李錦芳 何東山 王一平

1) (咸陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,咸陽(yáng) 712000)

2) (西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院,楊凌 712100)

本文提出了基于耦合腔的一維晶格理論方案,其中每個(gè)晶胞包含微波腔光子和磁子,通過(guò)調(diào)控磁子與微波光子的耦合來(lái)研究系統(tǒng)中的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)淞孔油ǖ?首先,分析了在奇偶晶格數(shù)情況下,系統(tǒng)能譜和邊緣態(tài)的特征,并發(fā)現(xiàn)邊緣態(tài)分布可以展示反轉(zhuǎn)過(guò)程,可以實(shí)現(xiàn)多通道拓?fù)淞孔討B(tài)傳輸;其次,考慮存在缺陷和無(wú)序的擾動(dòng),發(fā)現(xiàn)它們?cè)谳^小值范圍內(nèi),可以使能帶產(chǎn)生波動(dòng)和翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象,但邊緣狀態(tài)對(duì)其是魯棒的,這表明邊緣態(tài)受到系統(tǒng)的拓?fù)浔Ｗo(hù).該研究結(jié)果為研究拓?fù)浯抛?光子提供了一條新途徑,將在量子信息處理中有著廣闊的應(yīng)用前景.

1 引言

拓?fù)浣^緣體是一種新的物質(zhì)形態(tài),自從被發(fā)現(xiàn)以來(lái)就引起了研究者的極大興趣[1,2].與傳統(tǒng)絕緣體不同,拓?fù)浣^緣體具有獨(dú)特的性質(zhì),比如其內(nèi)部可以顯示絕緣體特征,而其表面呈現(xiàn)導(dǎo)體特性[3,4].此外,拓?fù)浣^緣體的能帶中,價(jià)帶和導(dǎo)帶之間存在能隙,而能隙中存在邊緣態(tài)[5,6].特別地,在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在邊緣態(tài),才能使拓?fù)浣^緣體呈現(xiàn)導(dǎo)體特征,并且邊緣狀態(tài)受到能隙的保護(hù),對(duì)于無(wú)序和缺陷是魯棒的[7,8].基于上述優(yōu)勢(shì),在凝聚態(tài)物理、原子、分子和光學(xué)物理領(lǐng)域提出了許多理論模型和實(shí)驗(yàn)方案,如石墨烯帶[9]、冷原子晶格[10–12]和非對(duì)角雙色光學(xué)晶格[13]等.尤其是,一維Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是最簡(jiǎn)單的拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)之一[14,15],它可以展現(xiàn)豐富的拓?fù)洮F(xiàn)象,例如拓?fù)湎嘧兒瓦吘墤B(tài)[16]、拓?fù)洳蛔兞縖17]和非厄米體邊界[18].

微納米制造工藝的成熟促進(jìn)了光學(xué)微腔系統(tǒng)的不斷發(fā)展,并且展現(xiàn)出很小的模式體積和高的品質(zhì)因子.例如,法布里-珀羅諧振腔(Fabry-Pérot cavity,F-P 腔)系統(tǒng)[19,20],一般是由兩片反射率極高的鏡組成.特別地,可以通過(guò)操控腔內(nèi)電場(chǎng)的強(qiáng)度,使單個(gè)光子被局域在非常小的空間中,從而與單個(gè)原子的躍遷過(guò)程發(fā)生耦合,通常把這些系統(tǒng)稱(chēng)為腔量子電動(dòng)力學(xué)(quantum electrodynamics,QED)系統(tǒng),可以應(yīng)用在量子光學(xué)、量子信息處理和量子模擬等領(lǐng)域[21–25].目前,腔QED 系統(tǒng)成為研究光與物質(zhì)相互作用最基本的物理系統(tǒng)之一,并且已經(jīng)展現(xiàn)了許多有趣的量子效應(yīng),比如誘導(dǎo)原子自發(fā)輻射反轉(zhuǎn)[26]、操控光子-原子量子糾纏[27]和調(diào)控光場(chǎng)與原子的量子態(tài)[28]等.另一方面,腔QED系統(tǒng)不僅對(duì)量子力學(xué)的基本原理進(jìn)行了驗(yàn)證,而且可以構(gòu)建各種微型光量子器件、量子信息處理平臺(tái).近年來(lái),腔QED 產(chǎn)生了一個(gè)新的分支,即腔磁力學(xué)系統(tǒng)[29–31],基于磁子(yttrium iron garnet,YIG)與微波腔光子的共振耦合形成雜化態(tài)-磁光極化子(magnon-polariton),其中磁子具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),例如豐富的磁性非線(xiàn)性、低阻尼率和高自旋密度[32].通過(guò)磁偶極與微波光子相互作用,耦合強(qiáng)度可達(dá)到超強(qiáng)耦合,為研究強(qiáng)耦合的物理效應(yīng)提供新平臺(tái)[33,34].最近的相關(guān)文獻(xiàn)又研究了有許多有趣的現(xiàn)象,如磁子暗模[35]、高階磁性例外點(diǎn)[36]、PT-對(duì)稱(chēng)[37]、雙穩(wěn)態(tài)[38]、磁-光-聲糾纏[39].因此,受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)[29–43],我們提出使用腔QED 和磁子來(lái)構(gòu)造拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),并研究其中的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)渫ǖ?這為構(gòu)建可擴(kuò)展量子網(wǎng)絡(luò)提供了可行性藍(lán)圖.

本文提出了基于耦合腔構(gòu)建的一維晶格方案,其中每個(gè)晶胞包含微波腔光子和磁子,通過(guò)調(diào)節(jié)磁子與微波光子的耦合參數(shù),分析其中拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)淞孔油ǖ?首先,在奇偶晶格數(shù)情況下,討論了系統(tǒng)能譜和邊緣態(tài)的特征,發(fā)現(xiàn)邊緣狀態(tài)分布發(fā)生了一個(gè)反轉(zhuǎn)過(guò)程,這可以實(shí)現(xiàn)多通道拓?fù)淞孔討B(tài)傳輸.其次,當(dāng)無(wú)序和缺陷的擾動(dòng)存在時(shí),研究其對(duì)系統(tǒng)拓?fù)涮匦缘挠绊?當(dāng)無(wú)序和缺陷強(qiáng)度較小時(shí),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)受到拓?fù)浔Ｗo(hù),使邊緣態(tài)對(duì)其具有魯棒性.相反,無(wú)序和缺陷強(qiáng)度較大時(shí),能帶分布被破壞,將會(huì)變得無(wú)序和混亂.

2 模型和哈密頓量

如圖1(a)所示,本文提出的一維耦合腔晶格系統(tǒng)包含N個(gè)晶胞,Jn是晶胞an-1和an之間的耦合參數(shù).如圖1(b)所示,每個(gè)晶胞由F-P腔和磁子組成,磁子可以看作具有大量自旋集合的磁球(如直徑250 μm 的YIG 球體).其中,沿z方向施加磁場(chǎng)H,可以使磁子模式與腔場(chǎng)模式耦合,同時(shí)其耦合強(qiáng)度可以被外部磁場(chǎng)調(diào)控.因此,一維耦合腔晶格系統(tǒng)的哈密頓量表示為(?=1)

圖1 (a)一維耦合腔晶格模型圖,Jn 是晶胞 an-1 和an之間的耦合;(b) an和mn 分別表 示腔場(chǎng) 和磁子 的模式,其中沿腔z 方向施加磁場(chǎng)H,可以使磁子模式與腔場(chǎng)模式耦合Fig.1.(a) Schematic of the one-dimensional coupled cavity lattice system,Jn is the coupling strength between cavities an-1 and an ;(b) an and mn represent the modes of the cavity field and the magnon,an uniform bias magnetic field (H along the z direction) that establishes the magnon-photon coupling.

其中,Hma表示晶胞內(nèi)部腔場(chǎng)模式和磁子模式的哈密頓量,Haa表示晶胞近鄰腔場(chǎng)模式之間的耦合,兩者可以分別描述為

為了進(jìn)一步研究其中的晶格拓?fù)湮锢硖匦?文中設(shè)置參數(shù):Jn∈even=t(1-Jcos?),Jn∈odd=t(1+Jcos?),gn=t(1+gcos?),相位?在[0,2π]范圍內(nèi)的循環(huán)調(diào)制,g(J) 是循環(huán)調(diào)制的強(qiáng)度.特別是,耦合參數(shù)gn可以通過(guò)調(diào)整磁場(chǎng)的方向或磁子在腔內(nèi)的位置來(lái)調(diào)控.另外,由于磁子具有極大的自旋密度,這可以增強(qiáng)強(qiáng)磁子與腔場(chǎng)的耦合.為了便于討論,將t=1 設(shè)為能量單位,系統(tǒng)的哈密頓量可以改寫(xiě)為

基于上述哈密頓量的分析與討論,研究系統(tǒng)中的晶格物理特征,并且深入探究其中所具有的拓?fù)湫再|(zhì),進(jìn)一步展現(xiàn)其豐富的拓?fù)浣^緣體特性.

3 結(jié)果與討論

3.1 奇偶晶格能譜特征

目前,研究人員在拓?fù)浣^緣體研究領(lǐng)域中,通過(guò)構(gòu)建不同類(lèi)型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以展現(xiàn)許多新奇的拓?fù)涮卣?也就是說(shuō),拓?fù)涮卣髋c系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征密切相關(guān)聯(lián),例如,不同的結(jié)構(gòu)特征會(huì)表現(xiàn)出不同的拓?fù)湎嘧兒瓦吘墤B(tài)模式.因此,可以構(gòu)建不同的結(jié)構(gòu)系統(tǒng),來(lái)實(shí)現(xiàn)一些新的拓?fù)淞孔悠骷?首先,考慮奇數(shù)和偶數(shù)晶格的情況下,分析和討論一維耦合腔晶格中能譜特征.

在圖2中,當(dāng)晶格數(shù)n=36時(shí),通過(guò)調(diào)整參數(shù)g,繪制了系統(tǒng)的能譜與相位?的物理圖像,其中藍(lán)色和紅色線(xiàn)條的邊緣態(tài)定義為 |ψblue〉和 |ψred〉,相對(duì)應(yīng)的能量本征值為Eblue和Ered,即H|ψ〉=E|ψ〉.如圖2(a)所示,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)g=0時(shí),系統(tǒng)的能譜呈現(xiàn)兩個(gè)能帶,在? ∈(π/2,3π/2) 位置存在兩個(gè)簡(jiǎn)并的零模邊緣態(tài)模式,在? ∈(0,π/2)和(3π/2,2π) 位置存在能隙δE0 .不同于圖2(a),當(dāng)參數(shù)g逐漸增加時(shí),在?=π 位置上下能帶發(fā)生壓縮變化,但邊緣態(tài)簡(jiǎn)并模式保持不變,如圖2(b)所示.從圖2(c)可以看出,當(dāng)參數(shù)g達(dá)到閾值時(shí),在?=π 位置上下能帶凹凸起伏,并且隨著g的增大而增加.此外,當(dāng)參數(shù)g超過(guò)閾值時(shí),可以清楚地看到在?=π 位置,兩個(gè)簡(jiǎn)并的邊緣態(tài)存在間隙,如圖2(d)所示.另外可以看到,系統(tǒng)的能帶具有對(duì)稱(chēng)性,并且能隙中的邊緣態(tài)具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性,這些使系統(tǒng)具有一定拓?fù)浔Ｗo(hù).同時(shí)也注意到,系統(tǒng)能譜的極大值、翻轉(zhuǎn)和周期都發(fā)現(xiàn)改變,邊緣態(tài)的區(qū)域有所擴(kuò)展和延伸.與晶格偶數(shù)不同,當(dāng)選擇奇數(shù)n=37晶格時(shí),如圖3 所示,發(fā)現(xiàn)在能譜中只有一個(gè)零模邊緣態(tài)模式,并且不會(huì)隨參數(shù)g的調(diào)制而變化,但能帶的變化與圖2 一致.

圖2 n=36時(shí),系統(tǒng)能譜與相位 ? 的關(guān)系圖,其中紅色和藍(lán)色線(xiàn)條是系統(tǒng)的兩個(gè)邊緣態(tài)模式(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2 ;(d) g=3.其他參數(shù)為J=1 ,? ∈ [ 0,2π ]Fig.2.Energy spectrum of the system via the phase ?,the red and blue lines are the two edge state modes of the system at n=36:(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3.Other parameters are set as J=1and ? ∈ [ 0,2π ].

圖3 n=37時(shí),系統(tǒng)能譜與相位 ? 的關(guān)系圖,其中紅色線(xiàn)條是系統(tǒng)零模邊緣態(tài)(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3 .其他參數(shù)為 J=1 ,? ∈ [ 0,2π ]Fig.3.Energy spectrum of the system via the phase ?,the red line is the zero mode edge state of the system,n=37 sites:(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3.Other parameters are set as J=1 and ? ∈ [ 0,2π ].

為了進(jìn)一步分析和探究系統(tǒng)能譜與參數(shù)g的關(guān)系,在此選擇相位?=π,繪制系統(tǒng)能譜與晶格數(shù)的物理圖像.在圖4(a)—(d)中,選取晶格數(shù)n=36,可以清楚地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)簡(jiǎn)并邊緣態(tài)模式與上下能帶的間隙,可以通過(guò)調(diào)制參數(shù)g來(lái)調(diào)控.在圖4(e)—(h)中,選取晶格數(shù)n=37,邊緣態(tài)與上下能帶之間的間隙也可以被調(diào)制.此外,與圖2 和圖3 相比較,可以看到在相位?=π點(diǎn),系統(tǒng)能譜的變化相同,并且該結(jié)論與前面的一致.綜上所述,奇偶晶格拓?fù)涮匦缘奈锢頇C(jī)制可以這么解釋: 一方面源于系統(tǒng)的邊界條件發(fā)生改變,從而引起拓?fù)湫再|(zhì)的差異;另一方面基于調(diào)控參數(shù)g,可以改變晶格間的耦合,從而誘導(dǎo)系統(tǒng)展現(xiàn)不同的拓?fù)涮卣?同時(shí)系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)渫ǖ揽梢员徊倏v.

圖4 系統(tǒng)能譜與晶格數(shù)關(guān)系圖(a)—(d) n=36 ,g=0,1,2,3;(e)—(h) n=37 ,g=0,1,2,3.其他參數(shù)為 J=1,?=πFig.4.Energy spectrum of the system via the lattice numbers: (a)–(d) n=36 ,g=0,1,2,3;(e)–(h) n=37 ,g=0,1,2,3 .Other parameters are set as J=1 and ?=π .

3.2 調(diào)控邊緣態(tài)的分布

根據(jù)上面的討論,接下來(lái)分析奇晶格數(shù)邊緣態(tài)模式的狀態(tài)分布.圖5 繪制了邊緣態(tài)模式(第19模式)的分布.如圖5(a)所示,當(dāng)?=0.7π時(shí),邊緣態(tài)(紅色)占據(jù)最左邊腔的概率最大;當(dāng)?=1.5π時(shí),從邊緣態(tài)的分布可以看出,邊緣態(tài)(藍(lán)色)占據(jù)最右邊腔的概率最大.研究結(jié)果說(shuō)明,通過(guò)調(diào)控相位?,可以使邊緣態(tài)的分布發(fā)生改變,即占據(jù)最右邊腔或者最左邊腔.也就是說(shuō),相位?周期性地變化時(shí),邊緣態(tài)的分布可以展現(xiàn)周期性的相變,從而實(shí)現(xiàn)連續(xù)從左到右或從右到左的相變.

圖5 n=37時(shí),邊緣態(tài)(第19 模式)的概率分布圖(a) ?=0.7π,1.5π ,g=1 ,J=1;(b) ?=1.37π ,g=0,1,J=1Fig.5.State distribution of the 19 mode is plotted at n=37: (a) ?=0.7π,1.5π ,g=1 ,J=1;(b) ?=1.37π ,g=0,1 ,J=1 .

此外,圖5(b)繪制了不同參數(shù)g情況下的邊緣態(tài)分布.當(dāng)g=0時(shí),發(fā)現(xiàn)邊緣態(tài)(紅色)分布從右到左逐漸減小.然而,當(dāng)g=1時(shí),邊緣態(tài)(藍(lán)色)分布從左到右逐漸減小.根據(jù)以上分析,得知邊緣分布經(jīng)歷了一個(gè)反轉(zhuǎn)過(guò)程,邊緣態(tài)模式占據(jù)最左(右)邊腔轉(zhuǎn)移到最右(左)邊腔,這實(shí)現(xiàn)了邊緣態(tài)模式的交換和傳遞轉(zhuǎn)換,可用于量子信息處理.

另一方面,根據(jù)前面關(guān)于參數(shù)g的討論,它可以影響系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì).在該系統(tǒng)中,通過(guò)控制外部磁場(chǎng)來(lái)調(diào)節(jié)參數(shù)g的大小,從而可以操縱系統(tǒng)的拓?fù)渫ǖ篮屯負(fù)湎嘧?接下來(lái),考慮參數(shù)g對(duì)該系統(tǒng)的邊緣態(tài)分布的影響.圖6 繪制了在n=37晶格的情況下,邊緣態(tài)的分布與參數(shù)g和相位?的關(guān)系.如圖6(a)所示,當(dāng)參數(shù)g=0時(shí),在參數(shù)? ∈[0,π/2]和[3π/2,2π] 的區(qū)域中,可以發(fā)現(xiàn)邊緣態(tài)位于第37 個(gè)腔中.此外,在參數(shù)? ∈[π/2,3π/2] 的區(qū)域中,邊緣態(tài)分布在第1 個(gè)腔中.然而,當(dāng)參數(shù)g逐漸增加時(shí),如圖6(b)—(f)所示,邊緣態(tài)的分布發(fā)生了變化,可以清楚地看到 [π/2,3π/2] 區(qū)域中部分的邊緣態(tài)從第1 個(gè)腔轉(zhuǎn)移到第37 個(gè)腔中.根據(jù)上述討論,發(fā)現(xiàn)參數(shù)g可以控制系統(tǒng)邊緣態(tài)的分布,使系統(tǒng)可以呈現(xiàn)多個(gè)拓?fù)淞孔討B(tài)轉(zhuǎn)移通道.此外,該結(jié)論可以推廣到其他類(lèi)似的系統(tǒng),來(lái)實(shí)現(xiàn)多通道量子信息傳輸.

圖6 邊緣態(tài)概率分布與晶格數(shù)和相位 ? 的關(guān)系圖(a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3;(e) g=4;(f) g=5 .其他參數(shù)為 n=37,J=1Fig.6.State distribution of edge state via the lattice numbers and the phase ? : (a) g=0;(b) g=1;(c) g=2;(d) g=3 ;(e) g=4;(f) g=5 .Other parameters are set as n=37 and J=1 .

3.3 缺陷和無(wú)序的擾動(dòng)

實(shí)驗(yàn)中,不可能消除一些固有的內(nèi)在或外在因素對(duì)系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的影響,比如系統(tǒng)的缺陷和無(wú)序可能會(huì)影響系統(tǒng)的拓?fù)涮卣?因此,有必要分析這些因素的影響.為了討論缺陷對(duì)系統(tǒng)的影響,引入缺陷產(chǎn)生的電勢(shì)W,從而進(jìn)一步考慮隨機(jī)缺陷Wr對(duì)系統(tǒng)的影響,那么系統(tǒng)隨機(jī)缺陷的哈密頓量可以表示為

接下來(lái),繪制系統(tǒng)能譜與相位?和隨機(jī)缺陷的關(guān)系圖,分析系統(tǒng)邊緣態(tài)的變化情況.正如圖7 所示,當(dāng)考慮隨機(jī)缺陷的存在時(shí),系統(tǒng)的能帶將具有波動(dòng)效應(yīng).如果隨機(jī)缺陷勢(shì)較小,則可以區(qū)分系統(tǒng)的能帶,并且邊緣狀態(tài)保持不變.然而,當(dāng)勢(shì)Wr超過(guò)一定范圍時(shí),能帶結(jié)構(gòu)被破壞并變得混亂,邊緣態(tài)淹沒(méi)在能帶中.換句話(huà)說(shuō),當(dāng)隨機(jī)缺陷勢(shì)較小時(shí),系統(tǒng)的邊緣態(tài)對(duì)其具有魯棒性,但隨機(jī)缺陷勢(shì)較大時(shí),能帶的波動(dòng)將增強(qiáng),邊緣態(tài)將淹沒(méi)在能帶中.

圖7 系統(tǒng)能譜與相位 ? 和隨機(jī)缺陷的關(guān)系圖(a) Wr=0.1;(b) Wr=0.5;(c) Wr=1;(d) Wr=3;(e) Wr=5;(f) Wr=7 .其他參數(shù)參考圖2(b)Fig.7.Energy spectrum as a function of the phase ? for different degrees of defect: (a) Wr=0.1;(b) Wr=0.5;(c) Wr=1 ;(d) Wr=3;(e) Wr=5;(f) Wr=7 .Other parameters are set as Fig.2(b).

另外,系統(tǒng)的無(wú)序程度源于晶格之間耦合強(qiáng)度的波動(dòng),例如,晶格an和an-1之間的耦合Jn,晶格內(nèi)an和mn之間的耦合gn.為了計(jì)算和分析討論,引入無(wú)序參數(shù)δ,并把耦合參數(shù)重新表示為gn+δ和Jn+δ,進(jìn)一步分析系統(tǒng)的無(wú)序作用對(duì)能譜和邊緣態(tài)的影響程度.如圖8(a)所示,當(dāng)無(wú)序參數(shù)δ=±0.3時(shí),可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的上下能帶發(fā)生改變.例如,當(dāng)δ=-0.3時(shí),能帶發(fā)生反轉(zhuǎn),邊緣態(tài)區(qū)域得到擴(kuò)展;然而,當(dāng)δ=0.3時(shí),能帶寬度有所增加,邊緣態(tài)區(qū)域遭受壓縮.為了更具體分析和討論,在圖8(b)和圖8(c)中分別繪制了無(wú)序參數(shù)δ 增加和減小情況下,發(fā)現(xiàn)結(jié)果和前面討論的一致.此外,從能譜可以看出,上能帶和下能帶分別向上和向下移動(dòng),但邊緣態(tài)受影響非常小,這表明邊緣狀態(tài)對(duì)于無(wú)序是魯棒的,其受到系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的保護(hù).

圖8 系統(tǒng)能 譜與相位 ? 和無(wú)序的關(guān)系圖(a) δ=-0.3(藍(lán)色實(shí)線(xiàn)),δ=0.3(黑色虛 線(xiàn));(b) δ=0.1(藍(lán)色實(shí) 線(xiàn)),δ=0.3(黑色虛線(xiàn));(c) δ=-0.1(藍(lán)色實(shí)線(xiàn)),δ=-0.3 (黑色虛線(xiàn)).其他參數(shù)參考圖2(b)Fig.8.Energy spectrum as a function of the phase ? for different degrees of disorder and the dissipation: (a) δ=-0.3 (blue line),δ=0.3(black dotted line);(b) δ=0.1(blue line),δ=0.3(black dotted line);(c) δ=-0.1(blue line),δ=-0.3 (black dotted line).Other parameters are set as Fig.2(b).

4 結(jié)論

本文提出了一種基于耦合腔的一維晶格方案,其中每個(gè)晶胞由微波腔光子和磁子組成,通過(guò)調(diào)控磁子外部磁偏置量,可以調(diào)整磁子-光子的耦合強(qiáng)度,從而對(duì)系統(tǒng)中的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)淞孔油ǖ肋M(jìn)行了分析與討論.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),奇偶晶格數(shù)的能譜具有不同的特征,而這源于邊界條件的差異;通過(guò)調(diào)控耦合參數(shù),邊緣態(tài)分布可以呈現(xiàn)一個(gè)反轉(zhuǎn)過(guò)程,這可以實(shí)現(xiàn)多通道拓?fù)淞孔討B(tài)傳輸和存儲(chǔ)的目的.此外,在考慮了缺陷和無(wú)序的擾動(dòng)下,發(fā)現(xiàn)邊緣態(tài)對(duì)其具有魯棒性,這展現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)邊緣狀態(tài)的拓?fù)浔Ｗo(hù).因此,本文的方案為研究磁子-光子拓?fù)湫再|(zhì)開(kāi)辟了一條新的途徑,并對(duì)未來(lái)拓?fù)淞孔有畔⑻幚硖峁┝怂{(lán)圖.