王 正 王偉民

(1.安徽省阜陽師范大學(xué)附屬中學(xué),安徽 阜陽 236037; 2.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽 阜陽 236652)

數(shù)理結(jié)合是解決中學(xué)物理問題的重要方法,也是提升學(xué)生物理核心素養(yǎng)的主要途徑.所以,采用數(shù)理結(jié)合的方法求解物理問題一直是高考物理的熱點問題.通過此類問題的解答,可以有效考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決相關(guān)物理問題的能力.

1 原題呈現(xiàn)

例1.(2023年高考物理海南卷第8題)如圖1所示,一光滑絕緣軌道水平放置,直徑上有A、B兩點,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B固定兩個帶電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,現(xiàn)有一個帶正電小球靜止于軌道內(nèi)側(cè)P點(小球可視為點電荷),已知AP∶BP=n∶1,試求Q1:Q2是多少

圖1 示意圖

(A) 2n2∶1. (B) 4n2∶1.

(C) 2n3∶1. (D) 4n3∶1.

這道題目是2023年高考物理海南卷單選題的最后一道題目,處于單選題版塊的壓軸位置.該題目插圖簡潔明了,內(nèi)容短小精干,雖然只有一百多字符,但卻把需要交代的物理情景敘述得清楚明白,不存在任何歧義或費解之處,體現(xiàn)了編者高超的編擬原創(chuàng)題目的水平.同時本題也是一道綜合性很強的題目,重點考查學(xué)生對庫侖力公式的掌握情況、矢量合成平行四邊形法則的應(yīng)用水平,以及綜合利用數(shù)學(xué)知識解決復(fù)雜物理問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思想.

2 題目分析及解析

帶正電小球受到固定于軌道直徑上A、B兩點兩個正電荷Q1和Q2的庫侖力為排斥力,小球能夠在光滑圓形軌道內(nèi)側(cè)P點保持靜止,說明它受到兩個庫侖力F1和F2的合力,不存在過P點圓的切線方向的分量,所以,兩個庫侖力合力作用線一定過軌道圓的圓心O,如圖2所示.設(shè)帶正電的小球的電荷量為q,則有

圖2 受力分析圖

所以本題的正確選項是選項(C).

能夠發(fā)現(xiàn),這道高考選擇題題設(shè)給出的用來對帶電小球施加壓力而與庫侖力平衡的光滑軌道,其形狀很特殊,是一個光滑圓形軌道,而圓有一個特性,那就是圓上各點的法線方向指向圖形上的同一個固定點——軌道圓的圓心,題設(shè)給出兩個位置固定點電荷到圓心的距離分別是兩個具體數(shù)據(jù)2 cm和4 cm.我們不禁要問,如果這道選擇題將圓形光滑軌道改換為其他形狀的光滑軌道,相關(guān)長度也不再是具體數(shù)據(jù),那么,類似問題還可以求解嗎?

如圖3所示,在光滑水平面內(nèi)A、B兩點固定兩個電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,MN是該水平面內(nèi)固定的一段光滑曲線軌道(包括光滑直線軌道——直線可視為曲率半徑無窮大的曲線),P是曲線軌道上的一點,直線CD是過P點曲線的切線,直線PO為過P點曲線的法線,該法線與AB的連線交于點O.設(shè)PA=n,PB=m,OA=r,OB=p,一個帶正電荷的可視為質(zhì)點的小球,受到Q1、Q2庫侖力的作用,如果剛好能夠靜止在光滑軌道上的P點,我們看下兩個固定位置點電荷的電荷量之比應(yīng)該滿足什么條件.

圖3 示意圖

設(shè)光滑軌道上靜止于P點帶正電小球受到Q1和Q2的庫侖力分別為F1和F2,這兩個力的合力為F合,設(shè)△PAO和△PBO的面積分別為S1和S2.則有

在F1、F2和F合組成的力矢量三角形△PEH中,由正弦定理可得

3 高考題目的變式及解析

3.1 物理公式與幾何關(guān)系結(jié)合進行求解

例2.(變式1)如圖4所示,Rt△ADC固定于光滑絕緣水平桌面上,∠A為直角三角形,B是AD邊上的一點,已知AC=24 cm,AD=32 cm,AB=25 cm,在A、B兩點固定兩個帶電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,沿DC邊固定一個光滑的直軌道,現(xiàn)有一個帶正電小球放在軌道DC的左下側(cè)(小球可視為點電荷),發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球位于DC的中點P時恰好可以保持靜止的平衡狀態(tài),試求Q1∶Q2是多少?

圖4 示意圖

帶正電小球受到Q1、Q2的庫侖力均為排斥力,它能夠靜止于光滑軌道CD的中點P,說明在P點小球受到兩個點電荷庫侖力合力的作用線,一定垂直于光滑直軌道CD.過P作PO⊥CD,交AD于O,如圖5所示,則直線PO為小球所受兩個點電荷庫侖力F1和F2合力的作用線.

圖5 受力分析圖

以上為主要運用圖形中的幾何關(guān)系并結(jié)合相關(guān)物理公式對問題進行的解析.下面,我們再將光滑軌道變換為用解析式表示的情形,看如何用解析方法對同類問題進行求解.

3.2 物理公式與解析法結(jié)合進行求解

圖6 示意圖

圖7 受力分析圖

例4.(變式3)如圖8所示,光滑絕緣水平桌面上固定一個光滑曲線絕緣軌道MN,在桌面平面內(nèi)建立的圖示坐標(biāo)系中軌道方程為y=ex,x軸上A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(-1,0)、B(2,0),在A、B兩點固定兩個帶電荷量分別為Q1、Q2的正電荷,現(xiàn)有一個帶正電小球放在軌道MN右下側(cè)(小球可視為點電荷),發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球位于軌道與y軸的交點P時可以保持靜止的平衡狀態(tài),試求Q1∶Q2是多少?

圖8 示意圖

圖9 位置分析圖

4 結(jié)語

2023年高考物理海南卷第8題,題目編者巧妙建立物理模型而編擬題目,該問題的求解將數(shù)理結(jié)合思想展示得淋漓盡致,雖然只是一道內(nèi)容簡短的選擇題,但卻綜合考查了學(xué)生對庫侖力公式、共點力合成法則等知識點的掌握情況,以及靈活運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力.改換題設(shè)給出的部分條件,可以得到與原高考題目物理背景相似的多個不同變式,通過對這些變式問題的深入剖析,進一步強化了我們對數(shù)理結(jié)合思想的認識,使我們在點電荷受庫侖力和光滑軌道壓力作用下保持平衡狀態(tài)這一特定的物理情形中,對相關(guān)問題的求解,有了整體性和全局性的把握.