? 黑龍江省集賢縣第七中學(xué) 周 影

“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法是求證線段的和差數(shù)量關(guān)系常用的一種方法.其中,輔助線的添加是關(guān)鍵.“截長(zhǎng)”是指把一條長(zhǎng)線段按照所需截成兩條較短線段,“補(bǔ)短”是把兩條不在同一直線上的線段通過(guò)延長(zhǎng)一條較短線段的方式把兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上,同時(shí)又在圖中構(gòu)造了全等三角形、等腰三角形等.一般通過(guò)“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”得到的輔助線都會(huì)有一箭雙雕的效果.“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法滲透了轉(zhuǎn)化思想,有助于學(xué)生推理能力和幾何直觀等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).筆者以一道中考題為例詳細(xì)解析運(yùn)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法解決問(wèn)題的策略,不當(dāng)之處,還請(qǐng)批評(píng)指正.

1 試題呈現(xiàn)

(2022年黑龍江省龍東地區(qū)中考第26題)△ABC和△ADE都是等邊三角形.

(1)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1-1的位置時(shí),連接BD,CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需證明);

圖1-1

(2)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1-2的位置時(shí),連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA,PB,PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明.

圖1-2

(3)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1-3的位置時(shí),連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA,PB,PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出結(jié)論,不需要證明.

圖1-3

2 第(2)問(wèn)的解題策略

這里只對(duì)第(2)問(wèn)進(jìn)行求解,具體策略如下:

“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法在證明線段的數(shù)量關(guān)系時(shí),體現(xiàn)的是兩種思路.如欲證a=b+c,截長(zhǎng)法是在較長(zhǎng)的線段a上取點(diǎn)M,把線段a分成線段d與線段e,取點(diǎn)M時(shí),使d=b,再證e=c即可,如圖2所示.補(bǔ)短法,則是通過(guò)把其中一條較短線段延長(zhǎng),使延長(zhǎng)部分等于另外一條較短線段或者使線段延長(zhǎng)后,等于較長(zhǎng)的線段.如欲證a=b+c,可以把線段b延長(zhǎng),使延長(zhǎng)的線段d=c,這樣就把線段b和c轉(zhuǎn)化到同一條線段上,證明線段b+d=a即可.或者延長(zhǎng)線段b,使延長(zhǎng)后的線段b+d=a,證明延長(zhǎng)的線段d=c即可,如圖3所示.

圖2

圖3

3 試題解析

第(2)問(wèn)的結(jié)論為PA+PC=PB;給出7種證法.

3.1 截長(zhǎng)法

以圖1-2的證明為例,截長(zhǎng)法的證明過(guò)程如下.

證法1：如圖4,在PB上截取BM=PC,連接AM.

圖4

在等邊三角形ABC和等邊三角形ADE中,有AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.

易證∠BAD=∠CAE,所以△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.又BM=CP,則△BAM≌△CAP,得AM=AP,∠BAM=∠CAP.于是∠BAM+∠MAC=∠CAP+∠MAC,即∠BAC=∠MAP=60°,則△MAP是等邊三角形.所以PA=MP.故PB=PM+BM=PA+PC.

此種方法根據(jù)題中的已知條件和要證的結(jié)論,通過(guò)截取相等的線段構(gòu)造全等三角形.如果在截取時(shí)使PM=PA,先證明△AMP是等邊三角形,再證明全等三角形也可以.詳細(xì)證法如下:

證法2：如圖5,在PB上截取PM=PA,連接AM.

圖5

作AI⊥BD,AH⊥CE,I與H分別為垂足.

易證△BAD≌△CAE.

所以∠1=∠2.

又∠3=∠4,所以∠CPB=∠CAB=60°,于是∠BPE=120°.又AI⊥BD,AH⊥CE,則AI=AH(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等),所以AP平分∠BPE,則∠BPA=60°.

又PM=PA,則△PMA是等邊三角形,所以AM=AP.

所以∠BAC=∠MAP=60°.

易得∠BAM=∠CAP,所以△BAM≌△CAP.

所以BM=PC,故PB=PM+BM=PA+PC.

在截長(zhǎng)時(shí),只要截取方式正確,輔助線可以通過(guò)多種方式構(gòu)造,一般都可以得證,比如AM也可以通過(guò)作∠PAM=60°的方式出現(xiàn),先證明△AMP是等邊三角形,和證法2相似.

另外,根據(jù)題中的條件,易證∠CPB=60°,線段PB也可以按下面的方式截取.

證法3：如圖6,在BP上截取PM=PC,連接CM.

圖6

易證△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.又∠3=∠4,所以∠CPB=∠CAB=60°, 于是△CMP是等邊三角形.

所以CP=CM,∠MCP=∠BCA=60°,則∠MCB=∠PCA.又CB=CA,則△BCM≌△ACP,所以BM=PA.

故PB=BM+MP=PA+PC.

3.2 補(bǔ)短法

筆者以延長(zhǎng)線段PC的方法作輔助線,證法如下.

證法4：如圖7,截取CM=PB,連接AM.

圖7

易證△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.

又BA=CA,PB=CM,所以△BAP≌△CAM.

所以AP=AM,∠BAP=∠CAM.

易證∠PAM=∠BAC=60°,則△AMP是等邊三角形,可知PA=PM.

故PB=CM=PC+PM=PC+PA.

也可通過(guò)作角的方式作出這條輔助線,如下.

證法5：如圖8,作∠PAM=60°,交CE于點(diǎn)M.作AI⊥BD于點(diǎn)I,AH⊥CE于點(diǎn)H.

圖8

易證△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.又∠3=∠4,所以∠CPB=∠CAB=60°,則∠BPE=120°.

又AI⊥BD,AH⊥CE,AI=AH(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等),所以AP平分∠BPE,則∠MPA=60°.

所以△PMA是等邊三角形,于是有PM=MA,∠PAM=∠CAB=60°.

所以∠CAM=∠BAP,易證△BAP≌△CAM.

故BP=CM=PC+PM=PC+PA.

點(diǎn)M也可以通過(guò)截取PM=PA得到,同證法5一樣,先證∠MPA=60°,得證△PMA是等邊三角形,接著證明△BAP≌△CAM,從而證出結(jié)論,證法略.

在延長(zhǎng)線段CP時(shí),也可以反向延長(zhǎng),如證法6.

證法6：如圖9,延長(zhǎng)PC至點(diǎn)M,使PM=PB,連接BM.

圖9

易證∠CPB=∠CAB=60°.

所以△PMB是等邊三角形,則BM=BP.

所以∠MBP=∠CBA=60°.

易證∠MBC=∠PBA.

又根據(jù)CB=AB,易證△CMB≌△APB,所以CM=PA.

故PB=PM=PC+CM=PC+PA.

證法7：如圖10,延長(zhǎng)PC至點(diǎn)M,使CM=PA,連接BM.

圖10

易證∠CPB=∠CAB=60°,所以∠BPE=120°.

又因?yàn)锳I⊥BD于點(diǎn)I,AH⊥CE于點(diǎn)E,則AI=AH(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等),所以AP平分∠BPE,則∠BPA=60°.

所以∠CBA+∠CPA=180°.

所以∠BCP+∠BAP=180°.

又∠BCP+∠MCB=180°,則∠MCB=∠BAP.

又CM=PA,CB=AB,所以△CMB≌△APB,則BM=PB.

又∠CPB=60°,所以△PMB是等邊三角形,則PB=PM.

故PB=PM=PC+CM=PC+PA.

對(duì)于此題,也可以通過(guò)延長(zhǎng)PA的方式作輔助線,其他的證明方法這里就不再贅述.

就這道題來(lái)說(shuō),無(wú)論是哪個(gè)方法,其證明思路都是通過(guò)“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方式將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以解決.可見(jiàn),大多數(shù)學(xué)生對(duì)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的證明思路不是很清晰,關(guān)鍵是綜合運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行推理的能力有所欠缺.這就要求教師應(yīng)在教學(xué)中適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)精選教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練,幫助學(xué)生明晰“截長(zhǎng)補(bǔ)短“法的思路,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一題展開(kāi)多種解法的訓(xùn)練,讓學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法的本質(zhì),深刻體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展推理能力和幾何直觀素養(yǎng),促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.