? 浙江省舟山市定海區(qū)第七中學(xué) 余 鵬

? 浙江省舟山市定海區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 賀建銘

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程,處理好過程與結(jié)果的關(guān)系.因此,在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)該“放下”自身的主體地位,扮演好組織者、引導(dǎo)者的角色,讓學(xué)生通過不斷的思考,嘗試獨(dú)立解決問題.只有學(xué)生真正經(jīng)歷過思考探究的過程,才能更加深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的成就感,才能更有效地助推素養(yǎng)的提升.下文中,筆者以一道幾何題為例,具體闡述在解題教學(xué)中如何教學(xué)生尋思路、凝通法、提素養(yǎng).

1 題目呈現(xiàn)

題目如圖1,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E,∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F,若AB=9,DF=2FC,則BC=______.

圖1

2 尋思路

本題以矩形為背景,作矩形一個(gè)直角的角平分線,其實(shí)已經(jīng)暗含了45°角,學(xué)生很容易得到△ABE是一個(gè)等腰直角三角形.同時(shí)題目指出EF是∠BED的角平分線,學(xué)生又可以得到∠EFD=22.5°.再觀察條件,給出了AB=9,DF=2FC,又能進(jìn)一步得到AE=AB=9,DF=6,CF=3.基于以上信息求BC的長(zhǎng)度.

2.1 見角平分線,構(gòu)建等腰三角形

題目的解答,要給學(xué)生獨(dú)立思考和自主解答的機(jī)會(huì),同時(shí)讓學(xué)生嘗試講解,在這個(gè)過程中潛移默化培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).這道幾何題的教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析,求BC的長(zhǎng)度其實(shí)就是求DE的長(zhǎng)度.由BE平分∠ABC,可以得到△ABE是等腰三角形,類比遷移,EF平分∠BED,能不能也得到一個(gè)等腰三角形?引發(fā)學(xué)生思考,圖形中隱藏的等腰三角形在哪里,怎么去構(gòu)造.學(xué)生會(huì)順其自然地聯(lián)想到“角平分線+平行線”模型,進(jìn)一步思考并嘗試解決這個(gè)問題.通過尋思路,可以得出以下兩種構(gòu)建等腰三角形的解法.

圖2

圖3

2.2 見角平分線,作垂直

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考,EF是∠BED的角平分線,角平分線除了構(gòu)建等腰三角形外,還有什么用途.學(xué)生立刻想到教材中角平分線的性質(zhì)定理.通過角平分線的性質(zhì)定理,順其自然就能聯(lián)想到作垂直[1].如圖4,過點(diǎn)F作PF⊥BE于點(diǎn)P,交DA于點(diǎn)Q,但是只能得到△PEF≌△DEF,∠DFQ=45°,依然無法求出BC的長(zhǎng).啟發(fā)學(xué)生∠DFQ=45°很重要,要充分利用這個(gè)條件,所以要圍繞該角構(gòu)建等腰直角三角形DFQ.再次讓學(xué)生思考和解決問題.

圖4

2.3 尋特殊角,構(gòu)建特殊的直角三角形

初中幾何問題,還有一種非常重要的解題思想,即圍繞特殊角構(gòu)造直角三角形.比如,圖形中有30°或45°角時(shí),可以構(gòu)造含30°或者45°的直角三角形.這道題中有22.5°,不是一個(gè)很特殊的角,但是它與45°存在倍數(shù)關(guān)系.那么,能不能構(gòu)造倍角來解答這道題?

圖5

其實(shí)22.5°也可以看成一個(gè)比較特殊的角,如果能夠求出tan 22.5°的值.這道題就變得更簡(jiǎn)單了.如何求tan 22.5°的值?基礎(chǔ)好的學(xué)生很快就會(huì)給出如下過程.如圖6,△MNP是等腰直角三角形,在NP的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)Q,使得PQ=MP,則tan ∠MQN即為所求.

圖6

3 凝通法

選取題目的目的本身就是促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的強(qiáng)化和靈活運(yùn)用,一題多解顯然能夠有效達(dá)到這個(gè)目的.以上五種解法復(fù)習(xí)了矩形的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)定理、等腰直角三角形性質(zhì)與判定定理、等腰三角形性質(zhì)與判定定理、三角函數(shù),以及相似三角形的性質(zhì)和判定定理等.題目解法講完后的總結(jié)更為重要,比如,可以讓學(xué)生將這五種解法分類,然后找出每一類解法的共性.通過分類,可以發(fā)現(xiàn)這道題本質(zhì)是兩種思維:①“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形法(解法1和解法2);②本題中有已知的角度22.5°,所以構(gòu)造特殊的直角三角形法(解法3～5).這就是多解歸一,它是對(duì)教材知識(shí)的升華,讓學(xué)生真正明白這些解法在解題思路上是有共性的,而這種共性恰好就是以后解決此類問題的關(guān)鍵.

4 解題反思

作為一線教師,要與時(shí)俱進(jìn).在教學(xué)中,我們的目標(biāo)要從教學(xué)生“學(xué)會(huì)”,轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生“會(huì)學(xué)”.要想達(dá)到這樣的教學(xué)目的,課堂教學(xué)方式就需要轉(zhuǎn)變.

第一,在教學(xué)中滲透類比遷移思想.比如,在解法5中,當(dāng)學(xué)生求出tan 22.5°的值時(shí),讓學(xué)生類比剛才的解法,嘗試著求tan 15°的值,其目的就是滲透類比遷移的思想,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

第二,一節(jié)好課,教學(xué)思路需要精心設(shè)計(jì),教學(xué)中的題目也要用心挑選.當(dāng)一道數(shù)學(xué)題涉及到的知識(shí)不夠全面時(shí),可以通過一題多變來完善和強(qiáng)化所學(xué)的知識(shí)體系.同時(shí),在課堂中滲透解題的通法,讓學(xué)生能夠從“會(huì)一題”到“會(huì)一類”.比如,在解法2中,再次進(jìn)行變式,追問線段HF,DE,FD三者之間有何數(shù)量關(guān)系,滲透證明一條線段等于兩條線段和的常用方法.通過這種不斷的變式,一節(jié)課的知識(shí)體系會(huì)變得越來越完善.

第三,教學(xué)時(shí),讓學(xué)生在解決問題的過程中深度體會(huì)模型思想[2],有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要內(nèi)涵就是會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,那么教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念就很重要.上文的解題教學(xué)中就滲透了一些解題模型,比如“角平分線+平行線”模型、截長(zhǎng)法模型、出現(xiàn)角平分線作垂直模型、倍角模型等.

第四,教學(xué)活動(dòng)要凸顯學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生在“知行合一”中促進(jìn)素養(yǎng)落地.教師作為課堂的組織者、引導(dǎo)者,要引導(dǎo)學(xué)生在正確理解的基礎(chǔ)上,自己動(dòng)手實(shí)踐去解決問題,讓他們?cè)谶@個(gè)過程中體驗(yàn)思維的來路、分析的思路、解答的出路,激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲和興趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.