? 江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)霍橋?qū)W校 景國(guó)玲

作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》所倡導(dǎo)的十大核心概念之一,模型思想不僅對(duì)達(dá)成“四能”目標(biāo)具有導(dǎo)向作用,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.事實(shí)上,數(shù)學(xué)教材對(duì)模型思想的滲透十分重視,教師能深挖教材中的有效素材,不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透,則可以讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)建模的過(guò)程,積累建模的經(jīng)驗(yàn),提高數(shù)學(xué)建模能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].那么,落實(shí)到具體的教學(xué)實(shí)踐中如何讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)建模過(guò)程,提高建模能力呢?下面結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)例,闡述教法指導(dǎo)的靈活應(yīng)用,以饗讀者.

1 從變量關(guān)系的分析著手,通過(guò)數(shù)據(jù)的梳理助力數(shù)學(xué)模型的建立

剖析教材不難發(fā)現(xiàn),模型思想的滲透隨處可見(jiàn),例習(xí)題、復(fù)習(xí)題及閱讀材料中不乏各種應(yīng)用性問(wèn)題,其中,一些問(wèn)題是通過(guò)自然語(yǔ)言表示的,只需先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,再利用已學(xué)模型求解即可;另一些則是貼近現(xiàn)實(shí)生活并具備現(xiàn)實(shí)生活的元素特征,需要通過(guò)抽象,才能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.這種需要深度加工的數(shù)學(xué)問(wèn)題需從模型的假設(shè)與變量關(guān)系的分析著手,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模,一旦分析變量關(guān)系的角度偏離,則數(shù)學(xué)建模也會(huì)徒勞無(wú)功.由此可見(jiàn),從變量關(guān)系的分析著手,引導(dǎo)學(xué)生梳理和厘清數(shù)據(jù),有利于學(xué)生快速建立數(shù)學(xué)模型,從而提升數(shù)學(xué)建模能力.

案例1一元一次不等式

問(wèn)題某超市體育用品采購(gòu)員去廠家踩點(diǎn)并批發(fā)購(gòu)進(jìn)100個(gè)籃球與足球,超市一共支付了11 815元.已知籃球與足球的批發(fā)價(jià)分別為130元/個(gè)和100元/個(gè),且商場(chǎng)的零售價(jià)分別為160元/個(gè)和120元/個(gè).

(1)采購(gòu)員最多可以批發(fā)多少個(gè)籃球?

(2)若該超市進(jìn)貨后全都以零售價(jià)賣出了這100個(gè)球,且獲得了不低于2 580元的利潤(rùn),你覺(jué)得采購(gòu)員購(gòu)進(jìn)的籃球至少是多少個(gè)?盈利了多少?

師生活動(dòng):在對(duì)題設(shè)和問(wèn)題深入解讀的基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系,將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并構(gòu)建不等式模型,這樣的過(guò)程就是數(shù)學(xué)抽象與建模的過(guò)程.例如,第(1)問(wèn),學(xué)生容易在分析后設(shè)有x個(gè)籃球,并列出不等式130x+100×(100-x)≤11 815,解得x≤60.5.又因?yàn)閤為正整數(shù),所以最多可批發(fā)60個(gè)籃球.就這樣,在深入思考與分析后,學(xué)生能感受到抽象、假設(shè)和轉(zhuǎn)化的必要性,并將實(shí)際問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題,在建立不等式模型后運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題.

這樣的過(guò)程中,正是因?yàn)榻處熡幸庾R(shí)地讓學(xué)生在體驗(yàn)變量間的關(guān)系和梳理數(shù)據(jù)中真切感受到模型的抽象與轉(zhuǎn)化,使得模型思想的滲透水到渠成,促進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力的自然發(fā)展.

2 重視圖象表格的繪制,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的滲透助力建模效率的提高

一般來(lái)說(shuō),對(duì)于學(xué)生建模能力的發(fā)展,數(shù)形結(jié)合可以起到事半功倍之效.借助數(shù)形結(jié)合思想,通過(guò)“以形助數(shù)”的策略,教師引導(dǎo)學(xué)生“形”中探“數(shù)”,在圖形中探尋數(shù)量關(guān)系,尋求解決問(wèn)題的途徑,最終在分析和抽象中讓問(wèn)題獲解[2].基于此,筆者認(rèn)為教師應(yīng)重視圖象、表格的繪制,引導(dǎo)學(xué)生以表格或圖象等方式闡述數(shù)據(jù)關(guān)系,激活學(xué)生的思維,最終通過(guò)直觀解讀與剖析助力快速建模,最終提高建模的效率.

案例2反比例函數(shù)

師生活動(dòng):為了讓問(wèn)題快速、準(zhǔn)確獲解,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下充分利用數(shù)形結(jié)合的思想繪制圖象(如圖1),并借助待定系數(shù)法確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式,最后通過(guò)幾何關(guān)系求解,得出了△AOB的面積.

圖1

圖2

數(shù)形結(jié)合思想的孕育就是將數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系與幾何圖形充分溝通,讓“數(shù)”與“形”各展所長(zhǎng),從而使邏輯思維與形象思維完美統(tǒng)一.以上案例中,通過(guò)圖形探尋數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,借助“以形助數(shù)”促進(jìn)學(xué)生開(kāi)闊思維,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,進(jìn)而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 關(guān)注隱性規(guī)律的探尋,通過(guò)多元整合提升建模的靈敏度

在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系較為明確,而有些問(wèn)題中的變量關(guān)系卻較為隱晦,這就需要在探尋到題目中隱含的隱性規(guī)律之后再進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,最終使問(wèn)題獲解[3].基于此,教師想要訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力,就需提高學(xué)生探尋隱性規(guī)律的能力,即增設(shè)難度問(wèn)題,有意識(shí)地讓學(xué)生真切體驗(yàn)探尋隱性規(guī)律的過(guò)程,從已有數(shù)據(jù)與線索著手深度挖掘其中的隱性規(guī)律,并通過(guò)多元整合達(dá)成數(shù)學(xué)建模,以提升建模的靈敏度,使數(shù)學(xué)建模能力得到快速發(fā)展.

案例3一次函數(shù)

問(wèn)題王阿姨提著家中0.25 kg重的籃子去菜市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)5 kg雞蛋.菜市場(chǎng)的攤販將裝有5 kg雞蛋的籃子遞還給王阿姨,王阿姨立刻察覺(jué)出雞蛋的個(gè)數(shù)較以往同樣購(gòu)買(mǎi)5 kg少了許多.于是,王阿姨要求攤販重新稱重,攤販照做,并稱得5.275 kg.王阿姨即刻指出“籃中僅有4.5 kg雞蛋,需找回0.5 kg雞蛋的錢(qián)”.你們知道這是為什么?王阿姨是如何知道攤販少給了約0.5 kg雞蛋呢?

由于初中生對(duì)于隱含數(shù)量的敏銳度不足,需要教師從多側(cè)面、多角度來(lái)引導(dǎo)學(xué)生互譯現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題,在深入思考與探索中加深對(duì)各種數(shù)學(xué)模型的體會(huì),進(jìn)一步感悟模型思想的本質(zhì),進(jìn)而積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)和提升思維的靈活度.以上案例中,教師以一道趣味性的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為載體,引導(dǎo)學(xué)生挖掘和探尋問(wèn)題中的隱含規(guī)律,讓學(xué)生在拾級(jí)而上的探索中強(qiáng)化新知,經(jīng)歷建模的抽象過(guò)程,發(fā)展自身的想象力,深化模型思想的認(rèn)知.

總之,初中階段教師需注重模型思想的發(fā)掘與滲透,將建模能力的發(fā)展作為學(xué)生素養(yǎng)的載體,無(wú)論是教學(xué)目標(biāo)的定位、教學(xué)素材的選擇、問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)、探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)以及教材方法的孕育,都需圍繞建模能力這條主線展開(kāi),為學(xué)生的思維留足發(fā)展空間,讓學(xué)生具備良好的建模意識(shí)和豐富的建模經(jīng)驗(yàn),最終內(nèi)化為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].