孫德峰 劉 芳

(1. 北京市第十二中學(xué),北京 100071; 2. 北京教育學(xué)院豐臺(tái)分院,北京 100073)

1 試題解析

2023年北京卷第16(4)題:以頻閃照相記錄平拋小球在不同時(shí)刻的位置,探究平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn).

(4) 某同學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)忘了標(biāo)記重垂線方向.為解決此問題,他在頻閃照片中,以某位置為坐標(biāo)原點(diǎn),沿任意兩個(gè)相互垂直的方向作為x軸和y軸正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy,并測量出另外兩個(gè)位置的坐標(biāo)值(x1,y1)(x2,y2),如圖1所示.根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法,可得重垂線方向與y軸間夾角的正切值為_____.

圖1 示意圖

解析:假設(shè)坐標(biāo)為(x1、y1)的點(diǎn)為A點(diǎn),坐標(biāo)為(x2、y2)的點(diǎn)為B點(diǎn),如圖2,OA與AB之間的時(shí)間間隔為T,Oy′方向?yàn)橹卮咕€方向,則圖2中建立的x′Oy′坐標(biāo)系中的Ox′方向即為真正的水平方向,Oy′方向即為真正的豎直方向,OA、OB在Ox′和Oy′方向上的投影位置分別為x1′、x2′和y1′、y2′.假設(shè)Oy′與Oy方向的夾角為θ,OA方向與Ox軸之間的夾角為α,OB方向與Ox軸之間的夾角為β.則OA方向與Ox′軸之間的夾角為α+θ,OB方向與Ox′軸之間的夾角為β+θ.則x1′、x2′、y1′、y2′用x1、x2、y1′、y2′表示,可以得到以下8個(gè)方程.

圖2 坐標(biāo)示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

假設(shè)小球從O到A的時(shí)間為T,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知

x2′=2x1′,

(9)

y2′-y1′=gT2.

(10)

2 試題分析和方法點(diǎn)評(píng)

本題明確考查了學(xué)生利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解進(jìn)行推理論證的能力.運(yùn)動(dòng)的合成與分解是物理學(xué)中研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)常用的方法之一.《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中,關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成與分解的教學(xué)內(nèi)容要求中明確提出:“體會(huì)將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為簡單運(yùn)動(dòng)的物理思想,能分析生產(chǎn)生活中的拋體運(yùn)動(dòng).”作為物理學(xué)在解決復(fù)雜問題時(shí)“化繁為簡”的重要方法之一,通過考查拋體運(yùn)動(dòng)或者與之滿足類似規(guī)律的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)中的一些問題,考查學(xué)生對于運(yùn)動(dòng)的合成與分解這一科學(xué)方法的認(rèn)識(shí)和掌握情況是高考的必考考點(diǎn)之一.

該問體現(xiàn)了命題者“別具匠心”的命題意圖.以源自實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際問題,考查運(yùn)動(dòng)的合成和分解的科學(xué)方法(題干中命題人還非常貼心地做了提示),以及直線運(yùn)動(dòng)相關(guān)規(guī)律的應(yīng)用.上面的試題評(píng)析按照“常規(guī)思路”將平拋運(yùn)動(dòng)分解為豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)和水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng),通過建立兩個(gè)坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系,結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律聯(lián)立方程進(jìn)行求解.通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)沿著這個(gè)思路進(jìn)行問題解決雖然出發(fā)點(diǎn)比較簡單,但過程過于煩瑣,對考生的運(yùn)算能力提出了極高的要求.考生在考場上若沒有找到全部的方程,或者沒有“眼觀六路”地找到消掉g和T的方法都無法得到最終答案.簡而言之,在高考的有限時(shí)間內(nèi)選擇這個(gè)“常規(guī)思路”解決問題幾乎是不可能完成的任務(wù).

3 方法拓展

方法拓展1:由于空間中兩點(diǎn)之間的距離與參考系的選取無關(guān),仍如圖2所示,x1′、x2′可以用x1、x2、y1、y2表示如下

x1′=OAcos(θ+α)=OA(cosθcosα-sinθsinα)=x1cosθ-y1sinθ.

(11)

x2′=OBcos(θ+β)=OB(cosθcosβ-sinθsinβ)=x2cosθ-y2sinθ.

(12)

只需要利用x2′=2x1′就可以得到

該種方法的簡潔之處在于巧妙地將自行引入的未知量α和β,利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成已知量,從而大大簡化了數(shù)學(xué)運(yùn)算.上面的兩個(gè)方程式(11)(12)其實(shí)可以通過空間中的幾何關(guān)系直接得到,如圖3所示.但不管是通過幾何作圖還是通過上面的轉(zhuǎn)化得到x1′、x2′與x1、x2、y1、y2的關(guān)系都需要考生在考場上“膽大心細(xì)”,對學(xué)生的能力要求較高.

圖3 幾何關(guān)系圖

方法拓展2:如圖4所示,將重力加速度g沿Ox和Oy方向分解,分別得到gx=gsinθ和gy=gcosθ.分析可知,小球在Ox和Oy方向都做勻加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)相鄰的相同時(shí)間間隔內(nèi)的位移差Δx=aT2,因此有

圖4 加速度分解圖

x2-2x1=gsinθ·(2T)2,

y2-2y1=gcosθ·(2T)2.

圖5 坐標(biāo)系位置關(guān)系圖

4 學(xué)生考查的表現(xiàn)及原因分析

鑒于學(xué)生對運(yùn)動(dòng)的合成與分解這一方法掌握較為充分,以及題目考查的知識(shí)和方法并不復(fù)雜,即使作為實(shí)驗(yàn)題的壓軸一問,筆者最初也認(rèn)為學(xué)生答題情況應(yīng)該比較樂觀.但成績公布后,筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)即使是一個(gè)成績較好(班級(jí)高考平均分約660分)的班級(jí),在全班28位學(xué)生中也只有3位學(xué)生得出了正確答案.可想而知,本問應(yīng)該是整套試題中區(qū)分度最高的題目之一,對學(xué)生能否賦得A1等級(jí)(100分)具有重要的篩選作用.

為了深入了解學(xué)生的測試表現(xiàn)與教師的教學(xué)預(yù)期之間存在較大差異的根本原因,筆者對這個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了答題的復(fù)盤,復(fù)盤結(jié)果表明:有13位學(xué)生審題后按照“常規(guī)思路”建立了坐標(biāo)系但沒有找到兩組坐標(biāo)之間的關(guān)系方程選擇了放棄,有8位學(xué)生沿著“常規(guī)思路”建立了方程,但由于方程個(gè)數(shù)不夠無法通過數(shù)學(xué)推理得出正確結(jié)果,有3位學(xué)生選擇了方法拓展2中“分解加速度”方法并得到了正確答案,沒有學(xué)生想到方法拓展1的思路.

從“常規(guī)思路”到方法拓展1再到方法拓展2的變化并不僅僅是“解法越來越簡單”,其本質(zhì)是人們對于運(yùn)動(dòng)的3種不同層面的認(rèn)識(shí):其中“常規(guī)思路”側(cè)重于運(yùn)動(dòng)規(guī)律在不同坐標(biāo)系中“數(shù)學(xué)表達(dá)”的轉(zhuǎn)換,方法拓展1則需要在坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換中找到“運(yùn)動(dòng)的不變量”,而方法拓展2則需要認(rèn)識(shí)到運(yùn)動(dòng)是場與物質(zhì)相互作用的結(jié)果,場的客觀存在性和其在空間中疊加規(guī)律決定了物質(zhì)在場中如何運(yùn)動(dòng).而學(xué)生的臨場表現(xiàn)表明:大多數(shù)學(xué)生都能夠認(rèn)識(shí)和理解運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律,但對運(yùn)動(dòng)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)還不夠深刻.

其實(shí)方法拓展2中通過分解加速度研究平拋運(yùn)動(dòng)的方法在高考復(fù)習(xí)中有例可循:(1) 如圖6所示的情境中小球從傾角為θ的足夠長斜面上,以水平速度v0拋出,求小球落到斜面之前距斜面的最遠(yuǎn)距離;(2) 如圖7所示的情境中質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球在足夠大的勻強(qiáng)電場中以初速度v0豎直向上拋出,求運(yùn)動(dòng)過程小球的最小動(dòng)量的大小及方向.以上兩個(gè)示例中利用“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”分解加速度都會(huì)極大地簡化問題解決過程,因此是高三復(fù)習(xí)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的典型例題.照理說經(jīng)過了多輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生遇到類似的問題,應(yīng)該能做到應(yīng)對自如.但考場上學(xué)生不甚理想的臨場表現(xiàn)卻表明學(xué)生對于運(yùn)動(dòng)的合成與分解的認(rèn)識(shí)和理解遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到教師預(yù)期的水平.

圖6 小球平拋示意圖

圖7 小球在場中的運(yùn)動(dòng)

5 教學(xué)反思與啟示

學(xué)生不甚理想的臨場表現(xiàn)使筆者陷入沉思:面對非常熟悉的問題情境,為什么學(xué)生無法利用方法的遷移發(fā)現(xiàn)問題解決的正確思路呢?學(xué)生的評(píng)價(jià)表現(xiàn)反映著教師教學(xué)行為的有效性.在以往的教學(xué)過程中,我們更加側(cè)重于“這道題該用什么方法去解決”,甚至?xí)眠@種“好方法”去跟那些“不太明智的方法”比較,讓學(xué)生確信該種方法很好.但是卻很少跟學(xué)生解釋“這道題為什么可以用這么好的方法來解決”,也不會(huì)追問“這樣的方法還可以解決怎樣的問題”,以及“你是否還有更好的方法?”等問題.

其實(shí)選擇什么樣的方法解決問題屬于“術(shù)”的問題,而為什么選擇這樣的方法解決問題則屬于“道”的問題.何為“術(shù)”?方法、謀略之路數(shù),引申為“技藝”的套路,在這里,就可以理解為“解題”的套路.何為“道”?事物的運(yùn)行軌道或軌跡,引申為事物運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的規(guī)律,在這里,就可以理解為“解題套路”背后深刻的物理原理.若教師在平時(shí)的教學(xué)過程中僅僅滿足于“術(shù)”的傳授,而忽略了“道”的溯源,當(dāng)命題人不按“套路”出題時(shí),大多數(shù)學(xué)生俱“罔”矣的測試表現(xiàn)也就不奇怪了.

“術(shù)”的傳授易行,但“道”的溯源對于教師的業(yè)務(wù)水平提出了更高的要求.假如時(shí)光倒流,回到高考前的課堂上,在帶領(lǐng)學(xué)生比較了兩道例題的兩種方法之后,如果教師還能繼續(xù)引導(dǎo)一步,“運(yùn)動(dòng)的分解本無定法,根據(jù)題目的具體情景,結(jié)合場與物質(zhì)的作用規(guī)律,方能做出最優(yōu)的選擇”,那學(xué)生在臨場時(shí)的評(píng)價(jià)表現(xiàn)必定不會(huì)如此遺憾.時(shí)光無法倒流,但我們的課堂可以改進(jìn),我們教學(xué)理念也可以提升.跳出對“術(shù)”的執(zhí)念,啟發(fā)學(xué)生對于“道”的感悟,正是核心素養(yǎng)背景下對物理教學(xué)要求的一個(gè)更高層次.