? 江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李明樹(shù)

1 教材內(nèi)容分析

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域組成.初中階段,圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題.圓是平面幾何中基本的圖形之一,它不僅在“圖形與幾何”領(lǐng)域中有著重要地位,而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對(duì)圓有10點(diǎn)要求,其中“④了解三角形的內(nèi)心與外心.⑥能用尺規(guī)作圖:過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形”.蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第二章“對(duì)稱圖形——圓”是在小學(xué)學(xué)習(xí)圓的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)地研究圓的概念、性質(zhì),與圓有關(guān)的位置關(guān)系,正多邊形和圓,圓的有關(guān)計(jì)算及證明.教材中,本節(jié)課程的“操作與思考”部分是通過(guò)“過(guò)一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)作圓”的探究活動(dòng),類比“兩點(diǎn)確定一條直線”的研究方法,進(jìn)而得到“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的結(jié)論;“嘗試與交流”部分是運(yùn)用尺規(guī)作圖作任意三角形外接圓并發(fā)現(xiàn)三角形的外心的位置特征,其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,促進(jìn)學(xué)生理解尺規(guī)作圖的原理是垂徑定理的運(yùn)用.

2 學(xué)情分析

九年級(jí)學(xué)生在知識(shí)儲(chǔ)備和思維能力上均逐漸趨于豐富和成熟.學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前,通過(guò)對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及推理等方式認(rèn)識(shí)了點(diǎn)、線、面、角、相交線、平行線及三角形、四邊形等“直線型”幾何圖形的性質(zhì),積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).同時(shí),學(xué)生已經(jīng)掌握了尺規(guī)作圖的基本技能和方法,能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.教師通過(guò)數(shù)字平臺(tái)提前發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù),以便了解學(xué)情并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)分析.因此,基于學(xué)情的視角進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)思路為:以教材為基礎(chǔ),強(qiáng)化合情推理與演繹推理的融合,同時(shí)加強(qiáng)代數(shù)推理的滲透,以呼應(yīng)初中階段圖形與幾何領(lǐng)域的三個(gè)主題.

3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

經(jīng)歷“不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的探索過(guò)程,了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念;能夠利用尺規(guī),過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)圓;理解類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展推理能力.

4 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):探索“不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的本質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn):通過(guò)類比,經(jīng)歷確定圓的條件的探索過(guò)程,說(shuō)明“過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓”.

5 教學(xué)過(guò)程

5.1 前學(xué)

(1)從畫(huà)圓的過(guò)程描述圓的定義:

.

(2)從集合的角度描述圓的定義:

.

(3)圓具有兩個(gè)要素,①______,②______,其中______確定圓的位置,______確定圓的大小.

(4)如圖1,用尺規(guī)作圖法作線段AB的垂直平分線(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法).

圖1

(5)如圖2是一張圓形紙片,如何確定圓形紙片的圓心?請(qǐng)用多種方法解決.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：教師提前通過(guò)數(shù)字平臺(tái)發(fā)布課程包,引導(dǎo)學(xué)生線上或線下自主探究,同伴互評(píng).利用任務(wù)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),以便了解學(xué)生對(duì)圓的概念、尺規(guī)作圖、垂徑定理等知識(shí)的掌握情況,為學(xué)生提供自學(xué)、互助、交流的機(jī)會(huì),同時(shí)為本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供必要的知識(shí)儲(chǔ)備,進(jìn)而確定和調(diào)整課堂教學(xué)的起點(diǎn)及節(jié)奏.

5.2 共學(xué)

(Ⅰ)創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題

情境一：兩點(diǎn)確定一條直線.

操作1:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線.

追問(wèn):可以畫(huà)多少條直線?

操作2:在平面內(nèi)任取兩點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B畫(huà)一條直線.

追問(wèn):可以畫(huà)多少條直線?

操作3:在平面內(nèi)任取三個(gè)點(diǎn)呢?你有何發(fā)現(xiàn)?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)“兩點(diǎn)確定一條直線”的復(fù)習(xí)回顧,加深對(duì)“確定”一詞的理解,為研究“確定圓的條件”提供研究思路和方法.

情境二：考古學(xué)家在長(zhǎng)沙馬王堆漢墓挖掘時(shí),發(fā)現(xiàn)了一圓形瓷器碎片(如圖3),你能幫助考古學(xué)家畫(huà)出這個(gè)碎片所在的整圓嗎?從數(shù)學(xué)的角度,需要確定圓形瓷器碎片的哪幾個(gè)要素?

圖3

設(shè)計(jì)意圖：情境旨在引導(dǎo)學(xué)生思考畫(huà)圓需要確定圓的兩要素——圓心和半徑,從而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)——如何確定圓?確定圓的條件是什么?既激發(fā)了學(xué)生的求知欲,又明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

(Ⅱ)實(shí)踐探索,分析、解決問(wèn)題

實(shí)踐探索一：探索“不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”.

操作1:在圖4中作一個(gè)圓,使它經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A.

圖4

追問(wèn):這樣的圓可以作多少個(gè)?為什么?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)操作、觀察與思考,學(xué)生能夠感受到畫(huà)圓的兩個(gè)要素——圓心和半徑.由于圓心的位置具有隨機(jī)性,半徑亦隨之變化,圓的位置和大小均無(wú)法確定,因此經(jīng)過(guò)任意點(diǎn)A可以畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓,為探索操作2提供思路.

操作2:在圖5中作一個(gè)圓,使它經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A,B.

圖5

追問(wèn):這樣的圓可以作多少個(gè)?它們的圓心在什么圖形上?

設(shè)計(jì)意圖：基于操作1積累的經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生尋找圓心O,使OA=OB,再運(yùn)用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件的“動(dòng)畫(huà)”功能使圓心O運(yùn)動(dòng)起來(lái),同時(shí)選擇“追蹤”圓,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“同時(shí)經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A,B的圓有無(wú)數(shù)個(gè)”“圓心O在線段AB的垂直平分線上”的重要規(guī)律.

操作3:你能作一個(gè)圓,使它經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)嗎?如果能,這樣的圓可以作多少個(gè)?圓心在什么位置?如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

追問(wèn)1:圓如果過(guò)這三個(gè)點(diǎn),其圓心與點(diǎn)A,B,C有何關(guān)系?

追問(wèn)2:經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓的圓心有何特征?經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)的圓的圓心呢?經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)的圓的圓心呢?

追問(wèn)3:最終,你有什么發(fā)現(xiàn)?

歸納總結(jié):______.

設(shè)計(jì)意圖：操作3可分三步進(jìn)行探索.第一步(如圖6),當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),引導(dǎo)學(xué)生分別作線段AB,BC的垂直平分線l1,l2,觀察發(fā)現(xiàn)l1與l2沒(méi)有交點(diǎn),進(jìn)一步通過(guò)幾何推理說(shuō)明l1與l2互相平行,從而發(fā)現(xiàn)“經(jīng)過(guò)共線的三點(diǎn)無(wú)法確定一個(gè)圓”.第二步(如圖7和圖8),當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不在一條直線上時(shí),引導(dǎo)學(xué)生分別作線段AB,BC的垂直平分線l1,l2,觀察發(fā)現(xiàn)l1與l2交于一點(diǎn),再進(jìn)一步說(shuō)明OA=OB=OC,從而得出“經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓”的重要結(jié)論.第三步,學(xué)生利用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件,拖動(dòng)圖5中的點(diǎn)C,觀察點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)經(jīng)歷“共線”到“不共線”的變化過(guò)程,同時(shí)觀察到l1,l2由平行到相交的轉(zhuǎn)換,動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)與內(nèi)部關(guān)聯(lián).此環(huán)節(jié)注重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用“交集法”確定圓心位置解決問(wèn)題的思想方法,讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察與操作—探索與猜想—推理”的認(rèn)識(shí)過(guò)程,幫助學(xué)生從“存在性”“唯一性”兩個(gè)方面理解“確定”一詞的含義,促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)地、能動(dòng)地認(rèn)識(shí)世界的良好品質(zhì),同時(shí)強(qiáng)化了合情推理和演繹推理的融合,實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的深度融合.

圖6

圖7

圖8

例1已知點(diǎn)A(2,1),B(-1,-2).

(1)若點(diǎn)C(5,4),試判斷點(diǎn)A,B,C是否可以確定一個(gè)圓,并說(shuō)明理由;

(2)若點(diǎn)C(m,n),且點(diǎn)A,B,C可以確定一個(gè)圓,試探究m,n的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生,從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度進(jìn)行自主探究、合作交流,深化數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的滲透.學(xué)生通過(guò)求經(jīng)過(guò)確定的兩點(diǎn)A,B的一次函數(shù)解析式,再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式來(lái)判斷,從正反兩個(gè)角度強(qiáng)化對(duì)“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的理解,發(fā)展代數(shù)推理能力.學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中作直線AB,再描出點(diǎn)C,從“形”的視角直觀發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證猜想.教師需要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟在探究問(wèn)題的過(guò)程中代數(shù)推理和幾何推理相輔相成,螺旋上升.

實(shí)踐探索二：歸納三角形的外接圓概念.

三角形的外接圓:三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以確定一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在上一環(huán)節(jié)探索活動(dòng)中積累了“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).引導(dǎo)學(xué)生將“不共線的三點(diǎn)”視作“三角形的三個(gè)頂點(diǎn)”,亦可將“三角形的三個(gè)頂點(diǎn)”視作“不共線的三點(diǎn)”.觀察圖9發(fā)現(xiàn),△ABC位于⊙O的內(nèi)部,同時(shí)三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在圓上,故稱⊙O是△ABC的“外接圓”;⊙O在△ABC的外部,同時(shí)三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在圓上,故稱△ABC是⊙O的“內(nèi)接三角形”.促使學(xué)生充分理解“外接”和“內(nèi)接”的內(nèi)涵,感悟哲學(xué)辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn).

圖9

實(shí)踐探索三：用尺規(guī)作圖法作“三角形的外接圓”.

操作4:如圖10,已知銳角三角形ABC,用直尺和圓規(guī)作銳角三角形ABC的外接圓.

圖10

學(xué)生閱讀教材第51頁(yè)“嘗試與交流”內(nèi)容,完成尺規(guī)作圖并思考以下問(wèn)題:

(1)銳角三角形ABC有幾個(gè)外接圓?

(2)如何確定三角形的外心?外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離有何關(guān)系?

(3)圓有幾個(gè)內(nèi)接三角形?

(4)三角形的外接圓有什么性質(zhì)?

設(shè)計(jì)意圖：基于前面的探索活動(dòng),學(xué)生積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上注重引導(dǎo)學(xué)生掌握作三角形外接圓的技能,通過(guò)操作活動(dòng)進(jìn)一步加深對(duì)“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的理解.

例2請(qǐng)用直尺和圓規(guī)分別作出圖11中直角三角形和鈍角三角形的外接圓;觀察所畫(huà)圖形,你發(fā)現(xiàn)三角形的外心和三角形有何位置關(guān)系?

圖11

設(shè)計(jì)意圖：基于上述操作,學(xué)生自主、獨(dú)立完成作圖.教師引導(dǎo)學(xué)生先猜想,再作圖,最后觀察三角形外心的位置特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí),外心O在三角形內(nèi)部;當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),外心O在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處;當(dāng)△ABC是鈍角角三角形時(shí),外心O在三角形外部.為后續(xù)求外接圓的半徑做好鋪墊.運(yùn)用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件,拖動(dòng)△ABC的任意頂點(diǎn)改變△ABC的形狀,直觀呈現(xiàn)△ABC外心的位置,最后通過(guò)說(shuō)理來(lái)驗(yàn)證OA=OB=OC,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和演繹推理能力.

(Ⅲ)知識(shí)遷移,內(nèi)化、運(yùn)用結(jié)論

課堂練習(xí):

(1)請(qǐng)用今天所學(xué)的知識(shí)解決情境二的問(wèn)題,并與同伴分享.

(2)如圖12,A,B,C三點(diǎn)表示不共線的三個(gè)工廠,要建立一個(gè)供水站,使它到這三個(gè)工廠的距離相等,求作供水站的位置.(不寫(xiě)作法,尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡.)

圖12

(3)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,求△ABC的外接圓的半徑.

設(shè)計(jì)意圖：第(1)題引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決情境二的問(wèn)題,即可在“圓形瓷器碎片”的圓弧上任取不重合的三點(diǎn)A,B,C,再分別作弦AB,BC的垂直平分線l1,l2交于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作圓可使“碎片復(fù)原”;第(2)題旨在培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)外部走向數(shù)學(xué)內(nèi)部,學(xué)會(huì)將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化;第(3)題利用“直角三角形的外心在直角三角形的斜邊處”,綜合勾股定理相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題,為后續(xù)學(xué)習(xí)圓周角及其性質(zhì)作鋪墊.

(Ⅳ)課堂小結(jié),梳理、構(gòu)建結(jié)構(gòu)

本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?獲得了哪些方法?感悟了哪些數(shù)學(xué)思想方法?還有什么疑惑?

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助思維導(dǎo)圖或知識(shí)圖譜呈現(xiàn)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)及與前后知識(shí)的關(guān)聯(lián),再一次明確本節(jié)課知識(shí)在本章的地位及價(jià)值,歸納分類討論、尺規(guī)作圖、動(dòng)靜結(jié)合等方法的注意事項(xiàng),進(jìn)一步感悟類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,明確合情推理及演繹推理融合的重要性.

5.3 延學(xué)

(1)根據(jù)“不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”這一結(jié)論,試說(shuō)明平面內(nèi)任意四點(diǎn)是否可以確定一個(gè)圓?如果可以,四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?

(2)例題1變式:在△ABC中,已知點(diǎn)A(2,1),B(-1,-2),C(m,n).試探究m,n滿足怎樣的關(guān)系時(shí),△ABC的外心在△ABC的某條邊上?若外心在△ABC的內(nèi)(外)部呢?

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}(1)注重引導(dǎo)學(xué)生將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)研究,進(jìn)而對(duì)后續(xù)圓周角及其性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形的學(xué)習(xí)埋下伏筆.在實(shí)踐探索三中學(xué)生借助教材中提供的銳角三角形作外接圓時(shí)發(fā)現(xiàn)其外心在三角形內(nèi)部,例2中再分別作直角三角形、鈍角三角形的外接圓并觀察其外心的位置,進(jìn)而得到“三角形的外心位置與三角形的形狀有關(guān)”的結(jié)論.問(wèn)題(2)既是例1的變式,也是從代數(shù)推理的角度對(duì)“結(jié)論”加以證明,使學(xué)生明白“看到的現(xiàn)象”必須通過(guò)邏輯推理驗(yàn)證方可成為“正確的結(jié)論”,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度.

6 思考

6.1 混合式教學(xué)可提高課堂教學(xué)的精準(zhǔn)度

數(shù)字平臺(tái)為學(xué)生提供了多元學(xué)習(xí)場(chǎng)景,“前學(xué)”課程資源可實(shí)時(shí)精準(zhǔn)診斷學(xué)情,為設(shè)計(jì)以學(xué)情、素養(yǎng)為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了有力的數(shù)據(jù)保障.數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件的使用為學(xué)生提供了多維度的探究體驗(yàn),使動(dòng)靜結(jié)合變?yōu)榭赡?“共學(xué)”環(huán)節(jié)凸顯學(xué)生的主體地位,教學(xué)目標(biāo)精準(zhǔn),學(xué)習(xí)過(guò)程扎實(shí),思想方法靈活,教學(xué)狀態(tài)靈動(dòng);“延學(xué)”部分的設(shè)置既是課堂教學(xué)的延續(xù),又是作業(yè)創(chuàng)新的手段.

6.2 素養(yǎng)導(dǎo)向的探究活動(dòng)可實(shí)現(xiàn)教學(xué)評(píng)一體化

本節(jié)課以“四基”為起點(diǎn),“四能”為突破,教學(xué)目標(biāo)指向發(fā)展學(xué)生的推理能力、幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)等,強(qiáng)化代數(shù)推理與幾何推理的融合;以知識(shí)為載體,注重情境的真實(shí)化、探究的系統(tǒng)化、方法的多元化、知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、思想的統(tǒng)整化,學(xué)習(xí)過(guò)程體現(xiàn)學(xué)生的主體地位;充分體現(xiàn)評(píng)價(jià)的多元化,采用線上評(píng)價(jià)、線下評(píng)價(jià)、線上線下相結(jié)合的方式評(píng)價(jià),以實(shí)現(xiàn)多維動(dòng)態(tài)掌握學(xué)情.