權(quán)東曉 呂曉杰 張雯菲

1) (西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院,西安 710071)

2) (西安電子科技大學(xué),量子信息協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

量子計算因具有并行處理能力,相比于經(jīng)典計算有著指數(shù)級的加速,但量子系統(tǒng)具有脆弱性,極易受到噪聲的影響,量子糾錯碼是克服量子噪聲的有效手段.量子表面碼是一種拓撲穩(wěn)定子碼,由于其結(jié)構(gòu)上的最近鄰居特點和較高的容錯閾值,表面碼在大規(guī)模容錯量子計算方面具有巨大的潛力.目前已有的基于邊界的表面碼均為編碼一個邏輯比特的表面碼,本文主要研究基于邊界如何實現(xiàn)多邏輯量子比特的編碼,包括設(shè)計表面碼的結(jié)構(gòu),根據(jù)結(jié)構(gòu)找出對應(yīng)的穩(wěn)定子和邏輯操作,進一步根據(jù)穩(wěn)定子設(shè)計出基于穩(wěn)定子實現(xiàn)的編碼線路;在研究基于測量和糾正的單量子比特間CNOT 實現(xiàn)原理和基于融合操作和分割操作的單邏輯量子比特表面碼間CNOT 門實現(xiàn)原理的基礎(chǔ)上,優(yōu)化了基于融合操作和分割操作的單邏輯量子比特表面碼間CNOT 門實現(xiàn)方案,將其擴展到所設(shè)計的多邏輯量子比特表面碼上實現(xiàn)了多邏輯量子比特表面碼之間的CNOT 操作,并通過仿真驗證量子線路的正確性.本文設(shè)計的多邏輯比特表面碼克服了單比特表面碼不能密鋪于量子芯片的缺點且提高了某些邏輯操作的長度,提高了容錯能力.基于聯(lián)合測量的思想降低了對輔助比特的要求且減小了實現(xiàn)過程中對量子資源的需求.

1 引言

1.1 研究背景及意義

1982年,Feynman[1]首次提出了量子計算的概念,它是運用量子力學(xué)的規(guī)律,對量子數(shù)據(jù)比特進行調(diào)控的一種新型的計算方式.量子計算機在解決一些超復(fù)雜的問題時其性能要遠優(yōu)于經(jīng)典計算機,例如NP 難題,當(dāng)N很大時經(jīng)典計算機無法解決,但使用Shor 量子算法[2]可以將其轉(zhuǎn)化為P 問題而解決.因此,對量子計算機的研究和容錯量子計算的應(yīng)用已經(jīng)成為亟待解決的問題.2012年,Preskill[3]提出了“量子霸權(quán)”,他指出如果可以將量子計算機拓展到50 個量子位上,那么量子計算機的計算能力將超過世界上所有的計算機.相比于經(jīng)典計算的線性計算方式,量子計算[4–7]可以實現(xiàn)并行計算,它們之間的區(qū)別是: 經(jīng)典n比特只能表示 2n個狀態(tài)中的一個狀態(tài),而n量子比特可以同時表示 2n個狀態(tài)的疊加態(tài),因此能夠?qū)崿F(xiàn)并行計算.但是量子比特具有脆弱性,在量子計算過程中很容易受到噪聲的影響.量子糾錯碼[8–10]將信息量子比特編入糾纏量子比特中,這樣當(dāng)量子比特在存儲、傳輸和計算過程中發(fā)生錯誤時,我們能夠通過測量物理比特之間的關(guān)系而推斷具體的錯誤,因此量子糾錯碼成為發(fā)展量子計算機的必要條件.

由于量子表面碼的物理量子比特被放在拉丁格中,穩(wěn)定子只關(guān)系到附近的幾個量子比特,因此穩(wěn)定子的測量也只和附近的幾個量子比特有關(guān),有利于物理實現(xiàn).因此表面碼成為實現(xiàn)容錯量子計算的重點研究對象之一,谷歌、IBM、Intel 和中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)等目前公開的量子芯片結(jié)構(gòu)都利于表面碼的實現(xiàn)[11–14].表面碼主要包括基于邊界的表面碼和基于缺陷的表面碼[15],基于缺陷的表面碼可以通過刪除更多的穩(wěn)定子構(gòu)造內(nèi)部邊界而編碼多個邏輯量子比特,而基于邊界的矩形結(jié)構(gòu)的表面碼只能編碼一個邏輯量子比特.隨著可編碼邏輯量子比特的增多,傳輸和處理的信息也會隨之增多.因此,設(shè)計使用少量的物理量子比特來編碼多位邏輯比特的編碼方案是一項十分具有意義的研究.

CNOT 門是通用量子計算中一個非常重要的邏輯門,目前已有研究表明可以基于表面碼的融合和分割操作來實現(xiàn)編碼單邏輯量子比特的表面碼之間的CNOT 操作[16].本文首先對已有研究方案提出優(yōu)化,然后研究如何將CNOT 門的實現(xiàn)方法擴展到編碼多邏輯量子比特的表面碼之間.利用邊界編碼多個邏輯比特能夠?qū)崿F(xiàn)量子比特的密鋪,在一定程度上降低對物理比特的需求,提高編碼效率,從而可以降低量子計算實際實現(xiàn)的復(fù)雜性和難度.CNOT 門的實現(xiàn)可為容錯量子計算提供基礎(chǔ),因此本文的研究對量子計算具有重要的理論意義.

1.2 研究現(xiàn)狀

1995年,Shor[9]首先提出了量子糾錯碼的概念,并提出了用9 個物理量子比特編碼1 個邏輯量子比特,可以糾正任意單比特錯誤的碼距為3 的[9,1,3] Shor 碼.1996年,Steane[10]提出了量子糾錯方案的一般表述,并提出了用7 個物理量子比特編碼1 個邏輯量子比特,可以糾正任意單比特錯誤的碼距為3的[7,1,3] Steane 碼.表面碼是由Kitaev[17–19]提出的復(fù)曲面碼發(fā)展演變而來的,在復(fù)曲面碼的基礎(chǔ)上,Kitaev 和Bravyi[20]以及Meyer和Freedman[21]分別發(fā)展出了平面版本的量子碼模型.2003年,Preskill 等[22]發(fā)現(xiàn)了表面碼優(yōu)良的容錯性,并通過堆疊多層表面的三維結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了邏輯CNOT 操作.2006年,Raussendorf 等[23]發(fā)現(xiàn)通過編織變換可以在單個表面上實現(xiàn)邏輯CNOT操作,并評估了錯誤率閾值.2008年,邢莉娟等[24]給出了CSS 量子卷積碼的一種新型編譯碼方法,該方法描述了編譯碼網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),將碼字的基態(tài)轉(zhuǎn)換為信息多項式與生成多項式的乘積,利用量子態(tài)上的多項式乘法操作實現(xiàn)了編譯碼網(wǎng)絡(luò).Flower 等[25]于2009 年提出了基于表面碼的高閾值通用量子計算,其二維近鄰耦合量子比特晶格結(jié)構(gòu),接近1%的高錯誤率閾值,自然的非對稱和可調(diào)強度錯誤校正,以及低開銷、任意長度邏輯門的特性,使其成為迄今為止最好和最實用的量子計算方案.同年,一種基于超導(dǎo)硬件的表面碼架構(gòu)被 DiVincenzo[26]提出.2012年,Fowler 等[15]使用編織等方法,在表面碼上實現(xiàn)了邏輯通用門集,包括邏輯CNOT 門、邏輯H 門等,并且全面闡述了表面碼量子計算的相關(guān)內(nèi)容.同年,Horsman 等[16]實現(xiàn)了表面碼晶格的融合和分割,進而實現(xiàn)了通用的量子計算.

2014年,Tomita 和Svore[27]在真實量子噪聲下研究了表面碼的編碼問題,提出如何減少編碼所用門的數(shù)量和時隙.2017年,Brown 等[28]提出了一個統(tǒng)一的框架來描述表面碼編碼方法,包括用表面碼的角落扭曲缺陷,基于此提出了一種新的邏輯編碼方法,同時利用碼變換,在不減小碼距的情況下,實現(xiàn)了通用邏輯門集.2018年,Litinski 等[29]提出了一種基于表面碼旋轉(zhuǎn)操作的容錯量子計算方案,該方案消除了單量子比特Clifford 門的時間開銷,實現(xiàn)了遠程多目標CNOT門,其時間開銷僅隨控制目標的分離而呈對數(shù)縮放.同年,Krylov和Lukac[30]提出用于量子電路設(shè)計的量子進化算法.2020年,Beaudrap 和Horsman[31]提出用量子計算圖解語言the ZX calculus 與表面碼中的晶格操作建立聯(lián)系,使糾錯操作更加直觀,并且能在大規(guī)模范圍下驗證,從而實現(xiàn)更細粒度的晶格操作和糾正;Camps 和van Beeumen[32]提出了使用編碼塊近似完成了量子線路合成.Shirakawa 等[33]于2021 年提出了一種量子經(jīng)典混合算法來編碼給定的量子態(tài).同年,Wang 等[34]基于機器學(xué)習(xí)的思想,構(gòu)建了一個卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼器來糾正復(fù)曲面碼中的錯誤,譯碼器的閾值精度達到10.8%,更接近于最優(yōu)閾值.2022年,Marques 等[35]研究出了一種在表面碼中進行錯誤檢測的邏輯量子位運算方法;Kumari 等[36]提出了一種雙面環(huán)形碼,可以用n個數(shù)據(jù)量子比特編碼至少n/3 個邏輯量子比特;Chen 等[37]提出了一種僅由 Clifford 門組成的系統(tǒng)高效的量子電路來模擬表面碼模型的基態(tài),能夠在任意平面晶格上實現(xiàn)二維復(fù)曲面編碼的基態(tài);Chen 等[38]提出了一種面向量子通信系統(tǒng)的低開銷容錯糾錯方案,該方案簡化了電路深度開銷和輔助量子態(tài)開銷,且適用于通用量子穩(wěn)定子碼.此外,Xue 等[39]提出了一種基于周期性表面碼強化學(xué)習(xí)的量子信息保護方案;Ding 等[40]提出了一種基于量子拓撲穩(wěn)定子彩色碼形態(tài)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譯碼方法,該方法將彩色碼投射到表面碼上,利用深度Q 網(wǎng)絡(luò)對彩色碼的解碼過程進行迭代訓(xùn)練,在訓(xùn)練后可以達到較快的預(yù)測速度和較好的糾錯閾值.2023年,Siegel 等[41]提出了一種用于缺陷晶格表面碼量子糾錯的新型自適應(yīng)方法,結(jié)合適當(dāng)?shù)娜毕輽z測算法和對已識別區(qū)域的隔離,可以保留有限碼大小的量子糾錯優(yōu)勢.從以上介紹能看出,不管是在理論上還是實驗實現(xiàn)上量子表面碼都得到了廣泛的重視,取得了快速的發(fā)展.但是,量子計算理論和實際實現(xiàn)之間的障礙仍然無法跨越,研究如何提高編碼效率以及如何實現(xiàn)通用量子門集對容錯量子計算的最終實現(xiàn)具有重要的理論意義.

2 基于邊界的多邏輯比特量子表面碼結(jié)構(gòu)及編碼線路設(shè)計

2.1 單邏輯比特表面碼結(jié)構(gòu)

表面碼由一些具有特定拓撲結(jié)構(gòu)的量子比特構(gòu)成,包括最早提出的表面碼以及旋轉(zhuǎn)45°后形成的更節(jié)省物理比特的表面碼[16].圖1 為一個碼距為3 的旋轉(zhuǎn)表面碼.

圖1 3 × 3 表面碼的結(jié)構(gòu)圖Fig.1.Structure diagram of 3 × 3 surface code.

如圖1 所示,白色比特為數(shù)據(jù)比特,黑色比特為測量比特,黃色區(qū)域為X型穩(wěn)定子,包括:X1X2X4X5,X2X3,X7X8,X5X6X8X9;綠色區(qū)域為Z型穩(wěn)定子,包括Z1Z4,Z2Z3Z5Z6,Z4Z5Z7Z8,Z6Z9.可以看到不同類型的穩(wěn)定子間都有 0 個或 2 個共同的數(shù)據(jù)比特,而同類型的穩(wěn)定子本身互相對易,因此所有穩(wěn)定子之間滿足對易性;任何一個穩(wěn)定子都不能由其他穩(wěn)定子直積得到,因此也滿足獨立性.穩(wěn)定子碼編碼的邏輯比特的數(shù)目等于物理比特數(shù)目和穩(wěn)定子數(shù)目的差,因此,圖1 可以編碼1 個邏輯比特.

表面碼有兩種邊界:X邊界是由X型穩(wěn)定子所形成的邊界,Z邊界是由Z型穩(wěn)定子所形成的邊界.連接兩個X邊界且與所經(jīng)過的每個Z型穩(wěn)定子有偶數(shù)個共同數(shù)據(jù)比特的連線上的所有數(shù)據(jù)比特X操作的直積就是X邏輯操作XL,信息比特要選擇XL所涉及的量子比特;類似地連接兩個Z邊界且與所經(jīng)過的每個X型穩(wěn)定子有偶數(shù)個共同數(shù)據(jù)比特的連線上所有數(shù)據(jù)比特Z操作的直積就是Z邏輯操作ZL.據(jù)此,可以寫出圖1 中表面碼的X邏輯操 作:XL1=X3X5X7,XL2=X2X5X7,XL3=X3X5X8,XL4=X2X5X8;Z邏輯操 作:ZL1=Z1Z5Z9,ZL2=Z4Z5Z9,ZL3=Z1Z5Z6和ZL4=Z4Z5Z6.容易驗證,X邏輯操作和Z邏輯操作與所有的穩(wěn)定子對易,兩者反對易.

2.2 一種可以編碼3 位邏輯比特的表面碼

2.2.1 表面碼結(jié)構(gòu)設(shè)計

在表面碼中,數(shù)據(jù)比特個數(shù)與穩(wěn)定子個數(shù)之差等于可以編碼邏輯比特的個數(shù),所以想要同時編碼多位邏輯比特,可以固定數(shù)據(jù)比特的個數(shù)后減少穩(wěn)定子的個數(shù).減少穩(wěn)定子個數(shù)的方法有兩種: 一種是在表面碼內(nèi)部采用“挖洞”的方式來減少穩(wěn)定子個數(shù),實際上是構(gòu)造內(nèi)部邊界;另一種是構(gòu)造更多的互相交替的外邊界,能夠形成更多連接同類型邊界的邏輯操作,從而可以編碼多個邏輯比特.經(jīng)典的表面碼結(jié)構(gòu)包含 2 個X邊界和2 個Z邊界,X穩(wěn)定子數(shù)目與Z穩(wěn)定子數(shù)目相等,可以編碼一位邏輯比特.

本文提出了一種基于邊界可以同時編碼三位邏輯比特的表面碼結(jié)構(gòu),該表面碼結(jié)構(gòu)如圖2 所示,由 12 個數(shù)據(jù)比特構(gòu)成,包含 5 個X型穩(wěn)定子X1X2X4,X3X6X8,X4X6X7X9,X5X7X10,X9X11X12以及4 個Z型穩(wěn)定子Z1Z3Z4Z6,Z2Z4Z5Z7,Z6Z8Z9Z11,Z7Z9Z10Z12,4 個X邊界和 4 個Z邊界,因此可以編碼3 位邏輯比特.

圖2 基于邊界編碼三位邏輯比特的表面碼結(jié)構(gòu)Fig.2.Structure of surface code based on boundary encoding three logical qubits.

2.2.2 邏輯操作的選擇

邏輯操作的選擇需要滿足以下原則: 第一,邏輯操作要與所有的穩(wěn)定子對易;第二,Z邏輯操作ZLi要與相應(yīng)的X邏輯操作XLi反對易,同時與編碼其他邏輯比特的X邏輯操作XLj(ji) 對易;X邏輯操作XLi要與相應(yīng)的Z邏輯操作ZLi反對易,同時與編碼其他邏輯比特的Z邏輯操作ZLj(ji)對易.在該表面碼中,邊界是互相交替的4 條X邊界和4 條Z邊界,但它們是不獨立的.理論上可以選擇其中的 3 個Z邊界作為邏輯X操作,3 個X邊界作為邏輯Z操作,但是當(dāng)固定了X邏輯操作后,會出現(xiàn)Z邏輯操作同時與兩個X邏輯操作反對易的情況,因此邏輯操作不能全部選擇最短的.這里第3 個邏輯Z操作選擇為:ZL3=Z8Z6Z4Z2,或?qū)⑵涞葍r到邊界上,寫成=Z8Z3Z1Z2.最終選擇的邏輯操作見表1.

表1 圖2 所示表面碼的邏輯操作Table 1.Logical operation of the surface code shown in Fig.2.

2.2.3 編碼線路的設(shè)計與仿真

編碼線路主要包括基于穩(wěn)定子測量和糾正的編碼線路[15]以及基于穩(wěn)定子實現(xiàn)的編碼線路[42].因為基于穩(wěn)定子測量的編碼線路總是隨機地塌縮,需要根據(jù)測量結(jié)果進行糾正操作才能正確編碼,消耗的資源較多,本文基于穩(wěn)定子的實現(xiàn)設(shè)計編碼線路.選定物理比特1,10,8 作為信息比特,編碼線路的第1 部分是邏輯操作的實現(xiàn),即利用信息比特控制相應(yīng)的邏輯操作的其他比特;接下來利用H 門和CNOT 門逐個實現(xiàn)X型穩(wěn)定子,得到的編碼線路如圖3 所示.

圖3 圖2 所示編碼三位邏輯比特表面碼的編碼線路圖Fig.3.Quantum encoding circuit for the surface code shown in Fig.2.

3 基于融合與分割的單邏輯量子比特表面碼間CNOT 門實現(xiàn)的優(yōu)化

3.1 基于聯(lián)合測量的單量子比特間CNOT門實現(xiàn)方法

圖4 是利用聯(lián)合測量在單量子比特之間實現(xiàn)CNOT 門的原理圖,|C〉是控制位,|T〉 是受控位,實現(xiàn)過程中需要一個額外的初始化為 |+〉 的輔助比特M.實現(xiàn)過程分為4 步: 第1步,對控制位|C〉 和輔助比特M進行Z基下的聯(lián)合測量,結(jié)果為M1;第2步,對輔助比特M和受控位|T〉 進行X基下的聯(lián)合測量,結(jié)果記為M2;第3步,對輔助比特M在Z基下進行測量,結(jié)果為M3;第4步,根據(jù)前3 步的測量結(jié)果,在控制位 |C〉添加邏輯門ZM2,在受控位|T〉添加邏輯門作為糾正操作,即當(dāng)M2=1時,添加Z門,當(dāng)M1+M3=1時,添加X門.

圖4 基于聯(lián)合測量的單量子比特間CNOT 門的實現(xiàn)原理Fig.4.CNOT gate implementation for single qubit based on joint measurement.

圖5 表面碼的粗糙融合Fig.5.Rough fusion of surface codes.

如果結(jié)果為1,表示不滿足這個穩(wěn)定子,或者理解為滿足穩(wěn)定子-Z1Z2,這時候得到的態(tài)為

上述兩種情況可以合并為

在CNOT 的實現(xiàn)過程中,基于上述理論進行分析,具體分析過程如下:

1) 對控制位|C〉 和輔助比特M進行Z基下的聯(lián)合測量,可以得到輸出態(tài)為

2) 對輔助比特M和受控位|T〉 進行X基下的聯(lián)合測量,即進行穩(wěn)定子X1X2測量,可以得到輸出態(tài)為

3) 對輔助比特M進行Z基下的測量,可以得到輸出態(tài),見表2.

4) 根據(jù)測量結(jié)果添加糾正操作,無論哪一種情況,通過糾正操作后可以得到最后的輸出結(jié)果(忽略系數(shù))為

公司治理的產(chǎn)生是要解決所有者和經(jīng)營者之間利益不一致而產(chǎn)生的委托代理關(guān)系，即公司剩余索取權(quán)和剩余控制權(quán)的分配問題，包含公司內(nèi)部股東及管理層之間，也包含公司之外的因素之間的利益分配。鑒于此，現(xiàn)代公司治理有內(nèi)部公司治理和外部公司治理之分。狹義的公司治理主要指公司中股東大會、董事會、監(jiān)事會和經(jīng)營管理層之間的權(quán)利制衡機制，通過有關(guān)制度，明確所有者和經(jīng)營者之間的權(quán)利和責(zé)任關(guān)系，主要涉及公司的內(nèi)部治理。而廣義的公司治理則是通過一系列的內(nèi)部制度或外部制度來制衡公司與所有利益相關(guān)者之間的利益關(guān)系，維護公司利益，實現(xiàn)價值最大化的目標。廣義的公司治理結(jié)構(gòu)，涉及內(nèi)部治理和外部治理之間的協(xié)調(diào)問題。

根據(jù)輸出結(jié)果,可以看到,當(dāng)|C〉為|0〉時,輸出 |T〉;當(dāng) |C〉為 |1〉時,輸出X|T〉,符合CNOT門的邏輯功能,實現(xiàn)了單量子比特間的CNOT 門.

3.2 融合與分割操作

2012年,Horsman 等[16]提出了基于晶格融合與分割的方式實現(xiàn)邏輯CNOT 門.這里首先介紹粗糙融合、粗糙分割、光滑融合和光滑分割的原理,然后對Horsman 等[16]提出的CNOT 門的實現(xiàn)方法進行改進.

3.2.1 粗糙融合和粗糙分割

融合之后的狀態(tài)為

上述公式不嚴謹,融合以后中間的3 個數(shù)據(jù)比特Q1,Q2和Q3將和左右兩邊的表面碼是糾纏在一起的,因此(11)式表述的不夠嚴格,因為它并沒有考慮這3 個數(shù)據(jù)比特的狀態(tài).

為了便于分析,對融合過程增加的第4 個穩(wěn)定子進行變形:

對量子比特Q3,Q2和Q1在Z基下進行測量,可以完成粗糙分割操作.在對Q3進行測量之后,與Q3相關(guān)的X型穩(wěn)定子=X3XcXQ2XQ3因測量而消失;與Q3相關(guān)的兩個Z型穩(wěn)定子由四端變?yōu)槿?當(dāng)測量結(jié)果為0時,三端穩(wěn)定子自動滿足;當(dāng)測量結(jié)果為1時,需要添加X操作使這兩個三端穩(wěn)定子滿足.同理在對Q2和Q1進行測量之后,穩(wěn)定子=X2XbXQ1XQ2和穩(wěn)定 子=X1XaXQ1會因為測量而消失.這時僅保留了變型過的,如圖6 所示.

圖6 表面碼的粗糙分割Fig.6.Rough segmentation of surface codes.

圖7 表面碼的光滑融合Fig.7.Smooth fusion of surface codes.

通過粗糙融合和分割,實際上是對兩個邏輯態(tài)進行聯(lián)合邏輯測量.結(jié)合單量子比特間CNOT 門的實現(xiàn)原理(圖4)可知,為了實現(xiàn)邏輯量子比特間的CNOT門,只需要聯(lián)合測量和糾正操作就可以,因此粗糙融合和分割過程可以簡化為對圖6 所示的中間條形黃色穩(wěn)定子的聯(lián)合測量,這樣就能夠簡化CNOT 的實現(xiàn)過程.將穩(wěn)定子測量的結(jié)果記為M,穩(wěn)定子測量后的量子態(tài)表示為

3.2.2 光滑融合和光滑分割

同理,對融合過程增加的第4 個穩(wěn)定子變形:

對量子比特Q3,Q2和Q1在X基下進行測量,可以完 成光滑分割操 作.在X基下對Q3,Q2和Q1進行測量之后,穩(wěn)定子=Z3ZcZQ2ZQ3,和會因為測量而消失,三端的X型穩(wěn)定子可以通過糾正操作來滿足,這時左右兩個表面碼由變型過的穩(wěn)定子連接,如圖8 所示.

圖8 表面碼的光滑分割Fig.8.Smooth segmentation of surface codes.

通過光滑融合和分割,實際上是對兩個邏輯態(tài)進行聯(lián)合邏輯測量,直接對兩個邏輯態(tài)進行聯(lián)合測量能夠滿足CNOT 門實現(xiàn)的需求,因此光滑融合和分割過程可以簡化為對圖8 所示的中間條形綠色穩(wěn)定子的聯(lián)合測量.將穩(wěn)定子測量的結(jié)果記為M,穩(wěn)定子測量后的輸出態(tài)為

3.3 單邏輯量子比特表面碼間CNOT 門實現(xiàn)的優(yōu)化

經(jīng)過上述分析,我們能夠?qū)诰Ц袢诤吓c分割的邏輯CNOT 門實現(xiàn)方案進行優(yōu)化: 在原方案實現(xiàn)過程中,光滑融合對控制位和輔助位之間新產(chǎn)生的Z穩(wěn)定子進行測量,它們測量結(jié)果的異或等價于聯(lián)合邏輯ZL1ZL2測量的結(jié)果;粗糙融合對目標位和輔助位之間新產(chǎn)生的X穩(wěn)定子進行測量,它們測量結(jié)果的異或等價于聯(lián)合邏輯XL1XL2測量的結(jié)果.先融合后分割操作的結(jié)果是使得兩個邏輯比特通過邏輯操作形成的穩(wěn)定子連接成一個更大的表面碼,這個新增加的穩(wěn)定子可能為正也可能為負.因此,基于晶格融合與分割的邏輯CNOT 門實現(xiàn)方案可以簡化為直接對邏輯操作形成的穩(wěn)定子進行測量,再對輔助比特進行邏輯Z測量,最后添加糾正操作.下面以碼距為 2,編碼一位邏輯比特的表面碼為例進行仿真驗證.

圖9中,|CQ〉 代表控制位,邏輯操作分別為X2X5和Z1Z2;|TQ〉 代表受控位,邏輯操作分別為X12X15和Z11Z12;|INT〉 初始化為|+〉 作為輔 助態(tài),邏輯操作分別為X7X10和Z6Z7.第1步,進行聯(lián)合Z測量,在Z基下對控制比特和輔助比特的Z邏輯操作涉及的比特 1,2,6,7 進行聯(lián)合測量,結(jié)果記為M1;第2步,進行聯(lián)合X測量,在X基下對輔助比特和目標比特的X邏輯操作涉及的比特 7,10,12,15 進行聯(lián)合測量,結(jié)果記為M2;第3步,在Z基下對 |INT〉 進行邏輯測量,測量結(jié)果為M3;第4步,進行校正操作,根據(jù)前3 步的測量結(jié)果,對 |CQ〉添加邏輯操作ZM2,當(dāng)M2為1時,為Z1Z2;在受控位 |TQ〉添加邏輯操作XM1+M3,當(dāng)M1+M3=1時,為X12X15;當(dāng)M1+M3=1 且M2=1時,整體相位進行翻轉(zhuǎn).這里每個碼字有4項,最終的結(jié)果是64項,是3 個邏輯態(tài)碼字直積的結(jié)果.圖10 記錄了對每一種輸入進行5000 次仿真后得到隨機測量結(jié)果的概率統(tǒng)計以及在該種測量結(jié)果下對應(yīng)的輸出,其中橫坐標為3 次測量的結(jié)果M1M2M3.

圖9 單邏輯比特量子表面碼邏輯CNOT 門的實現(xiàn)Fig.9.Implementation of logic CNOT gate for the single logical qubit surface code.

圖10 不同輸入狀態(tài)下的仿真輸出(a) |CQ〉 =|0〉 ,|TQ〉 =|0〉;(b) |CQ〉 =|0〉 ,|TQ〉 =|1〉;(c) |CQ〉 =|1〉 ,|TQ〉 =|0〉;(d) |CQ〉=|1〉 ,|TQ〉 =|1〉Fig.10.Simulation output under different input states: (a) |CQ〉 =|0〉 ,|TQ〉 =|0〉;(b) |CQ〉 =|0〉 ,|TQ〉 =|1〉;(c) |CQ〉 =|1〉,|TQ〉 =|0〉;(d) |CQ〉 =|1〉 ,|TQ〉 =|1〉 .

在圖10中,每一個測量結(jié)果的概率都約等于12.5%,說明兩個聯(lián)合邏輯測量和輔助態(tài)在Z基下的測量都是隨機塌縮的.對 |CQ〉 來說,輸入和輸出保持一致;對 |TQ〉來說,當(dāng) |CQ〉輸入為0時,|TQ〉不變;當(dāng) |CQ〉輸入為1時,|TQ〉 取反,符合CNOT門的結(jié)果.對 |INT〉 來說,因為M3是對 |INT〉 邏輯態(tài)的測量結(jié)果,當(dāng)M3=0時,|INT〉 的測量結(jié)果為|0〉,當(dāng)M3=1時,|INT〉的測量結(jié)果為 |1〉,在輸出結(jié)果中,與理論分析相一致.當(dāng)M1M2M3測量結(jié)果為011 和110 (M1+M3=1且M2=1)時,結(jié)果中會出現(xiàn)一個整體的相位翻轉(zhuǎn),因此當(dāng)出現(xiàn)這種情況時,可在校正操作中添加一個整體的相位翻轉(zhuǎn).因此優(yōu)化以后的過程能夠?qū)崿F(xiàn)邏輯CNOT 操作.

4 基于聯(lián)合測量和邏輯測量的多邏輯量子比特表面碼間CNOT 門的實現(xiàn)

本文提出的編碼多個邏輯量子比特的表面碼(圖2)依然可以基于聯(lián)合測量和邏輯測量實現(xiàn)邏輯CNOT 門.|CQ〉代表控制表面碼,|TQ〉 代表受控表面碼,|INT〉的某一邏輯位初始化為 |+〉,作為輔助態(tài).在編碼一位邏輯比特的表面碼中,只有一位比特,不需要特別關(guān)注邏輯操作的對應(yīng)關(guān)系,但在編碼三位邏輯比特的表面碼中,要把信息比特和邏輯操作進行對應(yīng).在圖2中,定義了表面碼具體的邏輯操作,要實現(xiàn)控制表面碼第i位邏輯比特與目標表面碼第j位邏輯比特之間的CNOT,就要將控制表面碼第i位邏輯Z操作與輔助表面碼的邏輯Z操作對應(yīng),用Z型穩(wěn)定子連接,將目標表面碼第j位邏輯X操作與輔助比特的邏輯X操作邊界對應(yīng),用X型穩(wěn)定子連接.圖11 給出了 |CQ〉 第一位邏輯比特利用 |INT〉第一位邏輯比特與|TQ〉第一位邏輯比特CNOT 的過程,Z1Z2和Z13Z14分別對應(yīng)控制表面碼和輔助表面碼第一位邏輯比特的Z邏輯操作,X13X15和X25X27分別對應(yīng)的是輔助表面碼和目標表面碼第一位邏輯比特的X邏輯操作.

圖11 基于聯(lián)合測量和邏輯測量的多邏輯量子比特表面碼邏輯CNOT 門的實現(xiàn)Fig.11.Implementation of logic CNOT gate for multiple logical qubits surface code based on joint measuremnt and logical measurement.

邏輯CNOT 實現(xiàn)的步驟: 第1步,進行聯(lián)合Z測量,在Z基下對 1,2,13,14 比特進行聯(lián)合測量,結(jié)果記為M1;第2步,進行聯(lián)合X測量,在X基下對 13,15,25,27 比特進行聯(lián)合測量,結(jié)果記為M2;第3步,在Z基下對 |INT〉 的第一比特進行邏輯Z測量,測量結(jié)果為M3;第4步,進行校正操作,根據(jù)前3 步的測量結(jié)果,對 |CQ〉 添加邏輯操作,當(dāng)M2為1時,糾正操作為Z1Z2;在受控位 |TQ〉添加邏輯操作XM1+M3,當(dāng)M1+M3=1時,糾正操作為X25X27;當(dāng)M1+M3=1且M2=1時,整體相位進行翻轉(zhuǎn).

在實現(xiàn)邏輯CNOT 的過程中,輔助比特|INT〉初始化 為邏輯 |+〉,在該過程中 |INT〉 不需要 與|CQ〉和 |TQ〉 的拓撲結(jié)構(gòu)相同,在保證聯(lián)合測量過程中構(gòu)成邏輯操作的數(shù)據(jù)比特位數(shù)能夠滿足對應(yīng)關(guān)系的前提下,可以將 |INT〉 進行簡化.

如圖12 所示,|INT〉 由碼距為2 的邊界表面碼構(gòu)成,這時候整個過程用到的量子比特數(shù)目就會減少很多,提高了CNOT 門實現(xiàn)的效率,并且利用普通計算機能夠?qū)Υ诉^程進行仿真.由于IBM 的Qiskit 支持的量子比特數(shù)目有限,因此在這里使用Matlab 編寫了表面碼的直積、基轉(zhuǎn)換、聯(lián)合測量、邏輯測量等函數(shù),對上述CNOT 的過程進行了仿真,結(jié)果見表3—表6.

表3 |CQ〉 =|AB0〉 ,|TQ〉 =|CD0〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) 時的輸出Table 3.Output when the input is |CQ〉 =|AB0〉 ,|TQ〉 =|CD0〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) .

表4 |CQ〉 =|AB1〉 ,|TQ〉 =|CD1〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) 時的輸出Table 4.Output when the input is |CQ〉 =|AB1〉 ,|TQ〉 =|CD1〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) .

表5 |CQ〉 =|AB1〉 ,|TQ〉 =|CD0〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) 時的輸出Table 5.Output when the input is |CQ〉 =|AB1〉 ,|TQ〉 =|CD0〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) .

表6 |CQ〉 =|AB0〉 ,|TQ〉 =|CD1〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) 時的輸出Table 6.Output when the input is |CQ〉 =|AB0〉 ,|TQ〉 =|CD1〉,(A,B,C,D ∈(0,1)) .

圖12 基于聯(lián)合測量和邏輯測量的多邏輯量子比特表面碼邏輯CNOT 門的優(yōu)化Fig.12.Optimization of logic CNOT gate for multiple logical qubits surface code based on joint measuremnt and logical measurement.

對|CQ〉 來說,輸入和輸出保持一致,符合CNOT 門的結(jié)果.對 |TQ〉來說,當(dāng) |CQ〉為|AB0〉,(A,B ∈(0,1))時,|TQ〉不 變;當(dāng)|CQ〉為 |AB1〉,(A,B ∈(0,1))時,|TQ〉 第一位取反,說明兩個表面碼的第1 位邏輯比特之間實現(xiàn)了CNOT 操作,且在實現(xiàn)過程中沒有影響到控制比特和目標比特的其他邏輯比特,符合CNOT 門的要求.對 |INT〉 來說,因為M3是對 |INT〉 進行邏輯Z測量的結(jié)果,當(dāng)M3=0時,|INT〉塌縮為 |0〉,當(dāng)M3=1時,|INT〉塌縮為 |1〉,與理論分析相一致.經(jīng)過上述分析,基于聯(lián)合測量和邏輯測量實現(xiàn)了多比特表面碼之間的邏輯CNOT 門.

在圖2 表面碼中,邏輯比特2 和邏輯比特1 類似,因此邏輯CNOT 的實現(xiàn)也類似.當(dāng)CNOT的控制比特和目標比特都是邏輯比特3時,由于對|INT〉只是進行邏輯比特聯(lián)合測量和后續(xù)的邏輯測量,邏輯操作的數(shù)據(jù)比特位數(shù)不需要一一對應(yīng),因此 |INT〉Z邏輯操作的長度并不需要為4,仍然可以采用最小的表面碼作為中間態(tài),如圖13 所示.經(jīng)過仿真驗證,能夠?qū)崿F(xiàn)CNOT 邏輯操作.基于簡化的原理,可以設(shè)計出控制表面碼的任意邏輯比特和目標表面碼的任意邏輯比特之間的CNOT門,實現(xiàn)任意邏輯比特間的邏輯CNOT 操作.

圖13 控制比特和目標比特都為邏輯比特3時,邏輯CNOT門的優(yōu)化Fig.13.Optimization of logic CNOT gate when both control qubit and target qubit are the 3rd logical qubits.

5 討論和結(jié)論

本文的主要創(chuàng)新包括: 第一,提出了一種基于邊界可以編碼3 個邏輯比特的表面碼,該表面碼用12 個數(shù)據(jù)比特編碼 3 個邏輯比特;第二,對基于晶格融合與分割的表面碼邏輯CNOT 門實現(xiàn)方法進行了改進,提出了一種基于聯(lián)合測量和邏輯測量的表面碼邏輯CNOT 門實現(xiàn)方法,并在提出的多邏輯比特表面碼上進行了仿真驗證.

編碼多個邏輯比特的表面碼的優(yōu)點.第一,雖然本文提出的表面碼結(jié)構(gòu)與3 個邏輯長度相同編碼單邏輯比特的表面碼所用的物理比特一樣多,但是在本文提出的表面碼結(jié)構(gòu)中有一個更長的邏輯操作,增加了表面碼的容錯能力.第二,對于編碼單個邏輯比特的表面碼,它們結(jié)構(gòu)上是分離的,兩個表面碼之間的物理比特不能充分利用.本文的編碼多邏輯比特的表面碼相比于編碼單邏輯比特的表面碼,物理比特能夠形成密鋪,結(jié)構(gòu)上更緊湊,在量子計算的實現(xiàn)過程中能更充分地利用每一個物理量子比特.第三,雖然本文給出的是長度為2 的表面碼,只有檢錯能力沒有糾錯能力,但按照交替邊界設(shè)計的思想能夠設(shè)計出具有更長邏輯操作的表面碼.這里是因為仿真的限制,因此研究長度為2 的表面碼.

基于聯(lián)合測量和邏輯測量的表面碼CNOT 門實現(xiàn)方法過程更簡潔,能夠節(jié)省資源.這里以實現(xiàn)圖5 所示碼距為4 的表面碼之間的CNOT 操作為例進行資源需求分析,基于融合和分割的方法輔助態(tài)表面碼結(jié)構(gòu)與圖5 中的結(jié)構(gòu)一致,而基于聯(lián)合測量和邏輯測量的方法對輔助態(tài)沒有具體要求,這里選擇有糾錯能力的碼距為3 的表面碼作為輔助態(tài).兩種方法需要的資源如表7 所列,可以發(fā)現(xiàn)基于聯(lián)合測量和邏輯測量的方法性能優(yōu)于基于晶格融合與分割的方法.邏輯CNOT 門優(yōu)化方案的優(yōu)點: 第一,中間輔助態(tài)的選擇更靈活,可以利用碼距比較小的表面碼來實現(xiàn),因此輔助表面碼的碼距和數(shù)據(jù)量子比特數(shù)目都比較小.第二,更節(jié)省量子門的數(shù)目.在基于晶格融合與分割的方法中,通過融合和分割操作,將兩個表面碼形成糾纏態(tài),在基于聯(lián)合測量和邏輯測量的方法中,聯(lián)合測量直接完成了這個過程,聯(lián)合測量的結(jié)果等價于融合與分割的結(jié)果.因此不僅簡化了操作,還減少了量子門的數(shù)目.第三,在基于晶格融合與分割的方法中,需要多次對新產(chǎn)生的穩(wěn)定子進行測量,且每次根據(jù)不同的測量結(jié)果需要進行糾正操作,還需要進行單比特的測量來消除穩(wěn)定子;而優(yōu)化方法中,不需要進行穩(wěn)定子的測量和單比特測量,因此測量次數(shù)和糾正次數(shù)都減少.融合分割操作的優(yōu)點是量子比特僅需要與相鄰比特進行作用,在大碼距表面碼的物理實現(xiàn)上更容易.

表7 兩種邏輯CNOT 門實現(xiàn)方法的資源消耗對比Table 7.Comparison of the resource consumption of the two logic CNOT gate implementation methods.

本文設(shè)計的多邏輯比特表面碼克服了單比特表面碼不能密鋪于量子芯片的缺點,能夠充分利用物理量子比特,且提高了某些邏輯操作的長度,增加了容錯能力.基于聯(lián)合測量的思想降低了對輔助比特的要求,簡化后的實現(xiàn)過程減小了對量子資源的需求,高效地實現(xiàn)了邏輯量子比特之間的CNOT 門.本文的研究成果對通用容錯量子計算的研究和實現(xiàn)都具有重要的意義.

附錄A

圖3 所示的編碼線路的8 種輸出碼字見表A1.

表A1 圖3 所示的編碼線路的8 種輸出碼字Table A1.Eight output codewords for the encoding circuit shown in Fig.3.