韓 艷,卜秀孟,王力東,,羅 穎,李 凱

(1.長沙理工大學 土木工程學院,長沙 410114;2.長沙理工大學 橋梁工程安全控制教育部重點實驗室,長沙 410114;3.中國建筑第五工程局有限公司,長沙 410004)

高速磁浮可填補高速鐵路和航空運輸之間的速度空白,是下一代交通運輸系統(tǒng)中最具發(fā)展前景的交通工具之一[1-3]。作為引起磁浮列車-軌道梁系統(tǒng)耦合振動的主要激勵源,軌道不平順對車輛動力學性能的影響一直是研究的重點[4]。實際的軌道不平順是隨里程變化的隨機過程,可以看成由不同波長、不同幅值、不同相位的諧波疊加而成。在一定的運行速度下,不同的不平順波長對車輛的激擾頻率不同,某些波長會激發(fā)車輛的顯著振動[5]。因此,明確高速磁浮列車-軌道梁系統(tǒng)不平順敏感波長,可為磁浮線路不平順管理與控制提供必要的基礎數(shù)據(jù)和重要的理論依據(jù)[6]。

目前,已有學者針對軌道不平順引起的磁浮列車(-軌道梁)系統(tǒng)振動響應開展研究。Long等[7]將懸浮車輛簡化為單鐵懸浮系統(tǒng),分析了正弦型、三角型、方波型等多種長波和短波不平順模型對系統(tǒng)懸浮狀態(tài)的影響,發(fā)現(xiàn)不平順對懸浮間隙和電流有直接影響。Zhou等以一個懸浮模塊為研究對象,通過建立懸浮模塊-控制系統(tǒng)模型,研究了軌道不平順激勵下系統(tǒng)的動力響應,發(fā)現(xiàn)某些不平順波長和車速組合下可觀察到懸浮模塊的共振。余佩倡等[8]則建立了帶周期性不平順的懸浮模塊-車體模型,從干擾輸入和系統(tǒng)輸出的角度探究了不平順對懸浮系統(tǒng)的影響,給出了敏感波長區(qū)域并提出了抑制周期性不平順的控制器設計方法。然而,由于這類研究重點關(guān)注懸浮系統(tǒng),并未建立完整的磁浮列車-軌道梁耦合振動模型。Zhao等[9-10]較早建立了高速磁浮列車-軌道梁豎向耦合振動模型,初步探討了軌道隨機不平順對系統(tǒng)動力響應的影響。Shi等[10]建立了高速磁浮-軌道梁空間耦合振動模型,分析了線路局部不平順和隨機不平順對系統(tǒng)動力指標的影響,發(fā)現(xiàn)長波不平順對車體豎向動力性能影響很大,但并未給出具體波長范圍。Yau[11]從共振頻率角度出發(fā),對軌道和車速的關(guān)系進行了研究,指出當車速和不平順波長激起的頻率接近車軌共振頻率時,將影響車輛的運行穩(wěn)定性。Wang等[12]研究了高溫超導磁懸浮列車-橋耦合振動響應,結(jié)果表明,軌道不平順對車輛振動影響顯著,但對橋梁影響較小。陳志賢等[13]研究了車輛懸掛系統(tǒng)參數(shù)及軌道不平順對時速600 km高速磁浮列車動力學性能的影響,并基于車輛平穩(wěn)性和乘坐舒適度指標給出了高、低不平順和軌向不平順幅值分別不超過2.8 mm和4.2 mm的建議。

上述研究以軌道不平順幅值影響為研究重點,即使涉及波長也僅對波長范圍進行了簡單劃分,并未給出具體的敏感波長范圍。事實上,波長是評估線路平順性的重要指標[14]。鐵路線路研究經(jīng)驗也表明,在嚴格實行軌道不平順峰值管理與均值管理基礎上,還必須考慮波長對高速行車動力性能的影響[15]。蔣海波等[16]研究了線路周期性不平順激勵頻率對低速磁浮列車振動響應的影響,然而該研究僅分析了兩個波長激勵頻率。魏高恒等[17]以正弦波和軌道隨機不平順作為輸入,建立了多力元模擬懸浮力的磁浮車輛豎向動力學模型,研究了不同波長的軌道豎向激勵對磁浮車輛系統(tǒng)動力學指標的影響規(guī)律。王波等[18]建立了中低速磁懸浮列車車體振動響應與軌道不平順的相干函數(shù),討論了引起車體橫向和豎向振動的敏感波長,并發(fā)現(xiàn)磁浮列車前、后端車體振動加速度敏感波長存在差異。以上兩項研究均以中低速磁浮為研究對象,且并未考慮下部軌道梁結(jié)構(gòu)振動對車輛振動響應的影響。隨著高速磁浮列車建設日益提上日程,明確列車-軌道梁系統(tǒng)敏感波長對高速磁浮系統(tǒng)研發(fā)與建設具有重要意義。

本文以上海高速磁浮為研究背景,建立了高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)空間精細化模型,其中磁浮列車被模擬為具有537個自由度的多體動力學模型,軌道梁被模擬為空間有限元模型,兩者之間通過基于比例-微分(proportional-differentiation,PD)控制理論的磁軌關(guān)系耦合?？紤]軌道豎向和橫向不平順輸入為正弦波,探討不平順波長和幅值對系統(tǒng)振動響應的影響,確定設計時速下車-橋系統(tǒng)敏感波長范圍,并從不平順波長管理角度給出控制高速磁浮列車-橋耦合振動的相關(guān)建議。

1 磁浮列車-軌道梁空間耦合振動模型

1.1 列車子系統(tǒng)模型

本文采用多體動力學方法建立磁浮列車子系統(tǒng)模型,如圖1所示。列車由n節(jié)車輛組成,每節(jié)車輛包含1個車體、4個轉(zhuǎn)向架、16個搖桿、14個懸浮磁鐵和14個導向磁鐵,以及相鄰兩節(jié)車廂首、尾轉(zhuǎn)向架之間的2個懸浮電磁鐵和2個導向電磁鐵。每個轉(zhuǎn)向架由兩個C形框架組成,兩個C形框架通過縱向軸連接,因此兩個框架可以相對旋轉(zhuǎn),但沒有相對平移。每個懸浮電磁鐵上安裝有12個磁極,每個導向電磁鐵上安裝有3個導向磁極。車輛剛體之間通過線性彈簧元件或線性彈簧-阻尼器元件連接,各剛體之間的連接方式見圖1(a),列車子系統(tǒng)參數(shù)主要參考Wang等[19]的模型。

圖1 列車子系統(tǒng)模型

在列車子系統(tǒng)中,車體考慮橫移、沉浮、側(cè)滾、點頭和搖頭5個自由度,轉(zhuǎn)向架考慮自身的橫移、沉浮、點頭和搖頭以及兩個C型框架的相對轉(zhuǎn)動6個自由度,搖桿只考慮側(cè)滾1個自由度,懸浮磁鐵考慮沉浮和點頭2個自由度,導向磁鐵考慮橫移和搖頭2個自由度。因此,磁浮列車子系統(tǒng)的總自由度數(shù)為109n-8個。

基于圖1建立的列車子系統(tǒng)模型,根據(jù)達朗貝爾原理可建立其相應的動力方程如下

(1)

表1 列車子系統(tǒng)前5階自振頻率

1.2 軌道梁子系統(tǒng)模型

考慮磁浮列車在單線簡支梁橋上運行,單跨簡支梁長24.768 m。橋梁由混凝土主梁、鋼制導軌和混凝土橋墩組成,鋼軌位于主梁上翼緣兩側(cè),通過多對鑄鐵連接件與主梁連接,橋墩與主梁之間安裝支座。主梁和鋼軌為箱型截面,橋墩墩底為1.8 m×1.8 m實心截面,墩頂為3.0 m×1.8 m實心截面。采用有限元方法建立橋梁模型,其中主梁、鋼軌和橋墩均采用鐵木辛柯梁單元模擬,鋼軌與主梁之間采用剛臂連接,主梁與橋墩之間的支座采用線性彈簧阻尼單元進行模擬。同時,忽略混凝土樁基與土體之間的相互作用,將橋墩底部設置為固定約束。基于上述建模方案建立的橋梁有限元模型如圖2所示,相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 軌道梁子系統(tǒng)主要部件參數(shù)

圖2 橋梁有限元模型

采用直接剛度法建立軌道梁動力方程如下

(2)

1.3 懸浮控制器模型

由于磁懸浮系統(tǒng)是一個先天開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng),故需引入控制器來維持車輛和軌道梁之間的磁浮間隙[20]。磁浮列車是一個多電磁鐵懸浮系統(tǒng),通過解耦,磁浮列車的懸浮控制可以分解為單個電磁鐵的懸浮控制問題[21-22]。單磁鐵懸浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,如圖3所示。電磁力模型參數(shù)如表3所示。

表3 電磁力模型參數(shù)表

圖3 單電磁鐵模型

電磁力的計算主要取決于回路電流和電磁鐵與軌道之間的間隙,計算公式如下

(3)

式中:fe為電磁力;ie為所計算磁極位置處線圈電流值;he為所計算磁極處的磁浮間隙;e為磁極編號;t為磁浮列車運行時間。ie,he與磁極編號e和時間t有關(guān)。

電磁鐵在垂直方向上的動力方程為

(4)

式中:fd為施加在電磁鐵上的外力;g為重力加速度。將式(4)在平衡點(i0,h0)附近進行泰勒級數(shù)展開(令fd=0)并忽略高階項得到

(5)

本文采用工業(yè)上常用的PD控制器通過直接調(diào)節(jié)電流達到控制電磁力的目的,即:

(6)

式中,KP和KD為比例增益系數(shù)和微分增益系數(shù),其取值方法主要參考文獻[23]。該控制算法簡單,可以避免電流環(huán)帶來的延遲影響,提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。

1.4 軌道不平順模型

受軌道表面粗糙度、施工誤差、橋墩沉降、自然環(huán)境變化等因素影響,磁浮軌道會產(chǎn)生豎向和橫向不平順[24]。軌道不平順是隨里程變化的隨機過程,其幅值和波長的統(tǒng)計特征一般通過功率譜密度函數(shù)(power spectral density,PSD)來描述,具體計算時亦可通過PSD生成不平順樣本[25]。本文為直接建立不平順波長與動力響應之間的關(guān)系,假設橫向和豎向不平順為正弦函數(shù),即:

(7)

式中:A0為諧波不平順幅值;x為距離軌道起始點的距離;v為列車行駛速度;λ為不平順波長。

2 磁浮列車-軌道梁耦合振動方程及求解

當磁浮列車在軌道梁上運行時,列車子系統(tǒng)和軌道梁之間會發(fā)生動力相互作用,因此可建立磁浮列車-軌道梁耦合振動方程如下

(8)

式中:下標為“VB”或“BV”的矩陣代表由動力相互作用引起的項;FV和FB為由軌道不平順引起的列車子系統(tǒng)和軌道梁子系統(tǒng)外荷載向量。

式(8)為耦合時變方程,本文采用分離迭代法求解。電磁力中的磁間隙由列車和軌道梁之間的運動狀態(tài)和初始磁間隙決定,電磁力求解中的電流由PD控制器控制調(diào)節(jié),從而調(diào)節(jié)電磁力。采用Newmark-β法計算橋梁和車輛的動力響應,并迭代至要求精度。整個磁浮列車-軌道梁耦合作用的計算流程,如圖4所示。

圖4 動力分析流程圖

3 模型驗證

以上海高速磁浮線為背景,通過與實測結(jié)果對比驗證本文計算模型的正確性。驗證所用磁浮列車采用5節(jié)車編組,橋梁跨數(shù)考慮20跨。軌道豎向和橫向不平順樣本如圖5所示,它們是根據(jù)文獻[26]擬合的七參數(shù)PSD函數(shù)采用三角級數(shù)疊加法模擬而成的。其中,豎向和橫向不平順幅值分別為2.09 mm和3.28 mm。采用第2章所述方法計算耦合系統(tǒng)動力響應,時間步長取1×10-4s。

圖5 軌道不平順樣本

(a) 跨中豎向位移(v=430 km/h)

圖7 列車豎向加速度譜分析

4 車-橋系統(tǒng)動力響應軌道不平順敏感波長分析

本章以5節(jié)車編組磁浮列車通過20跨簡支梁橋為計算背景,分析不同波長和幅值軌道不平順對磁浮列車-軌道梁系統(tǒng)動力響應的影響。其中,不平順波長范圍取5～200 m,以5 m為間隔;幅值范圍取1～5 mm,以1 mm為間隔。另外,值得說明的是,以下分析中車體特指第1節(jié)車車體,橋梁跨中特指第10跨主梁跨中。

4.1 車輛動力響應分析

4.1.1 不同方向軌道不平順組合

不同方向軌道不平順組合分為僅考慮橫向軌道不平順(以下稱“橫向”)、僅考慮豎向軌道不平順(以下稱“豎向”)和同時考慮橫向和豎向軌道不平順(以下稱“橫向+豎向”)三種情況?？紤]車速為430 km/h,軌道不平順幅值為1 mm,圖8給出了不同方向軌道不平順激勵下車體加速度最大值隨不平順波長變化規(guī)律。由圖8可知,車體橫向、側(cè)滾和搖頭加速度主要受橫向不平順影響,豎向不平順對其影響較小。車體豎向和點頭加速度主要受豎向不平順影響,橫向不平順對其影響較小。由此可知,磁浮列車橫向振動和豎向振動的耦合性較弱。

圖8 不同方向軌道不平順組合下車體加速度最大值隨不平順波長變化規(guī)律

由圖8(a)和圖8(e)可知,在5～200 m不平順波長范圍內(nèi),車體橫向和搖頭加速度變化曲線并沒有出現(xiàn)峰值。為找出車速430 km/h時影響車體橫向和搖頭加速度的不平順最不利波長,可以根據(jù)激勵頻率與車速和波長的關(guān)系f=v/λ,先分析低車速情況下影響車體加速度的最不利波長,再反推高車速情況下的加速度最不利波長。圖9給出了車速200 km/h時車體橫向和搖頭加速度最大值隨波長變化規(guī)律。由圖9可知,當車體橫向加速度峰值對應的波長為115 m時,搖頭加速度峰值點對應的波長為105 m。圖10分別給出了波長115 m和105 m時車體橫向加速度和搖頭加速度的時程曲線及幅值譜曲線。由圖10(c)和圖10(d)可知,橫向和搖頭加速度主頻分別是0.47 Hz和0.52 Hz,該頻率與軌道不平順激勵頻率(0.48 Hz和0.53 Hz)相接近。由式(5)和(6)可知,控制參數(shù)KP的引入會改變單電磁鐵模型的系統(tǒng)剛度,進而對整個車輛系統(tǒng)的剛度也會產(chǎn)生影響。本文中,導向控制參數(shù)KP改變了車體的橫向和搖頭剛度,使得車體橫向和搖頭自振頻率發(fā)生了改變,此時車體的橫向和搖頭自振頻率分別為0.47 Hz和0.52 Hz。因此,由圖10(a)和圖10(b)可知,當波長為115 m和105 m時,會分別引發(fā)車體橫向和搖頭方向的共振,從而使車體搖頭和橫向加速度的幅值迅速增大。根據(jù)車速200 km/h下車體橫向和搖頭加速度的最不利波長,可以反推出車速430 km/h時車體相應加速度的最不利波長分別為254 m和229 m。

(a) 橫向

(a) 橫向加速度時程

此外,從圖8(a)亦可發(fā)現(xiàn),在波長80 m位置橫向加速度存在一個較小峰值,同時圖8(c)中波長80 m附近側(cè)滾加速度也存在峰值。為便于分析,圖11給出了80 m波長下的車體橫向和側(cè)滾加速度時程及其幅值譜曲線。由圖11可知,兩種振動加速度對應的主頻均為1.50 Hz。由于該頻率與車體側(cè)滾自振頻率(1.31 Hz)接近,可以得出,波長為80 m時會引發(fā)車體側(cè)滾方向的共振,從而導致了車體橫向和側(cè)滾振動加劇。

(a) 橫向加速度時程

在本文中,取峰值點波長前后20 m為車體加速度敏感波長范圍。因此,可以得出,當車速為430 km/h時,橫向和搖頭加速度敏感波長均大于200 m,車體側(cè)滾加速度敏感波長為60～100 m。

(1)算法針對的是多站多外輻射源場景，對于單站多外輻射源場景和多站單外輻射源場景同樣適用，具有較高的通用性.

由圖8(b)可以看出,車體豎向加速度峰值對應的波長為160 m,點頭加速度峰值對應的波長為140 m。

波長160 m時的車體豎向加速度幅值譜曲線和波長140 m時車體點頭加速度幅值譜曲線,如圖12所示。由圖12可知,車體豎向和點頭振動的主頻分別為0.75 Hz和0.87 Hz。這是因為,當不平順波長為160 m和140 m時,對應的不平順激勵頻率分別為0.75 Hz和0.85 Hz。同時,這兩個激勵頻率分別與車體豎向自振頻率(0.78 Hz)和點頭自振頻率(0.83 Hz)十分接近。因此,可以得出,當波長為160 m和140 m時,分別引發(fā)了車體豎向和點頭方向的共振,從而導致了車體豎向和點頭加速度幅值的迅速增大。同樣,取峰值點波長前后20 m為車體加速度敏感波長范圍?？梢缘贸鲐Q向加速度敏感波長為140～180 m,點頭加速度敏感波長為120～160 m。

(a) 豎向

4.1.2 不同軌道不平順幅值

車體加速度隨軌道不平順幅值和波長的變化規(guī)律,如圖13所示。由圖13可知,車體加速度幅值隨著軌道不平順幅值的增加而增加。同一波長下,車體加速度最大值與軌道不平順幅值之間基本呈線性變化規(guī)律,車體加速度敏感波長隨幅值的增加基本沒變化。

(a) 橫向

4.1.3 不同車速

考慮列車以200、250、300、350、390和430 km/h等六種車速通過橋梁,軌道不平順幅值為1 mm,探討不同車速下車輛振動軌道不平順敏感波長。車體加速度最大值隨車速和波長的變化規(guī)律,如圖14所示。由圖14可知,在計算車速工況下,側(cè)滾加速度變化曲線的峰值隨車速變化不大,豎向、側(cè)滾、點頭和搖頭加速度變化曲線的峰值隨著車速的增大而減小。

(a) 橫向

不同方向的軌道不平順組合、不同軌道不平順幅值和不同車速情況下車體加速度的敏感波長范圍,如表4～6所示。

表4 不同軌道不平順組合下車體加速度敏感波長

表5 不同軌道不平順幅值下車體加速度敏感波長

表6 不同車速下車體加速度敏感波長

4.2 橋梁動力響應分析

4.2.1 不同軌道不平順組合

圖15和圖16給出了三種軌道不平順組合下橋梁跨中橫向和豎向位移及加速度最大值隨不平順波長變化規(guī)律。由圖15和16可知,與車輛振動相同的結(jié)論,即橋梁橫向振動和豎向振動的耦合性不強。從圖15可以看出,雖然不同波長軌道不平順激勵下橋梁跨中橫向振動幅值有所差異,但總體而言橋梁橫向振動響應較小。從圖16可以看出,不同波長軌道不平順激勵下,橋梁跨中豎向位移變化較小,但豎向加速度變化較大,兩者在波長15 m的位置存在峰值。為便于分析,圖17給出了15 m和100 m兩種波長下橋梁跨中的豎向位移和加速度時程曲線。從圖17可以看出,當車-橋系統(tǒng)受15 m波長軌道不平順激勵時,車輛駛?cè)霕蛄簳r具有更顯著的振動響應。這是因為,該波長對應的激勵頻率(7.96 Hz)與橋梁一階豎向自振頻率(7.85 Hz)接近。但值得注意的是,由于磁浮列車-橋系統(tǒng)阻尼較大,該振動響應很快得到了衰減。

(a) 位移

(a) 位移

(a) 位移

4.2.2 不同軌道不平順幅值

圖18和圖19給出了橋梁跨中橫向和豎向位移及加速度最大值隨軌道不平順幅值和波長的變化規(guī)律。由圖18和19可知,增大軌道不平順幅值并不會影響橋梁動力響應敏感波長,但橋梁動力響應幅值隨不平順幅值的增大而增大。相同波長不平順激勵下,橋梁位移、加速度幅值最大值與軌道不平順幅值之間基本呈線性關(guān)系。

(a) 位移

(a) 位移

4.2.3 不同車速

圖20和圖21給出了不同車速下橋梁跨中橫向和豎向位移及加速度最大值隨波長變化規(guī)律,車速范圍設定與4.1節(jié)一致。由圖20可知,計算波長范圍內(nèi),橋梁橫向位移和加速度峰值隨車速變化較小,且相同波長軌道不平順激勵下,振動幅值并非隨車速增大而增大。由圖21可知,同一波長軌道不平順激勵下,橋梁豎向振動幅值基本呈隨車速增大而增大,且豎向加速度幅值隨速度增大而呈線性增大。

(a) 位移

(a) 位移

4.3 列車運行平穩(wěn)性分析

車輛運行平穩(wěn)性是評價車輛走行性能的重要指標。由于目前沒有制定磁浮列車走行性能的統(tǒng)一評價標準,本文參考鐵道車輛動力性能評價規(guī)范。車輛運行平穩(wěn)性主要與振動的幅值和大小有關(guān),我國2019年發(fā)布了新國家標準GB/T 5599—2019《機車車輛動力學性能評定及試驗鑒定規(guī)范》,采用Sperling平穩(wěn)性指標對鐵道車輛運行品質(zhì)進行定量評估。Sperling 指標分為橫向平穩(wěn)性指標和豎向平穩(wěn)性指標,當Sperling指標小于2.5時,平穩(wěn)性等級為“優(yōu)”,Sperling指標計算公式為

(9)

式中:A為振動加速度,m/s2;fv為振動頻率,Hz;F(fv)為頻率修正系數(shù),具體取值見規(guī)范。

圖22～圖24給出了不同方向的軌道不平順組合、不同軌道不平順幅值和不同車速情況下車體的橫向和豎向Sperling指標。由圖22～圖24可知,車體橫向和豎向Sperling指標都小于2.5,平穩(wěn)性等級為“優(yōu)”,表明磁浮列車的運行平穩(wěn)性良好。橫向Sperling指標主要受橫向不平順的影響,豎向Sperling指標主要受豎向不平順的影響。橫向和豎向Sperling指標隨軌道不平順幅值增加而增加,與幅值基本呈線性關(guān)系。橫向和豎向Sperling指標與車速沒有明顯關(guān)系。表7給出了不同工況下車體橫豎向Sperling指標及平穩(wěn)性等級。

表7 不同工況下車體橫豎向Sperling指標及平穩(wěn)性等級

(a) 橫向

(a) 橫向

(a) 橫向

5 結(jié) 論

本文通過建立高速磁浮列車-軌道梁耦合振動模型,施加正弦函數(shù)形式的軌道不平順,分析了不同方向的軌道不平順組合、不同軌道不平順幅值和不同車速對車輛和橋梁動力響應敏感波長和列車運行平穩(wěn)性的影響,得出以下結(jié)論:

(1) 車體橫向、側(cè)滾和搖頭加速度主要受橫向不平順影響,豎向不平順對其影響較小;車體豎向和點頭向加速度主要受豎向不平順影響,橫向不平順對其影響較小;磁浮列車-軌道梁系統(tǒng)的橫向振動和豎向振動耦合性很弱。

(2) 在設計車速430 km/h下,波長為80 m、105 m、115 m、140 m和160 m時會分別引發(fā)車體側(cè)滾、搖頭、橫向、點頭和豎向方向的共振。

(3) 車體和主梁的動力響應幅值與軌道不平順幅值基本呈線性關(guān)系。當軌道不平順幅值為1 mm時,在計算車速200、250、300、350、390和430 km/h工況下,車體側(cè)滾加速度幅值隨車速變化不大,其他4個自由度方向的加速度幅值隨著車速的增大而減小。主梁豎向加速度幅值隨車速的增大呈線性增大。

(4) 從車體的橫向和豎向Sperling指標可以看出,車體的Sperling指標均小于2.5,平穩(wěn)性等級為“優(yōu)”,磁浮列車的平穩(wěn)性良好。