董海濤，張?？?，劉曉鳳

（1.黑龍江省水文水資源中心哈爾濱分中心，黑龍江 哈爾濱 150010；2.黑龍江省水文水資源中心，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

水文數(shù)據(jù)是國家重要的基礎(chǔ)信息資源，在防汛抗旱、防災(zāi)減災(zāi)、水資源可持續(xù)利用、水利工程設(shè)計和社會經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展中有著重要的作用。流量數(shù)據(jù)是水文數(shù)據(jù)的重中之重，流量計算的一個重要參數(shù)就是河流斷面面積。實際的天然河道斷面非常復(fù)雜，斷面線也復(fù)雜多變，一般情況下，幾乎不可能直接利用其斷面曲線計算面積，所以通常是以折線代替曲線，并概化成梯形進行河道斷面面積的計算[1]，這也就導(dǎo)致了通過有限的測深垂線計算的斷面面積存在偏小或偏大的現(xiàn)象。當然，這種現(xiàn)象可通過增加測深垂線數(shù)量以滿足要求，但在實際當中會耗費大量的人力、物力。

為了提高斷面面積的計算精度，除了增加測深垂線，還可以從計算方法上去探尋解決辦法。本文以呼蘭河蘭西站為實際算例，引進對偶圖形[2]，通過外切多邊形進行面積計算，以提高斷面面積計算精度，減少面積誤差對流量的影響。

1 對偶圖形方法的簡介

在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算[2]。在射影平面上，把由點和直線所組成的一個圖形中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結(jié)果就得到另一個圖形，這兩個圖形稱為對偶圖形。

在河流斷面面積計算[3]中，水道河床斷面線是一條曲線，通常以有限的測點連接成一條折線來代替曲線（見圖1 實測線）。通過對偶計算，將此曲線通過測點的切線組成另一條折線以代替曲線（見圖1 切折線），這兩條折線就是對偶圖形。為方便起見，稱以實際測點連接的折線為點折線，以切線段組成的折線為切折線。

圖1 呼蘭河蘭西斷面切折線與實測點斷面圖

只用一條折線去代替曲線，且以有限的測點計算面積，面積偏大或偏小的概率非常大。以連續(xù)上凹斷面為例，常規(guī)面積計算是利用內(nèi)接多邊形從一側(cè)逼近曲線斷面面積的真實值。對偶面積計算方法則是利用外切多邊形，從另一側(cè)逼近曲線斷面面積。

2 斷面面積的計算

一般地，河流斷面線是一條曲線，有的呈現(xiàn)窄深形，有的呈現(xiàn)起伏變化的寬淺形，還有的是兩種或更多種疊加形等，斷面線的變化用起點距和水深/高程兩個變量以函數(shù)的形式表示。

2.1 點折線面積的計算

由于斷面線復(fù)雜多變，幾乎無法找到具體的函數(shù)表達式，這就使得通過曲線的形式來計算斷面面積的方式難以實現(xiàn)。在實際應(yīng)用中，只能通過有限的實測點數(shù)據(jù)繪制點折線代替曲線，并概化成梯形來計算河道斷面面積，這是目前面積計算普遍使用的方法。

2.2 切折線面積的計算

由于斷面線復(fù)雜、測點有限，在做實測點切線時，取實測點左右相鄰兩點的連線為切線方程的斜率，再代入切點得出切線方程[4]，具體方法如下。

根據(jù)已知起點距和相應(yīng)水深的實測數(shù)據(jù)，令一個斷面起點距即橫坐標x為x0，x1，x2，x3，……，xn-1，xn，xn+1，其對應(yīng)的縱坐標y（水深）為y0，y1，y2，y3，……，yn-1，yn，yn+1，則除兩個邊點（x0，y0）（xn+1，yn+1）外，建立其他各測點（xi，yi）處的切線方程：

式中：yi為第i點水深，m；xi為第i點起點距，m；f′(xi)為第i點處切線斜率。

利用拉格朗日中值定理，以曲線某一個點前、后相鄰的兩個點連線作為該點曲線切線的平行線，求得各點曲線的切線斜率ki：

式中：yi+1，yi-1分別為第i+1、第i-1 測點的起點距，m；xi+1，xi-1分別為第i+1、第i-1 的測點水深，m。

由式（2）和式（3）求各切線截距：

式中：hi為通過第i測點切線的截距，m。

由式（3）和式（4）計算出每條切線方程中的截距和斜率，就可以確定通過曲線上各個測點的切線方程。相鄰兩切線交點利用下列方程組求得：

因為兩岸水邊點僅有一點，無法計算出斜率，從而無法確定切線，故原水邊點仍作為切折線的水邊點，而過該點與相鄰切線的交點由以下方程求得：

由式（5）（6）（7）即可求得切折線的交點，從而得出切折線圖形。

3 方法的改進

對于連續(xù)上凹的水道斷面，利用相鄰切線交點求得起點距和水深能夠達到預(yù)期效果，而實際上，天然河流斷面曲線變化起伏不定、非常復(fù)雜，并非是一個連續(xù)上凹的曲線，且測點高低變化不均勻，使得相鄰兩切線相交不在兩個切點之內(nèi)，導(dǎo)致切折線雜亂無序（見圖1 切折線），利用切線相交無法得到預(yù)期效果，因而采用切線段的方式來取得切折線。取相鄰兩實測點起點距的平均值作為切折線的切線段端點的起點距，分別帶入兩實測點對應(yīng)的切線方程，得其相應(yīng)水深。由于相鄰切線段同一起點距的兩端點處水深不等，會出現(xiàn)兩個數(shù)值，致使切折線不相交，無法形成連續(xù)的斷面圖，采用將兩端點垂直連接的方法可以得到一個間斷式的切折線（見圖2 改進的切折線）。

4 面積計算實例

4.1 單次大斷面計算

運用改進的切折線方法，選取該站測深線間距不是均勻相等的測次斷面進行面積計算，并與點折線斷面面積計算值進行比較，其中，點折線計算結(jié)果為59.8 km2，切折線計算結(jié)果為60.3 km2，相對誤差為0.8%。

圖2 呼蘭河蘭西斷面改進的切折線與點折線圖

4.2 多次大斷面計算

選取該站暢流期共58 次流量斷面面積計算成果，并與原有斷面面積進行比較：相對誤差為正有8 次，占總測次的14.0%；相對誤差為負有5 次，占總測次的9.0%；相對誤差為零有45 次，占總測次的77.0%；最大相對誤差的絕對值不超1.0%，滿足斷面面積誤差限（±3.0%）的規(guī)定。從相對誤差為正的稍多于負的可以說明，該斷面線雖然起伏變化，但上凹比重稍大。

5 結(jié)語

文中引進了對偶圖形計算河流斷面面積，在同一斷面及相同測深垂線條件下，對偶面積計算方法較常規(guī)方法精度更高，可以減少面積誤差對流量的影響。在實際工作中，該方法能夠代替使用加倍測深垂線數(shù)的方式來檢驗測深垂線數(shù)目布設(shè)的合理性，從而減少日常工作量。