張明碩 于 佳,2 黃致新 吳春曉,3

(1.華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430079; 2.華中科技大學(xué)附屬中學(xué),湖北 武漢 430074;3.成都市第七中學(xué),四川 成都 610041)

教材是學(xué)生獲取科學(xué)知識(shí)、掌握科學(xué)方法的直接來源,是教師提取教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計(jì)教學(xué)思路的重要基礎(chǔ).在面對(duì)教學(xué)中的疑難問題時(shí),綜合考量不同教材的內(nèi)容來設(shè)計(jì)教學(xué)過程,或許就能夠?qū)で蟮酵黄埔呻y問題的方法.因此,本文選取我國廣泛使用的人教版高中物理教材[1]以及日本物理教師幾乎人手一本的高中物理教材《川勝教授的中學(xué)物理教案》[2]為研究對(duì)象,以簡諧運(yùn)動(dòng)周期與機(jī)械波波速的計(jì)算問題為例,展開了對(duì)比研究,并提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

1 中日高中物理教材簡諧運(yùn)動(dòng)周期計(jì)算相關(guān)內(nèi)容的研究

1.1 中國教材簡諧運(yùn)動(dòng)周期計(jì)算的內(nèi)容梳理

在我國人教版教材中,涉及簡諧運(yùn)動(dòng)周期計(jì)算的內(nèi)容分布在選擇性必修第1冊(cè)“機(jī)械振動(dòng)”一章下的“簡諧運(yùn)動(dòng)的描述”和“單擺”兩節(jié).

在“簡諧運(yùn)動(dòng)的描述”一節(jié),教材首先給出了做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體的位移x與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系,即正弦函數(shù)關(guān)系x=Asin(ωt+φ).隨后給出了周期的定義,即做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間,并根據(jù)正弦函數(shù)的規(guī)律,相位(ωt+φ)在每增加2π的過程中,函數(shù)值x循環(huán)變化一次,計(jì)算[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π,解出ω=2π/T,可得T=2π/ω,其中ω叫作簡諧運(yùn)動(dòng)的“圓頻率”.在得到周期的計(jì)算方法之后,教材在“做一做”欄目給出了實(shí)驗(yàn)“測(cè)量小球振動(dòng)的周期”,定性地得出了結(jié)論,彈簧振子的振動(dòng)周期與其振幅無關(guān),并且說明所有簡諧運(yùn)動(dòng)的周期均與振幅無關(guān).

在“單擺”一節(jié),教材從回復(fù)力的角度證明了“在擺角很小的情況下單擺的運(yùn)動(dòng)可看成是簡諧運(yùn)動(dòng)”.

圖1 單擺的回復(fù)力

在數(shù)學(xué)教材中,[4]三角函數(shù)是利用圓來引入的.在簡諧運(yùn)動(dòng)中,ω叫作簡諧運(yùn)動(dòng)的“圓頻率”,大小不變;而在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中,ω表示角速度,完成一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間也可通過“T=2π/ω”進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生在此不禁會(huì)思考,為何簡諧運(yùn)動(dòng)周期的計(jì)算方法“T=2π/ω”在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中同樣適用,換言之,簡諧運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系呢?

在大學(xué)階段,可以利用簡諧運(yùn)動(dòng)的合成,得到結(jié)論“振動(dòng)方向垂直、振幅相等、頻率相等,相位差為π/2的兩簡諧運(yùn)動(dòng)合成后的結(jié)果為勻速圓周運(yùn)動(dòng)”,從而說明簡諧運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng).

那么在中學(xué)階段,如何論證勻速圓周運(yùn)動(dòng)與簡諧運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,又是否可以從勻速圓周運(yùn)動(dòng)求出簡諧運(yùn)動(dòng)周期的計(jì)算公式呢?

1.2 日本教材簡諧運(yùn)動(dòng)周期計(jì)算的內(nèi)容梳理

在日本教材《川勝教授的中學(xué)物理教案》中,涉及簡諧運(yùn)動(dòng)周期計(jì)算的內(nèi)容分布在第4章“振動(dòng)與碰撞”下的第42講“簡諧運(yùn)動(dòng)的周期”和第43講“各種各樣的簡諧運(yùn)動(dòng)”之中.

在“簡諧運(yùn)動(dòng)的周期”一講,教材根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,在數(shù)學(xué)上說明“簡諧運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的投影”,隨后從勻速圓周運(yùn)動(dòng)出發(fā),如圖2所示,展開了對(duì)簡諧運(yùn)動(dòng)周期公式的推導(dǎo).

圖2 簡諧運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

F為向心力,r為運(yùn)動(dòng)半徑,θ為相位.向心力大小為mω2r,質(zhì)點(diǎn)m在x軸上的投影相對(duì)于圓心O的位移x為rcosθ.

分析向心力在x軸方向上的分量,可得Fx=-mω2rcosθ,用常量K代替mω2,x代替rcosθ,則Fx=-Kx,負(fù)號(hào)表示向心力分量Fx方向與位移x方向相反.在回復(fù)力與位移的關(guān)系上,勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸方向上的投影與簡諧運(yùn)動(dòng)一致,向心力分量Fx扮演了回復(fù)力的角色,K則為回復(fù)力系數(shù).

在此需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào),正是“向心力分量Fx與位移x滿足做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體所受回復(fù)力與位移的特點(diǎn)”這一事實(shí),給 “簡諧運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的投影”這一數(shù)學(xué)結(jié)論提供了物理支撐.

2 中日高中物理教材機(jī)械波波速計(jì)算相關(guān)內(nèi)容的研究

2.1 中國教材機(jī)械波波速計(jì)算的內(nèi)容梳理

為了計(jì)算機(jī)械波波速,就先需要理解什么是機(jī)械波,知道波的形成過程.

人教版教材將波定義為振動(dòng)的傳播,而機(jī)械波是指機(jī)械振動(dòng)在繩、水、空氣等介質(zhì)中傳播而形成的波.

教材以繩上的橫波為例,展示了波的形成過程.設(shè)想把一條繩子分成一個(gè)個(gè)相連的質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)之間存在著彈性力.當(dāng)手握繩端上下振動(dòng)時(shí),繩端帶動(dòng)相鄰的質(zhì)點(diǎn)上下振動(dòng),這個(gè)質(zhì)點(diǎn)又帶動(dòng)更遠(yuǎn)一些的質(zhì)點(diǎn),以此類推繩子上的質(zhì)點(diǎn)都跟著振動(dòng)起來,繩端振動(dòng)的狀態(tài)也就沿著繩子這一介質(zhì)傳播開來,整體上形成了凹凸相間的波形.

結(jié)合具體的時(shí)刻分析,如圖3所示,質(zhì)點(diǎn)P0上下振動(dòng),依次牽動(dòng)其余質(zhì)點(diǎn)振動(dòng).在t=T/4時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)P0向上到達(dá)了最高點(diǎn),P2剛要開始運(yùn)動(dòng).質(zhì)點(diǎn)P0到達(dá)最高點(diǎn)后又開始下落,當(dāng)t=T/2時(shí),它又回到平衡位置,而這時(shí)P2剛剛到達(dá)最高點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)P4則剛要開始運(yùn)動(dòng),以此類推可以得到3T/4、T時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位置及波的形狀.

圖3 繩上橫波的形成

在對(duì)各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的分析中,其實(shí)已經(jīng)隱含了波傳播距離和傳播所需時(shí)間的信息.根據(jù)波形圖可知,在T時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)P0與P8的振動(dòng)狀態(tài)相同,都是即將向上振動(dòng),那么波長就是質(zhì)點(diǎn)P0與P8之間的距離.換言之,經(jīng)過一個(gè)周期T,P0的振動(dòng)狀態(tài)在繩上傳播了一個(gè)波長λ的距離到達(dá)了P8,波傳播的速度即為v=λ/T.隨后,教材說明“機(jī)械波在介質(zhì)中的傳播速度由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定”,在不同的介質(zhì)中,波速是不同的,并指出聲速還與溫度有關(guān).

通過以上梳理可見,人教版教材給出了波速的計(jì)算方法v=λ/T.關(guān)于波速的影響因素,教材指出聲波波速與溫度有關(guān),而對(duì)于其他類型的機(jī)械波的波速,教材則較為籠統(tǒng)地用“由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定”進(jìn)行了概括.

根據(jù)人教版教材的內(nèi)容展開教學(xué),學(xué)生能夠利用v=λ/T計(jì)算出波速,但也會(huì)疑惑波速的影響因素到底有哪些;知道“組成介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)之間有相互作用,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)會(huì)引起相鄰質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)”,所以可能會(huì)提出猜想,認(rèn)為波速與介質(zhì)上質(zhì)點(diǎn)間的相互作用也就是力有關(guān),但不能給出清晰的解釋,也難以推導(dǎo)出相關(guān)的波速公式.

關(guān)于機(jī)械波波速的影響因素,以圖3所示的繩上的簡諧波為例,根據(jù)大學(xué)階段的物理知識(shí),可利用簡諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程y(x,t)=Acosk(vt-x),分別求方程對(duì)時(shí)間t和對(duì)坐標(biāo)x的二階偏導(dǎo)數(shù),整理得到波動(dòng)方程

(1)

拉緊的繩上存在張力,結(jié)合牛頓第二定律與極限思想,[5]可以推導(dǎo)出波動(dòng)方程的另一種形式,即

(2)

其中F為繩上張力的大小,ρ為繩的線密度.

2.2 日本教材機(jī)械波波速計(jì)算的內(nèi)容梳理

日本教材也將波定義為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播,并指出波的傳播需要介質(zhì).關(guān)于波的產(chǎn)生機(jī)制,日本教材也是從介質(zhì)之間的相互作用展開論述的.如圖4所示,給予靜止的彈簧一個(gè)擾動(dòng),箭頭方向?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)所受回復(fù)力的方向,A點(diǎn)即將向下運(yùn)動(dòng),B點(diǎn)與C點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng),隨后帶動(dòng)D點(diǎn)與E點(diǎn)運(yùn)動(dòng),以此類推,各質(zhì)點(diǎn)依次運(yùn)動(dòng),也就形成了波.

圖4 彈簧上的擾動(dòng)

解釋了波的傳播過程之后,教材開始求解繩波的波速.如圖5所示,原本靜止的繩,繩的一端以一定的速度u向上運(yùn)動(dòng)一段很小的時(shí)間t,波的傳播速度為v,經(jīng)過時(shí)間t波傳播到了B點(diǎn),AB段繩的線密度為ρ,在A點(diǎn),繩與地面夾角為θ,繩子上的張力為T.

圖5 繩波的波速

AB段的質(zhì)量為ρ(vt),AB段上各質(zhì)點(diǎn)獲得的速度為u,受力的沖量為Ft,根據(jù)動(dòng)量定理,可知

Ft=ρ(vt)u.

(3)

此時(shí),以質(zhì)點(diǎn)A為受力對(duì)象,當(dāng)θ很小時(shí),水平方向的合力為T-Tcosθ=0,豎直方向的合力為Tsinθ=Ttanθ.從圖中我們可以看出,tanθ=ut/(vt).結(jié)合以上分析可以得出,AB段所受合力為

(4)

3 教學(xué)啟示

3.1 注重前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)

因此,在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重對(duì)各知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的把握.結(jié)合前后所學(xué)內(nèi)容,推動(dòng)學(xué)生將較為分散的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為較為完善的物理觀念,深化學(xué)生對(duì)物理概念的理解.

3.2 聚焦物理公式的本質(zhì)

因此,教學(xué)要聚焦物理公式的本質(zhì)含義.在分析具體的物理實(shí)例時(shí),應(yīng)從物理本質(zhì)出發(fā),進(jìn)行演繹推理,以此實(shí)現(xiàn)物理公式在不同物理情景下的遷移應(yīng)用.

3.3 滲透大中銜接的內(nèi)容

因此,中學(xué)物理教學(xué)要關(guān)注大學(xué)物理與中學(xué)物理的銜接問題.[6]大學(xué)物理與中學(xué)物理并不是完全平行與割裂的,在本文公式的推導(dǎo)過程中,大學(xué)物理既有大學(xué)階段的新方法,也有中學(xué)物理的舊知識(shí).在教學(xué)中尋求合適的教學(xué)內(nèi)容,在中學(xué)物理的范疇得出大學(xué)物理的結(jié)論,既是對(duì)中學(xué)物理教學(xué)的深化,也是對(duì)學(xué)生在大學(xué)階段的物理學(xué)習(xí)進(jìn)行的預(yù)熱,有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)從中學(xué)物理到大學(xué)物理的平穩(wěn)過渡與順利進(jìn)階.

4 結(jié)語

對(duì)比分析不同國家的教材,可以開闊教學(xué)視野,[7]拓展教學(xué)思路,豐富教學(xué)資源.關(guān)于如何計(jì)算簡諧運(yùn)動(dòng)周期與機(jī)械波波速,中日教材給出了不盡相同的思路與方法.面對(duì)學(xué)生的疑問,教師可以綜合考量兩國教材的內(nèi)容,闡明物理知識(shí)之間的聯(lián)系,把握計(jì)算公式的物理本質(zhì),滲透與大學(xué)物理的銜接內(nèi)容,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知情況設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方案,切實(shí)解答學(xué)生疑惑,滿足學(xué)生求知欲望,激發(fā)學(xué)生探索物質(zhì)世界的興趣.