張義彬,劉保國(guó),2*,劉彥旭,勵(lì)精為治

(1.河南工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 鄭州 450001;2.河南省超硬磨料磨削裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 鄭州 450001)

0 引 言

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)等大型復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件,在其設(shè)計(jì)、加工、制造、安裝和運(yùn)轉(zhuǎn)工作過程中普遍存在著不同因素導(dǎo)致的各種不確定性。比如,在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)啟動(dòng)過程時(shí),因?yàn)椴牧夏p導(dǎo)致幾何尺寸的不確定性[1-3],高溫工作環(huán)境導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承剛度的不確定性[4-5],外力干擾引起的載荷不確定性[6]等。

這些不確定性可以分為三類:1)系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)與幾何參數(shù)隨時(shí)間或環(huán)境的變化而產(chǎn)生的不確定性;2)外載荷的變異性引起的不確定性;3)模型簡(jiǎn)化引入的不確定性,即模型不確定性[7-8]。

在實(shí)際工程問題中,針對(duì)外載荷、支承剛度、節(jié)點(diǎn)質(zhì)量、偏心距、轉(zhuǎn)軸楊氏模量等參數(shù)不確定性,廣泛采用的方法有攝動(dòng)法[9]、多項(xiàng)式混沌展開[10-11]、廣義多項(xiàng)式法[12-13]、蒙特卡洛模擬[14]等。這些方法雖然適用于處理參數(shù)不確定性,但并不適合用于處理模型簡(jiǎn)化引入的模型不確定性(如將轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為沿轉(zhuǎn)軸軸線離散分布的集中質(zhì)量點(diǎn)、模型降階等)[15]。

為描述模型的不確定性,SOIZE C等人[16]提出了基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰姆菂?shù)方法,并將其用于處理結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模過程產(chǎn)生的模型不確定性,研究了正定質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的非參數(shù)隨機(jī)建模方法。WU H等人[17]基于最大熵原理和隨機(jī)矩陣?yán)碚?提出了一種非參數(shù)Riccati整體傳遞模型。MATNEY A等人[18]提出了新的Galerkin降階方法,從有限變形的熱彈性單元導(dǎo)出了一組響應(yīng)和溫度耦合的非線型微分方程組。曹文博等人[19]提出了一種基于正交降階模型和梯度優(yōu)化以加速穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)的收斂方法。楊少?zèng)_等人[20]對(duì)動(dòng)載荷作用下的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別進(jìn)行了研究,建立了反映結(jié)構(gòu)狀態(tài)的降階模型,以解決未知載荷作用下多自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析計(jì)算量大且難以收斂的問題。鄭伶華等人[21]針對(duì)高速飛行器機(jī)翼結(jié)構(gòu),采用POD分解和代理模型技術(shù),建立了氣動(dòng)噪聲的降階分析模型。

以上考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型不確定性的文獻(xiàn)都把計(jì)算模型的散度參數(shù)假設(shè)為已知范圍內(nèi)的數(shù)值[22],但SOIZE C等人[23]利用結(jié)構(gòu)有限階彈性模態(tài)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果,可對(duì)散度參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

筆者采用非參數(shù)建模方法和矩陣降階方法,構(gòu)建模型不確定轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)的不確定動(dòng)力學(xué)降階模型;提出利用低階臨界轉(zhuǎn)速及振動(dòng)數(shù)據(jù)對(duì)降階模型的散度參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),以期為結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不確定性建模、振動(dòng)響應(yīng)預(yù)測(cè)等研究提供參考。

1 不確定動(dòng)力學(xué)降階模型

1.1 確定性動(dòng)力學(xué)模型

典型雙圓盤轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)

圖1的轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)中,將支承處簡(jiǎn)化為支承剛度和阻尼,將其余單元處簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量,其輪盤處存在陀螺效應(yīng),則系統(tǒng)計(jì)算模型如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)計(jì)算模型

根據(jù)圖2所示的計(jì)算模型,可得其確定性動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型:

(1)

(2)

其中:

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 確定性動(dòng)力學(xué)降階模型

動(dòng)力學(xué)模型的降階能夠縮短系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的計(jì)算時(shí)間,其本質(zhì)是對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的自由度數(shù)進(jìn)行減縮。

式(1)所示動(dòng)力學(xué)模型對(duì)應(yīng)的齊次式如下:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

如果不計(jì)慣性力對(duì)副自由度的影響,則考慮自由振動(dòng)時(shí),式(11)可簡(jiǎn)化為:

(12)

由此可得副自由度位移向量為:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

綜合式(8)～式(20)可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)確定性動(dòng)力學(xué)降階模型為:

(21)

1.3 不確定動(dòng)力學(xué)降階模型

設(shè)Bd為n階滿秩實(shí)數(shù)矩陣,對(duì)應(yīng)的隨機(jī)矩陣記為Br,且Bd和Br滿足:

Bd=E(Br)

(22)

式中:E(Br)為求隨機(jī)矩陣Br的均值矩陣。

對(duì)矩陣Bd進(jìn)行極分解,則有:

Bd=H2U

(23)

式中:U為正交矩陣;H2為正定矩陣。

由于滿秩實(shí)數(shù)矩陣極分解的極因子矩陣是唯一存在的,因此可用左極分解的方法構(gòu)造隨機(jī)矩陣Br,即:

Br=HBrUBr

(24)

對(duì)Br進(jìn)行奇異值分解,可推導(dǎo)出矩陣HBr和UBr為:

(25)

根據(jù)式(23)～式(25),可將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不對(duì)稱剛度矩陣及阻尼矩陣表示為:

Kr=HKrUKr

(26)

式中:HKr為隨機(jī)矩陣。

Cr=HCrUCr

(27)

根據(jù)文獻(xiàn)[24]的非參數(shù)動(dòng)力學(xué)建模方法,式(26)中HKr為隨機(jī)矩陣,且滿足:

(28)

利用Hd和G的上三角因子矩陣可計(jì)算出HKr和HCr,再將結(jié)果代入式(26)和式(27)中,便得到不確定剛度矩陣Kr和不確定阻尼矩陣Cr:

(29)

(30)

(31)

2 模型散度參數(shù)辨識(shí)方法

在第1.3節(jié)中,筆者構(gòu)建了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不確定轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,但模型中的散度參數(shù)是未知的。

根據(jù)文獻(xiàn)[25]的方法,利用實(shí)驗(yàn)得到的振型矩陣Ψ和確定性動(dòng)力學(xué)模型的振型矩陣φ可對(duì)不確定動(dòng)力學(xué)降階模型中的散度參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

假設(shè)u為實(shí)驗(yàn)得到的廣義坐標(biāo)列向量,ud為確定性動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型的廣義坐標(biāo)列向量,則有:

Ψu=φud

(32)

(33)

(34)

3 辨識(shí)方法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)步驟

為了驗(yàn)證散度參數(shù)辨識(shí)方法的有效性,筆者在轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)

實(shí)驗(yàn)分為三個(gè)步驟:1)對(duì)圖3的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行確定性動(dòng)力學(xué)建模,并計(jì)算出其最低階臨界轉(zhuǎn)速和主振型;2)利用第2節(jié)的方法估算出散度參數(shù)的數(shù)值;3)采用第1節(jié)的方法建立的不確定系統(tǒng)非參數(shù)動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型,計(jì)算出3 800 r/min以內(nèi)的不平衡位移響應(yīng)結(jié)果,并將其和確定性動(dòng)力學(xué)模型所計(jì)算的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析。

轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)參數(shù)如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)參數(shù)

3.2 估算散度參數(shù)

利用確定性動(dòng)力學(xué)模型可以得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖,如圖4所示。

圖4 確定性動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型Campbell圖

由圖4可知,確定性系統(tǒng)的一階反、正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速分別為ωBc1=2 872 r/min和ωFc1=2 967 r/min。

圖5 確定性動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型的一階振型

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階振型如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階振型

S=(ψTψ)-1ψTφ

(35)

將矩陣S代入式(33)～式(34),估算出的散度參數(shù)為δM=0.018 4,δK=0.130 9。

3.3 散度參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

筆者將圖3所示的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)劃分為20個(gè)節(jié)點(diǎn),利用1.2節(jié)降階方法將節(jié)點(diǎn)數(shù)減縮為11個(gè),采用第1節(jié)的非參數(shù)動(dòng)力學(xué)降階計(jì)算模型和第3.2節(jié)的散度參數(shù)識(shí)別結(jié)果,預(yù)測(cè)在3 500 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)4個(gè)位置處的振動(dòng)位移響應(yīng)結(jié)果,對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較和分析。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與非參數(shù)不確定動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖7所示。

圖7 振動(dòng)響應(yīng)實(shí)測(cè)結(jié)果與非參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型預(yù)測(cè)的對(duì)比

圖7實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:在轉(zhuǎn)速范圍3 000 r/min內(nèi),實(shí)驗(yàn)測(cè)出的振動(dòng)響應(yīng)曲線、確定性計(jì)算模型和非參數(shù)不確定動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型所得到的振動(dòng)響應(yīng)曲線幾乎重合。但是在3 000 r/min～3 800 r/min轉(zhuǎn)速區(qū)間時(shí),非參數(shù)動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型的預(yù)測(cè)均值曲線相比確定性動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型更接近實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)曲線。

在轉(zhuǎn)速時(shí):

在位置1處,確定性和不確定性動(dòng)力學(xué)振動(dòng)響應(yīng)幅值分別為2.17×10-4m和1.55×10-4m,與實(shí)測(cè)結(jié)果1.72×10-4m相比分別相差26.47%和10.21%,與確定性模型相比,非參數(shù)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)際結(jié)果。

在位置2處,兩種計(jì)算模型的振動(dòng)響應(yīng)幅值分別為3.69×10-4m和2.67×10-4m,與實(shí)際結(jié)果2.96×10-4m相比分別相差24.66%和9.79%。

在位置3處,兩種計(jì)算模型的振動(dòng)響應(yīng)幅值分別為2.95×10-4m和2.11×10-4m,與實(shí)際結(jié)果2.39×10-4m相比分別相差23.43%和11.71%。

在位置4處,兩種計(jì)算模型的振動(dòng)響應(yīng)幅值分別為7.61×10-4m和5.45×10-4m,與實(shí)際結(jié)果6.22×10-4m相比分別相差22.34%和12.37%。

根據(jù)以上四個(gè)位置的振動(dòng)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)對(duì)比可知:非參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型的均值計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果更相近,表示第一節(jié)提出的模型比轉(zhuǎn)子系統(tǒng)確定性模型更合理;并且,在散度參數(shù)計(jì)算中得到的散度參數(shù)δM=0.018 4,δK=0.130 9也相對(duì)合理。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)不確定性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摵头菂?shù)動(dòng)力學(xué)建模方法,筆者構(gòu)建了模型不確定性動(dòng)力學(xué)降階計(jì)算模型;利用系統(tǒng)確定性模型的一階臨界轉(zhuǎn)速、振型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的散度參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí);并在轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)上對(duì)散度參數(shù)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

研究結(jié)果表明:

1)將非參數(shù)建模與矩陣極分解方法相融合,并進(jìn)行靜態(tài)矩陣降階,可以建立具有模型不確定性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型;

2)轉(zhuǎn)速在3 000 r/min范圍內(nèi)時(shí),由確定性動(dòng)力學(xué)模型和不確定動(dòng)力學(xué)模型得到的振動(dòng)響應(yīng)均與實(shí)際結(jié)果接近;轉(zhuǎn)速在3 000 r/min～3 800 r/min范圍時(shí),不確定動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型的均值計(jì)算結(jié)果比確定性動(dòng)力學(xué)模型更接近實(shí)際結(jié)果。表明在轉(zhuǎn)子模型中考慮模型不確定性更加合理。

在后續(xù)的研究工作中,筆者擬將動(dòng)態(tài)矩陣降階方法應(yīng)用于模型不確定性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中。