林志強(qiáng),羅 敏,王 晶,徐亭亭,李巧珍

(1.東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163318; 2.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,黑龍江 大慶 163318)

彎管內(nèi)可控鉸接柔性管常見于管道機(jī)器人[1-3]和超短半徑水平井鉆井[4]等行業(yè),為了能夠通過較大曲率的管道,柔性管被設(shè)計成多段鉸接,行進(jìn)過程中鉸接柔性管存在由機(jī)構(gòu)向結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程,柔性梁與外管的隨機(jī)動態(tài)接觸使得鉸接柔性管的動力學(xué)行為尤為復(fù)雜,狹長空間內(nèi)柔性管的動力學(xué)特性對柔性管自身的工作狀態(tài)和安全性有著不可忽視的影響,研究彎管內(nèi)可控鉸接柔性管的動力學(xué)特性有著重要的工程意義。

鉸接柔性管可以看成一個鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng),針對鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng),國內(nèi)外學(xué)者開展了相關(guān)的力學(xué)分析。黃葆華等[5]結(jié)合Newton-Raphson迭代法和傳遞矩陣法,提出了求解大運動鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)響應(yīng)的可迭代增量傳遞矩陣法,該方法突破了傳統(tǒng)傳遞矩陣法只能求解線性系統(tǒng)的限制,可用于非線性動力學(xué)系統(tǒng)的求解。趙強(qiáng)等[6]在鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模的研究中引入了空間算子代數(shù)和子結(jié)構(gòu)分析法,該建模方法提高了精度與計算效率。徐妍等[7]基于柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)理論,建立了多段鉸接式揚礦硬管系統(tǒng)的拉格朗日動力學(xué)方程,通過相似理論實驗驗證了模型的合理性。譚小慧等[8]利用能量變分原理建立了含碰撞行為的非光滑鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)動力學(xué)方程,對非光滑鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)中的接觸過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。張軍等[9]將多跨鉸接梁的每段單獨研究,通過梁的振動力學(xué)方法,建立了其動力學(xué)模型,并進(jìn)行了實驗驗證。羅敏等[10-11]采用有限元法,建立了管內(nèi)可控萬向鉸接柔性桿接觸非線性分析的數(shù)值計算方法,引入動力松弛法對數(shù)值模型進(jìn)行求解,解決了梁-梁接觸問題中由于剛體位移的產(chǎn)生導(dǎo)致非線性模型不收斂的問題,通過算例驗證了模型的準(zhǔn)確性。Kamman等[12]提出了一種基于“零特征值定理”的約束多體系統(tǒng)運動控制方程的建立方法,通過懸掛鏈的實例,驗證了模型的合理性。Wang等[13]采用虛擬彈簧方法,對具有閉合運動鏈機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行了動態(tài)仿真。該方法使用虛擬彈簧和阻尼器來包含運動學(xué)約束,從而避免了微分代數(shù)方程的求解,提高了求解效率。Omar[14]基于空間代數(shù)的多體動力學(xué)公式,提出了一種高效的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的建模方法,采用彈性彈簧阻尼單元模擬鏈輪與鏈環(huán)之間的非線性三維接觸力,并考慮了滑動摩擦,該方法可以用來預(yù)測鏈之間的接觸力和磨損。Shafei等[15]提出了一種封閉環(huán)境下多剛性連桿動力學(xué)建模的系統(tǒng)方法,采用Gibbs-Appell遞歸方法推導(dǎo)運動控制方程,該方法建模效率較拉格朗日法高。Igor Mancilla[16]針對鉸接式管道支撐位置受到振蕩運動問題,考慮管道內(nèi)的流體流動,利用Floquet理論,得到了鉸接式剛性管道非線性運動方程的穩(wěn)定性圖,該方法計算成本比非線性數(shù)學(xué)模型的數(shù)值積分更低。

綜上所述,在現(xiàn)有研究中,多是針對開放空間內(nèi)的鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng),而針對有限空間內(nèi)具有動態(tài)接觸行為的鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)的動力學(xué)分析較少,且算法上多是將鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)簡化為剛體,算法的計算效率較高,但能考慮多體系統(tǒng)部件的應(yīng)力和變形,雖然有學(xué)者研究了管內(nèi)的鉸接柔性桿的載荷傳遞規(guī)律,但在數(shù)值方法上采用大阻尼抑制振動,從而得到靜力結(jié)果,方法上使求解收斂性得到了解決,但不能真實反映鉸接柔性桿的動力學(xué)特性,且沒有考慮鉆頭與巖石的互作用。因此,本文在前人基礎(chǔ)上,考慮可控鉸接柔性管底端的鉆頭與巖石互作用力模型,建立適用于彎管內(nèi)可控鉸接柔性管多體系統(tǒng)動態(tài)接觸非線性分析的數(shù)值計算方法,開展彎管內(nèi)可控鉸接柔性管動力學(xué)特性研究,討論不同施工參數(shù)對彎管內(nèi)可控鉸接柔性管動力學(xué)特性的影響規(guī)律,為可控鉸接柔性管的結(jié)構(gòu)設(shè)計和現(xiàn)場施工提供一定的理論參考。

1 彎管內(nèi)可控鉸接柔性管動態(tài)接觸分析理論

彎管內(nèi)鉸接柔性管的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。將柔性管和外管看做是三維有限應(yīng)變管單元,柔性管之間通過可控鉸連接,柔性管在外管內(nèi)的徑向運動受彎管內(nèi)壁約束,采用管單元、可控鉸接運動約束方程和管-管內(nèi)接觸模型描述彎管內(nèi)可控鉸接柔性管隨機(jī)動態(tài)接觸問題。

圖1 彎管內(nèi)可控萬向鉸接柔性管結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 彎管內(nèi)鉸接柔性管多體系統(tǒng)接觸非線性模型

1.1.1 可控萬向鉸接柔性管單元模型

(1) 空間管單元

將柔性管離散為空間管單元,單元長度為le,其節(jié)點位移示意圖如圖2所示。其中:x軸為管單元的中心軸;y、z軸為管單元截面主軸。

圖2 空間管單元節(jié)點位移示意圖

管單元內(nèi)任意一點位移為

d=[u,v,w,φx,φy,φz]T=Nq

(1)

式中:u、v、w分別為管單元內(nèi)任一點位移;φx、φy、φz為管單元節(jié)點轉(zhuǎn)角;q為管單元節(jié)點位移列陣;N為管單元形函數(shù)矩陣[17]。

N=[Nu1,Nv1,Nw1,Nφx1,Nφy1,Nφz1,

Nu2,Nv2,Nw2,Nφx2,Nφy2,Nφz2]

(2)

q=[u1,v1,w1,φx1,φy1,φz1,

u2,v2,w2,φx2,φy2,φz2]T

(3)

根據(jù)變分原理

(4)

(5)

δd=Nδq

(6)

根據(jù)哈密頓原理推導(dǎo)管單元的動力學(xué)方程,哈密頓原理表達(dá)式為

(7)

式中:Up為管單元的應(yīng)變能;Tp為管單元的動能;Wp為管單元的重力勢能。

管單元的彈性應(yīng)變能Up表示為

(8)

式中:ε為可控鉸接柔性管的應(yīng)變張量;σ為可控鉸接柔性管的應(yīng)力張量。

由于可控鉸接柔性管x方向的維度要遠(yuǎn)大于其他方向,應(yīng)變能表達(dá)式可以寫為[18]

(9)

式中:εxx、εxy、εxz分別為柔性管x方向的正應(yīng)變,xy平面、xz平面的切應(yīng)變;E和G分別為柔性管的彈性模量和剪切模量;κ為剪切系數(shù)。

管單元的動能Tp為

(10)

式中:υ為柔性管的速度向量;ω為柔性管角速度向量;I為截面慣性矩矩陣;ρ為柔性管的密度;A為柔性管的截面積。

由于彎管的約束,可控鉸接柔性管的φy和φz較小,可控鉸接柔性管的速度向量υ、角速度向量ω和慣性矩陣I分別為[19]

(11)

式中:Ix為截面極慣性矩;Iy和Iz分別為繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

Ix=?A(z2+y2)dA

(12)

(13)

(14)

式中:Do為柔性管外徑;Di為柔性管內(nèi)徑。

管單元的重力勢能Wp

(15)

對管單元的彈性應(yīng)變能Up、動能Tp和外力功Wp進(jìn)行變分,得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

管單元的阻尼矩陣采用比例阻尼

(22)

式中,α和β為比例常數(shù)。

將單元矩陣進(jìn)行組裝,形成可控鉸接柔性管的總體矩陣

柔性管的整體動力學(xué)方程寫為

(23)

(2) 可控萬向鉸的運動約束

可控萬向鉸鉸點矢量示意圖如圖3所示。在節(jié)點P、Q上建立可控萬向鉸的坐標(biāo)系Pixiyizi和Qjxjyjzj,單元ei和單元ej通過P節(jié)點和Q節(jié)點的運動約束建立聯(lián)系,定義固結(jié)在單元ei(節(jié)點P上)zi軸方向的單位矢量ai和單元ej(節(jié)點Q上)xj軸方向的aj2、yj軸方向的aj1以及連接鉸點的矢量hij,可控鉸的運動約束方程可以通過如圖矢量間的運動關(guān)系定義。

圖3 可控萬向鉸鉸點矢量示意圖

P點和Q點在任意t時刻相對于整體坐標(biāo)系原點O的矢徑ri(t)和rj(t)為

(24)

式中:Ti和Tj為單元坐標(biāo)系的方向余弦陣[20];qi(t)和qj(t)分別為P和Q節(jié)點的位移向量;N為管單元的形函數(shù)矩陣。

兩柔性管單元重合節(jié)點的相對平動約束可以通過限制矢量hij=QP的大小和方向確定

hij=ri(t)-rj(t)=0

(25)

可控鉸的轉(zhuǎn)動約束為

(26)

鉸點處的約束方程為

(27)

設(shè)可控鉸接柔性管整體由S個鉸連接而成,則可控鉸接柔性管的整體鉸接約束方程為

(28)

采用拉格朗日乘子法[21]將約束方程引入到可控鉸接柔性管的整體動力學(xué)方程中

(29)

1.1.2 可控鉸接柔性管與彎管接觸分析模型

(1) 內(nèi)管與外管接觸判定條件

引入間隙函數(shù)g(t)定義內(nèi)管與外管間的接觸狀態(tài),通過內(nèi)管節(jié)點Pm和外管節(jié)點Pn確定g(t),如圖4所示。曲線上任意點的位置可以分別由局部坐標(biāo)系em和en定義。

圖4 可控萬向鉸接柔性管在管內(nèi)接觸模型

在整體坐標(biāo)系OXYZ中,曲線上的每個點都與位置向量xm或xn相關(guān)聯(lián)。由于間隙函數(shù)必須始終在當(dāng)前構(gòu)型中確定,在增量處理變形過程的每次迭代中,這些向量都對應(yīng)于當(dāng)前梁的構(gòu)型。它們可以表示為初始構(gòu)型點的位置向量Xm、Xn和位移向量um、un的和,即

xm=Xm+um

xn=Xn+un

(30)

通過節(jié)點Pm和節(jié)點Pn在全局坐標(biāo)系中隨時間變化的矢量位置,可以計算出它們之間的距離δ為

δ(t)=|xm-xn|

(31)

在計算出最接近點的距離基礎(chǔ)上,間隙函數(shù)g(t)可由幾何關(guān)系確定為

g(t)=rt-rc-δ(t)

(32)

式中:rt為外管的內(nèi)半徑;rc為內(nèi)管的外半徑。

當(dāng)g(t)<0時,判定內(nèi)管與外管發(fā)生接觸,內(nèi)管與外管發(fā)生接觸后,采用增廣拉格朗日算法計算法向接觸力

(33)

其中

(34)

當(dāng)內(nèi)管與外管接觸時,接觸面有法向接觸壓力,若內(nèi)管與外管發(fā)生相對滑動,有軸向摩擦阻力存在,本文采用庫倫摩擦模型,表示如下

Ff=μFn

(35)

式中:Ff為摩擦力列陣;μ為摩擦因數(shù)。

綜合可控鉸接的機(jī)構(gòu)-結(jié)構(gòu)問題及與外管的接觸非線性問題,結(jié)合管單元、可控鉸接運動約束和管-管接觸模型,建立彎管內(nèi)可控鉸接柔性管接觸非線性的整體動力學(xué)方程為

(36)

由于方程存在非線性項,單獨的動力學(xué)求解算法無法完成求解,采用Newmark法結(jié)合Newton-Raphson法[22]對彎管內(nèi)可控萬向鉸接柔性管的整體動力學(xué)方程進(jìn)行求解。

1.2 模型驗證

采用文獻(xiàn)[23]中的算例,對本文數(shù)值計算方法進(jìn)行驗證。內(nèi)管彈性模量E=210 GPa,l=1 m,慣性矩I=7.84×10-9m4,內(nèi)管與外管間隙δ=8 mm,鉸點處的鉸接限制度數(shù)χ=1°。外管全固定,內(nèi)管一端固定約束,一端為可動鉸支約束,中間鉸接處受集中載荷作用F(t)=1 000t(0≤t≤0.08)(單位N)如圖5所示。

圖5 內(nèi)管與外管結(jié)構(gòu)示意圖

鉸點處的y方向位移Δ的解析解為

(37)

式中:Fr為鉸接處達(dá)到轉(zhuǎn)動限制度數(shù)的臨界集中力;F1為內(nèi)梁與外梁發(fā)生接觸的臨界集中力,本算例中Fr=34.48 N,F1=57.49 N。解析解與數(shù)值解對比如圖6所示。由圖6可知,最大誤差僅為0.9%,計算模型滿足精度條件。

圖6 鉸點位移解析解與數(shù)值解對比

2 工程算例

將彎管內(nèi)可控鉸接柔性管多體系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型應(yīng)用到鉆井工程中,采用文獻(xiàn)[24]中的施工參數(shù),對超短半徑水平井造斜段柔性鉆具進(jìn)行動力學(xué)分析。

2.1 柔性鉆具動力學(xué)分析模型的建立

超短半徑水平井造斜段曲率半徑ρ為3.2 m,井斜角為90°,選取柔性鉆桿和導(dǎo)向篩管為研究對象,導(dǎo)向篩管和柔性鉆桿的彈性模量E=210 GPa,泊松比為0.3,密度為7 850 kg/m3。將柔性鉆桿簡化為相應(yīng)截面尺寸的圓管結(jié)構(gòu),簡化后的結(jié)構(gòu)如圖7所示。單節(jié)柔性鉆桿各截面S1～S5對應(yīng)的長度分別為33 mm、28 mm、38 mm、32 mm和27 mm,對應(yīng)的外徑分別為54 mm、84 mm、84 mm、91 mm和69 mm,內(nèi)徑均為30 mm,鉸接位置位于截面S2和截面S3之間。

圖7 簡化后單節(jié)柔性鉆桿結(jié)構(gòu)

柔性鉆具動力學(xué)分析模型如圖8所示,柔性鉆桿的截面由x軸(方向垂直平面向里)和y軸(與x軸垂直,方向指向井眼曲率半徑圓心)描述,z軸為柔性鉆桿的軸向。

圖8 柔性鉆具動力學(xué)分析模型

柔性鉆具的邊界條件為:導(dǎo)向篩管全固定約束,柔性鉆桿頂端施加三個方向的線位移約束,底端施加x方向與y方向的線位移約束,柔性鉆桿頂端施加轉(zhuǎn)速(r/min),轉(zhuǎn)速施加表達(dá)式如下

(38)

柔性鉆桿底端施加鉆頭與巖石互作用簡化模型[25]。計算公式如式(39)所示,計算過程中鉆頭與巖石動摩擦因數(shù)取0.235,鉆壓為3 t。

(39)

式中:TOB為鉆頭由于摩擦產(chǎn)生的總扭矩;η為鉆頭與巖石間的動摩擦因數(shù);D為鉆頭直徑;WOB為鉆頭上鉆壓。

柔性鉆桿同時承受自重作用,重力加速度取9.8 m/s2,數(shù)值模擬計算總時長8 s,其中0～0.4 s為轉(zhuǎn)速加載階段,0.4～8 s為正常鉆進(jìn)階段,計算時間步長為0.04 s。

2.2 柔性鉆桿振動特性分析

柔性鉆桿的振動可以分為橫向振動、軸向振動、扭轉(zhuǎn)振動和渦動四種。美國貝克休斯公司將鉆柱的振動分為三項水平,即橫向振動水平、軸向振動水平和黏滑振動水平,每個振動水平分為0～7級[26],其中,軸向振動水平在4級及以上為劇烈振動,橫向振動水平和黏滑振動水平在5級及以上為劇烈振動,鉆柱易產(chǎn)生破壞。

(1) 柔性鉆桿的橫向振動

柔性鉆桿橫向加速度有效值(計算時長內(nèi)加速度的均方根值)[27]隨井斜角位置變化曲線如圖9所示。由圖9可知,由于鉸接位置存在結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)間的轉(zhuǎn)換,導(dǎo)致了柔性鉆桿的橫向振動具有不連續(xù)的特點,且振動峰值均出現(xiàn)在鉸點位置,x方向的橫向振動和y方向的橫向振動具有極高的相似性,x方向的橫向振動明顯大于y方向的橫向振動,且靠近兩端位置的振動更大,x方向和y方向橫向振動最大值分別為15.25g和7.70g(g為重力加速度),柔性鉆桿x方向橫向振動劇烈位置集中在井斜角38°～86°,y方向橫向振動劇烈位置集中在井斜角49°～59°,x方向橫向加速度值處于劇烈振動區(qū)間占比56.28%,y方向為19.89%。由此可知鉸接位置的x方向橫向振動更容易使柔性鉆桿發(fā)生失效。

圖9 柔性鉆桿橫向加速度隨井斜角位置變化曲線

(2) 柔性鉆桿的軸向振動

柔性鉆桿的軸向振動加速度有效值曲線如圖10所示。由圖10可知,柔性鉆桿的軸向振動較小,最大值為2.34g,出現(xiàn)在井斜角4.39°位置,達(dá)到3級振動水平,其余位置的振動均處在2級振動以下,較為安全。

圖10 柔性鉆桿軸向加速度隨井斜角位置變化曲線

(3) 柔性鉆桿的黏滑振動

黏滑振動由S1和S2兩個指標(biāo)描述,計算式為

(40)

(41)

式中:Nmax、Nmin和Na為柔性鉆桿底端最高、最低轉(zhuǎn)速和平均轉(zhuǎn)速,r/s;tbak為柔性鉆桿反向渦動所占時間;ttotal為總計算時長。

柔細(xì)鉆桿頂端與底端轉(zhuǎn)速對比如圖11所示。

圖11 柔性鉆桿轉(zhuǎn)速隨時間變化曲線

由圖11可知,正常鉆進(jìn)階段底端轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)正弦趨勢,底端最高轉(zhuǎn)速和最低轉(zhuǎn)速分別為41.93 r/min和38.28 r/min,頂端轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后底端的平均轉(zhuǎn)速為39.98 r/min,為了便于代入式(40)和式(41),將上述轉(zhuǎn)速的單位轉(zhuǎn)換為r/s,分別為0.70 r/s、0.64 r/s和0.65 r/s。

不同位置柔性鉆桿運動軌跡如圖12所示。由圖12可知,柔性鉆桿兩端的渦動范圍較大,中間渦動范圍相對較小,三個位置繞中點的公轉(zhuǎn)方向均為逆時針(與頂端轉(zhuǎn)速施加方向相同),結(jié)合柔性鉆桿的轉(zhuǎn)速對比得出,柔性鉆桿沒有出現(xiàn)反向渦動現(xiàn)象。通過計算得到,S1=0.25,S2=0,柔性鉆桿的黏滑振動處于1級水平。

(a) 頂端

2.3 柔性鉆桿振動特性影響因素

由2.2節(jié)可知,造斜段柔性鉆桿的失效最有可能由橫向振動引起,而柔性鉆桿x方向和y方向的橫向振動具有相似性的特點,x方向的橫向振動又明顯大于y方向的橫向振動,因此,本節(jié)主要研究轉(zhuǎn)速和鉆壓對柔性鉆桿x方向橫向振動的影響。

(1) 轉(zhuǎn)速對柔性鉆桿橫向振動的影響

固定鉆壓為3 t,令轉(zhuǎn)速分別為40 r/min、50 r/min和60 r/min,不同轉(zhuǎn)速下柔性鉆桿橫向振動加速度隨井斜角位置變化曲線如圖13所示。由圖13可知,在轉(zhuǎn)速為40 r/min、50 r/min和60 r/min時,柔性鉆桿x方向橫向振動的最大值分別為15.25g、12.90g和13.82g,產(chǎn)生劇烈振動位置占比分別為56.28%,46.44%和39.89%。從圖中可以看出,在井斜角0°～10°區(qū)間內(nèi),柔性鉆桿的橫向振動隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大,在區(qū)間10°～46°和區(qū)間78°～90°,轉(zhuǎn)速對橫向振動劇烈程度的影響不大,在區(qū)間46°～72°,柔性鉆桿的橫向振動隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小,總體上看,增加轉(zhuǎn)速在一定程度上減小了柔性鉆桿的整體橫向振動劇烈程度。

圖13 不同轉(zhuǎn)速下柔性鉆桿x方向橫向加速度隨井斜角位置變化曲線

(2) 鉆壓對柔性鉆桿橫向振動的影響

固定轉(zhuǎn)速為40 r/min,令鉆壓分別為3 t、6 t和9 t,不同鉆壓下柔性鉆桿橫向振動加速度隨井斜角位置變化曲線如圖14所示。由圖14可知,在鉆壓為3 t、6 t和9 t時,柔性鉆桿x方向橫向振動的最大值分別為15.25g、27.22g和23.55g,三種鉆壓下,柔性鉆桿產(chǎn)生劇烈振動位置占比分別56.28%,70.49%和90.00%。從圖14可以看出,鉆壓增大到6 t時,對井斜角10°～20°區(qū)間內(nèi)的柔性鉆桿橫向振動影響不大,由井斜角23°開始柔性鉆桿的橫向振動急劇增加,直到井斜角43°位置達(dá)到最大值。鉆壓為9 t時,井斜角3°～15°、17°～86°區(qū)間內(nèi),柔性鉆桿的橫向振動均達(dá)到劇烈振動水平,柔性鉆桿整體基本進(jìn)入危險狀態(tài)。由此可見,增大鉆壓,柔性鉆桿橫向振動急劇增大,不利于安全鉆進(jìn)。

圖14 不同鉆壓下柔性鉆桿x方向橫向加速度隨井斜角位置變化曲線

3 結(jié) 論

本文采用哈密頓原理結(jié)合多體系統(tǒng)動力學(xué)理論,建立了彎管內(nèi)可控鉸接柔性管多體系統(tǒng)動態(tài)接觸非線性力學(xué)模型,通過算例驗證了模型的準(zhǔn)確性。以超短半徑水平井柔性鉆具為例,對造斜段柔性鉆具進(jìn)行動力學(xué)分析,得到以下結(jié)論:

(1) 在超短半徑水平井造斜鉆進(jìn)過程中,柔性鉆桿的軸向振動和黏滑振動處于安全水平,橫向振動是導(dǎo)致柔性鉆具可能失效的主要因素。

(2) 增大轉(zhuǎn)速可以在一定程度上減小柔性鉆桿的橫向振動;增大鉆壓,不利于柔性鉆桿的安全鉆進(jìn)。