袁照凱，范秋華，王冬青，孫天民

（青島大學(xué)電氣工程學(xué)院，山東 青島 266071）

目前，由于儲(chǔ)能的重要性日益增加以及鋰電池在各個(gè)領(lǐng)域中的廣泛使用，鋰離子電池的研究成為活躍且至關(guān)重要的課題。對(duì)電池性能的研究主要體現(xiàn)在材料工藝性能[1-4]和應(yīng)用性能[5-8]上，在以電池管理系統(tǒng)(BMS)為代表的應(yīng)用中，電池SOC 的估計(jì)，因其準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)決定了電池的有效使用并深刻影響著BMS 的高效運(yùn)行，因此受到了世界學(xué)者的廣泛關(guān)注。

目前，常用的估計(jì)SOC的方法如下：

（1）開路電壓(OCV)方法：該方法根據(jù)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或OCV-SOC曲線擬合中獲得的電池開路電壓與SOC 之間的關(guān)系來(lái)估計(jì)SOC。這是一種直接而有效的方法，但需要靜置一段時(shí)間后才能進(jìn)行準(zhǔn)確的OCV測(cè)量。因此，其使用范圍有限。

（2）安時(shí)(AH)積分方法：此方法根據(jù)SOC 的定義，通過(guò)對(duì)一段時(shí)間內(nèi)的電流進(jìn)行積分來(lái)估算SOC。但是，由于傳感器不準(zhǔn)確和初始值的影響，它可能會(huì)累積誤差。因此，它并不適合在鋰電池長(zhǎng)期充放電的工作環(huán)境中進(jìn)行SOC估計(jì)。

（3）基于模型的方法：這些方法利用電池模型來(lái)估計(jì)SOC。主要分為電化學(xué)模型(EM)和等效電路模型(ECM)。EM 是一種基于電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)和電化學(xué)特性建立的方法，耦合關(guān)系復(fù)雜，更適用于實(shí)驗(yàn)室分析而非BMS場(chǎng)景。ECM是一種常見(jiàn)的SOC 估計(jì)方法，因?yàn)樗哂忻鞔_的物理含義和準(zhǔn)確捕獲電池動(dòng)力學(xué)的能力[9]。滑膜觀測(cè)器法[10]和H∞濾波法[11]都是基于此進(jìn)行SOC 估計(jì)，但前者輸出存在抖動(dòng)，后者計(jì)算復(fù)雜。此外，ECM 易于表達(dá)以SOC 為狀態(tài)的狀態(tài)空間方程，因此可以使用卡爾曼濾波(KF)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。由于鋰電池的過(guò)程模型和測(cè)量模型都是非線性函數(shù)，無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)和擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)能夠有效處理非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題而被廣泛用于鋰電池的SOC 估計(jì)[12]。然而，UKF 需要權(quán)衡其計(jì)算復(fù)雜度、無(wú)跡點(diǎn)個(gè)數(shù)及權(quán)重等參數(shù)調(diào)整難度、采樣點(diǎn)的選取以及對(duì)模型和數(shù)據(jù)的要求。EKF的估計(jì)精度對(duì)過(guò)程和測(cè)量噪聲的初始值很敏感，因此容易出現(xiàn)發(fā)散，為此，Tian 等[13]運(yùn)用自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波(AEKF)，實(shí)現(xiàn)噪聲協(xié)方差矩陣的自適應(yīng)匹配以優(yōu)化濾波性能。雙擴(kuò)展卡爾曼濾波器(DEKF)可以在多時(shí)間尺度上聯(lián)合估計(jì)電池狀態(tài)和參數(shù)[14-15]。Li等[16]、Gu 等[17]介紹了多新息擴(kuò)展卡爾曼濾波(MIEKF)及其改進(jìn)算法，將當(dāng)前時(shí)間的單一新息擴(kuò)展到包含當(dāng)前和先前時(shí)間步長(zhǎng)信息的新息向量來(lái)改善過(guò)濾過(guò)程，誤差信息的適量增加有助于更準(zhǔn)確地估計(jì)SOC[18]。孫潔等[19]結(jié)合多創(chuàng)新的自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)SOC 進(jìn)行估算，取得了較好的估計(jì)效果。

（4）基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法：隨著機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)和人工智能的進(jìn)步，如循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)和長(zhǎng)短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò)(LSTM)方法逐漸應(yīng)用在SOC 估計(jì)中[20-22]，通過(guò)捕捉電池充放電過(guò)程中的時(shí)序信息，從而實(shí)現(xiàn)高精度的SOC 估算。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法通常依賴于已有的充放電數(shù)據(jù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的訓(xùn)練優(yōu)化進(jìn)而進(jìn)行預(yù)測(cè)。然而，電池的性能和行為受到多種因素的影響，例如溫度、壽命、充放電速率、工況等。如果這些因素在歷史數(shù)據(jù)中沒(méi)有得到充分考慮，預(yù)測(cè)的精度可能會(huì)受到影響。

最近的研究主要集中在提高SOC 估計(jì)方法在各種條件下的準(zhǔn)確性和自適應(yīng)性，包括不同的溫度條件和工況條件，正在努力開發(fā)能夠處理參數(shù)變化和不確定性的自適應(yīng)算法[23-26]。運(yùn)用結(jié)合模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的雙驅(qū)動(dòng)方法[27-28]，或開創(chuàng)卡爾曼濾波算法與機(jī)器學(xué)習(xí)的集成算法等[29]，以確保在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)可靠的SOC 估計(jì)。本工作通過(guò)函數(shù)模型引入MIAEKF算法，在保證估計(jì)精度的同時(shí)自適應(yīng)溫度變化引起的ECM 參數(shù)變化，實(shí)現(xiàn)了在多溫度下良好的SOC估計(jì)效果。

1 電池建模

合適的電池模型是基于模型的方法實(shí)現(xiàn)鋰電池SOC 精確估計(jì)的必要條件。等效電路模型結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、精準(zhǔn)度較好。

1.1 電池的電路模型

常見(jiàn)的電池等效電路模型主要包括Rint 模型、Thevenin 模型、雙極化模型、PNGV 模型、GNL模型等[30]。本工作選擇了結(jié)構(gòu)復(fù)雜度適中、精度較高、易于結(jié)合估計(jì)電池SOC算法的雙極化模型(又稱為二階RC電路模型)，如圖1所示。

圖1 雙極化電池等效電路模型Fig.1 Dual polarization battery equivalent circuit model

由于形成的機(jī)理不同，電池的內(nèi)阻可以劃分為歐姆內(nèi)阻和極化內(nèi)阻，歐姆內(nèi)阻等效為離子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力，用電阻R0來(lái)描述。極化內(nèi)阻來(lái)源于材料自身的特性，可細(xì)分為電化學(xué)極化內(nèi)阻和濃差極化內(nèi)阻，用阻容網(wǎng)絡(luò)R1C1、R2C2來(lái)描述[31]。U為電池端電壓，I為電池端電流，規(guī)定的電流方向放電為正，充電為負(fù)。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，k時(shí)刻端電壓為：

對(duì)阻容網(wǎng)絡(luò)R1C1、R2C2的電壓全響應(yīng)包括零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)：

式中，Ik-1表示k-1時(shí)刻的電流；U1,k-1、U2,k-1表示k- 1時(shí)刻的電壓；Ts表示k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的采樣時(shí)間；時(shí)間常數(shù)τ1=R1C1，τ2=R2C2。

則電壓全響應(yīng)：

由SOC 的定義可知，k時(shí)刻的SOC 可以表示為：

式中，η表示通過(guò)充放電實(shí)驗(yàn)獲得的充放電效率，通常，充電時(shí)η= 1，放電時(shí)η＜1；QN表示電池額定容量或最大可用容量。由雙極化等效電路模型可知鋰電池的狀態(tài)變量設(shè)置為xk=[U1,k,U2,k, SOCk]T；

則由公式(2)～公式(5)可知，帶有過(guò)程噪聲wk-1的電池狀態(tài)空間方程可以寫為：

式中，wk-1表示均值為0、協(xié)方差矩陣為Qk-1的噪聲，即wk-1～(0,Qk-1)。

由式(1)可得帶有觀測(cè)噪聲vk的觀測(cè)方程：

式中，vk表示均值為0、協(xié)方差矩陣為Rk的噪聲，即vk～(0,Rk)。

1.2 不同溫度下的ECM參數(shù)辨識(shí)

本工作實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自于McMaster 大學(xué)公開的鋰離子電池測(cè)試數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集提供了多個(gè)溫度條件下的多種測(cè)試工況的鋰離子電池充放電數(shù)據(jù)[32]。由數(shù)據(jù)集中每個(gè)溫度條件下的混合動(dòng)力脈沖能力特性(hybrid pulse power characteristic，HPPC)實(shí)驗(yàn)工況測(cè)試數(shù)據(jù)，可以得到不同溫度下的不同SOC 階段對(duì)應(yīng)開路電壓(OCV)的值。對(duì)相同SOC 下的OCV 取平均值，通過(guò)多項(xiàng)式函數(shù)擬合，可以得到多溫度下的SOC-OCV 曲線，如圖2所示。

圖2 多溫度下的SOC-OCV曲線Fig.2 SOC-OCV curves under multiple temperature conditions

由于在ECM中的電池參數(shù)與電池當(dāng)前SOC和溫度有關(guān)，為了保證SOC 估計(jì)精度，分別對(duì)不同溫度下電池的不同SOC階段進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)。應(yīng)用FFRLS 對(duì)鋰電池在-10 ℃、0 ℃、10 ℃、25 ℃、40 ℃條件下的洛杉磯92(LA92)工況測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到在不同溫度條件下不同放電程度時(shí)R0、R1、C1、R2、C2的值。

由二階RC 等效電路模型可以推出其在復(fù)頻域中的輸出方程為：

令E(s)=Uoc(s)-U(s)，則電池模型的傳遞函數(shù)可以表示為：

式中，G(s)代表電路阻抗；τ1、τ2表示極化時(shí)間常數(shù)，τ1=R1C1，τ2=R2C2。根據(jù)雙線性變換原理

式中，T表示采樣時(shí)間，離散化G(s)可得

式中，α1、α2、β0、β1、β2表示待定系數(shù)，則時(shí)域離散化表達(dá)為：

將公式(12)變換為最小二乘法的形式：

則

由式(13)估算出θ的最優(yōu)估計(jì)。由式(9)～式(11)可得模型參數(shù)求解公式如下：

在不同溫度條件下測(cè)試HPPC 工況的放電數(shù)據(jù)，SOC=100%時(shí)的離線參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表1 所示，作為FFRLS辨識(shí)過(guò)程的初值。

表1 SOC=100%時(shí)HPPC的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Table 1 Parameter identification results for HPPC at SOC=100%

電路參數(shù)與SOC、T存在非線性關(guān)系，將辨識(shí)結(jié)果的離散點(diǎn)作為樣本點(diǎn)利用Matlab 軟件進(jìn)行插值擬合得到關(guān)系式(15)，函數(shù)模型擬合效果如圖3所示。

圖3 電路參數(shù)R0、R1、C1、R2、C2與SOC、T的三維擬合效果圖Fig.3 The 3D fitting effect graph of circuit parameters R0, R1, C1, R2, and C2 with respect to SOC and temperature (T)

選取40 ℃下的LA92工況數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的精確性進(jìn)行驗(yàn)證。由圖4可知參數(shù)辨識(shí)結(jié)果具有較高精確性，為下文SOC 估計(jì)提供了精確的電池模型。

圖4 40 ℃下的LA92工況數(shù)據(jù)模型驗(yàn)證效果Fig.4 Verification results of the LA92 driving cycle data model at 40 ℃

2 基于MIAEKF的狀態(tài)估計(jì)

2.1 多新息自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波(MIAEKF)算法

由于電池充放電是一個(gè)非線性過(guò)程，因此用卡爾曼濾波估計(jì)電池SOC 時(shí)需要用泰勒公式將非線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行展開并去掉高階項(xiàng)來(lái)線性化模型。上文式(6)、式(7)可以簡(jiǎn)化表達(dá)為如下形式：

將f(·)、h(·)分別在k-1 時(shí)刻的狀態(tài)后驗(yàn)估計(jì)值處、k時(shí)刻的狀態(tài)先驗(yàn)估計(jì)值處展開得：

因此，當(dāng)已知k-1 時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)值x?k-1與狀態(tài)向量的協(xié)方差矩陣Pk-1時(shí)，k-1 到k時(shí)刻的狀態(tài)向量先驗(yàn)估計(jì)值可以表示為：

相應(yīng)先驗(yàn)狀態(tài)協(xié)方差:

則此時(shí)的新息為：

計(jì)算卡爾曼增益：

狀態(tài)協(xié)方差更新：

本工作在EKF算法中通過(guò)構(gòu)建滑動(dòng)窗口，分別用其中的殘差數(shù)據(jù)、新息數(shù)據(jù)自適應(yīng)更新窗口最新時(shí)刻的協(xié)方差矩陣[33]，用開窗平均的方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)自適應(yīng)因子的構(gòu)建，并融合多新息理論，將窗口的均值新息數(shù)據(jù)乘以合理的新息均值系數(shù)用于卡爾曼濾波的后驗(yàn)估計(jì)之中。

當(dāng)窗口長(zhǎng)度為a時(shí)，且k時(shí)刻之前的歷史數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)大于a時(shí)，令

式中，λ代表窗口長(zhǎng)度內(nèi)新息的均值系數(shù)，對(duì)估計(jì)精度存在一定影響。

k時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)狀態(tài)更新：

觀測(cè)值后驗(yàn)估計(jì)值：

后驗(yàn)殘差為：

令

通過(guò)k時(shí)刻之前窗口內(nèi)的新息數(shù)據(jù)、殘差數(shù)據(jù)，自適應(yīng)調(diào)節(jié)協(xié)方差矩陣Q、R。

式(19)～式(30)體現(xiàn)了MIAEKF 算法的具體內(nèi)容。算法流程圖如圖5所示。

簡(jiǎn)易水位站即為水尺樁，可采用木質(zhì)、石質(zhì)或不銹鋼材質(zhì)。對(duì)于無(wú)條件建樁的監(jiān)測(cè)站，選擇在離河邊較近的固定建筑物或巖石上標(biāo)注水位刻度；水位監(jiān)測(cè)尺的刻度以方便監(jiān)測(cè)員直接讀數(shù)為設(shè)置原則，并根據(jù)各監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)際情況，標(biāo)注預(yù)警水位。在河南、陜西等省，為了方便預(yù)警，直接在水尺上標(biāo)注兩個(gè)預(yù)警水位，而不標(biāo)注水位刻度。

圖5 MIAEKF算法流程圖Fig.5 The steps of the MIAEKF algorithm

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)值驗(yàn)證

2.2.1 算法性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證MIAEKF的有效性，首先應(yīng)該找到最優(yōu)的自適應(yīng)窗口長(zhǎng)度a的值，并在此基礎(chǔ)上討論引入多新息均值來(lái)提高估計(jì)精度，以及合理的新息均值系數(shù)λ。

將MIAEKF 算法中的式(25)、式(26)處，改寫為單新息后驗(yàn)估計(jì)：

在40 ℃ LA92 工況下，驗(yàn)證單新息AEKF 算法，并討論窗口長(zhǎng)度a的值對(duì)估計(jì)精度的影響。分別驗(yàn)證a=15、25、50、100、200 時(shí)的SOC 估計(jì)精 度 。 以 SOCerror的 均 方 根 (RMSE =n為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度)、最大估計(jì)誤差(Maxsocerror)為參考指標(biāo)，尋找最優(yōu)窗口值，結(jié)果如表2所示。

表2 不同窗口長(zhǎng)度下AEKF估計(jì)精度Table 2 Estimation accuracy of AEKF for different window lengths

圖6表明了在不同窗口長(zhǎng)度下AEKF的SOC估計(jì)效果，由表2 及圖6 可以看出，在a=25 時(shí)SOC的估計(jì)精度相對(duì)較高。

設(shè)置a=25，分別驗(yàn)證MIAEKF 算法中窗口新息均值系數(shù)λ= 0.5、1、2、3、4、5 時(shí)的估計(jì)精度，結(jié)果如表3所示。

表3 a=25條件下不同λ時(shí)MIAEKF SOC估計(jì)最大誤差Table 3 The maximum error of MIAEKF SOC estimation for different λ under a=25

由上述數(shù)據(jù)可知，當(dāng)a=25、λ=2時(shí)MIAEKF算法具有較好的SOC估計(jì)精度。

在此參數(shù)條件下，用40 ℃下的LA92 工況數(shù)據(jù)，對(duì)比EKF、AEKF、MIAEKF算法的SOC估計(jì)效果，如圖7所示。

圖7 EKF、AEKF、MIAEKF算法估計(jì)效果Fig.7 SOC estimation performance of EKF, AKF, and MIAEKF algorithm

表4 不同SOC估計(jì)算法數(shù)據(jù)對(duì)比Table 4 Comparison of data for different state of charge (SOC) estimation algorithms

2.2.2 不同溫度下基于MIAEKF的SOC估計(jì)

分別對(duì)電池在城市驅(qū)動(dòng)臺(tái)車(UDDS)工況下，對(duì)在-10 ℃、10 ℃、25 ℃條件下的電池實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用MIAKEF 算法進(jìn)行SOC 估計(jì)，以驗(yàn)證MIAEKF 算法在不同溫度下SOC 估計(jì)的有效性，結(jié)果如圖8所示。算法的輸入?yún)?shù)為端電壓、端電流和溫度，在估計(jì)過(guò)程中經(jīng)公式(15)調(diào)整與溫度、SOC相關(guān)的ECM參數(shù)，進(jìn)而更新系數(shù)矩陣，以此來(lái)適應(yīng)不同溫度下的SOC估計(jì)。

圖8 MIAEKF在UDDS工況不同溫度下的SOC估計(jì)Fig.8 MIAEKF-based SOC Estimation at Different Temperatures under UDDS Conditions

由圖8 可知，在不同溫度下MIAEKF 具有良好的估計(jì)效果，估計(jì)誤差均在±0.8%以內(nèi)。而上述SOC估計(jì)是基于公式(15)進(jìn)行的，驗(yàn)證算法的三種溫度條件都在公式(15)中有所體現(xiàn)。為進(jìn)一步驗(yàn)證多溫度條件下函數(shù)擬合應(yīng)用在SOC 估計(jì)算法的效果，將對(duì)鋰電池在-10 ℃、0 ℃、25 ℃、40 ℃條件下的LA92 工況放電數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的離散點(diǎn)作為樣本點(diǎn)利用Matlab 軟件進(jìn)行插值擬合得到關(guān)系式：

將算法中的公式(15)替換為公式(32)，其中并不體現(xiàn)10 ℃條件下的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果。對(duì)電池分別在HWFET、LA92、Mixed 三種工況10 ℃條件下的電池測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行SOC 估計(jì)。以此驗(yàn)證多溫度條件下算法的實(shí)用性。

由圖9可知，函數(shù)所用的擬合點(diǎn)并不包括10 ℃時(shí)的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，在10 ℃ LA92、HWFET、Mixed三種測(cè)試工況下該算法的SOC估計(jì)均表現(xiàn)出了較為良好的效果，估計(jì)誤差均在±1%以內(nèi)。

圖9 10 ℃ HWFET、LA92、Mixed工況下MIAEKF算法SOC估計(jì)Fig.9 SOC estimation under different testing conditions at 10 °C

3 結(jié) 論

在鋰電池雙極化模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)鋰電池在不同溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用FFRLS 進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果，進(jìn)行模型參數(shù)關(guān)于溫度與SOC 的二維函數(shù)擬合。在MIAEKF算法中引入擬合函數(shù)，使在狀態(tài)估計(jì)過(guò)程中能夠更新參數(shù)，以適應(yīng)不同溫度下的SOC估計(jì)。在較合適的初始參數(shù)條件下，a=25、λ=2 時(shí)MIAEKF 相較于EKF、AEKF 具有較好的估計(jì)精度。分別對(duì)-10 ℃、10 ℃、25 ℃環(huán)境下UDDS工況的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，三種不同的溫度環(huán)境下SOC 估計(jì)誤差均在±0.8%以內(nèi)。為進(jìn)一步驗(yàn)證擬合函數(shù)在多溫度下的有效性，盡管10 ℃下的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果不作為擬合點(diǎn)，得到的擬合函數(shù)運(yùn)用在算法中，在10 ℃ LA92、HWFET、Mixed 三種測(cè)試工況下進(jìn)行數(shù)據(jù)驗(yàn)證，估計(jì)誤差均不超過(guò)±1%。這為多溫度下的SOC估計(jì)提供了一種方法。