果如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)中各方法控制誤差RMSE(未加載/加載)定量對比結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中各方法控制過程中(未加載/加載)測量計(jì)算的ISV定量對比結(jié)果如表4所示。

表4 實(shí)驗(yàn)中各方法控制過程中(未加載/加載)測量計(jì)算的ISV定量對比結(jié)果

由圖7、表3及表4可以看出:在未對機(jī)械臂施加有效載荷的條件下,改進(jìn)的TDEC方法的軌跡控制性能優(yōu)于經(jīng)典的TDEC及AGDTDC方法;通過對TDEC方法分別與TDC、AGDTDC兩種方法的數(shù)據(jù)對比分析,分別計(jì)算了三個(gè)關(guān)節(jié)軌跡控制精度提升的百分比,再求三個(gè)百分比的平均值,改進(jìn)TDEC方法相較于經(jīng)典TDEC、AGDTDC兩種方法對于三個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡控制精度平均分別提升了45.38%及36.40%。這是由于改進(jìn)的TDEC方法在經(jīng)典TDEC方法基礎(chǔ)上完成了更有效的模型不確定性估計(jì)任務(wù)。同時(shí),與已有AGDTDC方法相比,改進(jìn)的AGDTDC方法的軌跡控制性能更為優(yōu)良,且輸入抖振抑制效果也有所提升,說明了改進(jìn)的TDEC模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器的靈活性與有效性[30-31]。

5 結(jié)束語

筆者提出了一種基于模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)的改進(jìn)TDEC方法,并利用Lyapunov理論分析了該控制策略的穩(wěn)定性,最后通過仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)的TDEC方法的有效性和優(yōu)越性。

結(jié)論如下:

1)模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器充分考慮了機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型擾動(dòng)項(xiàng)的時(shí)延估計(jì)值及其梯度,將其與TDE控制器結(jié)合,能夠有效提升控制精度并減少控制輸入抖振現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在相應(yīng)降低控制輸入抖振程度的同時(shí),在機(jī)械臂三個(gè)關(guān)節(jié)未加載/加載的條件下,相較于經(jīng)典TDEC方法,改進(jìn)的TDEC控制策略的控制精度平均分別提高了45.38%及62.29%;相較于AGDTDC方法,該控制策略的控制精度平均分別提高了36.40%及23.31%;

2)基于TDE的控制方法均不可避免地需要在控制精度與輸入抖振現(xiàn)象間進(jìn)行平衡;相較于經(jīng)典TDEC以及已有的AGDTDC方法,改進(jìn)的TDEC控制方法的平衡曲線更低;

3)改進(jìn)的TDEC模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)器與TDE控制器相對獨(dú)立,能夠有效地與已有自適應(yīng)TDC方法相結(jié)合,并取得更為良好的控制效果。

在后續(xù)研究中,筆者將圍繞改進(jìn)的TDEC模型不確定性自適應(yīng)估計(jì)方法與其他控制技術(shù)相結(jié)合,為高度不連續(xù)、非線性系統(tǒng)提供更為有效的控制方案。