林梅彬

(福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通工程學(xué)院,福建 福州 350108)

0 引 言

由于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有傳動(dòng)比穩(wěn)定、傳遞可靠等優(yōu)點(diǎn),因而廣泛應(yīng)用于機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)中。雖然齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具備以上優(yōu)點(diǎn),但同時(shí)也帶來(lái)了振動(dòng)與噪聲等相關(guān)問(wèn)題,由于系統(tǒng)中包含多種非線性因素,因而其動(dòng)力學(xué)特性十分復(fù)雜。

此前很多學(xué)者對(duì)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究,在這些研究中,以KAHRAMAN A等人[1]建立的單自由度齒輪非線性數(shù)學(xué)模型至今仍被眾多學(xué)者作為基礎(chǔ)研究模型。

田亞平等人[2]以該研究模型為基礎(chǔ),研究了間隙與頻率耦合作用下的單級(jí)齒輪的分岔特性和振動(dòng)特性。HE S等人[3]建立了多自由度齒輪非線性系統(tǒng)模型,分析了滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。劉榮菊等人[4]建立了6自由度的齒輪非線性系統(tǒng)模型,研究了該系統(tǒng)的分岔特性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)。杜文輝[5]在分析得到單自由度齒輪非線性系統(tǒng)存在多重解的基礎(chǔ)上,建立了多自由度含間隙的齒輪彎扭耦合振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,重點(diǎn)研究了其分岔類型。章菊等人[6]在基于Hertz接觸理論和分形理論的基礎(chǔ)上,建立了減速器齒輪副非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,研究了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的條件。宋強(qiáng)等人[7]建立了兩檔變速器的斜齒輪副動(dòng)力學(xué)模型,分析了其相圖與分岔圖特性。董長(zhǎng)斌[8]建立了橢圓齒輪副非線性系統(tǒng)模型,揭示了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)橢圓齒輪系統(tǒng)通過(guò)混沌道路的影響規(guī)律。張顥秦等人[9]研究了齒面摩擦對(duì)多自由度齒輪系統(tǒng)幅頻特性的影響。

綜上所述,齒輪非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型研究較多。在這些研究中,為求解方便,研究學(xué)者通常會(huì)對(duì)非線性因素函數(shù)進(jìn)行擬合處理[10-13]。例如,一般采用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式對(duì)齒輪的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行擬合,級(jí)數(shù)越大,擬合效果越好,但在求解中往往采用一階傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式進(jìn)行計(jì)算[14-16],這樣處理有利于模型的快速求解。針對(duì)時(shí)變嚙合剛度擬合階次的選取問(wèn)題,萬(wàn)志國(guó)等人[17]研究了不同傅里葉階次擬合的時(shí)變嚙合剛度對(duì)直齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響,為時(shí)變嚙合剛度擬合階次的選取提供了理論基礎(chǔ)。PARK C L[18]研究了不同軸承的時(shí)變嚙合剛度,并進(jìn)行了一階展開(kāi),對(duì)比分析了齒輪在不同齒側(cè)間隙初始條件下的動(dòng)態(tài)嚙合力的情況。

為避免模型因?yàn)榘喾N間隙非線性函數(shù)而導(dǎo)致系統(tǒng)求解困難的問(wèn)題,在求解包含多種間隙條件下的齒輪非線性系統(tǒng)時(shí),研究學(xué)者通常會(huì)對(duì)間隙非線性函數(shù)進(jìn)行階次擬合;但在這些研究中,沒(méi)有文獻(xiàn)研究間隙非線性擬合函數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,特別是多種非線性因素疊加的強(qiáng)非線性系統(tǒng),其采用擬合處理方法雖然能大大降低模型求解時(shí)間,避免求解程序進(jìn)入死循環(huán),但沒(méi)有文獻(xiàn)研究間隙非線性擬合函數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響。

因此,為建立更合理的齒輪系統(tǒng)模型,有必要研究間隙非線性擬合函數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響,使模型更接近真實(shí)系統(tǒng)。

筆者將斜齒輪系統(tǒng)作為研究對(duì)象,建立考慮齒側(cè)間隙的齒輪非線性系統(tǒng)模型,仿真分析不同齒側(cè)間隙擬合階次對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng),根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果探究嚙合階次的選取問(wèn)題。

1 齒輪副數(shù)學(xué)模型

斜齒輪非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 斜齒輪非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

筆者采用集中質(zhì)量法[19-20],用x、y、z三向的阻尼和剛度來(lái)模擬軸承接觸,其數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式如下所示:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:xi,yi,zi為齒輪中心沿徑向x,徑向y,軸向z方向的位移,i=1,2;θiy,θiz為扭轉(zhuǎn)與軸擺的角位移,i=1,2;Ri為基圓半徑,i=1,2;mi為齒輪質(zhì)量,i=1,2;Ii為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,i=1,2;cij為軸承支撐阻尼,i=1,2;j=x,y,z;kij為軸承支撐剛度,i=1,2;j=x,y,z;ciθy為齒輪扭擺阻尼,i=1,2;kiθy為齒輪扭擺剛度,i=1,2;T1為驅(qū)動(dòng)扭矩;T2為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

Fx,Fy,Fz分別表示x,y,z方向的動(dòng)態(tài)嚙合力,其數(shù)學(xué)表達(dá)式定義為:

(11)

(12)

(13)

式中:kmx,kmy,kmz為嚙合剛度沿x、y、z方向的剛度分量。

x3,y3,z3的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義為:

x3=x1-x2-(y1+θ1zR1+y2-θ2zR2)tanαt-ex

(14)

y3=y1-y2+θ1zR1+θ2zR2-ey

(15)

z3=z1-z2-(y1+θ1zR1-y2+θ2zR2)tanβ-ez

(16)

式中:ex,ey,ez為傳遞誤差沿x、y、z方向的誤差分量。

取無(wú)量綱時(shí)間τ=t·ωn,得到無(wú)量綱化方程:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

其中:

齒側(cè)間隙非線性函數(shù)經(jīng)過(guò)無(wú)量綱處理后的表達(dá)式如下:

(27)

筆者對(duì)間隙非線性函數(shù)采用線性擬合的方法進(jìn)行處理,其線性擬合函數(shù)表達(dá)式為:y=∑p(i)xi(i=0,1,2…n),其中,p(i)為擬合系數(shù),n為擬合階次。

不同階次擬合的間隙非線性函數(shù)如圖2所示。

圖2 不同階次的間隙非線性函數(shù)

圖2中,間隙非線性函數(shù)擬合階次選取既要滿足[-1,1]之間的函數(shù)值與原函數(shù)值誤差較小,也要保證函數(shù)值在左右兩邊與原函數(shù)接近。

筆者選取間隙非線性擬合階次分別為4階和8階,首先是因?yàn)楫?dāng)間隙非線性函數(shù)取低階(階次小于4)和高階(階次等于9)時(shí),在p<-3與p>3之間的函數(shù)值較原函數(shù)值誤差較大。其次,從全域來(lái)看,8階擬合效果遠(yuǎn)比階次5～7階擬合效果好。

2 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性

筆者采用Runge-Kutta數(shù)值積分法,對(duì)齒輪系統(tǒng)無(wú)量綱模型進(jìn)行求解,求解的齒輪系統(tǒng)模型參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪系統(tǒng)參數(shù)

2.1 幅頻響應(yīng)曲線(x向)

在不考慮傳遞誤差的情況下,筆者取時(shí)變嚙合剛度為一階傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

齒輪系統(tǒng)x方向的幅值和頻率比響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 齒輪系統(tǒng)x方向的幅值-頻率比響應(yīng)曲線

由圖3可得,齒輪系統(tǒng)的固有頻率比在0.17附近,8階擬合與無(wú)擬合的非線性函數(shù)的固有頻率比基本一致,4階擬合非線性所引起的固有頻率比值略小,在ω/ωn=0.86,0.11附近出現(xiàn)諧波共振,其頻率比大小與時(shí)變嚙合剛度有關(guān)。在固有頻率比附近,4階擬合非線性函數(shù)導(dǎo)致的幅值變化很大,與8階次擬合非線性函數(shù)所引起的共振幅值差別很大。

2.2 擬合階次的影響(x向)

筆者接下來(lái)對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。

齒輪系統(tǒng)x方向的時(shí)域和頻域圖如圖4所示。

圖4 齒輪系統(tǒng)x方向的時(shí)域和頻域圖

圖4(a)中,在頻率比較低時(shí),齒輪嚙合時(shí)間充分,其波形圖基本一致。在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間內(nèi),齒輪處于正常的常嚙合狀態(tài),系統(tǒng)完全處在第Ⅰ級(jí)剛度范圍。非線性函數(shù)擬合階次的不同并沒(méi)有改變齒輪的嚙合動(dòng)態(tài)過(guò)程,8階擬合非線性函數(shù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線(后續(xù)簡(jiǎn)稱8階擬合響應(yīng)曲線)與無(wú)擬合狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)函數(shù)曲線的波形基本相同,而4階擬合非線性函數(shù)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線(后續(xù)簡(jiǎn)稱4階擬合響應(yīng)曲線)相比之較低,其主要嚙合無(wú)量綱頻率處于齒輪嚙合基頻(f=0.009 1)以及嚙合基頻的整數(shù)倍。

圖4(b)～圖4(d)中,8階擬合非線性函數(shù)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線與無(wú)擬合狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)函數(shù)曲線的波形基本相同,4階擬合非線性函數(shù)的動(dòng)態(tài)相應(yīng)曲線與另外兩條響應(yīng)曲線差距較大;但是由于頻率比的增大,4階間隙非線性函數(shù)值在無(wú)擬合間隙函數(shù)p=1附近的誤差較大,其作用于系統(tǒng)具體表現(xiàn)為:當(dāng)頻率增加時(shí),將提前改變齒面接觸狀態(tài),提前將系統(tǒng)進(jìn)入到單邊沖擊的狀態(tài),且其所引起的共振振幅接近1倍于無(wú)擬合和8階擬合的共振振幅。由圖4(a)～圖4(d)的頻域圖可得:不同階次下的嚙合頻率差距不大。

以上結(jié)果表明:在齒輪系統(tǒng)x向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面,8階擬合響應(yīng)曲線與4階嚙合響應(yīng)曲線響應(yīng)重合度不高。8階擬合響應(yīng)曲線與無(wú)擬合響應(yīng)曲線重合度基本一致。4階擬合的間隙非線性函數(shù)在頻率比增大的情況下,會(huì)提前改變齒面接觸狀態(tài),且共振振幅增大1倍。間隙非線性擬合函數(shù)對(duì)嚙合頻率的影響很小。

2.3 幅頻響應(yīng)曲線(y向)

齒輪系統(tǒng)y方向的幅值和頻率比響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 齒輪系統(tǒng)y方向的幅值-頻率比響應(yīng)曲線

由圖5可得:齒輪系統(tǒng)的固有頻率比在0.17附近;在固有頻率比附近,4階擬合非線性函數(shù)導(dǎo)致的幅值變化很大,與8階次擬合非線性函數(shù)所引起的共振幅值差別很大。

2.4 擬合階次的影響(y向)

隨著頻率比的增大,齒輪系統(tǒng)y1向波形圖如圖6所示。

圖6 齒輪系統(tǒng)y方向的時(shí)域和頻域圖

由圖6可得:4階擬合響應(yīng)曲線在頻率比較低的情況下的響應(yīng)波形基本重合,在頻率比增大的情況下,波形曲線變化接近一致,但振動(dòng)更劇烈,其齒輪嚙合狀態(tài)在固有頻率前始終處于第Ⅱ級(jí)剛度范圍。無(wú)論頻率比為多大,4階擬合響應(yīng)曲線嚙合基頻處的能量都大于另外兩條響應(yīng)曲線嚙合基頻處的能量,4階擬合響應(yīng)將提前進(jìn)入共振狀態(tài),此時(shí)齒輪進(jìn)入單邊沖擊狀態(tài),占主導(dǎo)的嚙合頻率為嚙合基頻(f=0.027 3),基頻處的幅值很大。

以上結(jié)果表明:在齒輪系統(tǒng)y向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面,與8階擬合動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線相比,4階擬合動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線x向重合度較高,同樣存在提前進(jìn)入單邊沖擊的嚙合狀態(tài)現(xiàn)象,且嚙合基頻處在全局時(shí)刻的能量始終更大。

由齒輪系統(tǒng)在x、y向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可得到:4階擬合動(dòng)態(tài)響應(yīng)振動(dòng)在接近固有頻率比附近更為劇烈,振幅分別增大1倍和1/3倍。這很大程度上是因?yàn)樵谡駝?dòng)量增大時(shí),4階擬合動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的斜率比8階擬合動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的斜率要大。隨著頻率比的增大,振動(dòng)量增大。

2.5 幅頻響應(yīng)曲線(z向)

系統(tǒng)響應(yīng)z方向的幅值和頻率比響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 齒輪系統(tǒng)z方向的幅值-頻率比響應(yīng)曲線

由圖7可得:不同階次擬合幅值響應(yīng)曲線差別很大。無(wú)擬合狀態(tài)與8階擬合的幅值響應(yīng)曲線在低頻率比的情況下,其幅值基本為0。4階擬合幅值響應(yīng)曲線與8階擬合幅值響應(yīng)曲線出現(xiàn)共振的頻率基本接近。

對(duì)于彎-扭-軸-擺耦合的齒輪非線性系統(tǒng)模型,往往需要考慮齒輪的軸向振動(dòng),但無(wú)擬合狀態(tài)下的幅值響應(yīng)曲線為0,不符合實(shí)際情況,在需要關(guān)注齒輪軸向振動(dòng)且包含多種間隙非線性的場(chǎng)合下,若對(duì)齒側(cè)間隙做無(wú)擬合處理,一方面會(huì)造成計(jì)算困難,另一方面會(huì)造成其與實(shí)際系統(tǒng)差距較大。

2.6 擬合階次的有影響(z向)

齒輪系統(tǒng)z1方向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖如圖8所示。

圖8 齒輪系統(tǒng)z方向的時(shí)域和頻域圖

由圖8可得:不同處理方式下的齒輪系統(tǒng)z方向動(dòng)態(tài)響應(yīng)差別很大。齒輪系統(tǒng)的嚙合方向?yàn)閥向,z向并不是運(yùn)動(dòng)的主方向,齒輪系統(tǒng)在z方向的運(yùn)動(dòng)方式多表現(xiàn)為自由振動(dòng)。

由于z向所引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)差別很大,在分析時(shí),應(yīng)選取接近實(shí)際齒輪系統(tǒng)z向動(dòng)態(tài)響應(yīng)的嚙合階次進(jìn)行分析處理。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

從理論分析可知,間隙非線性函數(shù)在不同處理方式下對(duì)齒輪系統(tǒng)z方向的影響最大。因此,筆者采用了與理論參數(shù)一致的斜齒輪副進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。

為方便檢測(cè),筆者采用百分表對(duì)實(shí)驗(yàn)中的齒側(cè)間隙進(jìn)行簡(jiǎn)易測(cè)量。這里假設(shè)齒輪振動(dòng)對(duì)x、y、z三向到軸承座的衰減一致。

實(shí)驗(yàn)中布置的加速度傳感器如圖9所示。

圖9 傳感器布置圖

實(shí)驗(yàn)所選的傳感器型號(hào)為IEPE(CCLD)電壓加速度傳感器,頻率范圍為0.1 Hz～8 000 Hz;采集系統(tǒng)為丹麥B&K公司的PULSE振動(dòng)噪聲測(cè)試系統(tǒng)。

測(cè)點(diǎn)1～6振動(dòng)加速度均方根值如圖10所示。

圖10 測(cè)點(diǎn)1～6振動(dòng)加速度度均方根值測(cè)量

由圖10可得:1～6測(cè)點(diǎn)隨著轉(zhuǎn)速增大振動(dòng)加速度呈上升趨勢(shì),且齒輪系統(tǒng)z方向振動(dòng)加速度最小(測(cè)點(diǎn)2、5),這與理論分析是吻合的。隨著轉(zhuǎn)速的增加,齒輪系統(tǒng)z向振動(dòng)加速度將顯著低于x和y向,但由于z向振動(dòng)隨著轉(zhuǎn)速的增加也增大,因而對(duì)于高速運(yùn)轉(zhuǎn)的齒輪系統(tǒng),齒輪系統(tǒng)的z向振動(dòng)將不可忽視。

z向無(wú)量綱加速度均方根值如圖11所示。

圖11 無(wú)量綱加速度度均方根值z(mì)

仿真得到齒輪系統(tǒng)z1、z2的值基本一致,實(shí)驗(yàn)中的測(cè)點(diǎn)2、5分別為被動(dòng)齒輪z向和主動(dòng)齒輪z向的振動(dòng)加速度,實(shí)際測(cè)量的z向振動(dòng)加速度也十分接近。從仿真圖可知,在轉(zhuǎn)速更高時(shí),由于4階擬合處理一定程度上彌補(bǔ)了其他非線性因素的影響,因而出現(xiàn)了更高的振動(dòng),但在低轉(zhuǎn)速下數(shù)值偏小。

為了更好地預(yù)測(cè)實(shí)際齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)情況,筆者將圖11各曲線進(jìn)行1次線性擬合,得到各階擬合曲線的1次線性擬合對(duì)比圖,如圖12所示。

圖12 實(shí)驗(yàn)與仿真對(duì)比圖

從圖12可知:由于齒輪系統(tǒng)各種復(fù)雜非線性因素的影響,實(shí)際齒輪振動(dòng)將比仿真模型振動(dòng)更為劇烈。

顯然,對(duì)齒側(cè)間隙做無(wú)擬合處理很難彌補(bǔ)其他非線性因素對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響;采取8階嚙合非線性處理不僅可以降低模型的計(jì)算時(shí)間,也使其更接近于實(shí)際的齒輪系統(tǒng)。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)齒側(cè)間隙非線性函數(shù)擬合階次的選取問(wèn)題,筆者以斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例,對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了理論建模、仿真分析,并對(duì)實(shí)際齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。

首先,筆者建立了考慮軸向振動(dòng)的齒輪非線性系統(tǒng)模型;然后,采用了Runge-Kutta數(shù)值積分法對(duì)模型進(jìn)行了仿真分析;最后,對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)測(cè)試,并根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析。

研究結(jié)果表明:

1)理論分析表明,針對(duì)考慮軸向振動(dòng)的齒輪非線性系統(tǒng)模型,若對(duì)其齒側(cè)間隙做無(wú)擬合處理,一方面會(huì)造成計(jì)算困難,另一方面可能與實(shí)際系統(tǒng)差距較大。對(duì)擬合階次的選取以軸向振動(dòng)作為首要考慮的依據(jù);

2)4階擬合函數(shù)會(huì)提前改變齒面接觸狀態(tài),且在x和y向的振幅分別增大1倍和1/3倍。根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,在固有頻率附近,對(duì)齒側(cè)間隙進(jìn)行4階擬合處理能夠最大程度彌補(bǔ)其他非線性因素帶來(lái)的影響。在其他頻率范圍,對(duì)齒側(cè)間隙進(jìn)行8階擬合處理會(huì)更接近真實(shí)齒輪系統(tǒng);

3)建立了斜齒輪副非線性系統(tǒng)模型,對(duì)齒側(cè)間隙進(jìn)行了不同的處理,對(duì)比分析了不同處理方式對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,為間隙非線性函數(shù)的優(yōu)化設(shè)置提供理論依據(jù)。

齒輪非線性系統(tǒng)具有多種復(fù)雜的非線性因素,這些非線性因素對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有很大影響;因此,在后續(xù)工作中,筆者將對(duì)多種非線性因素?cái)M合方法及其選取問(wèn)題做進(jìn)一步研究。