葉寒 ，高藝 ，劉軍 ，張軍 ，李莉 ，劉旭波 ，李詩(shī)晨 ，董高翔 ，姜樂(lè)付 ，郭俊輝 ，劉華

（1.南昌大學(xué) 先進(jìn)制造學(xué)院，江西 南昌 330009；2.江西省佳時(shí)特?cái)?shù)控有限公司，江西 南昌 330052）

近年來(lái)，隨著全球化與制造業(yè)的快速發(fā)展，加工零部件對(duì)高精密機(jī)床的加工精度與靜動(dòng)態(tài)特性的要求越來(lái)越高［1］.橫梁作為高精密機(jī)床的關(guān)鍵零部件之一，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理與否，很大程度上影響著機(jī)床整機(jī)的加工精度［2-4］.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)床關(guān)鍵零部件的靜動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了許多研究，如張偉華等［5］、邱自學(xué)等［6］以及劉政等［7］，優(yōu)化了機(jī)床的床身、滑枕以及立柱等關(guān)鍵零部件.Mahendrakumar 等［8］對(duì)機(jī)床床身進(jìn)行形狀優(yōu)化.Venugopal 等［9］設(shè)計(jì)了新型的機(jī)床底座.Xiao 等［10］對(duì)特定機(jī)床進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì).Ahmadi 等［11］將激振實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果進(jìn)行比對(duì).Xu 等［12］通過(guò)模態(tài)應(yīng)變能識(shí)別了某車(chē)床剛度薄弱位置.Yeh 等［13］、Min 等［14］、Diaz等［15］把固有頻率當(dāng)作狀態(tài)變量來(lái)進(jìn)行相關(guān)零件的優(yōu)化.

本文以某型小五軸高精密數(shù)控機(jī)床的橫梁為研究對(duì)象，對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析與驗(yàn)證，最后根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果與有限元仿真對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化.

1 結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性計(jì)算理論

在評(píng)估橫梁動(dòng)態(tài)性能時(shí)，固有頻率是一個(gè)很關(guān)鍵的因素.根據(jù)機(jī)械振動(dòng)相關(guān)的理論知識(shí)，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到的外部激勵(lì)與橫梁固有頻率相同或接近時(shí)，橫梁會(huì)產(chǎn)生比較大的振動(dòng)，影響加工精度［16］.獲得固有頻率的方法有計(jì)算模態(tài)分析和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析［17］.計(jì)算模態(tài)可以把任一連續(xù)結(jié)構(gòu)近似地看作是無(wú)限多個(gè)微剛體組成的，每個(gè)微剛體有6 個(gè)自由度，由此可推得這一結(jié)構(gòu)有無(wú)限個(gè)自由度.自由度數(shù)是決定結(jié)構(gòu)性質(zhì)矩陣維數(shù)的重要因素，因此也是決定固有頻率數(shù)量的重要因素［18-19］.測(cè)量實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)時(shí)的測(cè)點(diǎn)選擇與布置有著客觀條件的限制，如測(cè)量條件、測(cè)量工況以及有限的頻率范圍等，測(cè)試系統(tǒng)如加速度傳感器和數(shù)據(jù)采集動(dòng)態(tài)頻率等，都限制了可測(cè)的模態(tài)階數(shù)，因此實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的測(cè)點(diǎn)選擇有一定的任意性［20］.計(jì)算模態(tài)本質(zhì)上是對(duì)所研究的結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)方程的求解，求得的特征值即是所研究結(jié)構(gòu)的固有頻率.

不考慮阻尼的情況下，所研究結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為：

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；t為時(shí)間，為系統(tǒng)的加速度列向量；為系統(tǒng)的速度列向量.

對(duì)以上方程設(shè)一個(gè)特解：

式中：X（t）為系統(tǒng)的位移列向量；?為位移幅值矩陣；j為復(fù)數(shù)；ω為系統(tǒng)模態(tài)頻率；ejωt代表振動(dòng)形狀.

將特解代入式（1）可得

系統(tǒng)的模態(tài)頻率ω可從矩陣的行列式中得到.

實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)則通過(guò)測(cè)量結(jié)構(gòu)的輸入和輸出，由輸入輸出計(jì)算結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF），不測(cè)量結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度.

頻響函數(shù)的分母包含系統(tǒng)極點(diǎn)信息，也就是所研究結(jié)構(gòu)的固有頻率信息.理論上，從頻響函數(shù)中，可以得到所研究結(jié)構(gòu)的全部模態(tài)信息.頻響函數(shù)為：

式中：δ1為上殘余項(xiàng)；δ1為下殘余項(xiàng)；Qr為系統(tǒng)輸出響應(yīng)位置；Ψr為系統(tǒng)輸入響應(yīng)位置；λr為系統(tǒng)極點(diǎn).

式（4）分子部分的改變依賴于輸入與輸出，但是所研究結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)不變.這說(shuō)明僅一個(gè)測(cè)量點(diǎn)就可以測(cè)得所研究結(jié)構(gòu)的固有頻率.

從理論角度上講，計(jì)算模態(tài)采用的方法是對(duì)基本特征方程進(jìn)行特征值求解，獲得特征值（也就是模態(tài)頻率）；而實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)是通過(guò)輸入輸出點(diǎn)和頻響函數(shù)得到模態(tài)頻率.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)是對(duì)所分析的實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)量，只要不把測(cè)點(diǎn)設(shè)置在節(jié)點(diǎn)上，分析得到的模態(tài)參數(shù)是非常精確的；而計(jì)算模態(tài)會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的三維模型進(jìn)行合理簡(jiǎn)化.

本文以某型小五軸高精密數(shù)控機(jī)床橫梁為研究對(duì)象，以提高橫梁動(dòng)態(tài)性能為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合，優(yōu)化了有限元分析橫梁設(shè)計(jì)的薄弱部位，以改善橫梁的靜動(dòng)態(tài)性能.

2 橫梁的三維模型及計(jì)算模態(tài)

本文所研究的某型小五軸高精密數(shù)控機(jī)床，設(shè)計(jì)的主要目的是加工各種高精度零件，而由于橫梁設(shè)計(jì)不當(dāng)，過(guò)度追求輕量化，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)性能不足，機(jī)床加工精度不滿足要求.機(jī)床實(shí)物如圖1 所示，裝配圖如圖2 所示，機(jī)床橫梁的鑄件模型如圖3 所示，橫梁的三維數(shù)字模型如圖4所示.

圖1 機(jī)床實(shí)物圖Fig.1 The physical machine tool

圖2 機(jī)床裝配圖Fig.2 Machine tool assembly drawings

圖3 橫梁鑄件模型Fig.3 Beam casting model

圖4 橫梁三維數(shù)字模型Fig.4 3D digital model of the beam

在有限元分析軟件中計(jì)算所研究橫梁的固有頻率，設(shè)置橫梁材料為HT250，彈性模量E=1.175× 105MPa，泊松比μ=0.27，密度ρ=7.8×103kg/m3［21］，進(jìn)行橫梁在裝配約束下的計(jì)算仿真.

由振動(dòng)相關(guān)理論得，所研究橫梁的動(dòng)態(tài)特性主要受前面幾階固有頻率的影響［22］.而外界給橫梁的激勵(lì)頻率一般不是很高，所以為了避免所研究橫梁產(chǎn)生共振或是較大的振動(dòng)，一般對(duì)橫梁的前六階固有頻率進(jìn)行研究.本文所研究橫梁的前六階頻率如表1所示.

表1 橫梁的前六階固有頻率Tab.1 The first six natural frequencies of the beam

3 橫梁的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)

由于計(jì)算模態(tài)結(jié)果的精度受模型簡(jiǎn)化程度、網(wǎng)格質(zhì)量、邊界條件加載的準(zhǔn)確性以及有限元算法等因素的影響［23］，為了驗(yàn)證計(jì)算模態(tài)的準(zhǔn)確性，對(duì)該橫梁進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn).

使用印制電路板（Printed Circuit Board，PCB）力錘對(duì)裝配在機(jī)床上的的橫梁進(jìn)行激勵(lì).錘頭內(nèi)置的力傳感器和安裝在橫梁上的加速度傳感器同步記錄下瞬態(tài)激勵(lì)和被測(cè)對(duì)象的響應(yīng)［24］.經(jīng)學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)（Learning Management System，LMS）信號(hào)分析儀采集處理數(shù)據(jù)后傳輸?shù)接?jì)算機(jī)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)分析，獲取被測(cè)對(duì)象的模態(tài)頻率.

整個(gè)測(cè)試過(guò)程包含被測(cè)對(duì)象橫梁、PCB 力錘、LMS 信號(hào)分析儀等，試驗(yàn)流程如圖5 所示，試驗(yàn)原理如圖6所示，試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖7所示.

圖5 試驗(yàn)流程Fig.5 Trial process

圖6 試驗(yàn)原理Fig.6 Test principle

圖7 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.7 Test site

進(jìn)行相應(yīng)的測(cè)試后，得到了5 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表2所示.

表2 橫梁的測(cè)試頻率Tab.2 Test frequency of the beam

橫梁固有頻率實(shí)測(cè)與模擬對(duì)比如圖8 所示.可以看出，試驗(yàn)結(jié)果與有限元模擬結(jié)果基本擬合.兩者之間的最大誤差出現(xiàn)在第5階模態(tài)，誤差為5.76%.

圖8 橫梁固有頻率實(shí)測(cè)與模擬對(duì)比Fig.8 Measured and simulated comparison of the natural frequency of the beam

4 橫梁的外部激勵(lì)測(cè)試

機(jī)床主軸是掛在橫梁上的，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作為橫梁的激勵(lì)源之一，會(huì)引起橫梁振動(dòng).如果在某個(gè)轉(zhuǎn)速下，主軸出現(xiàn)振動(dòng)速度和振動(dòng)噪音突然增大的情況，可能是在此轉(zhuǎn)速下發(fā)生了橫梁振動(dòng).表3 是對(duì)主軸進(jìn)行振動(dòng)檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).在此次實(shí)驗(yàn)中，主軸拉力為（6 800±500）N，頂?shù)读繛椋?.5±0.1）mm，軸芯竄動(dòng)為（0.10±0.05）mm，在檢測(cè)相關(guān)參數(shù)之前主軸需先跑合，7 000 r/min 跑合30 min，10 000 r/min 跑合15 min，30 000 r/min跑合10 min，主軸變熱但不燙手，如主軸很熱，需停止運(yùn)轉(zhuǎn)，跑合結(jié)束后再進(jìn)行測(cè)試.

表3 主軸檢測(cè)數(shù)據(jù)Tab.3 Spindle inspection data

振動(dòng)速度和振動(dòng)噪音之間可能存在相關(guān)性，因?yàn)樗鼈兊南嚓P(guān)系數(shù)并不為零.根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出兩者的相關(guān)系數(shù)約為0.43，這表明它們之間存在一定的正相關(guān)關(guān)系.換句話說(shuō)，當(dāng)振動(dòng)速度增加時(shí)，振動(dòng)噪音也有可能會(huì)隨之增加.

對(duì)表3 數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，分析振動(dòng)速度與振動(dòng)噪音與主軸轉(zhuǎn)速的關(guān)系，并對(duì)所得散點(diǎn)圖進(jìn)行九項(xiàng)式曲線擬合.

擬合方程通用形式如下：

式中：ai為x的i次方的常數(shù)項(xiàng).

擬合后，轉(zhuǎn)速與振動(dòng)速度和振動(dòng)噪音的關(guān)系如圖9、圖10所示.

圖9 轉(zhuǎn)速與振動(dòng)速度關(guān)系Fig.9 The relationship between rotational speed and vibration velocity

圖10 轉(zhuǎn)速與振動(dòng)噪音關(guān)系Fig.10 The relationship between rotational speed and vibration noise

對(duì)于轉(zhuǎn)速與振動(dòng)速度之間的關(guān)系，圖9 表明隨著轉(zhuǎn)速的增加，振動(dòng)速度也隨之增加，但是呈現(xiàn)出一定的非線性趨勢(shì)，這意味著當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定程度后，振動(dòng)速度增加的速率會(huì)減緩，其本身甚至?xí)陆?對(duì)于轉(zhuǎn)速與振動(dòng)噪音之間的關(guān)系，圖10 表明隨著轉(zhuǎn)速的增加，振動(dòng)噪音的趨勢(shì)不太清晰.有些點(diǎn)呈現(xiàn)出振動(dòng)噪音隨著轉(zhuǎn)速增加而增大的趨勢(shì)，但是其他點(diǎn)則表明隨著轉(zhuǎn)速的增加，振動(dòng)噪音反而減小.

這可能是由于所研究機(jī)床的主軸在一定轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致橫梁產(chǎn)生共振，從而影響主軸的振動(dòng)速度與噪音.

對(duì)兩者進(jìn)行賦權(quán)處理，根據(jù)振動(dòng)速度占比為0.5，噪音占比為0.5 的權(quán)重分配，建立振動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo)方程.

式中：xi為第i個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)速度；yi為第i個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)噪音；zi為第i個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo).

計(jì)算得振動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的轉(zhuǎn)置矩陣為：

［0.019 905 074 0.023 049 311 0.023 168 014 0.023 144 274 0.022 946 069 0.025 820 879 0.048 066 841 0.037 667 947 0.036 330 195 0.034 928 401 0.036 235 233 0.031 728 402 0.037 486 303 0.040 123 708 0.039 474 432 0.043 972 982 0.041 501 762 0.039 157 524 0.043 988 442 0.030 921 223 0.028 917 634 0.028 671 948 0.029 590 651 0.032 219 775 0.032 893 892 0.033 058 975 0.033 399 623 0.034 974 781 0.034 547 451 0.032 108 251］

由以上數(shù)據(jù)可以看出，主軸轉(zhuǎn)速在6 000 r/min 時(shí)，振動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo)最大，因此選取5 000～7 000 r/min的轉(zhuǎn)速作為主軸振動(dòng)反常范圍.在此轉(zhuǎn)速范圍下，主軸給橫梁的外部頻率激勵(lì)為83～117 Hz.在這個(gè)頻率范圍下，橫梁可能產(chǎn)生了較大的振動(dòng).而實(shí)驗(yàn)測(cè)量的橫梁一階固有頻率為115 Hz，在83～117 Hz 頻率范圍內(nèi).

因此在后續(xù)橫梁的優(yōu)化中，需要提高一階固有頻率，使一階固有頻率遠(yuǎn)離83～117 Hz的頻率范圍.

5 橫梁的優(yōu)化

提高所研究橫梁的一階固有頻率可以有效改善動(dòng)態(tài)特性，這是提升整機(jī)精度的有效措施［25］.如果想要提升一階固有頻率，就需要合理增加橫梁質(zhì)量.該小五軸高精密數(shù)控機(jī)床在設(shè)計(jì)橫梁時(shí)，一味追求輕量化，導(dǎo)致橫梁剛性不足，根據(jù)工程師建議，需對(duì)橫梁進(jìn)行形狀優(yōu)化.在有限元軟件中，對(duì)橫梁僅受自重的情況進(jìn)行了分析，如圖11 所示.為避免計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，對(duì)橫梁的數(shù)字模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，忽略了某些非必要特征［26］，如倒角與圓角等.

圖11 橫梁在自重下變形云圖Fig.11 The relationship between rotational speed and vibration noise

由圖11 可以看出，橫梁僅在自重情況下，最大變形量就有5.504 3 μm，說(shuō)明橫梁抵抗變形的能力不足，剛性不夠，設(shè)計(jì)不合理.經(jīng)分析可知，橫梁的各處壁厚過(guò)小，底面頂面以及斜面開(kāi)槽過(guò)大等，需要對(duì)這些地方進(jìn)行形狀優(yōu)化.

原橫梁頂面、正面以及前端面壁厚為20 mm，斜面壁厚為15 mm，頂面開(kāi)槽長(zhǎng)度為171 mm，底面開(kāi)槽長(zhǎng)度為380 mm，斜面開(kāi)槽長(zhǎng)度為314 mm、寬度為197 mm 與312 mm.對(duì)原橫梁進(jìn)行形狀優(yōu)化后，改進(jìn)后橫梁頂面、正面、前端以及斜面面壁厚為40 mm，頂面開(kāi)槽長(zhǎng)度為140 mm，底面開(kāi)槽長(zhǎng)度為300 mm，斜面開(kāi)槽長(zhǎng)度為240 mm、寬度為149 mm與300 mm.

對(duì)改進(jìn)后橫梁僅受自重的情況進(jìn)行分析，如圖12所示.

圖12 改進(jìn)后的橫梁在自重下變形云圖Fig.12 Improved beam deforms cloud under its own gravity

由圖12 可以看出，改進(jìn)后的橫梁僅在自重情況下，最大變形量降為3.742 8 μm，下降了約32%，剛性得到一定提升，質(zhì)量也合理增大.在有限元軟件中計(jì)算改進(jìn)后橫梁的一階固有頻率為139 Hz，遠(yuǎn)離了83～117 Hz 的頻率范圍，相較于原有的固有頻率，增加了約20.870%.

6 結(jié)論

本文以某型小五軸高精密數(shù)控機(jī)床橫梁為研究對(duì)象，以提高橫梁動(dòng)態(tài)性能為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).首先對(duì)所研究橫梁數(shù)字模型進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，求解橫梁的固有頻率，然后采用錘擊法進(jìn)行固有頻率的實(shí)際測(cè)量，并把兩者進(jìn)行比對(duì).然后測(cè)量主軸在不同轉(zhuǎn)速下振動(dòng)速度和振動(dòng)噪音，通過(guò)賦權(quán)處理，建立振動(dòng)評(píng)價(jià)指標(biāo)方程，得到優(yōu)化目標(biāo)，最后對(duì)所研究橫梁進(jìn)行形狀優(yōu)化，研究結(jié)論如下.

1）實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元仿真結(jié)果差別不大，曲線基本擬合.兩者之間的最大誤差出現(xiàn)在第5 階模態(tài)，誤差為5.76%.

2）選取5 000～7 000 r/min 的轉(zhuǎn)速范圍，作為主軸振動(dòng)反常范圍.在此轉(zhuǎn)速范圍下，主軸給橫梁的外部頻率激勵(lì)為83～117 Hz.在這個(gè)頻率范圍下，橫梁可能產(chǎn)生了較大的振動(dòng).而實(shí)驗(yàn)測(cè)量的橫梁一階固有頻率為115 Hz，在83～117 Hz頻率范圍內(nèi).

3）改進(jìn)后的橫梁僅在自重情況下，最大變形量降為3.742 8 μm，下降了約32%，剛性得到一定提升，質(zhì)量也合理增大.通過(guò)有限元模擬得出改進(jìn)后橫梁的一階固有頻率為139 Hz，遠(yuǎn)離了83～117 Hz的頻率范圍，相較于原有的固有頻率，增加了約20.870%.

本文的研究過(guò)程對(duì)高精密機(jī)床關(guān)鍵零部件的動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化有一定的指導(dǎo)意義.