袁曉明,王維锜,龐浩東,張立杰

(1.燕山大學(xué) 河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室,河北 秦皇島 066004;2.燕山大學(xué) 先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室,河北 秦皇島 066004)

穩(wěn)定平臺通過敏感元件檢測設(shè)備的位姿變化,利用姿態(tài)調(diào)整對設(shè)備的偏斜進行補償,隔絕環(huán)境的影響以保持設(shè)備在慣性空間的相對穩(wěn)定[1-4]。依據(jù)機構(gòu)類型分類,穩(wěn)定平臺可分為串聯(lián)穩(wěn)定平臺和并聯(lián)穩(wěn)定平臺[5-6]。串聯(lián)穩(wěn)定平臺控制簡單、設(shè)計成本低,多用于激光定位、衛(wèi)星通訊、導(dǎo)彈制導(dǎo)、無人偵察機等場合;并聯(lián)穩(wěn)定平臺具有承載能力強、剛度高、易于實現(xiàn)多軸耦合驅(qū)動的特性,在武器發(fā)射、海上救援、直升機對接等高精度作業(yè)場合有著廣泛的應(yīng)用場景[7-10]。通過采用具有功重比大、響應(yīng)速度快、累計誤差小等優(yōu)點的電液驅(qū)動形式,穩(wěn)定平臺的運動控制精度得到大幅提高[11-12]。但是流體工作介質(zhì)引入導(dǎo)致的機液耦合現(xiàn)象以及非線性因素使機構(gòu)的振動特性更為復(fù)雜。在實際工況下,驅(qū)動液壓缸的壓力脈動所導(dǎo)致的參數(shù)振動不可避免地對穩(wěn)定平臺的姿態(tài)補償與控制精度造成影響,嚴重制約了穩(wěn)定平臺性能的提升[13-14]。

針對電液驅(qū)動的并聯(lián)機構(gòu)參數(shù)振動的研究,主要有幾何方法、數(shù)值方法和解析方法三種方法對其進行求解[15-16]。幾何方法是在常微分方程理論的基礎(chǔ)上,由相軌跡的幾何性質(zhì)進行定性分析的方法。數(shù)值法是以非線性微分方程求解為基礎(chǔ)理論的分析方法,能夠確定在特定參數(shù)和初始條件下系統(tǒng)的運動規(guī)律,該方法通常用作檢驗理論結(jié)果的一種有效手段。解析法以線性振動理論的精確解為基礎(chǔ),通過近似解析系統(tǒng)的動力學(xué)方程,從而分析系統(tǒng)響應(yīng)規(guī)律的方法。近似解析方法種類繁多,例如平均法[17]、攝動法[18-19]等,而多尺度法憑借其對于求解不同問題的高通用性,已在系統(tǒng)模態(tài)分析、參數(shù)識別、減振避振、故障診斷和狀態(tài)檢測等方面得到廣泛應(yīng)用[20-23]。

但是在研究過程中,對參數(shù)振動響應(yīng)幅值的研究尚未開展。因此,以電液3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺作為研究對象,采用多尺度法對機構(gòu)的參數(shù)振動響應(yīng)理論解析表達式進行求解,在此基礎(chǔ)上對參數(shù)振動響應(yīng)特性進行了分析,最后采用數(shù)值仿真與模態(tài)試驗的方法對參數(shù)振動模型進行了驗證。本項研究可為揭示電液驅(qū)動的并聯(lián)穩(wěn)定平臺的振動機理提供一定的理論基礎(chǔ)。

1 電液3-UPS/S平臺參數(shù)振動建模

由于泵源壓力脈動與伺服閥的自激振蕩作用,驅(qū)動液壓缸油腔油液壓力不可避免地存在波動,進而造成機構(gòu)液壓剛度的波動。為探究機構(gòu)在壓力波動條件下的振動響應(yīng)特性,以試驗測得的油液壓力脈動曲線為基礎(chǔ),構(gòu)建機構(gòu)的參數(shù)振動方程。

1.1 電液3-UPS/S平臺機構(gòu)

電液3-UPS/S平臺結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。平臺由動平臺、靜平臺、三條伸縮支鏈與一條支撐支鏈組成。伸縮支鏈為主動支鏈,由液壓缸進行驅(qū)動,液壓缸活塞桿由球鉸連接至動平臺,缸體由萬向鉸連接至靜平臺;支撐支鏈通過球鉸連接至動平臺,限制了平臺的移動自由度,使平臺只具有任意方向的轉(zhuǎn)動自由度。

圖1 電液3-UPS/S平臺簡圖

1.2 壓力波動下油液等效剛度

為求解機構(gòu)的油液壓力波動矩陣,需測量驅(qū)動液壓缸的油缸壓力數(shù)據(jù),具體方法如下:

在驅(qū)動液壓缸的有桿腔與無桿腔處設(shè)置測試點并安裝壓力傳感器,通過采集卡將采集到的壓力數(shù)據(jù)輸入至計算機以獲得系統(tǒng)的壓力脈動曲線,最終結(jié)果如圖2所示。

(a) 驅(qū)動支鏈1液壓缸有桿腔壓力脈動曲線

假設(shè)油液壓力按照簡諧規(guī)律變化,則油液壓力表示為

(1)

受到支鏈液壓缸油液壓力波動的影響,支鏈中的流體時變等效剛度也會隨之發(fā)生改變,其表達式為

(2)

1.3 電液3-UPS/S平臺參數(shù)振動方程

電液3-UPS/S平臺機構(gòu)在工作過程中,支鏈液壓缸油腔內(nèi)的油液會被壓縮,油液等效剛度可表示為

(3)

式中:kyi為各腔油液等效剛度;ΔFi為各腔油液復(fù)位力;ΔLi為各腔油液軸向長度變化,m。

機構(gòu)運動過程中,液壓缸兩油腔內(nèi)的油液在活塞移動過程中軸向位移量相同,可看作彈簧并聯(lián)的形式,故機構(gòu)的單支鏈液壓缸度可表示為

kgi=k1i+k2i

(4)

式中:kgi為第i條支鏈油液等效剛度;k1i為第i條支鏈液壓缸無桿腔油液等效剛度;k2i為第i條支鏈液壓缸有桿腔油液等效剛度,其中i=1,2,3。

設(shè)支鏈液壓缸油液壓力呈余弦變化規(guī)律且分布均勻,則電液3-UPS/S平臺機構(gòu)參數(shù)振動動力學(xué)方程可表示為

(5)

將式(5)正則化即可得到正則坐標下系統(tǒng)的參數(shù)振動方程

(6)

式中:CN為正則坐標下阻尼矩陣;Λ為譜矩陣;ΔMN為正則坐標下激振力矩矩陣;ΔKN為正則坐標下流體壓力波動矩陣。

2 電液3-UPS/S平臺參數(shù)振動響應(yīng)求解

在得到機構(gòu)參數(shù)振動方程的基礎(chǔ)上,采用多尺度法對振動響應(yīng)的解析近似解進行求解,為振動響應(yīng)仿真奠定理論基礎(chǔ)。

2.1 電液3-UPS/S平臺主共振響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解析近似解

采用多尺度法求解機構(gòu)的振動響應(yīng)解析近似解,設(shè)式(5)的二次解析近似解表達式為

ηi=ηi0(T0,T1)+εηi1(T0,T1)+…

(7)

式中,Tn=εnt,ε為小參數(shù)量。

零次冪方程表達式為

(8)

式中,ωni表示第i階固有頻率的穩(wěn)態(tài)值(i=1,2,3)。

一次冪方程表達式為

(9)

式中,MBi為矩陣MB的第i項元素(i=1,2,3)。

當(dāng)壓力波動角頻率接近系統(tǒng)的各階固有頻率時,系統(tǒng)將產(chǎn)生主共振,引入?yún)f(xié)調(diào)參量σ,則有:

ω0=ωni+εσ

(10)

求解式(8)、式(9),得到零次解析近似解表達式為

(11)

式中:ΔkNij為矩陣ΔkN的第i行第j列元素;MBi為矩陣MB的第i行元素。

則直角坐標系下系統(tǒng)的主共振響應(yīng)理論解析近似解為

x=ψT(η0+εη1)

(15)

同理,可對壓力脈動角頻率接近其余各級固有頻率時,機構(gòu)的主共振響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解析近似解進行求解。

2.2 電液3-UPS/S平臺組合共振響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解析近似解

與主共振響應(yīng)分析類似,采用多尺度法對系統(tǒng)組合共振響應(yīng)進行求解,設(shè)方程的解如式(16)所示

(16)

將式(16)代入式(5),根據(jù)小參數(shù)量同次冪相等的條件,可得到組合共振響應(yīng)的零次冪方程和一次冪方程如下

零次冪方程:

(17)

一次冪方程:

(18)

以激勵頻率接近一階固有頻率與壓力脈動角頻率之和為例,引入諧調(diào)參數(shù)σ

ω0=ωn1+ωe+εσ

(19)

求解可得組合共振響應(yīng)零次解析近似解表達式為

(20)

(21)

(25)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

則直角坐標下系統(tǒng)的組合共振響應(yīng)為

x=ψT(η0+εη1)

(33)

3 電液3-UPS/S平臺參數(shù)振動特性分析

電液3-UPS/S平臺機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 電液3-UPS/S平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)

將表1相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(5)求解機構(gòu)在隨機位姿α=10°,β=10°,γ=28°的固有頻率穩(wěn)態(tài)值,結(jié)果如表2所示。

表2 電液3-UPS/S平臺固有頻率穩(wěn)態(tài)值

3.1 電液3-UPS/S平臺主共振響應(yīng)分析

電液3-UPS/S平臺壓力脈動頻率ωe為6.28 rad/s,若機構(gòu)在隨機位姿α=10°,β=10°,γ=28°下所受力矩矩陣表達式為

(34)

則可計算激勵頻率接近各階固有頻率時機構(gòu)主共振響應(yīng)曲線如圖3所示。

(a) ω0≈ωw1穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時域曲線

由圖3(a)和3(b)可以看出,當(dāng)激勵頻率接近一階固有頻率時,機構(gòu)在偏轉(zhuǎn)方向上振動響應(yīng)幅值最大,最大振動響應(yīng)幅值為0.623°,機構(gòu)在俯仰和回轉(zhuǎn)方向上的振動響應(yīng)幅值近似相等。由圖3(c)～3(f)可知,當(dāng)激勵頻率接近機構(gòu)的二階、三階固有頻率穩(wěn)態(tài)值時,機構(gòu)依次在俯仰、回轉(zhuǎn)方向上振動響應(yīng)幅值達到最大,俯仰方向最大振動響應(yīng)幅值為0.029 1°,回轉(zhuǎn)方向最大振動響應(yīng)幅值為0.016 2°,此時其余方向的振動響應(yīng)幅值較小,與主振型一致。

3.2 電液3-UPS/S平臺組合共振響應(yīng)分析

保持機構(gòu)各參數(shù)不變,計算機構(gòu)的組合共振響應(yīng)曲線如圖4所示。

(a) ω0≈ωw1+ωk穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時域曲線

由圖4(a)可知,當(dāng)激勵頻率接近機構(gòu)的一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值與壓力脈動頻率穩(wěn)態(tài)值的組合頻率時,機構(gòu)偏轉(zhuǎn)方向的振動響應(yīng)最大,遠大于回轉(zhuǎn)、俯仰方向的振動響應(yīng)。由圖4(b)可知,在ωw1+ωk處,各方向上的振動響應(yīng)幅值達到最大,且回轉(zhuǎn)和俯仰方向上的振動響應(yīng)近似相等。由圖4(c)～4(f)可知,同主共振響應(yīng)類似,當(dāng)外部激勵頻率分別接近二階、三階固有頻率穩(wěn)態(tài)值與壓力脈動穩(wěn)態(tài)值的組合頻率時,機構(gòu)俯仰、回轉(zhuǎn)方向上的振動響應(yīng)幅值達到最大。對比圖3和4可以看出,機構(gòu)主共振的主導(dǎo)頻率為機構(gòu)各階固有頻率的穩(wěn)態(tài)值,組合共振的主導(dǎo)頻率為各階固有頻率穩(wěn)態(tài)值與壓力脈動頻率穩(wěn)態(tài)值的組合頻率。

3.3 電液3-UPS/S平臺工作空間振動響應(yīng)幅值分析

機構(gòu)參數(shù)振動的響應(yīng)幅值是機構(gòu)姿態(tài)的函數(shù)。通過時域與頻域分析可知,當(dāng)激勵頻率接近分別接近一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值、一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值與壓力脈動頻率穩(wěn)態(tài)值的組合頻率時,機構(gòu)的振動響應(yīng)幅值遠大于接近其他固有頻率的情況。當(dāng)平臺用于維持設(shè)備水平方向穩(wěn)定時,偏轉(zhuǎn)方向上姿態(tài)補償角度變化范圍較小,主要通過回轉(zhuǎn)、俯仰方向上的運動進行角度補償。根據(jù)工作空間搜索理論,當(dāng)偏轉(zhuǎn)姿態(tài)角度γ=28°時,回轉(zhuǎn)、俯仰姿態(tài)角度連續(xù)變化范圍最大,因此以該位姿作為初始工作空間,激勵頻率分別接近一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值、一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值與壓力脈動頻率穩(wěn)態(tài)值的組合頻率為例,計算機構(gòu)的主共振與組合共振振動響應(yīng)幅值,最終結(jié)果如圖5所示。

(a) 回轉(zhuǎn)方向主共振響應(yīng)幅值

由圖5(a)、5(d)可以看出,機構(gòu)在回轉(zhuǎn)上的主共振與組合共振響應(yīng)幅值在俯仰姿態(tài)處于初始位姿時數(shù)值較小,對回轉(zhuǎn)方向的姿態(tài)變化不敏感,初始工作空間內(nèi),機構(gòu)主共振響應(yīng)幅值最大值大于組合共振響應(yīng)幅值最大值。由圖5(b)、5(e)可以看出,機構(gòu)在俯仰方向上的主共振與組合共振響應(yīng)幅值在回轉(zhuǎn)姿態(tài)處于初始位姿時數(shù)值較小,對俯仰姿態(tài)角度的變化不敏感。由圖5(c)、5(f)可知,機構(gòu)偏轉(zhuǎn)方向上的主共振與組合共振響應(yīng)幅值大于機構(gòu)在回轉(zhuǎn)、俯仰方向上的響應(yīng)幅值,且變化呈現(xiàn)一定的對稱性,初始工作空間內(nèi),機構(gòu)主共振響應(yīng)幅值最大值小于組合共振響應(yīng)幅值最大值。對應(yīng)主振型分析結(jié)果,在激勵頻率分別接近機構(gòu)一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值、一階固有頻率穩(wěn)態(tài)值與壓力脈動頻率穩(wěn)態(tài)值的組合頻率的條件下,機構(gòu)的主共振與組合共振響應(yīng)幅值均大于其他方向上的振動響應(yīng)幅值。

4 電液3-UPS/S平臺參數(shù)振動模型驗證

為驗證機構(gòu)參數(shù)振動模型的正確性,采用數(shù)值仿真方法計算振動響應(yīng)與模態(tài)試驗測量機構(gòu)固有頻率相結(jié)合的方法對機構(gòu)的模型進行驗證。

4.1 基于數(shù)值法的參數(shù)振動模型驗證

以機構(gòu)處于隨機位姿α=10°,β=10°,γ=28°,激勵頻率分別接近機構(gòu)一階固有頻率、一階固有頻率與壓力脈動頻率的組合頻率為例,利用四階龍格庫塔法對機構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進行求解,得到機構(gòu)的時域響應(yīng)曲線如圖6所示。

(a) 主共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)數(shù)值解時域曲線

由圖6(a)可知,數(shù)值解法所求得的機構(gòu)主共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)呈現(xiàn)簡諧波動,回轉(zhuǎn)、俯仰、偏轉(zhuǎn)方向上的角位移響應(yīng)最大值分別為0.041 7°,0.050 9°,0.624 7°,數(shù)值解與理論解的最大誤差為0.47%;由圖6(b)可知,機構(gòu)發(fā)生組合共振時,回轉(zhuǎn)、俯仰、偏轉(zhuǎn)方向上的角位移響應(yīng)最大值分別為0.011 0°,0.012 7°,0.189 9°,數(shù)值解與理論解的最大誤差為4.2%,由此可以驗證機構(gòu)參數(shù)振動理論模型的正確性。

4.2 電液3-UPS/S平臺樣機模態(tài)試驗

采用脈沖激振法對電液3-UPS/S平臺樣機進行模態(tài)試驗。樣機如圖7所示。平臺振動響應(yīng)數(shù)值解結(jié)果如表3所示。

表3 電液3-UPS/S平臺振動響應(yīng)數(shù)值解結(jié)果

圖7 電液3-UPS/S平臺樣機

為驗證自由振動理論模型的正確性,采用脈沖激振法測量3-UPS/S平臺樣機在隨機位姿α=10°,β=10°,γ=28°下的固有頻率,試驗原理圖如圖8所示。力錘敲擊樣機動平臺給予脈沖激勵,樣機的加速度變化通過加速度傳感器收集并傳遞至下位機,由此產(chǎn)生的力信號經(jīng)由力錘自帶的傳感器傳遞至下位機,最終下位機將收集到信號傳輸至電腦進行儲存。模態(tài)試驗系統(tǒng)圖如圖9所示。試驗結(jié)果如表4所示。

表4 模態(tài)試驗結(jié)果

1.油箱;2.液位計;3.液溫計;4.過濾器;5.電機、液壓泵;6.溢流閥;7.截止閥;8.精過濾器;9.伺服閥;10.平臺樣機;11.加速度傳感器;12.力錘;13.下位機;14.計算機。

(a) 模態(tài)試驗平臺

試驗中所用采樣頻率為640 Hz,因此滿足采樣定理要求,采集信號具有可信度,試驗所采集的激勵信號與振動信號的時域曲線如圖10所示。

(a) 力信號曲線

對圖10所得數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理,可得到樣機響應(yīng)信號的功率譜密度曲線如圖11所示。觀察圖11可以看出,曲線在26.31 Hz,126.41 Hz和141.88 Hz處具有明顯峰值,通過與機構(gòu)固有頻率理論值對比,理論值與試驗值的最大誤差為4.66%,因此可驗證理論模型的正確性。

圖11 功率譜密度曲線

5 結(jié) 論

(1) 機構(gòu)的主共振主導(dǎo)頻率為機構(gòu)的各階固有頻率;組合共振主導(dǎo)頻率為機構(gòu)的各階固有頻率與壓力脈動頻率的組合頻率,此時機構(gòu)的各階固有頻率起調(diào)節(jié)作用;

(2) 初始工作空間內(nèi),機構(gòu)在回轉(zhuǎn)、俯仰方向上的主共振與組合共振響應(yīng)幅值對同方向的姿態(tài)變化不敏感,且當(dāng)激勵頻率分別接近機構(gòu)一階固有頻率、一階固有頻率與壓力脈動組合頻率時,機構(gòu)在偏轉(zhuǎn)方向的振動響應(yīng)幅值遠大于其余兩個方向上的振動響應(yīng)幅值;

(3) 采用四階龍格庫塔數(shù)值仿真方法與模態(tài)試驗對參數(shù)振動模型進行驗證,結(jié)果表明:數(shù)值解與理論解之間的最大誤差為4.20%,固有頻率理論值與試驗值之間的最大誤差為4.66%,可驗證參數(shù)振動模型的正確性。