譚 健,張 理,王 沖,張玉龍,張 玉,段夢蘭

(1.中國石油大學(xué)(北京) 安全與海洋工程學(xué)院,北京 102249;2.南方海洋科學(xué)與工程廣東省實驗室(湛江),廣東 湛江 524005;3.中國科學(xué)院 聲學(xué)研究所噪聲與振動重點實驗室,北京 100190)

海洋溫差能是海洋能中儲量最大、最穩(wěn)定的清潔可再生能源,也是可再生能源中唯一無需儲能系統(tǒng)可以實現(xiàn)穩(wěn)定、可控供電的能源。海洋能海洋溫差能發(fā)電(ocean thermal energy conversion,OTEC)是利用深層冷海水與表層溫海水之間的溫度梯度來運行熱機(jī)并產(chǎn)生有用功,通常是以電力的形式[1]。OTEC系統(tǒng)裝置可分為岸基式和浮式[2],如圖1所示[3]。而冷水管(cold-water pipe,CWP)是海洋溫差能發(fā)電系統(tǒng)裝置中一種新穎的、最為關(guān)鍵的部件,是浮體平臺和深層海水之間的輸送通道[4]。OTEC裝置應(yīng)用的機(jī)械問題主要集中在兩個方面:汽輪機(jī)和冷水管[5]。大口徑和超長的冷水管在復(fù)雜多變的海洋工況下,其強(qiáng)迫振動響應(yīng)直接影響OTEC裝置的工作條件,同時也是制約海洋溫差能發(fā)電商業(yè)化的因素之一。因此開展大口徑冷水管的強(qiáng)迫振動分析,以為其初期設(shè)計提供一定的指導(dǎo)作用。

圖1 海洋溫差能發(fā)電工作原理

自冷水管的概念第一次被提出到應(yīng)用于OTEC系統(tǒng)中,冷水管的振動響應(yīng)研究一直都是OTEC系統(tǒng)裝置前期設(shè)計的重點關(guān)注對象。冷水管的設(shè)計問題可分為三個主要問題:極限分析[6-8]、船-管耦合分析[9-10]和管道振動分析[11-12](渦激振動和內(nèi)流引起的振動)。大量學(xué)者通過理論、有限元和實驗方法驗證了內(nèi)流流動將引發(fā)管體的不穩(wěn)定[13-15],然而鮮有文獻(xiàn)針對大口徑冷水管的強(qiáng)迫振動進(jìn)行分析。但作為一種典型的輸流管道,眾多學(xué)者對輸流管路的自由振動和強(qiáng)迫振動做了大量的研究工作。黃燦等[16]采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)算子研究了振動系統(tǒng)在諧波激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項對剛度和阻尼的影響。王劍等[17]通過提出理論-實驗混合計算方法,研究了考慮質(zhì)量偏心的階梯梁-基礎(chǔ)的強(qiáng)迫振動,發(fā)現(xiàn)在垂向激勵下質(zhì)量偏心對系統(tǒng)的垂向位移響應(yīng)無影響,但會產(chǎn)生縱向位移響應(yīng)。趙千里等[18]基于格林函數(shù)法推導(dǎo)了固定-彈性支承式輸流管的格林函數(shù),并得到了擾度的解析表達(dá)式,分析了擾度與激振位置、激振頻率、內(nèi)流流速、彈簧剛度和質(zhì)量比的關(guān)系,并提出該方法可適用研究任意支承形式和多個激勵的強(qiáng)迫振動問題。此后針對外部載荷和內(nèi)流共同作用下輸流彎管的強(qiáng)迫振動問題,基于修正的不可伸長理論,研究了正切方向的夾角、激振頻率和激振位置對切向位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響[19]。孫志禮等[20]利用格林函數(shù)法研究了兩端支承輸流管在集中載荷和分布載荷下的強(qiáng)迫振動并推導(dǎo)了封閉的精確解。范瑾銘等[21]基于格林函數(shù)法獲得旋轉(zhuǎn)輸流管雙向耦合強(qiáng)迫振動的解析解,分析了內(nèi)流氣體體積分?jǐn)?shù)、雙相流流速、軸向壓力、彈簧剛度系數(shù)對管道動力學(xué)特性的影響。發(fā)現(xiàn)流速和轉(zhuǎn)速共同作用將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生特殊的共振帶。Tan等[22]建立了輸流管道耦合振動的非線性Timoshenko模型,通過開發(fā)的有限差分法(finite difference method,FDM)研究了黏彈性管材受迫振動的幅頻曲線,結(jié)果表明大流速、大振動幅度或較短的管道長度使得Timoshenko模型更適用于管道的響應(yīng)預(yù)測。

在研究輸流管道的動力學(xué)響應(yīng)問題主要包括振動模型的建立和求解,大多學(xué)者基于此類問題開展相關(guān)工作。從最為基本的有限單元法求解振動問題,到便捷、高效率、高精度的求解方法,國內(nèi)外學(xué)者取得了大量的成果。例如:Ni等[23]采用微分變換法(differential transform method,DTM)研究了幾種典型邊界條件下管道自由振動問題,并驗證了該方法具有高精度和計算效率。包日東等[24]利用微分求積法(differential quadrature method,DQM)研究了一般端部條件下輸流管的穩(wěn)定性問題,并分析了彈性支承系數(shù)對管道穩(wěn)定性的影響。Li等[25]采用傳遞矩陣法分析了支座、結(jié)構(gòu)特性和流體參數(shù)對管道動力響應(yīng)和固有頻率的影響規(guī)律,表明采用最佳支座和結(jié)構(gòu)特性有利于降低管道振動。金基鐸等[26]采用伽遼金法推導(dǎo)了梁彎曲振動的頻率方程和振型函數(shù)表達(dá)式,研究了扭轉(zhuǎn)剛度、重力系數(shù)和軸向預(yù)緊力對管道臨界流速的影響特性。近幾年,格林函數(shù)法(Green’s function method,GFM)常被用來求解梁的強(qiáng)迫振動問題。Li等[27]基于格林函數(shù)法研究了Timosheko梁受迫振動的動力解,并考慮了阻尼對梁振動的影響。但格林函數(shù)法的應(yīng)用通常需要依賴問題的對稱性和邊界條件,若問題的對稱性不明顯或邊界條件復(fù)雜,需進(jìn)一步簡化假設(shè)或引入額外的假設(shè),從而導(dǎo)致解的準(zhǔn)確性和適用性問題。廣義積分變換法(generalized integral transform technique,GITT)是一種更為準(zhǔn)確、簡單和快速求解高階非線性偏微分方程的半解析解方法,此方法成功應(yīng)用于軸向移動梁[28]、軸向移動Timoshenko梁[29]、軸向移動正交各向異性板[30]、損傷的歐拉-伯努利梁[31]、尖端偏心質(zhì)量的懸臂梁[32]和輸流管道[33-35]的動態(tài)響應(yīng)等。為此,本文采用廣義積分變換法求解大口徑冷水管強(qiáng)迫振動問題。

本文針對大口徑冷水管強(qiáng)迫振動問題,基于Euler-Bernoulli梁理論,考慮黏彈性耗散系數(shù)、阻尼比和質(zhì)量比對振動特性的影響,建立了大口徑冷水管強(qiáng)迫振動運動響應(yīng)計算分析模型,結(jié)合GITT法,推導(dǎo)了管道在不同邊界條件下的特征值和特征函數(shù),通過與同倫攝動法對比,驗證了該方法的高精度和有效性,并綜合分析了在均布載荷、線性變化的靜水壓力、集中載荷和周期載荷作用下內(nèi)流、黏彈性耗散系數(shù)、周圍環(huán)境阻尼比、質(zhì)量比、激振位置和激勵頻率對管道橫向位移的影響。

1 模型描述

采用Euler-Bernoulli梁模型描述海洋溫差能大口徑冷水管強(qiáng)迫振動的力學(xué)行為,如圖2顯示了在外部激勵下輸送流體的管道示意圖,本文基于Paidoussis所提出的模型[36],其基本假設(shè)為:①x軸即為中性軸,無拉伸也無壓縮;②保持平面假設(shè),即變形前后保持橫截面與中性面垂直,忽略剪切變形的影響;③材料是線彈性的,管道為各向同性的;④忽略x方向的加速度和轉(zhuǎn)動慣量的影響;⑤x-y平面是主平面,管道在主平面內(nèi)振動;⑥忽略管道與流體之間的摩擦;⑦管道長徑比足夠大,橫向位移與管道長度相比較小。由此建立如下冷水管橫向振動控制方程

(1)

圖2 承受橫向動載荷梁模型

式中:EI為抗彎剛度;w(x,t)為橫向位移;L為管道長度;m為單位長度上管道自身質(zhì)量;M為單位長度管內(nèi)流體質(zhì)量;T(x)為軸向靜等效張力;Ttop為頂部張力;U為管內(nèi)流速;c為周圍環(huán)境的阻尼比;F(x,t)為外部激勵載荷;t為時間。式(1)左邊的項依次為彎曲力、軸向張力、離心力、頂部張力、科氏力、外部阻尼力和慣性力。

單位長度管上x處t時刻的外部激勵為F(x,t),可表示為

F(x,t)=F0δ(x-x0)

(2)

式中:F0為激勵載荷類型;x0為激勵位置。冷水管在各種載荷下的示意圖,如圖3所示。

(a) 均布載荷

軸向靜等效張力T(x)可表示為

(3)

式中:冷水管外部壓強(qiáng)P0(x)=ρfgx+Δp,ρf為內(nèi)部流體密度和海水密度,冷水管內(nèi)部壓強(qiáng)Pi(x)=ρfgx,其中Δp為同一深度下管內(nèi)外壓差,而此壓差取決于進(jìn)水口的幾何形狀,其取值范圍為0.5ρfU2～ρfU2之間[37],本文取其值為ρfU2;Tbt為冷水管濕重,Tbt=(ρr-ρf)·ArgL,ρr為管道密度,Ar為管道的橫截面面積;Twc為底部配重塊自重,Twc=ρrArgL,頂部張力Ttop=Twc+Tbt。

管道結(jié)構(gòu)阻尼是結(jié)構(gòu)運動時能量耗散因素之一,所產(chǎn)生阻尼應(yīng)力與材料的應(yīng)變速率有關(guān),可采用Kelvin-Voigt阻尼模型[38]來表示

(4)

全面考慮黏彈性耗散、阻尼比、管內(nèi)外壓差和內(nèi)流對管道橫向振動所產(chǎn)生的影響,則大口徑冷水管橫向振動控制方程為

(5)

通過引入無量綱系數(shù)以簡化冷水管橫向運動控制方程,無量綱系數(shù)如下

(6)

為方便書寫,繼續(xù)采用x以代替x*;則無量綱化后的控制方程為

(7)

給定管道系統(tǒng)一個初始擾動,其表達(dá)式如下

(8)

對于海洋溫差能發(fā)電系統(tǒng),冷水管的頂部約束可視為不可移動的理想的固支和簡支兩種;而在運行工況下的冷水管,其底部的約束可分為固支、簡支、自由和配重塊四種。不同邊界條件下,管道的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力不同的,表1中給出了本文模型中6種無量綱的邊界類型。

表1 模型的6種邊界條件

2 廣義積分變換法求解

根據(jù)廣義積分變換法求解振動方程非線性問題原理,主要是將四階偏微分方程通過分離變量法降階為二階常微分方程,變換求解過程可分為三大步驟:第一步,特征值和特征函數(shù)的確定;第二步,引入積分變換對;第三步,方程逆變換與求解。

2.1 特征值求解

溫差能大口徑冷水管橫向振動控制方程的特征值問題為

i=1,2,3,…和k=1,2,3,4,5,6

(9)

假定冷水管兩端的邊界條件為固支-加配重塊,其無量綱化的函數(shù)表達(dá)式為

(10)

此時,yi(x)和λi分別為特征值問題(9)的特征函數(shù)和特征值,因特征函數(shù)滿足正交性

(11)

式中,δij為克羅內(nèi)克符號,當(dāng)i≠j,δij=0;當(dāng)i=j,δij=1。由此可得,歸一化積分為

(12)

特征值問題(9)的特征函數(shù)為

yi(x)=sin(λix)-sinh(λix)+

(13)

特征值問題(9)的特征值為

(i=1,2,3…)

(14)

進(jìn)而得到Ni的值為

Ni=1.0,i=1,2,3…

(15)

特征函數(shù)的特征向量為

(16)

同理可求得冷水管在其他5種邊界條件下的特征函數(shù)與特征值,如表A.1所示(見附錄A)。

2.2 引入積分變換對

對控制方程(7)進(jìn)行積分變換,引入橫向位移積分變換,如下:

(17)

(18)

2.3 方程變換與求解

(19)

其中各個系數(shù)表達(dá)式為

(20)

同理,對初始條件進(jìn)行積分變換,以消除空間坐標(biāo),可得:

i=1,2,3…

(21)

AY=d

(22)

3 解法的收斂性與有效性

為了驗證GITT方法的收斂性,穩(wěn)定收斂條件為:當(dāng)展開項數(shù)目NW取4、8、12、16和20,管道的橫向位移收斂于特定的值,允許存在極小偏差。本章選取管道邊界條件為兩端固支(C-C)下的自由振動,內(nèi)流流速υ=0.2,外流流速μ=0,管道參數(shù)與流體參數(shù)如表2所示。其中,開展項數(shù)目NW分別選取4、8、12、16和20。當(dāng)無量綱時間τ=20時,不同展開項數(shù)下管道的位移如圖4所示。依據(jù)圖4可知,當(dāng)開展項數(shù)目NW=4時,管道位移相對展開項數(shù)8、12、16和20較小,且管道振型與上述展開項數(shù)目相比并不收斂;當(dāng)NW≥12時,管道振型已具有良好的收斂。因此在之后的計算時,可選取展開項數(shù)目NW=16。

表2 冷水管道參數(shù)

圖4 不同展開項數(shù)下管道位移對比圖

為了驗證GITT方法的有效性,將GITT方法得到的結(jié)果與Xu[39]所采用的同倫攝動法(homotopy perturbation method,HPM)得到的結(jié)果做對比,其中ωf為一階固有頻率,υf為臨界流速,如圖5所示?？梢钥闯?在固支-固支、固支-自由和簡支-簡支的邊界條件下,管道的自振頻率隨內(nèi)流的增加而逐漸減小,直至為零。GITT方法計算得到的一階固有頻率與HPM方法所得結(jié)果相對比,其相對誤差小于4.5%。從而驗證了GITT方法的有效性。

圖5 一階固有頻率隨內(nèi)流流速變化

4 分析與討論

本章以海洋溫差能大口徑冷水管為研究對象,研究考慮在四種不同載荷作用下內(nèi)流、黏彈性耗散系數(shù)α、周圍環(huán)境阻尼比κ、質(zhì)量比β對管道振動特性的影響:① 均布載荷F0=q0;② 線性變化靜水壓力F0=q0x/L;③ 集中載荷F0=P;④ 周期載荷F0=Psin(ω0t),如圖3所示。大口徑冷水管所受外部激勵無量綱化后的表達(dá)式為

f(x,τ)=f0δ(x-a)

(23)

式中,a為式(2)中x0的無量綱形式,即a=x0/L,f0為激勵載荷無量綱化。

4.1 均布載荷作用下管道振動特性分析

本小節(jié)研究在均布載荷作用下,內(nèi)流流速和阻尼比對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件為C-C和S-S,時間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖6顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0和邊界條件為C-C下,管道橫向位移隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線。

圖6 均布載荷作用下管道橫向位移與內(nèi)流流速的關(guān)系曲線(C-C)

從圖6可以看出,在均布載荷作用下,隨著管道位置x的增加,管道橫向位移先增大后減小。隨著無量綱內(nèi)流流速的不斷增大,管道整體橫向位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢。當(dāng)無量綱內(nèi)流流速較小時,管道整體橫向位移的最大值ymax(x,τ)出現(xiàn)在x=0.60位置處,而當(dāng)υ=0.6時,管道的ymax(x,τ)相較于其他流速對應(yīng)的ymax(x,τ)要大很多,一方面是因為內(nèi)流流速的增大致使離心力增大,另一方面在此流速下對應(yīng)的振動頻率與管道的某一階固有頻率相近。由GITT方法求解此模型,其結(jié)果通過快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT),求得管道振動頻率為26.727 5,對應(yīng)的ymax(x,τ)=0.001 869,對應(yīng)的管道位置x=0.63。

進(jìn)一步,圖7給出了在均布載荷作用下,不同黏彈性耗散系數(shù)α管道中點最大的橫向位移隨周圍環(huán)境阻尼比κ發(fā)展的曲線圖,其中邊界條件為C-C和S-S,所對應(yīng)的無量綱內(nèi)流流速分別為0.6和0.1,質(zhì)量比β=0.2。從圖7(a)可以發(fā)現(xiàn),在邊界條件為C-C時,阻尼比κ對無黏彈性耗散系數(shù)管道中點最大橫向位移影響十分顯著。隨著阻尼比逐漸增大,管道最大橫向位移整體呈現(xiàn)減小趨勢。在α=0時,管道最大橫向位移在κ∈[0.1,0.3]范圍內(nèi)幾乎不發(fā)生改變,而在κ=0.4處急劇減小,而在α≠0時,管道最大橫向位移并無類似現(xiàn)象。當(dāng)黏彈性耗散系數(shù)分別為0,0.000 5和0.001 0時,管道最大橫向位移進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段所對應(yīng)的阻尼比分別為0.6,0.3和0.3。值得注意的是,黏彈性耗散系數(shù)能明顯減小管道最大橫向位移。根據(jù)圖7(b),在邊界條件為S-S時,隨阻尼比逐漸增大,管道最大橫向位移呈現(xiàn)先逐漸減小,進(jìn)而急劇減小,后進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段趨勢。當(dāng)黏彈性耗散系數(shù)分別為0,0.000 5和0.001 0時,管道最大橫向位移進(jìn)入急劇減小階段所對應(yīng)的阻尼比分別為0.4,0.3和0.2,而進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段對應(yīng)的阻尼比均為0.6。此外對比圖7(a-1)和(b-2)的管道中點時間歷程可以發(fā)現(xiàn),增大阻尼比κ可改變S-S邊界條件下管道的振型,但對C-C邊界條件下管道的振型無影響。

(a) C-C

4.2 線性變化的靜水壓力作用下管道振動特性分析

本小節(jié)研究在線性變化的靜水壓力作用下,內(nèi)流流速和質(zhì)量比對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件C-W和S-W,配重塊重量為一倍管道濕重,時間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖8顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0和邊界條件為C-W下,管道橫向位移與振動頻率隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線。

(a) 橫向位移

如圖8(a)為僅考慮內(nèi)流流速變化時的管道橫向位移發(fā)展曲線。在線性變化的靜水壓力作用下,管道呈現(xiàn)二階振型。隨著管道位置x的增大,管道橫向位移呈現(xiàn)“S”型發(fā)展曲線。在管道底部位置(x=1.0),管道橫向位移并不為零,主要原因是管道邊界條件為C-W,底部約束相較于固支邊界條件弱。隨著內(nèi)流流速的增大,管道整體橫向位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢。值得注意的是,管道整體橫向位移的最大值ymax(x,τ)出現(xiàn)在x=0.85位置處,而當(dāng)υ=0.6時,管道的ymax(x,τ)發(fā)生較大的改變,這是因為在較大的無量綱內(nèi)流流速和較弱的底部約束邊界條件下,管道橫向位移開始出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。依據(jù)圖8(b),隨內(nèi)流流速的增大,管道前四階振動頻率逐漸減小,管道將在曲線與零線相交點處發(fā)生失穩(wěn)。不穩(wěn)定性的類型具有非零實部Re(ω)和零虛部Im(ω)特點,結(jié)合GITT方法可求解得到,其臨界流速υf=0.74。

進(jìn)一步,圖9給出了在線性變化的靜水壓作用下,不同周圍環(huán)境阻尼比κ管道中點最大的橫向位移隨質(zhì)量比β發(fā)展的曲線圖,其中邊界條件為C-W和S-W,選定無量綱內(nèi)流流速為0.1,黏彈性耗散系數(shù)α=0。從圖9(a)可以發(fā)現(xiàn),在邊界條件為C-W時,隨質(zhì)量比β的增大,管道橫向位移ymax(0.5,τ)呈現(xiàn)略微減小的趨勢,說明質(zhì)量比β對應(yīng)的慣性力對管道的響應(yīng)影響較小。但增大阻尼比κ能夠有效降低管道橫向位移ymax(0.5,τ)。根據(jù)圖9(b),邊界條件為S-W,在無周圍環(huán)境阻尼比κ時,隨著質(zhì)量比的增大,管道橫向位移ymax(0.5,τ)呈現(xiàn)先急劇減小,對應(yīng)的質(zhì)量比β=0.1,后進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段。加入周圍環(huán)境阻尼比后,管道中點最大橫向位移隨質(zhì)量比的變化趨于穩(wěn)定,進(jìn)一步說明周圍環(huán)境阻尼比κ相較于質(zhì)量比β,更能抑制管道橫向位移?？傮w而言,阻尼比與質(zhì)量比對管道橫向位移的影響是相互耦合的,若周圍環(huán)境阻尼比較小,質(zhì)量比應(yīng)更大些,才能抑制管道在振動時的橫向位移。

(a) C-W

4.3 集中載荷作用下管道振動特性分析

本小節(jié)研究在集中載荷作用下,內(nèi)流流速、黏彈性耗散系數(shù)和激勵位置對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件C-F和S-F,時間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖10顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0和邊界條件為C-F下,管道橫向位移與振動頻率隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線,其中激振位置a=0.5。

(a) 橫向位移

圖10(a)為僅考慮內(nèi)流流速變化時的管道橫向位移發(fā)展曲線。在集中載荷作用下,管道呈現(xiàn)一階振型。隨著管道位置x的增大,管道橫向位移先增大后減小,直至為零。內(nèi)流流速的增大,管道橫向位移也逐漸增大,其出現(xiàn)最大值ymax(x,τ)時所對應(yīng)的管道位置在x=0.60附近。而當(dāng)υ=0.6時,管道的ymax(x,τ)相較于其他流速對應(yīng)的ymax(x,τ)要大很多,對應(yīng)的一階振動頻率為26.506 4。根據(jù)圖10(b),隨著內(nèi)流流速的增大,管道前四階振動頻率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。當(dāng)振動頻率與此條件下的固有頻率接近或相同時,管道將發(fā)生動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖11顯示了不同黏彈性耗散系數(shù)下管道中點最大橫向位移的發(fā)展規(guī)律曲線。其中選定無量綱內(nèi)流流速為0.6,質(zhì)量比β=0.2,激振位置a=0.5。從圖11(a)可以發(fā)現(xiàn),在邊界條件為C-F時,隨黏彈性耗散系數(shù)α的增大,管道最大橫向位移整體呈現(xiàn)減小的趨勢。在阻尼比κ=0,0.1時,管道最大橫向位移在α∈[0.1,0.2]范圍內(nèi)幾乎不改變。當(dāng)阻尼比分別為0,0.1和0.2時,管道最大橫向位移急劇減小所對應(yīng)的黏彈性耗散系數(shù)分別為0.4,0.3和0.2。值得注意的是,黏彈性耗散系數(shù)越大,阻尼比對管道橫向位移的影響越小。根據(jù)圖11(b),當(dāng)邊界條件為S-F時,隨黏彈性耗散系數(shù)的增大,管道最大橫向位移先急劇減小,后幾乎不發(fā)生改變。主要原因是增大黏彈性耗散系數(shù)會引入更強(qiáng)的阻尼效應(yīng),降低管道橫向位移,從而導(dǎo)致橫向位移迅速減小。隨著黏彈性耗散系數(shù)持續(xù)增大,使得管道材料具有更高的耗散能力,能更好地吸收引起橫向位移的能量,抑制了橫向位移進(jìn)一步減小。

(a) C-F

為了探究集中載荷作用下激振位置對冷水管振動特性的影響,其中選取無量綱內(nèi)流流速為υ=0.6,黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0,圖12顯示了管道橫向位移隨激振位置的發(fā)展規(guī)律曲線?？梢园l(fā)現(xiàn),激振位置對管道橫向位移的影響十分顯著。隨著激振位置a的逐漸增大,管道橫向位移先增大后減小,當(dāng)激振位置a=0.7時,橫向位移幅值ymax(x,τ)相較于其他激振位置對應(yīng)的ymax(x,τ)要大。由此可知,在激振位置a=0.7附近存在一個臨界值ac,使得管道在相同條件下的橫向位移幅值ymax(x,τ)最大,采用GITT方法計算此條件下的理論模型,可求得ac=0.66,[ymax(x,τ)]c=0.004 16。當(dāng)激振位置a繼續(xù)增大時,管道橫向位移呈現(xiàn)減小的趨勢。值得注意的是,管道在集中載荷作用下,改變激振位置,管道橫向位移幅值大約出現(xiàn)在x∈[0.20,0.75]區(qū)間內(nèi)。為防止冷水管在輸送超大流量的冷海水時出現(xiàn)動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象,應(yīng)當(dāng)避免管道在臨界激振位置ac處的激勵。

4.4 周期載荷作用下管道振動特性分析

本小節(jié)研究在周期載荷作用下,內(nèi)流流速和激振頻率對冷水管振動特性的影響,其中選定管道邊界條件S-S,時間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖13顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0下,管道橫向位移與振動頻率隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線,其中激勵位置a=0.5,激振頻率ω0=4。

(a) 橫向位移

如圖13(a)可以發(fā)現(xiàn),在周期載荷作用下,隨內(nèi)流流速的增大,管道橫向位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢。在υ=0.5時,管道橫向位移明顯較其他內(nèi)流流速對應(yīng)的ymax(x,τ)大,可認(rèn)為在此流速下的振動頻率附近存在固有頻率。值得注意的是,持續(xù)增大內(nèi)流流速,當(dāng)υ=0.6時,管道振型開始由一階向二階轉(zhuǎn)變。結(jié)合圖13(b),管道振動頻率隨內(nèi)流流速的增大而減小,當(dāng)振動頻率具有非零實部Re(ω)和零虛部Im(ω)時,管道發(fā)生結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。結(jié)合GITT方法可求解得到,其顫振速度υf=0.585。

為了探究周期載荷作用下激振頻率對冷水管振動特性的影響,其中選取無量綱內(nèi)流流速為υ=0.1,黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0,激振位置a=0.5,圖14顯示了管道橫向位移隨激振頻率的發(fā)展規(guī)律曲線。為方便讀者對比計算結(jié)果,圖中|yω0=4|代表在激振頻率為4時,管道橫向位移的絕對值。由結(jié)果分析可知,不同的激振頻率對管道橫向位移的作用效果明顯。隨激振頻率ω0逐漸增大,管道橫向位移呈現(xiàn)先減小后增大再減小的趨勢。主要原因是當(dāng)激振頻率較小時,管道橫向位移與周期載荷的相位差大于π/2,激振力對管道做負(fù)功。當(dāng)管道橫向位移方向發(fā)生改變時,橫向位移與周期載荷的相位差小于π/2,激振力對管道做正功。因此當(dāng)在激振頻率ω0=12時,管道橫向位移相較于其他頻率所對應(yīng)的ymax(x,τ)大,另一原因是此頻率與管道固有頻率相近導(dǎo)致的。

圖14 周期載荷作用下冷水管橫向位移與激振頻率的關(guān)系曲線圖(S-S)

5 結(jié) 論

本文針對海洋溫差能大口徑冷水管強(qiáng)迫振動問題,根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論,進(jìn)行了不同邊界條件下冷水管強(qiáng)迫振動響應(yīng)的理論推導(dǎo),求解了相對應(yīng)的特征函數(shù)與特征值。結(jié)合廣義積分變換法,分析了在均布載荷、線性變化的靜水壓力、集中載荷和周期載荷作用下黏彈性耗散系數(shù)、質(zhì)量比、周圍環(huán)境阻尼比、激振位置和激勵頻率對冷水管振動特性的影響,得到了以下結(jié)論。

(1) 基于廣義積分變換法可以得到冷水管強(qiáng)迫振動響應(yīng)的解析表達(dá)式,與同倫攝動法(HPM)相比,求解的固有頻率同等的精度,驗證了理論分析的有效性。

(2) 管道在均布載荷、線性變化的靜水壓力和集中載荷作用下,橫向位移隨內(nèi)流的增加而逐漸增大,振動頻率呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢,其振型不發(fā)生改變。當(dāng)內(nèi)流流速對應(yīng)的振動頻率接近某一階固有頻率時,管體將發(fā)生動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象,此時內(nèi)流流速為臨界流速。而在周期載荷作用下,管道振型在較高的內(nèi)流流速下將會改變。

(3) 當(dāng)僅考慮單一因素的影響,管道橫向位移在不同邊界條件下隨黏彈性耗散系數(shù)、阻尼比的增大呈現(xiàn)不同的發(fā)展規(guī)律,總體為減小的趨勢,而質(zhì)量比對橫向位移幾乎沒有影響。綜合考慮黏彈性耗散系數(shù)與阻尼比對橫向位移的作用,黏彈性耗散系數(shù)的影響要大于阻尼比的影響。

(4) 隨激振位置的逐漸增大,管道橫向位移呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。改變激振位置,管道橫向位移幅值大約出現(xiàn)在x∈[0.20,0.75]區(qū)間內(nèi)。為防止冷水管在輸送超大流量的冷海水時出現(xiàn)動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象,應(yīng)當(dāng)避免管道在臨界激振位置ac處的激勵。激振頻率對管道橫向位置的作用主要取決于橫向位移與周期載荷的相位差,當(dāng)相位差小于π/2對管道做正功,大于π/2對管道做負(fù)功。

附錄A

表A.1 6種邊界條件下的特征函數(shù)與特征值