王小軍 左 潘

(西北大學附屬中學,陜西 西安 710075)

1 原題呈現(xiàn)

例題:(2023年湖南省高考第15題)如圖1,質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內(nèi)有一個半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b,長軸水平,短軸豎直．質(zhì)量為m的小球,初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑．以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點,在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標系xOy,橢圓長軸位于x軸上.整個過程凹槽不翻轉(zhuǎn),重力加速度為g.

圖1 原題圖

(1) 小球第一次運動到軌道最低點時,求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離;

(2) 在平面直角坐標系xOy中,求出小球運動的軌跡方程;

2 分析追問

這道高考壓軸題的設計很具有創(chuàng)新性,將經(jīng)典的“球槽模型”中半圓形槽拓展為半橢圓形槽,摒棄了“重數(shù)學運算技巧,輕物理思維方法”的常規(guī)做法,讓人眼前一亮.[1]

在正常地分析3個問題后,進一步追問小球在內(nèi)有半橢圓形的光滑軌道的凹槽內(nèi)運動,凹槽又處在光滑水平地面上,小球的運動軌跡與凹槽的質(zhì)量有關系嗎?小球運動速度如何變化?一直增加嗎?小球運動到最低點對凹槽的壓力多大?最低點是小球?qū)Π疾蹓毫ψ畲笪恢脝?要想解決追問問題,通過常規(guī)慣性系方法分析問題將使問題變得復雜,如果以凹槽為參考系,即在非慣性系下分析解決問題,培養(yǎng)學生科學思維能力.

2.1 追問1:小球的運動軌跡是什么?

假設有兩個相互平動的參考系S和S′.并且分別建立笛卡爾坐標系.S′參考系相對S參考系在x方向以恒定加速度aS′做加速運動.設空間中一個物體P發(fā)生運動,如圖2所示.

圖2 物體在坐標系中的運動

位置關系

(1)

在非慣性參考系下研究對象會相對于慣性參考系向x軸反方向運動.

對式(1)求導可得速度關系

v′=v-vO′-aS′t.

(2)

在非慣性系下研究對象的任意時刻速度等于其在慣性系速度與S′參考系任意時刻速度之差.當t=0時表示初始時刻物體初速度等于

v0′=v-vO′=aSt-vO′.

(3)

對式(2)速度公式求導得

a′=a-aS′.

(4)

在非慣性參考系下研究對象加速度等于其在慣性參考系加速度與S′參考系下加速度差.并且研究對象運動規(guī)律依然滿足運動學3個基本規(guī)律,故可以通過此3個描述運動的3個基本物理量在不同參考系下來研究物體的基本運動規(guī)律,對解題往往有更深入理解.

(5)

根據(jù)(1)式可知y慣=y非、x非=x慣-ΔxM慣,其中ΔxM慣為凹槽向右運動的距離.

根據(jù)慣性系下系統(tǒng)水平方向動量守恒有

mvm慣=MvM慣.

(6)

微元法可知∑mvm慣Δt=∑MvM慣Δt,即

mxm慣=MΔxM慣.

(7)

xm慣=a-x慣.

(8)

聯(lián)立式(5)(7)(8)可知小球的軌跡方程為

(9)

其中-b≤y≤0.可見其運動軌跡仍然為橢圓解析表達式.

(10)

為了用MATLAB模擬小球的運動軌跡,令a=1.通過對k和n取不同的值來模擬小球的運動軌跡.

(1) 當凹槽的質(zhì)量M?m時,即k→0時,可觀察小球的運動軌跡如圖3所示.

圖3 小球運動軌跡(M?m)

根據(jù)圖3可知,當k→0時,對n賦予不同值,發(fā)現(xiàn)小球的運動軌跡和凹槽的彎曲程度保持一致;此時可認為小球在運動過程中凹槽一直不動,因此小球的運動軌跡與凹槽對應形狀一致.

(2) 當小球的質(zhì)量遠遠大于凹槽的質(zhì)量時,即M?m,此時k→∞,數(shù)值模擬小球的運動軌跡如圖4所示.

圖4 小球運動軌跡(M?m)

根據(jù)圖4可知,首先通過MATLAB數(shù)值模擬對凹槽在參數(shù)n=0.5,n=1,n=2時別繪制凹槽曲線,在繪制k→∞時,對n賦予不同值,發(fā)現(xiàn)小球的運動軌跡為一直線;此時可認為小球在運動過程中凹槽水平速度大于小球的速度的水平分量,此時小球做自由落體運動.

(3) 當小球的質(zhì)量與凹槽質(zhì)量之比非特殊值時,本文分別數(shù)值模擬了當n=0.5、n=1、n=2時對k=0.5、k=1、k=2時MATLAB數(shù)值模擬情況如圖5所示.

(a)

圖5中最左側(cè)虛線均反應凹槽實際曲線,其他線分別表示在不同參量下小球的實際運動軌跡.由圖可知,當n恒定時,隨著k值(小球質(zhì)量與凹槽質(zhì)量之比)的增加,小球的運動軌跡左移,其符合動量守恒定律求解人船模型的特征.圖5(a)(c)變化趨勢可以反映小球相對凹槽運動至左端點時凹槽向右運動位移.

2.2 追問2:小球運動速度如何變化?

如圖6所示,如果凹槽長半軸和短半軸相等,即a=b時,此時凹槽可看作是半徑為R的半圓形,能否求小球在下落過程中小球的速度、凹槽速度?

圖6 小球在半圓槽中的運動

圖7 小球運動速度分析

假設小球運動過程中相對于凹槽的速度為v相,小球?qū)Φ厮俣葹関1,凹槽對地速度為v2,小球下落過程中與凹槽圓心連線與水平面的夾角為θ,如圖9所示.

小球在凹槽運動過程中,動量守恒,機械能守恒,其運動中滿足關系式為

mv1x=Mv2.

(11)

(12)

v1x2+v1y2=v12.

(13)

v相sinθ-v2=v1x.

(14)

v相cosθ=v1y.

(15)

聯(lián)立式(11)～(15)可知

(16)

(17)

(18)

圖8 數(shù)值模擬速度v1

圖9 數(shù)值模擬速度v2

理論解釋:當小球下降過程中系統(tǒng)機械能守恒,下降過程中彈力對凹槽做正功,所以凹槽速度增大,小球上升過程中彈力對凹槽做負功,所以凹槽速度減小;而小球下降過程中小球的重力勢能減小,動能會無法判斷.

2.3 追問3:小球運動到最低點對凹槽的壓力多大?

分析:小球的運動為非慣性系分析,受力分析如圖10所示.

圖10 小球受力分析圖

(19)

F慣=maM.

(20)

(21)

聯(lián)立式(18)～(21)得

(22)

(23)

分析上式可知,當小球運動至凹槽最低點時,即θ=π/2時,可得

(24)

2.4 追問4:最低點是小球?qū)Π疾蹓毫ψ畲笪恢脝?

為了解決這個問題,對式(23)壓力變化數(shù)值模擬如下.

通過分析圖11可知,當θ=π/2時,小球下降過程中對凹槽的壓力最大.小球在最低點的壓力隨著k值的增加而增加.在0→π/2時,壓力隨著θ的增加而增加;在π/2→π時,壓力隨著θ的增加而減小.

圖11 壓力變化數(shù)值模擬

2.5 追問5:最低點小球的對地速度v1不一定是最大值,為什么對凹槽壓力最大?

實際上,在非慣性系下小球?qū)壍赖膲毫Q定速度是v相,v相與凹槽的速度v2的矢量和才是v1.而v相變化趨勢決定了小球壓力變化情況.所以不能單純根據(jù)v1的變化趨勢直接說明小球?qū)壍赖膲毫η闆r;根據(jù)式(18)可知當θ=π/2時,小球在最低點的相對速度為v相2=2gR(1+k).因此可以解釋在最低點時,壓力峰值隨著k值的增加而增加.

3 教學啟示

3.1 轉(zhuǎn)變角色拓展試題

在復習備考中教師不能單純地充當“講題者”,學生不能機械地充當“刷題者”,在習題教學中,要讓學生從題海中跳出來,不背題,不刷題,[2]教師要摒棄傳統(tǒng)的就題論題的方式,而是從命題者角度依據(jù)高考評價體系及課程標準對高考典型試題進行深度挖掘、解析和拓展,提升物理思維品質(zhì).

3.2 創(chuàng)新方式數(shù)形結(jié)合

《普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂)》指出“積極探索信息技術與物理教學的深度融合”,[3]教師要運用一切可能的圖示、動畫、聲音、視頻和實驗等技術手段對教學環(huán)節(jié)進行設計和整合,[4]積極探索和利用信息手段對問題進行模擬展示,培養(yǎng)學生從不同角度思考問題,不同方式解決問題,提升物理思維創(chuàng)新性.

3.3 質(zhì)疑追問提升素養(yǎng)

“科學思維”主要包括模型建構(gòu)、科學推理、科學論證、質(zhì)疑創(chuàng)新4個要素.無論是新課教學還是復習備考,教師要有意識地創(chuàng)設質(zhì)疑環(huán)境,主動提出引發(fā)疑問的思維問題,認真對待學生提出的異想天開的問題,[5]新高考復習不能再被動地“以不變應萬變”,而應主動地“以善變應多變”,[6]捕捉學生質(zhì)疑火花,引導學生分析題目深層次的物理過程,讓學生知其然更知其所以然,[7]激發(fā)學生質(zhì)疑意識,提升學生質(zhì)疑能力,享受師生質(zhì)疑追問解決問題過程的快樂.